Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Transcript

1 Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος

2 Κεφάλαιο 1o : Οι Φυσικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 1 Υποενότητα 1.1: Φυσικοί Αριθµοί ιάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση Θεµατικές Ενότητες: 1. Φυσικοί Αριθµοί - ιάταξη Φυσικών 2. Στρογγυλοποίηση Α. ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Οι αριθµοί 0, 1, 2, 3, 4, 5,, 98, 99, 100,, 1999, 2000, 2001, ονοµάζονται φυσικοί αριθµοί. Προφανώς, ο µικρότερος φυσικός αριθµός είναι το 0, ενώ δεν υπάρχει κάποιος που να είναι ο µεγαλύτερος, αφού είναι άπειροι. Το σύνολο των φυσικών αριθµών, δηλαδή όλοι οι φυσικοί, συµβολίζεται µε το γράµµα ΙΝ που προκύπτει από την λατινική λέξη Natura, που σηµαίνει φύση. Έτσι σηµειώνουµε: ΙΝ={0,1,2,3, }.Κάθε φυσικός αριθµός έχει έναν επόµενο κι έναν προηγούµενο, εκτός από το 0, που έχει µόνο επόµενο! Οι φυσικοί αριθµοί χωρίζονται σε δυο κατηγορίες: Τους ζυγούς ή άρτιους που διαιρούνται µε το 2, (0,2,4,6, 8 και όλοι όσοι καταλήγουν σε αυτούς). Τους µονούς ή περιττούς, (1, 3, 5, 7, 9 και όλοι όσοι καταλήγουν σε αυτούς). Για να παραστήσουµε τους φυσικούς αριθµούς χρησιµοποιούµε το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης, στο οποίο όλοι οι αριθµοί µπορούν να γραφούν χρησιµοποιώντας τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και στο οποίο η αξία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του µέσα στον αριθµό. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 1 -

3 Τι δηλώνει κάθε ψηφίο ενός αριθµού ανάλογα µε τη θέση του. Π.χ: ίνεται ο αριθµός Η αξία των ψηφίων του είναι οι εξής: εκά δες Ε κατοµµρια ύ Εκατοµµ ύρια Εκατοντ άδες Χ ιλιά δες εκά δες Χιλίαδες Χιλί αδες Εκατοντ άδες εκά δες Μονά δες Και διαβάζεται: «είκοσι τρία εκατοµµύρια πεντακόσιες ογδόντα έξι χιλιάδες πεντακόσια τέσσερα. Επίσης το δεκαδικό του ανάπτυγµα είναι: = (ίδιο ψηφίο άλλη θέση άλλη αξία) Χιλιάδες Μονάδες Υπενθυµίζουµε ότι, για να διαβάσουµε ένα φυσικό αριθµό τον χωρίζουµε από αριστερά προς τα δεξιά σε τριάδες ψηφίων! εκατοµµύρια χιλιάδες µονάδες χιλιάδες µονάδες Αν µας δοθούν 2 φυσικοί αριθµοί υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: Ο ένας να είναι µικρότερος από τον άλλον ή να είναι ίσοι µεταξύ τους. Προκειµένου να γράψουµε στην µαθηµατική γλώσσα τις παραπάνω εκφράσεις, χρησιµοποιούµε τα παρακάτω σύµβολα: «=» : ίσος µε «<» : µικρότερος από «>» : µεγαλύτερος από : µεγαλύτερος ή ίσος από : µικρότερος ή ίσος από : διάφορος, δηλαδή όχι ίσος Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 2 -

4 Για παράδειγµα 5 < 7, 6 < 8, 7 > 3, 10 = 10, 5 6, 4 4, 3 4, 5 4, 5 5 ΟΡΙΣΜΟΙ Συγκρίνω 2 φυσικούς αριθµούς, σηµαίνει ότι εξετάζω αν είναι ίσοι κι αν δεν είναι εξετάζω ποιος είναι πιο µικρός και ποιος είναι πιο µεγάλος. ιατάσσω φυσικούς αριθµούς, σηµαίνει ότι τους τοποθετώ σε σειρά από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο ή από τον µεγαλύτερο στον µικρότερο. Προφανώς, προκειµένου να διατάξω φυσικούς αριθµούς, πρέπει να τους συγκρίνω ανά δυο. Η διάταξη των φυσικών αριθµών µας ευκολύνει να παριστάνεται πάνω σε µια ευθεία γραµµή. Πάνω σε µια ευθεία επιλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο το οποίο ονοµάζουµε αρχή και στο οποίο αντιστοιχίζουµε τον αριθµό 0. εξιά του σηµείου Ο επιλέγουµε ένα σηµείο Α στο οποίο αντιστοιχίζουµε τον αριθµό 1. Στη συνέχεια, και χωρίς πλέον τη δυνατότητα εκλογής, αντιστοιχίζουµε τον αριθµό 2 στο σηµείο Β που βρίσκεται δεξιά του Ο σε απόσταση διπλάσια απ ότι το Α από το Ο και µε τον ίδιο τρόπο αντιστοιχίζουµε και τους υπόλοιπους φυσικούς αριθµούς: Η παραπάνω ευθεία λέγεται άξονας των φυσικών αριθµών. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ (Σ) ΛΑΘΟΥΣ (Λ) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: i. Ο µικρότερος φυσικός αριθµός είναι το 0. Σ Λ ii. Υπάρχει ένας φυσικός αριθµός που είναι Σ Λ µεγαλύτερος απ όλους τους άλλους. iii. Οι φυσικοί αριθµοί είναι άπειροι. Σ Λ iv. Οι τριψήφιοι αριθµοί είναι άπειροι. Σ Λ v. Υπάρχει ένας φυσικός αριθµός που είναι Σ Λ µεγαλύτερος απ όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθµούς. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 3 -

5 vi. Υπάρχουν αριθµοί που είναι συγχρόνως Σ Λ άρτιοι και περιττοί. vii. Ο επόµενος κι ο προηγούµενος ενός άρτιου Σ Λ αριθµού είναι περιττοί αριθµοί. viii. Ανάµεσα στους αριθµούς 8 και 10 υπάρχει Σ Λ ένας περιττός αριθµός, και ανάµεσα στους 17 και 19 υπάρχει ένας άρτιος αριθµός. ix. Το πλήθος των φυσικών αριθµών από το 20 Σ Λ µέχρι και το 30 είναι 10. x. Το δεύτερο κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου Σ Λ µαθηµατικών αρχίζει από τη σελίδα 33 και τελειώνει στη σελίδα 54, αποτελείται δηλαδή από 22 σελίδες. xi. Όλοι οι διψήφιοι αριθµοί είναι 90. Σ Λ Β. ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ «Η αδερφή µου είναι µεγαλύτερη από µένα περίπου 2 χρόνια». Για την ακρίβεια είναι µεγαλύτερη κατά 20 µήνες και 10 ηµέρες, εντούτοις, επειδή ακριβώς δεν έχει ιδιαίτερη σηµασία η ακριβής διαφορά µας, πάντοτε στην ερώτηση: «Ποια είναι η διαφορά ηλικίας σου µε την αδερφή σου;», η απάντηση είναι πάντοτε: «Περίπου 2 χρόνια». ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ: Σε περιπτώσεις που η ακρίβεια είναι από µη απαραίτητη έως άχρηστη συνηθίζουµε να στρογγυλοποιούµε έναν αριθµό, δηλαδή να τον αντικαθιστούµε µε κάποιον άλλο λίγο µικρότερο ή λίγο µεγαλύτερο. ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο αριθµός του τηλεφώνου µου είναι Προφανώς, δεν µπορώ να πω ότι ο αριθµός τηλεφώνου µου είναι περίπου !!! Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -

6 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Πώς στρογγυλοποιούµε έναν φυσικό αριθµό; α. Προσδιορίζουµε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση (δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ.). β. Εξετάζουµε το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης και: αν το ψηφίο αυτό είναι 0, 1, 2, 3, 4 το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των µικρότερων τάξεων µηδενίζονται. αν το ψηφίο αυτό είναι 5, 6, 7, 8, 9 το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των µικρότερων τάξεων µηδενίζονται ενώ το ψηφίο της στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1. Στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη δεκάδα: Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης ψηφίο ψηφίο που µας ενδιαφέρει είναι το 4<5, άρα θα γίνει 0. δεκάδων Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης ψηφίο ψηφίο που µας ενδιαφέρει είναι 7>5, άρα το 6 θα αυξηθεί κατά δεκάδων µία µονάδα, ενώ το 7 θα γίνει Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης ψηφίο ψηφίο που µας ενδιαφέρει δεκάδων είναι 5, άρα θα γίνει 0 και το 9 θα αυξηθεί κατά µία µονάδα, εποµένως θα γίνει 0 και το 8 θα γίνει 9. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 5 -

7 Στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη εκατοντάδα: Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης ψηφίο ψηφίο που µας ενδιαφέρει εκατοντάδων είναι 4<5, άρα το 3 θα παραµείνει όπως είναι και θα µηδενιστούν όλα τα ψηφία µικρότερων τάξεων Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης είναι 6>5, άρα το 3 θα γίνει 4, ενώ όλα ψηφίο ψηφίο που µας ενδιαφέρει τα ψηφία των µικρότερων τάξεων θα εκατοντάδων γίνουν 0. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεµιά από τις επόµενες ερωτήσεις: i. Ο αριθµός 295 αν στρογγυλοποιηθεί στις δεκάδες γίνεται: Α. 290 Β. 280 Γ. 300 ii. iii. Ο αριθµός αν στρογγυλοποιηθεί στις δεκάδες γίνεται: Α Β Γ Ο αριθµός αν στρογγυλοποιηθεί στις δεκάδες χιλιάδες γίνεται: Α Β Γ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 6 -

8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθµό (i) (ii) (iii) Στις εκατοντάδες Στις χιλιάδες Στις δεκάδες χιλιάδες Λύση. (i) Θέλουµε να στρογγυλοποιήσουµε τον αριθµό στις εκατοντάδες, δηλαδή στο ψηφίο 8. Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης (των δεκάδων) είναι το ψηφίο 4. Επειδή 4<5,το ψηφίο αυτό, καθώς και τα ψηφία των µικρότερων τάξεων τα αντικαθιστούµε µε 0. ηλαδή: (ii) Θέλουµε να στρογγυλοποιήσουµε τον αριθµό στις χιλιάδες, δηλαδή στο ψηφίο 5. Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης (των εκατοντάδων) είναι το ψηφίο 8.Επειδή 8>5, το ψηφίο 5 θα αυξηθεί κατά 1, δηλαδή θα γίνει 6, και αντικαθιστούµε µε µηδέν τα ψηφία των µικρότερων τάξεων. ηλαδή: (iii) Θέλουµε να στρογγυλοποιήσουµε τον αριθµό , στο ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων, δηλαδή στο ψηφίο 9. Το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης (των χιλιάδων) είναι το 5. Άρα πρέπει το 9 να αυξηθεί κατά 1. Αυτό σηµαίνει ότι το 9 θα γίνει 0 και θα αυξηθεί κατά 1 το ψηφίο 2 που αντιστοιχεί στις εκατοντάδες χιλιάδες. ηλαδή: Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 7 -

9 2. Χρησιµοποιώντας τα ψηφία 4, 1 και 7, από µία φορά το καθένα, να γράψετε όλους τους διαφορετικούς τριψήφιους αριθµούς που µπορείτε. (i) (ii) (iii) Να βρείτε τον µικρότερο και τον µεγαλύτερο από αυτούς τους αριθµούς και να τους γράψετε σε φυσική γλώσσα Ποιοι από τους αριθµούς που γράψατε είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί; Να βάλετε όλους τους παραπάνω αριθµούς σε αύξουσα σειρά, δηλαδή από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο. Λύση. Χρησιµοποιώντας τα ψηφία 4, 1 και 7, από µία φορά το καθένα, µπορούµε να σχηµατίσουµε τους τριψήφιους: 417, 471, 147, 174, 741, 714 (i) Ο µικρότερος από αυτούς τους αριθµούς είναι ο 147, ο οποίος διαβάζεται «εκατόν σαράντα επτά». Ο µεγαλύτερος από αυτούς τους αριθµούς είναι ο 741, ο οποίος διαβάζεται «επτακόσια σαράντα ένα». (ii) Άρτιοι είναι οι αριθµοί 174 και 714. Περιττοί είναι οι αριθµοί 417, 471, 147 και 741. (iii) Οι αριθµοί σε αύξουσα σειρά είναι : 147<174<417<471<714<741 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 8 -

10 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΙΑΒΑΖΟΥΜΕ υο χιλιάδες δώδεκα Τρία εκατοµµύρια διακόσια οκτώ Τριάντα χιλιάδες διακόσια τριάντα πέντε Πενήντα χιλιάδες τριάντα δυο 2. Να βρείτε την τάξη του υπογραµµισµένου ψηφίου στους παρακάτω αριθµούς: α) 23 β) 306 γ) δ) ε) στ) α) Να βάλετε σε φθίνουσα σειρά τους αριθµούς: 18, 21, 31, 49, 98. β) Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθµούς: 1.104, 1.098, 1.240, 1.036, 999. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 9 -

11 4. Να σχηµατίσετε όλους τους τριψήφιους αριθµούς που χρησιµοποιούν από µια φορά τα ψηφία 3, 4, 5 και να τους διατάξετε από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο. 5. Να γράψετε: α) Τους άρτιους αριθµούς που βρίσκονται µεταξύ των αριθµών 281 και 297. β) Τους άρτιους αριθµούς από το 22 ως και το 34. γ) Τους περιττούς αριθµούς από το 37 µέχρι και το 49. δ) Τους διψήφιους άρτιους που είναι µεγαλύτεροι του 81. ε) Τους διψήφιους περιττούς που είναι µικρότεροι του Να τοποθετήσετε σε άξονα τις παρακάτω οµάδες αριθµών (σε διαφορετικό άξονα η κάθε οµάδα αριθµών): α) 1, 2, 4, 7, 9, 11. β) 10, 20, 30, 50. γ) 100, 150, 300, 400. δ) 1.000, 1.500, 2.000, 3.500, Να αναφέρετε 5 σηµαντικά γεγονότα του 21ου αιώνα µε τις αντίστοιχες χρονολογίες τους και να τις σηµειώσετε σε κατάλληλο άξονα. 8. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθµούς στην πλησιέστερη: α) δεκάδα β) εκατοντάδα γ) χιλιάδα Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός

12 9. Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθµοί που όταν στρογγυλοποιούνται στην πλησιέστερη δεκάδα παίρνουµε τον αριθµό 20; 10. Ένας φυσικός αριθµός στρογγυλοποιείται στην πλησιέστερη εκατοντάδα. Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθµού αυτού, αν µε τη στρογγυλοποίηση µικραίνει κατά 4 ή µεγαλώνει κατά α) Πόσοι είναι οι διψήφιοι αριθµοί; β) Πόσοι είναι οι τριψήφιοι αριθµοί; γ) Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι αριθµοί; δ) Πόσοι είναι οι διψήφιοι φυσικοί αριθµοί που τα ψηφία τους είναι διαφορετικά; ε) Πόσοι είναι οι διψήφιοι φυσικοί αριθµοί που έχουν και τα δύο ψηφία τους ίδια; 12. Μια οµάδα µπάσκετ έχει 12 παίκτες, από τους οποίους ο µικρότερος είναι 18 ετών και ο µεγαλύτερος είναι 30 ετών. Να εξετάσετε αν υπάρχουν δύο παίκτες µε την ίδια ηλικία. (Θεωρούµε τις ηλικίες των παικτών φυσικούς αριθµούς). 13. Να βρείτε ποιες τιµές µπορεί να πάρει ο φυσικός αριθµός ν, όταν: α) ν<4 β) ν 4 γ) 3<ν<5 δ) 3<ν 5 ε) 3 ν<5 στ) 3 ν 5 ζ) 3<ν 5 και 4 ν 6 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός