ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

1 Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f. α Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση :. Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση, θεωρούμε τον πίνακα : f 0 f και έχουμε : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

2 Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της γενικής μορφής :, με α έχουμε : f α Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημα των θετικών πραγματικών αριθμών. Γνησίως αύξουσα, διότι για κάθε,, επειδή α ισχύει : 0, αν α α Τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A 0, και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα. Θεωρούμε τη συνάρτηση : f και προκειμένου να κάνουμε τη γραφική της παράσταση, θεωρούμε τον πίνακα : 0 f και έχουμε : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

3 Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της μορφής : με 0 α έχουμε : Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημα των θετικών πραγματικών αριθμών. Γνησίως φθίνουσα, διότι για κάθε,, επειδή 0 α ισχύει : f 0, α αν α α Τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A 0, και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα. Παρατηρήσεις :. Επειδή η εκθετική συνάρτηση : μονότονη, ισχύει : f α αν α α. με 0 α είναι γνησίως Επομένως με την επαγωγή σε άτοπο, μπορούμε να έχουμε : αν α α. Με την βοήθεια της συνεπαγωγής αυτής, μπορούμε να λύνουμε εκθετικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο στον εκθέτη.. Για τις συναρτήσεις : παρατηρούμε ότι ισχύει : f α, g, 0 α α g α f, α α Επομένως οι γραφικές παραστάσεις τους, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yy. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) 8 iii) 4 8 iv) ΛΥΣΗ i) ii) iii) 5 iv) Να λυθούν οι εξισώσεις : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

5 i) 9 ii) e e 8 4 iii) iv) 5 ΛΥΣΗ i) 9 9 ii) e e e e 4 iii) iv) ή.. Να λυθεί η εξίσωση : 54. ΛΥΣΗ Θέτω y και η εξίσωση γίνεται : y y y 4y 54 7y 6 y οπότε 4.Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ () Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

6 Διαιρούμε όλους τους όρους με () Θέτουμε Δ=5 και Άρα, οπότε η () δίνει: και η () δίνει ή 5.Να λυθεί η εξίσωση : 5 ΛΥΣΗ Η εξίσωση 5 επαληθεύεται για τα για τα οποία ισχύει: ) 0 με Δ=9 και, 5 ) 5 0 και =- 0 9 ) και +5 άρτιος ή =- Για =0 0+5=5 περιττός Για =- 5 άρτιος Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι : 5 ή =- ή =- ή = 6. Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ Θέτω y και η εξίσωση γίνεται : y y 4 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

7 που έχει ρίζες y και y 4 0 Για y έχω : 0 Για y 4 έχω : 4 αδύνατη γιατί Να λυθεί η εξίσωση : () ΛΥΣΗ Η () ορίζεται όταν είναι φυσικός μεγαλύτερος του. Έτσι Θέτω y άρα έχω : Αν y τότε Αν y y 0y 0 y ή 9 9 τότε y. Απορρίπτεται 8. Να λυθεί το σύστημα : y 4. y 9 ΛΥΣΗ y y 0 y 0 () y y 9 y () Αφαιρώντας από τη () την () προκύπτει : y στην () έχουμε. και αντικαθιστώντας 9. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) 5 4 iii) iv) v) 4 ΛΥΣΗ 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

8 i) Θέτουμε, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : t και επομένως οι ρίζες είναι : t 5t 4 0 () t 5 Αν Αν t t 0 0 ii) iii) () t, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : t 8t 9 0 (). Θέτουμε Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : t t 9 9 t και επομένως οι ρίζες είναι : Αν Αν iv) v) Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

9 Να λύσετε τις εξισώσεις ημ i) ii) iii) ΛΥΣΗ ημ ημ συν 5 ημ 4 ημ ημ συν 9 ημ ημ ημ π i) ημ ημ ημ 6 π ημ ημ 6. Άρα ii) κπ π π κπ 6 κπ 7π 7π κπ 6 ημ ημ 4ημ ημ συν ημ συν ημ συν 9 ημ συν 4ημ ημ συν ημ ημ συν συν συν ημ συν συν 0 συν ημ 0 συν 0 κπ ημ (αδύνατη) π Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

10 iii) ημ ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ συν ημ ημ συν ημ ημ ημ συν ημ ημ ημ ημ ημ 0 ημ συν ημ συν ημ συν συν 0 συν συν Από την σχέση () παίρνουμε: κπ ημ 0 κπ κπ, κ Από την σχέση () παίρνουμε : συν συν κπ 4κπ. 4κπ 4κπ 4κπ 4 4κπ. Να λυθεί η εξίσωση : ΛΥΣΗ Θέτω y y 56 y 56 y ή 4 Άρα 6 y y έχουμε :.i) Να βρείτε το α αύξουσα. ii) Να βρείτε το α, α φθίνουσα. ΛΥΣΗ 5 ώστε η 0 ώστε η α f α 5 να είναι γνησίως 5 g να είναι γνησίως α i) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα θα πρέπει: α α α α 5 α α 5 α 5 α 5 α 5 0 α 6 α 5 0 α α 5 0 α α 5 0 α,5. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

11 ii) Για να είναι η g γνησίως φθίνουσα θα πρέπει: 5 α α α 5 0 α,0 5, 5 α α 0 α α 0 α 0 α α Επομένως πρέπει α 5.. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f k. i) Για ποιες τιμές του k ορίζεται η f ; ii) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές k για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) Να βρείτε το k ώστε η γραφική παράσταση της f να περνάει από το σημείο,. iv) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η γραφική παράσταση της f περνάει από το σημείο,. να ΛΥΣΗ i) Πρέπει: k 0 k k k, () ii) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα πρέπει: k k 0 k 0 () Η () όμως είναι αδύνατη στο, άρα δεν υπάρχουν τιμές του k, για τις οποίες η f να είναι γνησίως αύξουσα. iii) Πρέπει να ισχύει: f k k k iv) Πρέπει να ισχύει: f k k k k 0 k 0 k αδύνατη 4. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) 9 ii) 8 0 iii) e 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

12 ΛΥΣΗ i) 9 ii) (γιατί >). 8 0 (γιατί >). ή iii) 0 e e e e 0 0 (γιατί e ). 5. Να λύσετε την ανίσωση ΛΥΣΗ Θέτω Άρα η ανίσωση γίνεται Είναι y 6y 5 0 y ή y 5 5 y y 6y _ + Άρα 0 y (γιατί 5>). 6. Να λυθεί η ανίσωση : ΛΥΣΗ () Θέτουμε : 0 0 οπότε η () δίνει ω Δ=4 και ω, 0 Από πρόσημο τριωνύμου 0 7. Να λύσετε τα συστήματα. y 9 i) y 4 8 ii) 5 6 y 8 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

13 iii) y 4 y 9 iv) y y 5 6 ΛΥΣΗ i) y y y 9 y 4 8 y y y y y 4 y 5 5 y y y y ii) ή y 8 y y 8 y 8 y 6 y 5 iii) y y 0 y 0 4 y 0 9 y y y y y y y y y y y 5 iv) 5 4 y y α,5 β y α β 4 α β α α α β 4 β 6 α 0 α 0α 9 0 α β 4 α β 4 β y α,5 β y 5 αδύνατη α α y α ή α 9 α,5 β y y α β y α 9 9 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

14 8. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 0 χρόνια και η αρχική ποσότητα είναι 0 γραμμάρια : i) να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που έχει απομείνει μετά από 0 χρόνια iii) να βρείτε μετά από πόσα χρόνια θα έχουν απομείνει του ραδιενεργού υλικού. ΛΥΣΗ 5 56 γραμμάρια i) Επειδή η ποσότητα Q του ραδιενεργού υλικού ακολουθεί τον νόμο της εκθετικής απόσβεσης έχουμε: Q t Q0 ct e Επειδή Q t 0 e Αφού η ημιζωή είναι Q 0 γραμμάρια είναι ct 0 0 c c 0 t0 0 χρόνια έχουμε: Q 0c c c Q t 0 0 Q 0 0 e 0 e e e e Άρα t ct c t 0 0 Q t 0 e 0 e 0 0 ii) Η ποσότητα που θα έχει απομείνει μετά από 0 χρόνια είναι: 0 0 Q 0 0 e 0 5 γραμμάρια iii) Έστω ότι μετά από t χρόνια θα έχουν απομείνει Είναι t t Q t t γραμμάρια. χρόνια. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 0 -

15 .Ισχύει ότι: i) ii) 5 iii) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ για κάθε για κάθε Σ Λ Σ Λ Σ Λ iv) αν χ ακέραιος Σ Λ v) αν χ ακέραιος Σ Λ.Ισχύει ότι: i) αν χ= Σ Λ ii) αν χ=0 Σ Λ iii) αν χ= Σ Λ.Ισχύει ότι: 0,8 y 0,8 αν<y Σ Λ i) ii),5,5 iii)e e y αν <y Σ Λ y αν >y Σ Λ 4.Δίνεται η f( ) 5 i) Hfέχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ ii)hfέχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii)hfείναι γνησίως αύξουσα στο R Σ Λ iv) Ισχύει ότι f()>f(/5) Σ Λ v) Ισχύει ότι f( ) f( ) Σ Λ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 0 -

16 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ a. Αν f()=, Q, να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση f()να a είναι γνησίως αύξουσα a.δίνεται η συνάρτηση f( ) a Α)Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η f : i)να ορίζεται σ όλο το R. ii)να είναι γνησίως φθίνουσα στο R..Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση f Α)ορίζεται σε όλο το R Β)είναι εκθετική Γ)είναι γνησίως αύξουσα στο R Δ)είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ( ) 4.Δίνεται η συνάρτηση:, f( ) 4,< 5 Α)να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f Β)να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f Γ)να βρείτε τα ακρότατα της f. 5.Δίνονται οι συναρτήσεις : f( ) και g()= Να αποδείξετε ότι : Α)η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Β)η g είναι άρτια Γ)η h( ) f ( ) g ( ) είναι σταθερή. Δ) η g έχει ελάχιστο στο Να λυθούν οι εξισώσεις: α) + =8 δ) =5 η) e + = 5 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα e κ) 6 χ- = 4

17 β) γ) 4 = 6 8 ε) 9 = ζ) 8 - =4 -χ ι) 5 θ) 5 -χ+ = λ) = Να λύσετε τις εξισώσεις : i) iii) 49 7 ii) 4 8 iv) v) vi) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 4 ii)7 5 5 iii iv 4 )4 9 0 )9 6 0 v) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις i) ii) iii) iv) v) vi) vii) 4 0 viii)e e e 0 i) ) 5 i)5 0.Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 ii) ) 5 5 iii iv)4 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

18 .Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4-5 =4 γ) 5-4= β) =0 δ) e +. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 6 ii) 9 6 iii) 0.Να λυθούν οι εξισώσεις: i)5 ii) 4 iii 5 5 e ) 48 iv) = 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4 = β) =0 γ) 5 = +4 δ) + - = Να λύσετε τις εξισώσεις: i e e e ) 0 ii) 8 iii) 4 0 iv) Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 4 i) ii)5 95 iii) 5 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 5 - =0-5 + β) + 5 =00 γ) =9 δ) = Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

19 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) = β) 5 - -= γ) = δ) + =9 χ- ε) = ζ) = η) = Να λυθούν οι εξισώσεις. α) 4 γ) = +4=0 β) δ) =0 - = 0.. Να λυθούν οι εξισώσεις. i) ii ) iii) iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 6 ii iii iv 4 ) 4 0 ) ) v)7 5.Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 ) i 5 4 ii) ) iii ) iv 54 v) Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

20 . Να λυθούν οι εξισώσεις : α) =4094 β) =6 8 γ) 4. + =7 4. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 5 ημχ-ημχ = β) ημχ +8 -ημχ =6 γ) 4 ημ χ +4 συνχ =5 δ) ημχ +7 -ημχ = ε) e συνχ + e -συνχ = 5. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 7-5 < ε) Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα > β) < ζ) > 5 - γ) 5+ > δ) 7 7 η) 75 >5 +6 > θ) >0 6. Να λυθούν οι ανισώσεις: )8 4 ii) iii) 4 iv) i 4 8 ) v)6 4 vi) 8 5 vii) viii) e e i 9 )e e e e 7.Να λυθούν οι ανισώσεις: i)5 <5 ii) iii) iv) Να λύσετε τις ανισώσεις : i) e e 0 ii) iii)

21 9. Να λύσετε τις ανισώσεις: i ) ii)9 0 iii) iv) Να λύσετε τις ανισώσεις: 7 45 i)5 5 ii iii ) 9 ) 4 8 iv)9 7.Δίνεται η συνάρτηση f Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f..δίνεται η εξίσωση: f( ) Α)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f. Β)Να δείξετε ότι 0 0 f (0) Γ)Να λύσετε την εξίσωση 0 0 f (0). Να λύσετε την ανίσωση : Να λύσετε την ανίσωση : ημ συν Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Α)Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Β)να λύσετε την ανίσωση: 6. Να λυθούν τα συστήματα : α) +5 y =4 β) - y =7 9 5 y = y =75 γ) 4 y- = δ) y =54 + y-4 =7 y =4 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

22 ε) - y+ =5 ζ) 4 - y- =8 y - - = - y-4 = 7.Nα λυθούν τα συστήματα: α) 4 8 y =56 β) 5 4 y+ = y = =69 γ) =8 y+ 9 y = y = Να λυθούν τα συστήματα: y y i) ii) y y y y 8 iii) iv) y y v) y 8 y y 8 4 y 5 vi) 4 5 y 9 9.Να λύσετε τα συστήματα: y y 5 4 i) ii) 5 iii) y y 4 y Να λύσετε τα συστήματα: y y y 5 y i) ii) iii) y y y Δίνεται η συνάρτηση f()=e. Δείξτε ότι για κάθε, R με ισχύει f( )+f( )>f. 4. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 8 χρόνια, δείξτε ότι η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση είναι:q(t)=q 0 8. t Π.4. Δίνεται η f ln ln Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

23 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λυθεί η εξίσωση f Π.44. Δίνεται η συνάρτηση : συν 4ημ f α α 4α i) Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση f αν 0 α α 4α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ.Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) με. Α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : g ( ) και h()= μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Β)Ποια είναι η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g και ποια της γραφικής παράστασης της h; 8 4.α) Δίνεται η συνάρτηση a : 0, με a a,α 0,, Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης f ( ) a αιτιολογώντας την απάντησή σας. Β)Να λύσετε την ανίσωση 5..Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) a για κάθε και α,β Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,) Α)Να αποδείξετε ότι α=5 και β=-7 Β)Να βρείτε το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y y Γ)να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ)να λύσετε την ανίσωση f Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 0 -

24 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ Γενικά η λύση της εξίσωσης : () όπου α 0 με α και θ 0 είναι μοναδική, αφού η εκθετική συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και το θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Την μοναδική λύση της (), ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α και τη συμβολίζουμε : f α α θ log θ α Δηλαδή όταν είναι α 0 με α και θ 0, ισχύει η ισοδυναμία : α θ logα θ Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να διατυπώσουμε ότι : Ο λογάριθμος με βάση α του θ logα θ, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε το α, για να πάρουμε το θ. Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα : log9 διότι 9 6 log 4 διότι log0 0,000 4 διότι 0 0,000 log 9 4 διότι 4 9 Σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε, αν α 0 με α για κάθε και για κάθε θ 0, έχουμε: και logα θ logα α α θ Μη ξεχνάτε: α θ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

25 Ακόμη επειδή 0 α και α α και, ισχύουν : logα 0 α log α Ιδιότητες των λογαρίθμων. Για α 0 με α, για οποιουσδήποτε θ,θ,θ 0 και για κάθε k, ισχύουν:. logα θ θ logα θ logα θ Απόδειξη: Έστω ότι είναι : logαθ και logαθ y () από τις οποίες προκύπτουν : y α θ και α θ Πολλαπλασιάζοντας αυτές κατά μέλη, έχουμε: α α θ θ α θ θ y y Από την παραπάνω σχέση, σύμφωνα με τον ορισμό του λογαρίθμου, έχουμε : logα θ θ y από την οποία λόγω των ισοτήτων (), προκύπτει: logα θ θ logα θ logα θ θ. logα logα θ log θ θ Η απόδειξη γίνεται όπως και στην προηγούμενη ιδιότητα, με συνέπεια να έχουμε: θ log log θ log θ α α θ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

26 k. logαθ Απόδειξη: k log θ α Έστω ότι : Αυτό σημαίνει: Σύμφωνα με τον ορισμό, έχουμε: logα θ () k k α θ α θ log θ με συνέπεια από την (), να προκύπτει: α k k log θ α k k log θ α Δεκαδικοί λογάριθμοι. Όταν η βάση του λογαρίθμου ενός θετικού αριθμού θ είναι το 0, τότε λέμε ότι έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο του θ ή απλά τον λογάριθμο του θ και συμβολίζουμε: logθ Φυσικά ισχύει η ισοδυναμία: log θ 0 θ Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα: log000 διότι log0,000 4 διότι 0 0,000 Φυσικοί λογάριθμοι Είναι γνωστός ο αριθμός e και η χρησιμότητα του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Εξίσου χρήσιμοι είναι και οι λογάριθμοι με βάση τον e, που ονομάζονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι και για κάθε θετικό αριθμό θ, συμβολίζονται ln θ. Δηλαδή έχουμε: ln θ e θ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

27 Λογαριθμική συνάρτηση Θεωρούμε τον α 0, α. Γνωρίζουμε ότι για κάθε 0, ορίζεται ο αριθμός με τύπο: logα. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε 0, αντιστοιχίζεται ο, επομένως έχουμε τη συνάρτηση : logα f : 0, f log α Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση το α. Επειδή ισχύει η ισοδυναμία : y logα y α () Αν είναι α για τη συνάρτηση y logα έχουμε να παρατηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα στο σημείο A,0 και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα του yy. Είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή ισχύει: αν τότε ισχύει logα log α Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα που ακολουθεί, είναι logα 0 αν 0 και log 0 αν α Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

28 Αν είναι 0 α τότε για τη συνάρτηση παρατηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0, y log α, έχουμε να Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχει γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα του yy. A,0 Είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή ισχύει: αν log log. α α Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα, έχουμε: αν 0 και logα 0 αν log 0 α, τότε είναι Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, ισχύει:, τότε είναι και logα logα αν Από την συνεπαγωγή αυτή με την απαγωγή σε άτοπο, καταλήγουμε στην ισοδυναμία: y log log y α α Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 5 -

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι : i) log4 log0 log ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln ΛΥΣΗ i) 80 log 4 log 0 log log 4 0 log log80 log8 log log0 8 ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln 4 ln 7 ln 6 ln 4 ln 7 ln 6 6 ln ln ln 6 ln ln ln 6 ln ln 9 ln 6 8 ln 9 ln 6 ln8 ln 6 ln ln 6. Έστω η συνάρτηση 5 f ln 5. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. ΛΥΣΗ i) Πρέπει Άρα A 5,5 ii) Για κάθε A είναι α) A β) f ln ln ln ln f Άρα η f είναι περιττή. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

30 . Να λύσετε τις εξισώσεις : i) log log ii) log log iii) log log log 4 log iv) ln ln ΛΥΣΗ 0 i) Πρέπει: 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφεται : log log log: 0 0 (δεκτή). 0 ii) Πρέπει: 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφεται : log log log log0 log log: log log iii) Πρέπει: (δεκτή) , Η δοσμένη σχέση γράφεται :, 4 log log log 4 log log log (). 4 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 7 -

31 4 0 Οι ρίζες της () είναι : (δεκτή) ή (δεκτή). () iv) Πρέπει να είναι: 0 0, και η δοσμένη γράφεται: ln 0 (απορρίπτεται) ln ln ln ln ln 4 4 (δεκτή) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) log0 log5 log 4 ii) iii) log 9 ΛΥΣΗ i) Πρέπει: log 4 4 log log log 4 log log 4 log log 4 log log 4 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: α 0 0 log0 log 5 log 4 log log 4 log log α α * α 4 άρα 4 (δεκτή) 7 6 α άρα (άτοπο) (*) Είναι : log 46 log 4 log 4 ii) Πρέπει: 0 log log log log log 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 8 -

32 log log log () Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : log 4 4 log log 4 4 log log log 4 4 log α α α * α 4 άρα 4 (δεκτή) 5 α άρα (άτοπο) (*) Είναι : log6 log log 5. Δίνονται οι συναρτήσεις : f ln e e και g ln ln e i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους ii) Να λύσετε την εξίσωση: f iii) Να λύσετε την ανίσωση : f g g (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00) ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f ln e e ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: e e 0 e e 0 Θέτοντας e y 0, η προηγούμενη ανίσωση γράφεται : y y 0 () Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι : Επομένως η () ισχύει και κάθε y. Άρα και η ανίσωση : e e 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

33 ισχύει για κάθε συνάρτησης f είναι :. Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της A Η συνάρτηση g ln ln e ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει : 0 e 0 e e e Δεδομένου ότι η συνάρτηση e είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει: 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, είναι : A 0, ii) Από τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g προκύπτει ότι οι ρίζες της εξίσωσης : f g () πρέπει να περιέχονται στο A 0,, αφού πρέπει να έχουν νόημα και οι δύο συναρτήσεις. Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες : f g ln e e ln ln e ln e e ln e e e e e 5e 6 0 e 5e 6 0 Θέτοντας e ω 0, προκειμένου να λύσουμε την προηγούμενη, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση : ω 5ω 6 0 της οποίας οι ρίζες είναι : ω ή ω Επομένως οι ρίζες της (), είναι : Για Για ω e ln ω e ln Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 0 -

34 iii) Παρατηρούμε ότι για κάθε 0 ισχύουν οι ισοδυναμίες: f g ln e e ln e ln e e ln e e e e Η e είναι γνησίως αύξουσα. e e 9e 9 8e 4 8e 6e 6 0 e e 0 Θέτοντας e ω 0, έχουμε την ανίσωση : ω ω 0 4 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου ω ω 4 είναι : Επομένως έχει τις ρίζες: ω, Άρα οι λύσεις της (), είναι : ω ω ω Συνεπώς οι τιμές του που ικανοποιούν την ανίσωση f g είναι : e ln ln ln ln Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα Επειδή πρέπει 0, συνεπάγεται ότι οι λύσεις της ανίσωσης : f g είναι : 0 ln Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

35 6. Να λυθεί η ανίσωση: log log 5 (). ΛΥΣΗ Οι ρίζες της ανίσωσης (), πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες : 0 ή Για τον προσδιορισμό των λύσεων του παραπάνω συστήματος, μας βοηθά η ευθεία των πραγματικών αριθμών: - 5 Άρα οι λύσεις του παραπάνω συστήματος, επομένως και οι τιμές του που μπορούν να ικανοποιούν την (), είναι : ή 5 () Η βάση του λογάριθμου είναι 0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι αύξουσα, με συνέπεια ισοδύναμα της () να έχουμε : ή Από τις λύσεις αυτές θα κάνουμε δεκτές εκείνες που ικανοποιούν και τις συνθήκες (). Η επιλογή θα γίνει και πάλι με την βοήθεια των πραγματικών αριθμών: Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι : ή 5 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

36 log 7.i) Να υπολογίσετε τον αριθμό 00 log log log ii) Να λύσετε την εξίσωση: 00 0 ΛΥΣΗ i) Έχουμε: log log log log log ii) Πρέπει 0, οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται: i) log log log log log log log () Θέτουμε στην σχέση () log t, οπότε η επιλύουσα της () είναι : t t 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : και οι ρίζες είναι : t δίοτι t 0) Έτσι είναι : log t log 0 0. (Η τιμή t απορρίπτεται 8. Να λύσετε την εξίσωση : log 00. ΛΥΣΗ Πρέπει 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι : log t log00 t 00t log t 00t log t log t 00 log t t log t log t log t log t log t log t log t 0 () Θέτουμε log t ω, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : ω ω 0 () Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

37 Το τριώνυμο της σχέσης () έχει διακρίνουσα : και ρίζες: ω 4, οπότε έχουμε τις λύσεις : ω log t t (δεκτή) Αν 9 Αν ω log t t 0 t (δεκτή) 9. Να βρείτε τον θετικό αριθμό ώστε να ισχύει: 5 ν log log log... log ν ΛΥΣΗ 5 ν Είναι : log log log... log ν 5 ν 5 ν ν log ν ν ν ν ν Σημείωση Υπολογισμός του αθροίσματος : 5... ν () Αν ο όρος ν κατέχει την κ τάξη, τότε: α α κ ω ν κ ν κ ν κ ν κ κ Δηλαδή το πλήθος των όρων στο άθροισμα () είναι ν. ν Άρα : 5... ν ν ν ν ν. log y log 0.i) Να αποδείξετε ότι y με, y 0. ii) Να λύσετε το σύστημα: log y log y 0 log y iii) Αν οι λύσεις του ii) είναι ρίζες της εξίσωσης: * log log log θ 0 0 να βρείτε το θ. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

38 ΛΥΣΗ i) ος Τρόπος log y Έστω ότι : log y log y log log log y log y log log log y (αληθής). ος Τρόπος Είναι : log log y log y log y logy logy logy log y log y y y y. ος Τρόπος Έστω ότι : t log t 0 () Τότε: α log y α 0 y () () log y t α αt 0 0 () log α t αt y 0 0 log y y log ii) Πρέπει 0 και y 0 log y log log y log y i) log y y () log y log y log0 y 0 Η σχέση () γράφεται : y 00 () () log 00 log y log00 log log log log log0 log log log log log 0 log 0 log 0 Η σχέση () για 0 δίνει : y 0. Άρα, y 0,0. iii) Για 0 η δοσμένη εξίσωση γράφεται: log log 00 0 log θ 0 0 log log 00 0 log θ 0 log log 00 0 log θ 0 log 00 0 log θ 0 log log θ log θ 0 log θ θ 0 θ 00 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 5 -

39 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ a.αν 0 και θ>0 ισχύει η ισοδυναμία log a a Σ Λ.Αν 0 ισχύει ότι:log a Σ Λ a a a a log a.αν 0 ισχύει ότι: Σ Λ 4.Αν 0 ισχύει ότι: log a Σ Λ 5.Αν 0a ισχύει ότι: log a Σ Λ 6.Ισχύει ότι i) log ln eγια κάθε χ>0 Σ Λ ii) log a a ln e για κάθε χ>0 Σ Λ iii) log0 Σ Λ iv) log e Σ Λ 0 v) log log e e Σ Λ 7.Αν <yτότε log<logy Σ Λ 8.Αν <yτότε ln>lny Σ Λ 9.Αν <yτότε log log y Σ Λ 0.Αν <y τότε log log y Σ Λ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 6 -

40 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε ότι: α) log +log-log=log β) log 6+ log Να αποδείξετε ότι : i) log log log ii)log log 6 log 5log 0 log 40 log 0 iii) log 50 log 8=log+log.Να υπολογίσετε τους λογάριθμους: e a) log ln e β)ln log0 γ)e δ)0 000 ln log5 4. Να υπολογίσετε τους λογάριθμους: 0 0 e e i) log ln e ii)log ln e iii)ln log0 iv)ln log0 5.Να αποδείξετε ότι: i log )0 5 log 4 ii)4 6 iii iii) iv log5 4 )5 00 ln 9 ln 4 ln 5 log8 )7 8 ln 6 ln 5 6.Δείξτε ότι: log+log( +)+log(+ )+log(- )=log 7.Δείξτε ότι: Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 7 -

41 i) log log log log log ii) ln ln 6 ln 6 0 iii) log log Δείξτε ότι: α) log00=log+log5 β) log 5 log 7 log log5 log 9. Δείξτε ότι οι αριθμοί α, 8 a,β με α,β>0 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου όταν και μόνο όταν οι αριθμοί logα, log είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. a,logβ 0. Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f()=α και την λογαριθμική συνάρτηση g()=log α χ, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο α) (,9) β) (-4, ) γ)(,-) δ) (-5,-6) 7 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α) f ln β) f log γ) δ) f ln 8 ε) f ln e στ) f ln 5 e f ln e.δίνεται η συνάρτηση : f log Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Β)Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή..να λυθούν οι εξισώσεις: i) log 00 ii)ln+ ln6 ln( ) ln0 iii) log log iv) ln ln 4 v) log 4 log log 4 log Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 8 -

42 4.Να λυθούν οι εξισώσεις: i)5 ii) log log log iii)log log iv)log log log 4 log ln v)ln 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log( -)=log(+5) β) log( +)-log(+)=log γ) log(-)+log(-)=log δ) log-log4=log(+)- 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) γ) log(+4)=-log log(-)=log-log ε) ln+ln(+5)=ln50 β) log( +6)-log=log5 δ) log9+log=log+log 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ln ln 9 0 ii)log 6 log( ) log iii) log 64 log( 4) iv)log 0 log 4 0 v) 4 ln ln 4 ln ln 4 vi) 5 vii 4 log log log ) 0 viii)4 8.Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) ln e e e 6 Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Β)Να λυθεί η εξίσωση f( ) ln Γ)Να λυθεί η ανίσωση f ln 6 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

43 9.Να λύσετε τις εξισώσεις: )ln ln 5 )ln ln 0 )ln 4 ln ln )ln ln )ln ln ln 5 ln 0.α. Να λυθεί η εξίσωση ; Β.Να λυθεί η ανίσωση: ln ln ln ln Να λυθούν οι εξισώσεις: α) β) log(+)=-log 5 log(+)+log =+log. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln ln β) ln ln ln 4 γ) log log δ) log 9 log ε) log log log.δίνονται οι συναρτήσεις: ln f 7 και g ln 7 Α. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g Β.Να λυθεί η εξίσωση f g Γ.Να συγκριθούν οι αριθμοί f 7 και g7 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) log 0 β) log log 0 γ) 4ln 0 δ) log 5log 0 5.Nα συγκριθούν οι αριθμοί: α) log(-4) και log(-) β) log(+ ) και log. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 0 -

44 6. Δίνεται η συνάρτηση: f Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β.Να λυθεί η εξίσωση f ln ln 5 Γ.να λυθεί η ανίσωση 7. Δίνεται η συνάρτηση log5 log log6. f( ) ln Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f (0), f f Δ)Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ( ) 0 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log + 5-log = β) log + 4 log =5 γ) log- = δ) +log =0 ε) log- =00 9. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln ln ln 4 e 0 β) γ) ημ ημ ημ συν ημ ln ln ln ln δ) Να λυθούν οι εξισώσεις: i log log ) log 56 log 4 ii) iii)log log 0 iv) log log log log 0 v) log log vi) log vii)log 00 log 0 4 log log viii) log log i)5 ) log log log log. Να λυθούν οι εξισώσεις : log 54 4 log log a) β) 5 5 4log log log log log5 00 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

45 .Δίνεται η συνάρτηση : e f ln e 5. Να βρεθούν Α.το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β. οι τιμές, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο 8 Bln 4,ln 9 Γ.οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα... Να λύσετε τις εξισώσεις : i) log log 4 ii)ln ln 4 8ln iii) log log iv)log+log 4 log 4 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: log 7 log log 4 log i ) 0,0 ii) 00 iii) 0 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: log log log i) 0 ii) iii) Δίνεται η συνάρτηση f e ln e Α.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β.Να λυθεί η εξίσωση f ln Γ. να λυθεί η ανίσωση f 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i)5 ii) 5 ln log iii) e ln iv) 00 8.A.Να βρεθεί η τιμή του a, ώστε το πολυώνυμο P a a να έχει παράγοντα το. Β.να λυθεί η εξίσωση : ln ln ln,θ 0, Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

46 9.Αν σε μια αριθμητική πρόοδο ο πρώτος όρος είναι και ο δεύτερος όρος της είναι a log8 τότε : Α) να βρείτε την διαφορά ω. log log Β) Να λύσετε την εξίσωση : log 40. Δίνεται η συνάρτηση 4 f ( ) alog 8log log 00, >0, α Α) Αν f (0) 5 να αποδείξετε ότι α= Β) Για την τιμή α= i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση γράφεται στη μορφή f ( ) log 4log ii) Να λύσετε την εξίσωση f()=0 4.Δίνεται το πολυώνυμο a v P 4 Α)Να κάνετε τη διαίρεση του P() με το Β)Να λύσετε την εξίσωση Ρ()=0 Γ)Να λύσετε την εξίσωση : ln 4ln ln 8 4.Να λύσετε τις ανισώσεις: i) log ii)log 0 iii) log 5 iv)ln ln Να λύσετε τις ανισώσεις: i) log log ii) ln ln ln 7 iii) ln ln ln ln iv )log log Να λυθούν οι ανισώσεις : α) log+ <0 5 β) log[log( -4-)] 0 γ) log[log( -)]>0 δ) log Να λύσετε τις ανισώσεις : α) log log β) ln ln γ) ln 5ln 6 0 δ) ln ln a log Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

47 46. Να λύσετε τις ανισώσεις : i lo e ln 5 ) log ii) iii)ln log 5 0 iv ) log 9 log log 0 0 v)ln e 4 vi)ln+ln ln 7, 4 ln 4 vii)ln ln viii) e i) Να λυθούν τα συστήματα: α) log-logy=log β) log+logy= log(-y)= 9 -y y =8 γ) logy =00 δ) log +5 logy =4 y=000 9 log -5 logy = Να λυθούν τα συστήματα: α) log-logy=log β) log+logy= log(+y)= log -logy 4 = γ) +y=65 δ) log(y)= log+logy= log-logy= ε) log + logy = ζ) log - logy = 9 log -4 logy =77 4 log +9 logy =5 49. Να λυθούν τα συστήματα: α) log y 000 log log y 4 β) y y log log y Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

48 50. Να λυθούν τα συστήματα: 4 log log y log y y i) ii) iii) y 40 log log y 0 y 0 log y 4 log y log log y log y 0 y 00 iv) v) log y log 4 log y y y 5. Nα λυθεί η εξίσωση: log[log(0 - +)+]=log+log 5. α) Αν,y>0,δείξτε ότι logy =y log β) Να λυθεί το σύστημα: logy +y log =0 log = y 5. Να λυθεί η εξίσωση: log log8 log78 log 54..Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) alog 4 8log log 00 για την οποία ισχύει f(0)=5. Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β)Να αποδείξετε ότι α= Γ)Να βρείτε τα κοινά σημεία της με τον άξονα. 55. Να λυθούν οι εξισώσεις: i )log 8 6 ii)4 iii)log 8 iv) log 9 log 56.Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( ) ln e και g ln Α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων fκαι g. Β)Να λύσετε τις ανισώσεις f()>0 και g()<0 Γ)Να συγρίνετε τους αριθμούς f (ln ) και g e C f Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 5 -

49 Δ)Να λύσετε την εξίσωση f f g e 57.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) log Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β)Να υπολογίσετε τον αριθμό ( ) ( ) log 6 Γ)Να λύσετε την εξίσωση f f log Δίνεται η συνάρτηση f e e ( ) ln Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να λύσετε την εξίσωση f()=0 59.Δίνεται η συνάρτηση f Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β)Να λυθεί η εξίσωση f()=0 Γ)Να λυθεί η ανίσωση e f ln ln ln 0 60.Δίνεται η συνάρτηση f ln 4 Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f() Β)Να λυθεί η εξίσωση : f ln ln 6.Δίνεται η συνάρτηση : f ln e Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β)Να δείξετε ότι f(ln) f ln Γ)Να λυθεί η εξίσωση f ln Δ)Να λυθεί η ανίσωση f ln e 6.Έστω η συνάρτηση f ln e 5 Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β)Να λυθεί η εξίσωση f( ) ln Γ)Να λυθεί η ανίσωση f 0 6.Έστω η συνάρτηση f ln e Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β)Να λυθεί η εξίσωση f ln 4 Γ)Να λυθεί η ανίσωση f Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 6 -

50 64.Έστω η συνάρτηση f ln Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β)Να λυθεί η ανίσωση : f f ln 4 65.Έστω η συνάρτηση f ln 4 Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β)Να μελετήσετε την f() ως προς την μονοτονία της. 4 Γ)Να λυθεί η εξίσωση f ln e 66.Έστω οι συναρτήσεις log 4 f 4 και g log Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της κάθε μιας συνάρτησης. Β)Να λυθεί η εξίσωση f g Γ)Να βρεθεί η διαφορά g f 67.Έστω η συνάρτηση f log 4 8 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να λύσετε την εξίσωση f log log 68.Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο log 4 f Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να αποδείξετε ότι : f log log Γ)Να λύσετε τη ανίσωση f( ) log Δίνεται η συνάρτηση f ln Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f() Β)Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f() είναι πάνω από τον άξονα χ χ. Γ)Να λυθεί η εξίσωση f ln ln 4 ln 70. Δίνεται η συνάρτηση φ f ln Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β)Να λύσετε την εξίσωση f ln Γ)Να λύσετε την ανίσωση f e Δ)Να δείξετε ότι αν 0<< τότε f()>0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 7 -

51 7.Δίνεται η συνάρτηση f log Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β)Να λυθεί η εξίσωση : f()= Γ)Να λυθεί η εξίσωση : f()=0 Δ)Να λυθεί η εξίσωση : log f 0 Ε)Να λυθεί η εξίσωση : f 4 log 6 στ)να βρεθεί ο ώστε η γραφική παράσταση της f να βρίσκεται πάνω από τον χ χ. 7.Έστω η συνάρτηση f ln Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β)Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. Γ)Να λυθεί η εξίσωση f f 0 Δ)Να λυθεί η εξίσωση f ln Ε)Να βρεθούν οι τιμές του ώστε η τον άξονα. C f να βρίσκεται πάνω από 7.Έστω η συνάρτηση f log log Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Β)Να λυθεί η εξίσωση 74.Έστω η συνάρτηση 0 f f f Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β)Να δείξετε ότι Γ)Να λυθεί η ανίσωση log log f f f f 4 75.Έστω η συνάρτηση f ln e Α)να βρεθεί τα πεδίο ορισμού της f Β)Να μελετήσετε την f() ως προς την μονοτονία της. Γ)Να λυθεί η εξίσωση f ln 7 f ( ) Δ)Να δείξετε ότι f f a f αν και μόνο αν a e e e Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 8 -

52 76.Δινεται η f ln Α)να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β)Αν g ( ) Γ)Να αποδείξετε ότι : να αποδείξετε ότι f g e για κάθε i) f f ln 4 ii) f f... f ln 77.Δίνεται η συνάρτηση f log Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β)Αν 0a έχει ρίζες τις =0 και βρείτε τα α,β. Γ)Να βρεθεί ο αν log log a A f να 78.Δινεται η συνάρτηση f ln a 5ln a, α>0 Α)Αν το - είναι παράγοντας της f() να βρεθεί ο α. Β)Για α=e i)να δείξετε ότι το είναι παράγοντας της ii)να βρεθούν τα διαστήματα για τα οποία η από τον άξονα. log Π.79.i) Να αποδείξετε ότι: 00 log ii) Να λύσετε την εξίσωση: log log 00 0 C f C f βρίσκεται κάτω Π.80 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln e και g ln 5e. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των f και g ii) Να λύσετε την εξίσωση f g Π.8. Α. Να λυθούν οι ανισώσεις i) ln ln 0 ii) ln ln 0 Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ln ln ln ln Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

53 Π.8. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f log 4 log i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν τέμνει τον άξονα ψψ iii) Να λύσετε την εξίσωση f 0 Π.8. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: f ln e e και g ln ln e. Β. Να λύσετε την εξίσωση f g. Π.84. Να λυθεί η εξίσωση : log log 4. ν Π.85. Δίνεται η ακολουθία αν, 0 i) Να υπολογιστεί το άθροισμα Sν ln α lnα... lnα ν ii) Να λυθεί η εξίσωση Sν ν ln Π.86. Ο τρίτος όρος μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) είναι α η διαφορά της είναι ω log5. i) Να δείξετε ότι ο πρώτος όρος α είναι.605 με τη διαφορά ω. ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα A α α... α 9. Π.87. Δίνεται η συνάρτηση f ln ln, όπου πραγματικός log5 και αριθμός. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii) Να βρείτε σε ποια σημεία η συνάρτηση f τέμνει τους άξονες και yy. iii) Να λύσετε την ανίσωση f f e. Π.88. Δίνεται η συνάρτηση f ln ln 5. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii) Να λυθεί η εξίσωση f iii) Αν 6 να λυθεί η ανίσωση f Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

54 Π.89. Δίνεται η συνάρτηση : f log 4 8. i) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η συνάρτηση. ii) Να λύσετε την εξίσωση: f log7 log. Π.90. Α. Να λυθεί το σύστημα : 8 y 9 y 9 Β. Να λυθεί η ανίσωση : log 6 log 4. Π.9. Δίνονται οι συναρτήσεις: f log και g log log Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f Β. Να λύσετε την εξίσωση f g. και g. Π.9. Αν f ln ln, να λυθεί η εξίσωση 0 f f. Π.9. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων log0 log5 log 4 και ln log e 0. 5 Π.94. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α ln 4 και α ln 4. i) Να βρείτε την διαφορά ω της προόδου. ii) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων της, δίνεται από τον τύπο Sν ν ln. Π.95. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f log 5 6 log Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ. Για λ = 5, να λύσετε την ανίσωση e λ e 6 0. α ν λ 0. Π.96. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ln 5ln 6. Β. Να λυθεί η εξίσωση : log log log... log log 00. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

55 Π.97. Δίνεται η e f ln e 5. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να λυθεί η εξίσωση f ln. ii) Να λυθεί η ανίσωση f 0. Π.98. Έστω f ln g 5, g 5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. 6 iii) Να λυθεί στο η εξίσωση : g g 4 g 6...g 0,04. Π.99. Α. Να λυθεί η εξίσωση : log log log. Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : f 4 log 4 5. Π.00. Έστω η συνάρτηση f log και η ευθεία ε : y log. Α. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του για τις οποίες ορίζεται η f. Β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας (ε Π.0. Έστω η f με f log 0, i) Να αποδείξετε ότι f log για κάθε. ii) Να αποδείξετε ότι f log log. iii) Να λύσετε την εξίσωση: f. Π.0. Να λύσετε την εξίσωση : 00 log Π.0. Δίνεται η συνάρτηση : f ln. Α. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Να λύσετε την εξίσωση: f ln 4. Β. Να λυθεί η ανίσωση : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

56 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ.Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) ln( ), > Α)να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) ln Β)Σε ποιο σημείο τέμνει η γραφική παράσταση της f τον άξονα χ χ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας; Γ)ποια είναι η ασύμπτωτή της C.Α)να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση: A ln ln( 6) Β)Να λύσετε την εξίσωση:.να λύσετε την : Α)εξίσωση Β)ανίσωση: ln 8 ln 7 ln 8 ln 7 f ln ln( 6) ln 49 4.Δίνεται η συνάρτηση f e e ( ) ln. Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να λύσετε την εξίσωση f( ) 0 5.Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) ln Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να λύσετε την εξίσωση f( ) 0 6.Δίνονται οι συναρτήσεις: f Α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Β)Να λύσετε την εξίσωση f ( ) g( ) ( ) ln( 4) και g()=ln+ln4 7.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( ) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να βρείτε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες και y y. Γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της y ln Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

57 8.Δίνονται οι συναρτήσεις : f ( ) ln e και g()=ln Α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. Β)Να λύσετε τις ανισώσεις: f( ) 0 και g()<0 Γ)Να συγκρίνετε τους αριθμούς f (ln ) και g e Δ)να λύσετε την εξίσωση: f ( ) f ( ) g e 9.Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) ln e Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ln Γ)Να λύσετε την ανίσωση : f ( ) ln 0.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( ) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να λύσετε την εξίσωση : f e f e Γ)Να λύσετε την ανίσωση: f e f e.δίνεται η συνάρτηση: ( ) ln ( ) ln ( ) log 4 f 5 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να λύσετε την εξίσωση f( ) log log 7 Γ)Να λύσετε την ανίσωση: f( ) log log 7.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) log( ) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης log 6 Β)Να υπολογίσετε τον αριθμό 00 ( ) log 6 Γ)Να λύσετε την εξίσωση : f f.δίνεται η συνάρτηση ln( ) f( ) ln( 5) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β)Να λύσετε την εξίσωση f( ) Γ)Αν >6, να λύσετε την ανίσωση f( ) 4.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( e ) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

58 Β)Να λύσετε την ανίσωση : f ( ) f ( ) Γ)Να λύσετε την εξίσωση : f ( ) f ( ) στο 0, 5.Δίνεται το πολυώνυμο : P( ) 5 8 a,α Α)Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το -, να βρείτε το α. Β)Για α=-8 να λύσετε την εξίσωση P ( ) 0 Γ)Να λύσετε την εξίσωση : ln 8 ln 5 6.Δίνεται το πολυώνυμο : P( ) a 6 α,β Α)Να υπολογίσετε τις τιμές των α και β, ώστε το πολυώνυμο P() να έχει παράγοντα το + και η αριθμητική τιμή του για = να είναι ίση με. Β) Για α=- και β= i) να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του πολυωνύμου P() με το -. ii) να λύσετε την ανίσωση : P( ) 4 iii) Να λύσετε την ανίσωση: P(ln ) ln 4 7. Σε ένα πείραμα εργαστηρίου ο αριθμός των βακτηρίων δίνεται από τον τύπο: P( t) 00e ct, όπου t o χρόνος σε ώρες από την αρχή του πειράματος. Σε μια ώρα ο αριθμός των βακτηρίων ήταν 8. (Δίνεται ln,64 0,5 και ln0,) Α)Να βρείτε τον αριθμό των βακτηρίων όταν ξεκίνησε το πείραμα Β)Να αποδείξετε ότι c= Γ)Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο ο αριθμός των βακτηρίων είναι μεγαλύτερος από το δεκαπλάσιο και μικρότερος από το εκατονταπλάσιο της αρχικής τους τιμής. 8.Σε μια περιοχή της ευρωπαϊκής ένωσης, λόγω των μέτρων που πάρθηκαν, ο πληθυσμός των αγροτών (σε χιλιάδες) μειώνεται ct σύμφωνα με τον νόμο της εκθετικής μεταβολής ( Q() t Q0e ). Ο αρχικός πληθυσμός ήταν 8 χιλιάδες αγρότες και μετά από δύο χρόνια έμεινε ο μισός. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

59 Α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που δίνει τον πληθυσμό μετά από t ln χρόνια είναι : ( ) 8 Β)Ποιος θα είναι ο πληθυσμός των αγροτών ύστερα από τέσσερα χρόνια; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Γ)Πόσος χρόνος θα έχει περάσει όταν ο αγροτικός πληθυσμός της περιοχής θα έχει μειωθεί στους χίλιους αγρότες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Q t e t 9.Μια ποσότητα ραδιενεργού υλικού (σε κιλά) θάβεται και με την πάροδο του χρόνου t (σε έτη) μειώνεται ακολουθώντας τον νόμο της ct εκθετικής μεταβολής ( Q() t Q0e ). Α)Αν γνωρίζουμε ότι μετά από δύο χρόνια έχει απομείνει το της Q t Q αρχικής ποσότητας, να αποδείξετε ότι () 0 Β)Αν μετά από τέσσερα χρόνια η ποσότητα που έχει απομείνει είναι κιλό, να βρείτε την αρχική ποσότητα που θαφτηκε. Γ)Να βρείτε μετά από πόσα χρόνια η ποσότητα που θα απομείνει θα είναι 8 κιλά. 0.Σε ένα ανοιχτό δοχείο υπάρχουν 0 lt ενός υγρού. Το υγρό εξατμίζεται έτσι, ώστε ο όγκος του να μειώνεται κατά 5% ανά βδομάδα. Α)Να βρείτε την ποσότητα του υγρού που υπάρχει στο δοχείο στο τέλος της ης και στο τέλος της ης εβδομάδας. Β)Ο όγκος του υγρού μετά από t εβδομάδες δίνεται από τη συνάρτηση: t V () t V0a, όπου V 0 και α σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε τους αριθμούς και α. Γ)να βρείτε πότε ο όγκος του υγρού που υπάρχει στο δοχείο είναι μικρότερος από το μισό της αρχικής του τιμής. V 0 t Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

60 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα