ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 5 Α Σχολικό βιβλίο σελ 73 Α3 Σχολικό βιβλίο σελ 5 Α4 α) Λάθος β) Σωστή γ) Σωστή δ) Σωστή ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Έστω z yi,,y R z (z z)i 4 i ( y ) i 4 i ( y 4) ( )i y 4 y y ή y Έτσι z i ή z i Β z i (i) i i z i ( i)( i) Άρα 39 3 w 3i 3i 3i

2 Β3 u 3i 4( i) ( i) i u 3i 3 4i u ( 3i) 5 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u είναι ο κύκλος με κέντρο K(,3) και ακτίνα ρ 5 ΘΕΜΑ Γ Γ H h είναι συνεχής στο R ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων h () Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο R h () () Άρα η h είναι κοίλη στο R και άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R Γ Η ανίσωση ορίζεται στο R h γναύξ h(h ()) h(h ()) ln ln h(h ()) h() h γνφθίν h () h () h () h () Γ3 lim h() lim ln Θέτω u, οπότε u lim lim Έτσι lim h() lim(lnu) ln u Άρα η ευθεία με εξίσωση y, δηλαδή ο άξονας, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο h() ln() λ lim lim, αφού lim (ln( u )) lim(ln(u )) ln u β lim (h() ) lim ( ln( )) Άρα η ευθεία με εξίσωση y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο

3 Γ4 Η φ είναι συνεχής στο R ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων φ() h() ln ln ln ln ln Έστω Ω το χωρίο που περικλείεται από τη C φ, τον άξονα και την ευθεία Τότε Ε(Ω) φ() d φ() h() ln ln ln ln ln Έτσι Ε(Ω) (h() ln)d (h() ln) h ()d (h() ln) (h() ln) d ( ln( ) ln) d ( ln( ) ln) ln( ) ln() ln ln() ln ()ln τμ ΘΕΜΑ Δ Δ lim f() lim lim f() Άρα η f είναι συνεχής στο Για κάθε (,) (, ), f () h(), R Προφανώς h() Η h είναι συνεχής στο R ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων h () h (), αφού για κάθε R h () h ()

4 h () h h() h() Άρα για κάθε (,) (, ), h() f () Επίσης δείξαμε ότι η f είναι συνεχής στο Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Δ α) f() f() f () lim lim lim lim lim Για είναι Για είναι και άρα και άρα f() Έτσι f() για κάθε R κ() f(u)du στο R Η f είναι συνεχής στο R, άρα η f(u)du είναι παραγωγίσιμη στο R και άρα η κ είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων και f(u)du Για κάθε R, κ () f() Άρα η κ είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και Η f είναι κυρτή στο R και άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και άρα Η εξίσωση ορίζεται στο R και γράφεται ισοδύναμα κ f κ(f ()) κ(f ()) κ f () f () f () β) Είναι y(t) f((t)), t και άρα y (t) f ((t)) (t) Δίνεται ότι τη χρονική στιγμή t ισχύει (t ) y (t ), t και έτσι έχουμε f ((t )) (t ) f ((t )) f ((t )) f () (t ) (t) f (t ) y(t ) f((t )) f() Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το B(,)

5 Δ3 Για κάθε (, ), g() ( ) ( ) Η g είναι συνεχής στο ( ) ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων Για κάθε (, ), g () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ( ) ] ( )( )( ) φ(), Η φ είναι συνεχής στο (, ), άρα και στο [,], ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων φ() φ() () Άρα φ()φ() και σύμφωνα με το ΘBolzano προκύπτει ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε φ( ) Για κάθε (, ), φ () Άρα η φ είναι η γνησίως αύξουσα στο (, ) και άρα το είναι μοναδική ρίζα της φ στο διάστημα αυτό Για φ() φ( ) φ() Για φ() φ( ) φ() Επίσης η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα το και η το φ() g () g Έτσι η g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στις θέσεις και και τοπικό μέγιστο στη θέση