1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα δηλαδή x+ y Σ x y Σ x+ y = y+ x x y Σ ( x+ y) + z = x+ ( y+ z) x y z Σ µοναδικό µηδενικό στοιχείο του Σ: x+ 0 = 0 + x= x x Σ µοναδικό αντίθετο στοιχείο x Σ : x+ x = x + x= 0 Το αντίθετο στοιχείο του x στο εξής θα συµβολίζεται µε x στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη τoυ πολ/σµού ως προς την οποία το σύνολο Σ είναι επίσης αβελιανή οµάδα δηλαδή xy Σ x y Σ xy= yx x y Σ ( xy) z= x( yz) x y z Σ µοναδικό µοναδιαίο στοιχείο του Σ: x = x= x x Σ µοναδικό αντίστροφο στοιχείο x Σ : xx = x x= Το αντίστροφο στοιχείο του x στο εξής θα συµβολίζεται µε x - Eπιπλέον ο πολ/σµός είναι πράξη επιµεριστική ως προς την πρόσθεση δηλαδή: Η πράξη της αφαίρεσης ορίζεται ως εξής ενώ η πράξη της διαίρεσης ορίζεται ως ( x+ y) z = x z+ y z x y z Σ x y = x+ ( y) x y Σ

2 x/ y = x y x y Σ y 0 3 υπάρχει µία διάταξη στο σύνολο Σ δηλαδή θεωρούµε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο Θ του συνόλου Σ κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού το οποίο καλείται σύνολο των θετικών στοιχείων του Σ έτσι ώστε x Σ να ισχύει ο νόµος της τριχοτοµίας: Λέµε τότε x Θ ή x Θ ή x = 0 x< y y x Θ Aπό τον παραπάνω ορισµό έπεται ότι x Θ x> 0 Eύκολα διαπιστώνουµε τις κάτωθι ιδιότητες της διάταξης x y Σ x< y ή x > y ή x = y Αν x < y και y< z x< z Αν x < y και z > 0 x z< y z Από τη στιγµή που έχουµε ορίσει σε ένα σώµα Σ µία διάταξη (συµβολικά <) µπορούµε πλέον να µιλάµε για υποσύνολα του Σ άνω και κάτω φραγµένα Πράγµατι έστω Σ είναι ένα διατεταγµένο σώµα Ενα υποσύνολο Α του Σ καλείται άνω φραγµένο εάν a Σ: x a x A κάτω φραγµένο εάν a Σ: x a x A φραγµένο εάν είναι άνω και κάτω φραγµένο Αν το στοιχείο α Σ είναι ένα άνω φράγµα του συνόλου Α τότε κάθε στοιχείο α Σ τέτοιο ώστε α > α είναι επίσης ένα άνω φράγµα του Α οπότε είναι φυσικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει κάποιο ελάχιστο άνω φράγµα του Α Ορισµός Εστω Α είναι ένα άνω φραγµένο υποσύνολο του Σ Θα λέµε ότι το στοιχείο α Σ είναι ελάχιστο άνω φράγµα του συνόλου Α εάν το a είναι ένα άνω φράγµα του συνόλου Α αν α είναι ένα άλλο άνω φράγµα του συνόλου Α τότε a a Ορισµός Εστω Α είναι ένα κάτω φραγµένο υποσύνολο του Σ Θα λέµε ότι το α Σ είναι µέγιστο κάτω φράγµα του συνόλου Α εάν

3 το a είναι ένα κάτω φράγµα του συνόλου Α αν α είναι ένα άλλο κάτω φράγµα του Α τότε a a Σηµείωση Το ελάχιστο άνω φράγµα και το µέγιστο κάτω φράγµα (εάν υπάρχουν) ενός συνόλου Α είναι µοναδικά Πράγµατι αν α α είναι δύο ελάχιστα άνω φράγµατα του Α τότε a a και a a οπότε a= a Το ελάχιστο άνω φράγµα συνόλου Α (αν υπάρχει) καλείται supremum (sup) του συνόλου Α ενώ το µέγιστο κάτω φράγµα συνόλου Α (αν υπάρχει) καλείται ifimum (if) του συνόλου Α Σηµείωση Το ελάχιστο άνω φράγµα και το µέγιστο κάτω φράγµα µπορεί να ανήκουν ή να µην ανήκουν στο σύνολο Α Πρόταση Εστω Α είναι ένα υποσύνολο συνόλου Σ και έστω α Σ Τότε: ( i) a ειναι ανω φραγµα του A a= sup A ( ii) ε > 0 x A: x > a ε Aπόδ Eστω α = supa Τότε το α είναι άνω φράγµα του Α Εστω ε > 0 Εάν για κάθε x A ίσχυε x a ε τότε το α-ε θα ήταν επίσης άνω φράγµα του Α άρα a a ε ε 0 (άτοπο) Αρα: ε > 0 x A: x> a ε Aντίστροφα έστω ότι ικανοποιούνται οι (i) και (ii) Aν υποθέσουµε ότι a sup A τότε θα υπάρχει β = sup A και β < α Αφού λοιπόν η (ii) ισχύει για κάθε ε > 0 θα ισχύει και για ε = α-β > 0 Τότε όµως x A : x>β (άτοπο) Οµοίως αποδεικνύεται ότι Πρόταση Εστω Α είναι ένα υποσύνολο συνόλου Σ και έστω α Σ Τότε ( i) a ειναι κ ατω φραγµα του A a= if A ( ii) ε > 0 x A: x < a + ε Για να διασφαλίσουµε την ύπαρξη των sup και if χρειαζόµαστε το ακόλουθο: Aξίωµα (Πληρότητας ή συνέχειας): Θα λέµε ότι ένα διατεταγµένο σώµα Σ ικανοποιεί το αξίωµα της πληρότητας αν σε οποιαδήποτε τοµή L και R του σώµατος Σ υπάρχει αριθµός ξ Σ έτσι ώστε κάθε αριθµός µικρότερος του ξ να ανήκει στο σύνολο L και κάθε αριθµός µεγαλύτερος του ξ να ανήκει στο σύνολο R Eνα διατεταγµένο σώµα Σ που ικανοποιεί το αξίωµα της πληρότητας καλείται ολικά ή πλήρως διατεταγµένο σώµα και σε ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα Σ κάθε µη κενό και φραγµένο υποσύνολο Α έχει ifimum α Σ και supremum β Σ 3

4 Σηµείωση Στην περίπτωση που ένα σύνολο Α δεν είναι άνω φραγµένο θα γράφουµε ότι sup A =+ Στην περίπτωση που ένα σύνολο Α δεν είναι κάτω φραγµένο θα γράφουµε ότι if A = H βάση των αριθµών βρίσκεται στην απλή απαρίθµηση δηλαδή στους φυσικούς αριθµούς { 3 } = όπου ορίζουµε τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού Σηµείωση 4 Το σύνολο των φυσικών αριθµών ορίζεται συχνά σαν το µικρότερο επαγωγικό σύνολο δηλαδή σαν το µικρότερο σύνολο που ικανοποιεί τις ιδιότητες: Αν τότε + Ισχύει µάλιστα Θεώρηµα (Αρχή της επαγωγής) Εστω Π() είναι µια µαθηµατική πρόταση που εξαρτάται από το φυσικό αριθµό Aν η Π() είναι αληθής και αν για κάθε φυσικό αριθµό ισχύει Π() αληθής Π(+) αληθής τότε η πρόταση Π() είναι αληθής για κάθε φυσικό αριθµό Το σύνολο έχει αδυναµίες πχ δεν υπάρχει αντίθετος ενός φυσικού αριθµού και έτσι δεν µπορούµε να αφαιρέσουµε φυσικούς αριθµούς Η άρση της αδυναµίας αυτής γίνεται µε τον ορισµό του συνόλου των ακεραίων: { 0 } = αλλά και αυτό το σύστηµα παρουσιάζει αδυναµίες πχ δεν υπάρχει πάντα ο αντίστροφος ενός ακεραίου και άρα δεν µπορούµε να διαιρέσουµε δύο οποιουσδήποτε ακέραιους αριθµούς (µε το αποτέλεσµα εντός του συνόλου ) Ετσι λοιπόν ορίζουµε το σύνολο των ρητών αριθµών m = : m Z 4

5 το οποίο είναι πλέον διατεταγµένο σώµα Μάλιστα είναι το µικρότερο διατεταγµένο σώµα αφού µπορούµε να δείξουµε ότι κάθε άλλο διατεταγµένο σώµα περιέχει το σύνολο Μία ακόµη σηµαντική ιδιότητα του συνόλου των ρητών αριθµών (και γενικότερα ενός διατεταγµένου σώµατος) είναι ότι η διάταξή του είναι πυκνή δηλαδή εάν x < y z : x< z< y Πράγµατι αρκεί να ορίσουµε: x + y z = ( x+ y)(+ ) = υστυχώς και το σύνολο των ρητών αριθµών έχει αδυναµίες πχ αν θεωρήσουµε το σύνολο { x : x } Q τότε το σύνολο αυτό δεν έχει supremum Πράγµατι ισχύει: Πρόταση 3 εν υπάρχει ρητός αριθµός α τέτοιος ώστε: a = Aπόδ Eστω ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί pq N : p = και οι pq είναι q πρώτοι µεταξύ τους Επειδή p = p = q q ο p είναι άρτιος άρα και ο p είναι άρτιος Eστω p = k τότε: p = q k = q άρα και ο q είναι άρτιος συνεπώς και ο q είναι άρτιος το οποίο είναι άτοπο διότι υποθέσαµε ότι οι pq είναι πρώτοι µεταξύ τους Υπάρχουν λοιπόν αριθµοί που δεν είναι ρητοί Αυτοί οι αριθµοί στο εξής θα καλούνται άρρητοι αριθµοί Για να επιλύσουµε την παραπάνω αδυναµία του συνόλου των ρητών αριθµών πρέπει να δεχθούµε ένα επιπλέον αξίωµα αυτό της πληρότητας ορίζοντας έτσι ένα νέο σύνολο αυτό των πραγµατικών αριθµών εχόµαστε λοιπόν ότι Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα Αποδεικνύεται µάλιστα ότι: Θεώρηµα Υπάρχει µόνον ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα 5

6 Ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις: Πρόταση 4 Για κάθε x υπάρχει µοναδικός ακέραιος m : m x< m+ O µοναδικός αυτός ακέραιος καλείται ακέραιο µέρος του x και συµβολίζεται ως [x] Πρόταση 5 (Aρχιµήδεια ιδιότητα) Αν ε > 0 και x τότε υπάρχει φυσικός αριθµός : ε > x Πρόταση 6 Αν xy τότε υπάρχει ρητός αριθµός p : x < p< y Η πρόταση αυτή υπονοεί ότι κάθε άρρητος αριθµός προσεγγίζεται από έναν ρητό αριθµό µε όσο σφάλµα θέλουµε Πληθάριθµος συνόλων Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου Α καλείται πληθάριθµος του συνόλου Α ύο σύνολα καλούνται ισοδύναµα όταν υπάρχει µία - αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων τους ύο ισοδύναµα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθµο Το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι το µικρότερο σε πλήθος στοιχείων άπειρο σύνολο Σύνολα ισοδύναµα µε το καλούνται αριθµήσιµα σύνολα Σύνολα που δεν είναι αριθµήσιµα καλούνται υπεραριθµήσιµα Αποδεικνύεται ότι τόσο το σύνολο των ακεραίων όσο και το σύνολο των ρητών αριθµών είναι αριθµήσιµα σύνολα Όµως το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι υπεραριθµήσιµο σύνολο (οπότε και οι άρρητοι αριθµοί είναι σύνολο υπεραριθµήσιµο) Γενικά το αξίωµα της πληρότητας κάνει ένα διατεταγµένο σύνολο υπεραριθµήσιµο 3 Τοπολογία του Εστω αb πραγµατικoί αριθµοί Το σύνολο { : } I = x a< x< b καλείται ανοικτό διάστηµα µε άκρα τα α και b και συµβολίζεται ως (αb) Oµοίως το σύνολο { : } I = x a x b 6

7 καλείται κλειστό διάστηµα µε άκρα τα α και b και συµβολίζεται µε [αb] Tα σύνολα { : } { : } I = x a x< b I = x a< x b καλούνται ηµιανοικτά διαστήµατα µε άκρα τα α και b και συµβολίζονται µε [αb) και (αb] αντίστοιχα Oρισµός 3 Eστω x 0 Καλούµε περιοχή π ε ( x0 ) κέντρου x 0 και ακτίνας ε το ανοικτό διάστηµα ( ) π ( x ) = x ε x + ε ε Oρισµός 3 Eνα υποσύνολο Α του συνόλου των πραγµατικών αριθµών καλείται ανοικτό σύνολο αν ε > 0 : π ε ( x0) A x0 A Τα σύνολα είναι ανοικτά σύνολα Η τοµή πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο ενώ η ένωση οσονδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο Oρισµός 33 Eνα υποσύνολο Α του συνόλου των πραγµατικών αριθµών καλείται κλειστό σύνολο αν το συµπλήρωµά του -A είναι ανοικτό σύνολο Oρισµός 34 Eνα σηµείο x 0 καλείται σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν ε > 0 π ε ( x0) { x0} A To σύνολο Α των σηµείων συσσώρευσης ενός συνόλου Α καλείται παράγωγο σύνολο του Α Το σύνολο A A καλείται κλειστότητα του Α Αποδεικνύονται οι ακόλουθες προτάσεις: Πρόταση 3 Α είναι κλειστό το Α περιέχει όλα τα σηµεία συσσώρευσης του Πρόταση 3 Αν x 0 είναι ένα σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α τότε σε κάθε περιοχή π ε ( x0 ) του x 0 υπάρχουν άπειρα στοιχεία του συνόλου Α Πρόταση 33 Κάθε άπειρο και φραγµένο υποσύνολο του έχει ένα τουλάχιστον σηµείο συσσώρευσης Πόρισµα 3 Τα πεπερασµένα σύνολα δεν έχουν σηµεία συσσώρευσης 7

8 4 Το επεκτεταµένο σύνολο Ορίζουµε το επεκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών ως εξής όπου { } = ( + ) = ( - ) = - (+ ) ( + ) = + (+ ) ( - ) = - (- ) ( - ) = + (- ) ( + ) = - α ± = ± α α (± ) = ± α>0 α / (± ) = 0 α ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οι κάτωθι πράξεις είναι απροσδιόριστες µορφές δηλαδή το αποτέλεσµά τους ΕΝ είναι εκ των προτέρων µονοσήµαντα ορισµένο: /0 + + (- ) ή (± ) (± ) / (± ) 0 / 0 ± (+ ) Χρήσιµες Ταυτότητες-Ανισότητες ( + ) + + = ( + )(+ ) + + = 6 = a b ( a b)( a a b a b ab b ) a b Εφαρµογή Για α = b η παραπάνω ισότητα γίνεται b = ( b)( + b+ b + + b + b ) ή ισοδύναµα 8

9 b + b+ b + + b + b = (άθροισµα -όρων γεωµετρικής προόδου) b ιωνυµικό ανάπτυγµα a+ b = a b k = 0 k ( ) k k! o που = 0!=! = 3 k k!( k)! Ανισότητα Cauchy-Schwarz ab k k ak bk ak bk k= 0 k= 0 k= 0 Aνισότητα γεωµετρικού-αριθµητικού-αρµονικού µέσου + + a a a + + a aa a ai > 0 ( ) Aνισότητα Βeroulli + x + x x> ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε το sup if και το παράγωγο σύνολο Α των κάτωθι υποσυνόλων της πραγµατικής ευθείας: { } A= x : ( x a)( x b)( x c) < 0 a< b< c B = + ( ) : { } + ( ) C = + ( ) + : Λύση (α) Είναι εύκολο να δει κανείς ότι A= ( a) ( b c) άρα if A= sup A= c Το παράγωγο σύνολο Α είναι A = [ a] [ b c] (β) Προφανώς Β = {0} το οποίο υπολογίζεται επιλέγοντας =k (άρτιος) ή =k+ (περιττός) αντίστοιχα άρα: if B= 0 sup B= Το παράγωγο σύνολο A = διότι τα πεπερασµένα σύνολα δεν έχουν σηµεία συσσώρευσης (γ) Προφανώς το σύνολο C µπορεί να γραφεί ως εξής 9

10 / περιττος C = (/ ) aρτιος άρα if C = 0 (επειδή lim + = 0 ) και supc = (επειδή lim + = ) Το παράγωγο σύνολο A = { 0 } διότι οσοδήποτε µικρή περιοχή των δύο αυτών σηµείων και αν θεωρήσουµε αυτή πάντοτε θα περιέχει στοιχεία του συνόλου C Να δείξετε ότι το σύνολο { x : 0< x< } δεν έχει supremum στο Λύση Εστω p είναι ένα στοιχείο του συνόλου τότε p < Θα δείξουµε ότι για κάθε στοιχείο του συνόλου υπάρχει πάντοτε ένα µεγαλύτερο αυτού που είναι επίσης στοιχείο του συνόλου Υποθέτουµε λοιπόν ότι h είναι ένας ρητός αριθµός τέτοιος ώστε 0< h < και υπολογίζουµε ( ) ( ) ( ) p + h = p + ph+ h = p + p+ h h< p + p+ h p οπότε αν ορίσουµε h = αντικαθιστώντας στο δεξιό µέλος της παραπάνω p + σχέσης παίρνουµε ( p+ h) < άρα ( p+ h) { x : x< } Q 3 Nα δείξετε ότι (α) + + = k k k! o που = = και! = 3 k k!( k)! 0 (β) ( ) k k a+ b = a b k = 0 k Λύση (α)!! + = + k k ( k )!( ( k ))! k!( k)!!! = + ( k )!( k)!( k+ ) ( k )! k ( k)! (! k) + (! ( k+ ))! ( + ) = = ( k )! k ( k)!( k+ ) k! ( k+ )! 0

11 ( + )! + = = k! ( + k)! k (β) Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο της επαγωγής Είναι εύκολο να δει κανείς ότι για = ισχύει η πρόταση Υποθέτουµε ότι για λ = ισχύει a+ b = a b k = 0 k ( ) και θα δείξουµε ότι για λ = + ισχύει Πράγµατι ( ) k k k + k a+ b = a b k = 0 k + k k ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b) = a b ( a+ b) k = 0 k = a b + a b k= 0 k k= 0 k k+ k k + k = ab + ab + b λ= λ k = k k += λ + λ + λ k + k + λ r = a + a b + a b + b r= r r= r k= = + r + r r + r + = a + + a b + b + r + r + r= r r + + = a + a b + b = a b r= r r= 0 r + + r + r + r + r ( ) + x + x+ x x> 0 4 Nα δείξετε ότι ( ) Λύση Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο της επαγωγής Είναι εύκολο να δει κανείς ότι για = ισχύει η πρόταση Υποθέτουµε ότι για k = ισχύει και θα δείξουµε ότι για k = + ισχύει ( ) ( + x) + x + x

12 + ( + ) ( ) ( ) + x + + x+ x Πράγµατι: + ( ) ( + x) = ( + x) ( + x) + x+ x ( + x) ( + ) ( ) = + ( + ) x+ x + x ( + ) ( ) x x Εάν ε 0 > ισχύει α < b + ε να δειχθεί ότι α b Λύση Θα εργασθούµε µε την εις άτοπον απαγωγή Αν υποθέσουµε ότι ισχύει α > b α b τότε αφού η σχέση α < b + ε ισχύει ε > 0 θα ισχύει και για ε = > 0 Τότε b b b b α α + + ε = + = < α (άτοπο) άρα δεν ισχύει η υπόθεσή µας α > b άρα από το νόµο της τριχοτοµίας α b 6 Αν ΑΒ είναι φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών να δειχθεί ότι if( A + B) = if A+ if B Λύση Εφόσον ΑΒ είναι φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών έχουν µέγιστο κάτω φράγµα ifa ifb Eστω x A+ B x= y+ z y A z B x = y+ z if A+ if B Α+Β είναι κάτω φραγµένο if A+ if B είναι ένα κάτω φράγµα του Α+Β Εφόσον το σύνολο Α+Β έχει µέγιστο κάτω φράγµα if(a+β) και εφόσον το if A+ if B είναι ένα κάτω φράγµα του έχουµε if( A+ B) if A+ if B Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι if( A+ B) if A+ if B Θα εργασθούµε µε τη µέθοδο της εις άτοπον απαγωγής Υποθέτουµε ότι if( A+ B) > if A+ if B (α)

13 τότε if( A + B) if A> if B άρα υπάρχει z B: οπότε υπάρχει y A: if( A + B) if A> z if( A+ B) z > if A if( A + B) z > y if( A+ B) > y+ z A+ B άτοπο διότι if( A + B) x x A+ B άρα δεν ισχύει η αρχική µας υπόθεση (α) οπότε αναγκαστικά if( A+ B) if A+ if B Εφόσον λοιπόν αποδείξαµε ότι if( A+ B) if A+ if B και ταυτόχρονα if( A+ B) if A+ if B από το νόµο της τριχοτοµίας έχουµε ότι: if( A + B) = if A+ if B 7 Να αποδειχθεί η ανισότητα Cauchy-Schwarz: ab k k ak bk ak bk k= 0 k= 0 k= 0 Λύση Eστω λ τότε ak λ bk ak λ akbk λ bk k= 0 k= 0 k= 0 k= 0 0 = + To δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας είναι ένα τριώνυµο του λ µη αρνητικό για κάθε τιµή του λ άρα πρέπει η διακρίνουσά του να είναι µικρότερη ή ίση του µηδενός δηλαδή: ab k k ak bk k= 0 k= 0 k= οπότε προκύπτει το ζητούµενο ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε το sup if και το παράγωγο σύνολο Α των κάτωθι υποσυνόλων της πραγµατικής ευθείας: 3

14 A = + ( ) + : 3 + = 3k B= = 3k+ k + ( ) = 3k + Με τη µέθοδο της επαγωγής να δείξετε ότι: ( + ) + + = ( + )(+ ) + + = 6 3 Nα δείξετε ότι Αν ΑΒ φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών να δείξετε ότι: ( i) sup( A+ B) = sup A+ sup B ( ii) if( A B) = mi{ if Aif B} λif A λ > 0 ( iii) if( λa) = λ λsup A λ < 0 5 Nα δειχθεί ότι = 0 (Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα το διωνυµικό ανάπτυγµα) 6 Αν a b > 0 i µε i i a a a = και b b b = να δείξετε ότι: ( ab ab ab ) (Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την ανισότητα Cauchy-Schwarz) 7 Nα δειχθεί ότι +! (Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την ανισότητα γεωµ-αριθµ µέσου) 4