ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας

2 ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,.. } το σύνολο των ακεραίων αριθμών Q = m : m, n Z, n 0 το σύνολο των ρητών n αριθμών, δηλαδή το σύνολο των κλασμάτων R : το σύνολο των πραγματικών αριθμών Ν Ζ Q R

3 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R θεωρείται ότι συμπίπτει με το σύνολο των σημείων μιας απέραντης ευθείας, η οποία λέγεται η ευθεία των πραγματικών αριθμών ή ο άξονας των πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα, τα στοιχεία του υποσυνόλου Ζ σημειώνονται επί της πραγματικής ευθείας ως εξής:

4 Για την αλγεβρική παράσταση των σημείων του επιπέδου χρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο σύστημα δύο αξόνων. Οι κάθετες προβολές ενός σημείου Ρ του επιπέδου επί των δύο αξόνων ορίζουν δύο αριθμούς, y οι οποίοι λέγονται οι συντεταγμένες του σημείου Ρ, και ορίζουν αυτό μονοσήμαντα.

5 Το σημείο σημειώνεται επίσης ως (,y), δηλαδή Ρ = (,y). Αντιστρόφως, ένα τυχαία επιλεγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών ορίζει ένα σημείο Ρ = (,y) του επιπέδου y P

6 Πραγματικές συναρτήσεις. Έστω Α, Β κάποια σύνολα. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β είναι ένας κανόνας, βάσει του οποίου, σε κάθε στοιχείο Α αντιστοιχίζεται ένα μόνον στοιχείο yβ, το οποίο σημειώνεται επίσης ως f(). Το μονοσήμαντα ορισμένο αυτό στοιχείο λέγεται εικόνα του. O προηγούμενος ορισμός διατυπώνεται συμβολικά ως εξής: f : A B A f ( ) B

7 Αν Α,ΒR τότε η f λέγεται μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής (πραγματική συνάρτηση). Το λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Λέγεται επίσης, ότι η μεταβλητή y είναι συνάρτηση της μεταβλητής.

8 Παράδειγμα Σε κάποια χώρα ο προσδιορισμός του φόρου εισοδήματος γίνεται ως εξής: Οι πρώτες φορολογούνται με συντελεστή 5%, οι υπόλοιπες φορολογούνται με συντελεστή 10%, ενώ το υπόλοιπο κεφάλαιο φορολογείται με συντελεστή 20%. Επομένως, ο φόρος φ που αντιστοιχεί στο εισόδημα Ε είναι η εξής συνάρτηση του Ε: f ( E), 0 E

9 όπου 0.05, αν ( E ) ( 10000), αν ( 30000), αν 30000

10 Μετά την εκτέλεση των πράξεων, η έκφραση λαμβάνει την εξής τελική μορφή: 1, αν ( E ) -500, αν , αν Π.χ. σε κεφάλαιο Ε=22450 αντιστοιχεί φόρος

11 ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πεδίο ορισμού Α: το σύνολο των πραγματικών αριθμών, για τους οποίους η παράσταση f() έχει έννοια. π.χ. Για τη συνάρτηση είναι το σύνολο y Α = { R: -1 1}= [-1, 1] 1 2 το πεδίο ορισμού Το πεδίο ορισμού είναι συνήθως είτε διάστημα, είτε ένωση διαστημάτων.

12 Παράδειγμα 1 f ( ) 1 1 Πρέπει {-10 και +10} 1 και -1 Άρα το πεδίο ορισμού είναι Α={R/-1 και 1}

13 Ακόμη κάποιοι ορισμοί... y=f(), A, πραγματική συνάρτηση και A 1 A, Γνησίως αύξουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 )<f( 2 ), 1, 2 A 1 Αύξουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ), 1, 2 A 1 Γνησίως φθίνουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 )>f( 2 ), 1, 2 A 1 Φθίνουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ), 1, 2 A 1 Γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα γνησίως μονότονη συνάρτηση

14 f f ( 2 ) ( 1 ) f f ( 1 ) ( 2 ) Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση

15 Ακρότατα συνάρτησης Η f έχει ελάχιστο στο 0 όταν: f()f( 0 ) Α. Η τιμή f( 0 ) λέγεται ελάχιστο της f Η f έχει μέγιστο στο 0 όταν: f()f( 0 ) Α. Η τιμή f( 0 ) λέγεται μέγιστο της f Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ακρότατα της f στο 0

16 y y y= y = Ελάχιστο -30 Μέγιστο

17 Εξίσωση ευθείας y=α+β 20 y 20 y 3 y 10 y = y = y = α>0-20 α<0-3 α=0 α : κλίση της ευθείας ή συντελεστής διεύθυνσης β : το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει το άξονα y

18 Κάποιες βασικές συναρτήσεις Δυνάμεις y= ν y= y= 2 y ν=1 ν=2 ν=1/2 y= 3 y 1 ν=3 ν=-1

19 Κάποιες βασικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση y=e, R, e= y =e 1

20 Εκθετική συνάρτηση Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο πραγματικών. των Παίρνει γνήσια θετικές τιμές. Είναι αύξουσα, και μάλιστα οριακά αυξάνει ταχύτερα απ όλες τις θετικές δυνάμεις.

21 Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης Αν,yR τότε: e e y y 0 1 e e e 1 y y y e e e e 1 e e y e

22 Λογάριθμος Έστω >0.Τότε ορίζουμε ln ή log e ως τον αριθμό yr με την ιδιότητα e y = 1 y y ln e, 0, y y = ln

23 Λογάριθμος Έχει πεδίο ορισμού τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς Είναι αύξουσα αλλά αυξάνει πολύ αργά, πιο αργά απ όλες τις θετικές δυνάμεις.

24 Ιδιότητες λογαρίθμου Έστω,y>0 τότε Απόδειξη lny = ln + lny Θέτοντας ln =α και lny = β έχουμε =e α και y =e β. Άρα y = e α e β = e α+β. Επομένως, lny =lne α+β =α+β. 1 ln ln y y ln ln ln y y ln(y) ln y ln y ln ln y ln1 0 ln 0

25 Αλλαγή βάσης Εκτός από την νεπέρια βάση (e), η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση μπορούν να οριστούν και ως προς οιαδήποτε γνήσια θετική βάση α 1, συνήθως α>1. Οπότε μπορούν να οριστούν οι συναρτήσεις: α : εκθετική με βάση α log α : λογαριθμική με βάση α

26 Αλλαγή βάσης Ισχύει y a log a y α log a y y log a Η εκθετική ή λογαριθμική συνάρτηση με βάση α μπορεί a e πάντα να εκφραστεί με βάση e : ln a, log a ln ln a

27 Πολυωνυμικές συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού R καλούνται οι συναρτήσεις της μορφής : f()=α o +α 1 1 +α α n n, με α n 0 Ο βαθμός (degree) του πολυωνύμου καθορίζεται από τον όρο με την μεγαλύτερη δύναμη

28 Πολυωνυμική συνάρτηση 1 ου βαθμού Γραμμική συνάρτηση f()=α+β Πολυώνυμο 2 ου βαθμού Τετραγωνική ή παραβολική συνάρτηση f()=α 2 +β+γ, α 0 Πολυώνυμο 3 ου βαθμού κυβική συνάρτηση f()=α 3 +β 2 +γ+δ, δ 0

29 Σύνθεση συναρτήσεων Η σύνθεση δύο συναρτήσεων, των f() και g(), ορίζεται ως εξής: f(g()) ή f ० g() ή (f ० g)() Δηλαδή στην f() αντικαθιστούμε το με την g() Παράδειγμα 1) Αν f() = 2 και g() = -1 τότε f(g()) = (-1) 2 1) Αν f() = 2 +1 και g() = ln τότε g(f() = ln( 2 +1) 1) Αν f() = e και g() = 2 τότε f(g()) = e 2

30 Συνέχεια συναρτήσεων Γεωμετρική έκφραση της συνεχείας της y = f() Αν μια απειροελάχιστη μεταβολή Δ στο σημείο μπορεί να προκαλέσει μια ουσιώδη (όχι απειροελάχιστη) μεταβολή Δy του y η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο. Η απότομη μεταβολή του y εμφανίζεται ως μια διακοπή της συνέχειας του διαγράμματος της συνάρτησης. Συνεχής στο Ασυνεχής στο Η συνάρτηση f θα λέγεται συνεχής στο σημείο όταν Δ0 Δy0 ή όταν lim y 0 0

31 Παράγωγος Παράγωγος συνάρτησης συμβολίζεται: y' f '( ) dy d df ( ) d f ( ) y f ( ) f ( ) Το όριο lim lim 0 0 λέγεται παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο. Δείχνει για κάθε τιμή του ποια είναι η η αντίστοιχη μεταβολή του y αν μεταβληθεί οριακά η τιμή του. f () παριστάνει την στιγμιαία ταχύτητα μεταβολής της f στο σημείο, δηλαδή την ταχύτητα με την οποία η f τείνει να λάβει γειτονικές τιμές της. Η παράγωγος καλείται και (οριακός) ρυθμός μεταβολής της y ως προς το d d

32 Κανόνες παραγώγισης 2 3) ) ( 2) ) ( 1) g g f g f g f g f g f g f g f g f

33 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων f() f () c=σταθερά 0 1 ν ν ν-1 e e ln 1/ α α lnα 1 /(2 ) ημ συν συν -ημ f()=5 f ()=5 =0 f()= f ()= =1 f()= 4 f ()=4 3 f()=e f ()= e f()=ln f ()= 1/ f()=5 f ()= 5 ln5...

34 Παραδείγματα παραγώγων 1) f() = (f+g) =f +g f () = ( ) = = ( 3 ) + ( 2 ) + +1 = ) f() = e (f g) =f g+f g f() = (e ) = e + (e ) = 1 e + e

35 Παραδείγματα παραγώγων 1) f() = f () = ( ) = = ( 3 ) + ( 2 ) + +1 = ) f() = e f() = (e ) = e + (e ) = 1 e + e

36 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης f (g()) = (f ० g) () = f (g())g () Παραδείγματα Αν f() = 3 και g() = 2 + τοτε f(g()) = ( 2 +) 3 [( 2 +) 3 ] = 3( 2 +) 2 ( 2 +) = 3( 2 +) 2 (2+1) [f() α ] = αf() α-1 f () Αν f() = ln και g() = 3+1 τότε f(g()) = ln(3+1) ln [f()] = [1/(3+1)](3+1) = [1/(3+1)]3 ln [(f()] = [1/f()]f ()