αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

Transcript

1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι, πραγματικοί: iii) ii) 8 iv) 5 v) Απάντηση α) i) Φυσικοί είναι οι αριθμοί,,,4,... ii) Ακέραιοι είναι οι αριθμοί...,,,,0,,,,... iii) 5 vi) 6 iii) Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να πάρουν τη μορφή ενός κλάσματος μ ν, όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί με ν 0. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 7, 8 4 είναι ρητοί. iv) Άρρητοι ονομάζονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δηλαδή που δεν μπορούν να πάρουν τη μορφή κλάσματος με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς. Παραδείγματα άρρητων αριθμών είναι οι, 5, κ.τ.λ. Υπάρχουν επίσης άρρητοι αριθμοί που δεν εκφράζονται υποχρεωτικά ως ρίζες κάποιου αριθμού, όπως είναι ο αριθμός π, v) Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Οι απαντήσεις βρίσκονται στη σελίδα 95. 9

2 8 β) Όλοι οι αριθμοί,, 5, 5,, 6 είναι πραγματικοί. Πιο συγκεκριμένα: i) Ο αριθμός είναι φυσικός, ακέραιος και ρητός. 8 ii) Ο αριθμός = 4 είναι ακέραιος και ρητός. iii) Ο αριθμός είναι ρητός. 5 iv) Ο αριθμός 5 είναι άρρητος. v) Ο αριθμός είναι άρρητος. (Επειδή έχει τη μορφή κλάσματος, δεν σημαίνει ότι είναι ρητός, διότι ο αριθμητής δεν είναι ακέραιος.) vi) Ο αριθμός 6 = 4 είναι φυσικός, ακέραιος και ρητός. (Δεν είναι όλες οι ρίζες άρρητοι αριθμοί.) Απόλυτη τιμή. Να βρείτε τις απόλυτες τιμές των παρακάτω αριθμών: α) β) γ) 0 δ) 0 Τοποθετούμε τους αριθμούς,, στον άξονα των αριθμών: και 0 Όπως προκύπτει από το παραπάνω σχήμα, έχουμε: α) = β) = 0 0 γ) = δ) 0 = 0 Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ονομάζουμε την απόσταση του σημείου που παριστάνει τον αριθμό α από την αρχή του άξονα των αριθμών. Η απόλυτη τιμή του αριθμού α συμβολίζεται με α. 0

3 Πρόσθεση. Να κάνετε τις παρακάτω προσθέσεις: α) γ) β) ( ) α) Οι αριθμοί + 6 και + 9 είναι ομόσημοι (θετικοί), άρα: =+ ( 6+ 9) =+ 5 β) Οι αριθμοί 8 και 6 είναι ομόσημοι (αρνητικοί), άρα: 8+ ( 6) = ( 8+ 6) = 4 γ) Οι αριθμοί 8 και + είναι ετερόσημοι και μεγαλύτερη απόλυτη τιμή έχει ο +. Άρα: 8+ =+ ( 8) =+ 4 8 δ) 4+ ( 9 ) δ) Οι αριθμοί 4 και 9 είναι ετερόσημοι και μεγαλύτερη απόλυτη τιμή έχει ο 9, άρα: Πολλαπλασιασμός 4+ ( 9) = ( 9 4) = 5.4 Να κάνετε τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς: + + α) ( ) ( 7 ) β) ( 4) ( 6 ) γ) ( + 6) ( 9 ) δ) ( ) α) Οι αριθμοί + και + 7 είναι ομόσημοι θετικοί (περίπτωση + +=+), άρα: ( + ) ( + 7) =+ ( 7) =+ β) Οι αριθμοί 4 και 6 είναι ομόσημοι αρνητικοί (περίπτωση =+), άρα: ( 4) ( 6) =+ ( 4 6) =+ 4 Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το κοινό τους πρόσημο. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. 0 Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο +. Ισχύουν δηλαδή οι κανόνες: + +=+ και =+ Οι απαντήσεις βρίσκονται στη σελίδα 95.

4 γ) Οι αριθμοί + 6 και 9 είναι ετερόσημοι (περίπτωση + = ), άρα: ( + 6) ( 9) = ( 6 9) = 54 δ) Ισχύει ( ) 0 = 0. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο. Ισχύουν δηλαδή οι κανόνες: + = και + = Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α 0= 0 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.5 Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις εκμεταλλευόμενοι τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού: γ) α) ( 7 6 ) β) ( ) Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός έχουν τις εξής ιδιότητες: Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α+ β= β+ α αβ = βα α β γ α β γ α β γ = α β γ Προσεταιριστική + ( + ) = ( + ) + ( ) ( ) Ουδέτερο στοιχείο α+ 0= α α = α α+ ( α) = 0 α =, α 0 α α β+ γ = α β+ α γ Επιμεριστική ( ) α) Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, έχουμε: + ( 7 + 6) = ( + 7) + 6 = = 56 β) Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, έχουμε: ( 7 5) 4 = 7 ( 5 4) = 7 00 =.700 γ) Σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, έχουμε: = 6 ( ) = 6 00 =.600

5 Αντίθετοι και αντίστροφοι αριθμοί.6 α) Να βρείτε τους αντίθετους των αριθμών: i) 7 ii) iii) 7 6 iv) 0 β) Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθμών: i) ii) 5 α) i) Ο αντίθετος του 7 είναι ο 7, διότι: 7+ ( 7) = 0 Ομοίως βρίσκουμε ότι: ii) Ο αντίθετος του είναι ο. 7 iii) Ο αντίθετος του είναι ο iv) Ο αντίθετος του 0 είναι ο ίδιος ο αριθμός 0. β) i) Ο αντίστροφος του είναι ο, διότι: = = Ομοίως βρίσκουμε ότι: ii) Ο αντίστροφος του 5 είναι ο 5. iii) Ο αντίστροφος του είναι ο ίδιος ο αριθμός. iv) Ο αριθμός 0 (μηδέν) δεν έχει αντίστροφο. Αφαίρεση iii) iv) 0 Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι, όταν έχουν άθροισμα 0 (μηδέν). Ο αντίθετος του α είναι ο α. Δύο μη μηδενικοί αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν έχουν γινόμενο (μονάδα). Ο αντίστροφος του α 0 είναι ο α. Ο αντίστροφος του α β είναι β α..7 Να κάνετε τις παρακάτω αφαιρέσεις: α) 5 β) 7 7 Έχουμε: 5 = 5 + = 5 = 6 Οι απαντήσεις βρίσκονται στη σελίδα γ) ( ) α) ( ) ( ) β) 9 = 9+ ( ) = ( 9+ ) = γ) 7 ( 7) = = 0 Για να κάνουμε την αφαίρεση α β, προσθέτουμε στον μειωτέο (α) τον αντίθετο του αφαιρετέου (β). Δηλαδή: α β = α+ ( β)

6 Διαίρεση.8 Να κάνετε τις διαιρέσεις: Έχουμε: α) ( 4 ) :( ) β) ( ) = = 4 =+ 4 =+ =+ 9 β) 9: ( 6) = 9 = 9 = = γ) : = = = = δ) Η διαίρεση 5 : 0 δεν ορίζεται, διότι ο διαιρέτης είναι μηδέν ε) 0 = = = α) ( 4 ):( ) ( 4) 9: 6 γ) 5 : Αριθμητικές παραστάσεις - Προτεραιότητα πράξεων δ) 5:0 ε).9 Να βρείτε την τιμή της παρακάτω αριθμητικής παράστασης: Α= : ( 4 5) 6 ( ) + ( 5 ) Μεθοδολογία Έχουμε: Α= : ( 4 5) 6 ( ) + ( 5) = = :( 4 0) ( 5) = = :( 6) ( ) = = + 6= 4 Για να κάνουμε τη διαίρεση α:β (με β 0), πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο (α) με τον αντίστροφο του διαιρέτη (β). Δηλαδή: α:β= α β Ένα σύνθετο κλάσμα μετατρέπεται σε απλό ως εξής: α β γ δ α δ = β γ άκροι όροι μέσοι όροι Για να βρούμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. Στη συνέχεια κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις ή αγκύλες, πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσα σ αυτές, με την παραπάνω σειρά. 4

7 Αλγεβρικές παραστάσεις.0 Αν x = 5, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: A= 8( x ) ( 6 x) ( x+ ) + 5( 5 x) Αρχικά θα απλοποιήσουμε την παράσταση Α και στη συνέχεια θα βάλουμε στη θέση του x τον αριθμό 5. Έχουμε: A= 8( x ) ( 6 x) ( x+ ) + 5( 5 x) = Η παράσταση A= x 9, για = 8x 4 6+ x x x = = 8x + x x 5x = = ( 8+ 5) x 9= x 9 5 x =, γίνεται: 5 5 A= x 9= 9= 9= 5 9= 4 Απαλοιφή παρενθέσεων - Επιμεριστική ιδιότητα. Αν x+ y =, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: Ακολουθούμε τα εξής βήματα: A= x y x 4y x+ 4y = ( ) ( ) ( ) = x 6y x + 8y x 4y = A= ( x y) ( x 4y) ( x+ 4y) Απαλοιφή παρενθέσεων με την επιμεριστική ιδιότητα = x x x 6y + 8y 4y = = ( ) x+ ( ) y= = x y = ( x + y) = Αντιμεταθετική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα = ( ) = 6 Οι απαντήσεις βρίσκονται στη σελίδα 95. 5

8 Η ιδιότητα: «Αν α β= 0, τότε α= 0 ή β= 0». Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει: Έχουμε ένα γινόμενο ίσο με μηδέν. Άρα: ( x 6)( + x) = 0 x 6 = 0 ή + x = 0 x = 6 ή x = 6 x = ή x = x = ή x = 4 ( x 6)( + x) = 0 Όταν ένα γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με μηδέν, τότε ή ο ένας ή ο άλλος (ή και οι δύο) είναι μηδέν. Δηλαδή: Αν αβ = 0, τότε α = 0 ή β = 0 Ασκήσεις Ασκήσεις εμπέδωσης στις 4 πράξεις. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α) + 5 σβ) 7 4 γ) 8 4 σδ) + 9 ε) 6 8 στ) Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς: α) σβ) ( ) γ) 5 ( 8) σδ) ( 9) ( 4) ε) ( 7) 6 στ) 0 ( 5).5 Να κάνετε τις διαιρέσεις: α) : 4 σβ) : 45: 5 6: 7 γ) ( ) σδ) ( ) ε) 0 :( 0) στ) 4: ( 4).6 Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: 5 7 α) + σβ) 4 γ) 5 σδ) ε) στ) Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α) σβ) γ) : σδ) : ε) : στ) :

9 .8 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: σα) 7 σβ) 6 σγ) σδ) : 6 5 : 8 6 : σε) ( ) ( ) στ) 5: ( 7) + 45: ( 9).9 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 4 6 σα) ( ) σβ) ( ) ( 5) 6 σγ) ( 5 9) 7 σδ) ( ) :( ) 0 σε) 8: ( 6) ( + 9) στ) ( 7 0) 4 5: ( 5).0 Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: 5 9 σα) ( ) σβ) 7 ( + 8) σγ) 5+ 4 ( 4) σδ) ( ) ( 7 0) σε) 4 :( 5 7) ( ) στ) ( ) :( 4) + ( 5 ) :. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας, να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: α) β) γ) δ) Σύνθετες αριθμητικές παραστάσεις. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: σα) ( 4+ 6) 8+ ( 7 ) σβ) ( 8+ ) ( 9+ ) ( 5 ) σγ) 5 ( + ) ( 8) σδ) ( 9) ( 4 ) σε) ( 9 0) ( 4 5) στ) 8 ( 7+ 6) ( + 6). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 7 A= B = Γ= Δ= Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: : σα) ( ) ( ) : + 4 : 4 σβ) ( ) ( ) σγ) 8 ( ) ( 7) + : ( ) + : 5+ 4 σδ) ( ) 5 8 σε) + : 8 6 Οι απαντήσεις βρίσκονται στη σελίδα 95. 7

10 6 : 4 : στ) ( ).5 Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α) 5 + β) :( 4 ) 8 γ) 5 : + 9 ( ) δ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = 5 4 Β = Γ = : Δ = : 4.7 Δίνονται οι παραστάσεις: Α = + : ( ) + : + 4 : ( ) Β= ( ): + :( 4) + : 4 Γ= : 4 4 : α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α, Β και Γ. β) Να βρείτε τον αντίθετο και τον αντίστροφο κάθε παράστασης..8 Να υπολογίσετε το άθροισμα: Α= Στη συνέχεια να βρείτε τους Α, Α, Α. Αλγεβρικές παραστάσεις Επιμεριστική ιδιότητα.9 Να βρείτε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: Α= α 5 + α α) ( ) ( ) β) Β= ( 4 α) ( α+ 5) γ) Γ= 4( α) ( α ) ( 5 α) δ) Δ= ( α 6) ( 5α 5) 5.0 Να απλοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή τους για x =,5: α) Α= 6 ( x ) ( x+ ) β) B= 4( x ) ( 7+ x) + γ) Γ= 6( x 4) ( 6 x) ( x 0) δ) Δ= 5 ( x+ ) 4( x). Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή τους για x = και y = : 4 A= x y 4 x+ y y α) ( ) ( ) 8

11 β) B= x ( y+ x) ( x+ 0y) γ) Γ= ( x ω) ( ω 4y) ( x) δ) Δ= 4( x y) ( x y). Αν x+ y=, να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: A= x+ 4y+ x+ y α) ( ) β) B= 4( x y) ( x y) γ) Γ= 5( x ) + ( y x) ( 5 y) δ) Δ= ( x+ y) ( x y). Αν x y=, να βρείτε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: A = x 5y x 6y y α) ( ) ( ) β) B= ( x 7y) + 4( y ω) 4 x+ ( y ω).4 Αν α+ β= και γ+ δ= 4, να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= α+ γ + β+ δ α) ( ) ( ) β) Β= ( α δ) ( γ β) γ) Γ= ( α+ δ β) ( β+ γ ) 4α ( β) α ( β) δ) Δ = γ δ γ 8δ ( ) ( ).5 Αν οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι, να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= α β α β α) ( ) ( ) β) Β= ( β α+ ) ( β) γ) Γ= ( α+ β) ( α+ β) β δ) Δ= ( α β) ( β 5α) Συνδυαστικά θέματα.6 Δίνονται οι αριθμοί: α =, β = και γ = α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= ( α γ+ β) ( α β+ γ) ( β 4α) β) Να κάνετε τις πράξεις: 6 Β= Α : + Α 9.7 Αν α=, β είναι ο αντίστροφος του α και γ είναι ο αντίθετος του β, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= α ( β γ) α β γ ( β+ γ) Οι απαντήσεις βρίσκονται στη σελίδα Αν οι αριθμοί x και y είναι αντίθετοι και οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= ( x y+ α) + α( β+ ) 4( x+ y).9 Αν α και β είναι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο, να βρείτε την τιμή της παράστασης: α β Α= 4 6( α ) ( β+ ) 4.40 Για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει: α+,5β+,5α β= 6 9

12 α) Να βρείτε το άθροισμα α+ β. β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= α β α β + ( ) ( ) ( ) + 5α β+.4 Δίνονται οι παραστάσεις: Α= και Β = Να βρείτε τον αντίθετο και τον αντίστροφο της παράστασης: 77 Γ= ( Α Β ): 8.4 Δίνονται οι παραστάσεις: ( ) ( ) + ( + ) 6 0x+ 4x y A = x ω y ω και Β= x+ + y Αν x + y =.008, να βρείτε την τιμή της παράστασης Γ =.008 Α Β. Κριτήριο Αξιολόγησης Θέμα Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α) β) 5 7 : A= : 6. 5 Θέμα Δίνεται η παράσταση ( ) α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α. β) Να γράψετε τον αντίθετο και τον αντίστροφο του Α. Θέμα Θέμα 4 α) Να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα: 4 α β β α+ α+ β = ( ) ( ) ( ) β) Αν α+ β=, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= ( α ) β( 5) ( 6α β) Οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι, ενώ οι αριθμοί γ και δ είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο 6. α) Να βρείτε τα αθροίσματα α+ β και γ + δ. β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= α γ+ β α δ 4 β ( ) ( ) ( ) 0