π.χ. Α: σύνολο ανθρώπων, R={(α,β), α,β A, αν ο α είναι πρόγονος του β} + υποθέστε ότι κάθε άνθρωπος είναι πρόγονος του εαυτού του

Transcript

1 Ναι, γιατί όποιους 2 ακέραιους α,β και να πάρω είτε α<=β ή β<=α π.χ. Α: σύνολο ανθρώπων, R={(α,β), α,β A, αν ο α είναι πρόγονος του β} + υποθέστε ότι κάθε άνθρωπος είναι πρόγονος του εαυτού του Αν μια δυαδική σχέση είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική λέγεται σχέση ισοδυναμίας. Π.χ. * η σχέση "=" είναι σχέση ισοδυναμίας στους ακέραιους. * Η σχέση "είναι παράλληλη με" στις ευθείες είναι σχέση ισοδυναμίας. π.χ. Α = {0,1,2,3} R = { (0,0), (0,2), (2,0), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3) }. Είναι η R σχέση ισοδυναμίας; Α = {1,2,3,4,5} R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1)} Είναι η R σχέση ισοδυναμίας; Ποιες είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας των στοιχείων του Α;

2 Είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική άρα είναι σχέση ισοδυναμίας. Μία σχέση ισοδυναμίας πάνω σε ένα σύνολο Α "διαμελίζει" το Α σε ένα σύνολο κλάσεων που λέγονται "κλάσεις ισοδυναμίας" και συμβολίζουμε με [α] την κλάση ισοδυναμίας ενός στοιχείου α Α π.χ. Έστω W το σύνολο όλων των ελληνικών λέξεων και R={(w1,w2) με w1,w2 W και w1 ομοιοκαταληκτεί με την w2} Είναι η R σχέση ισοδυναμίας και αν ναι, ποιες είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας της; Πεπερασμένα και Άπειρα σύνολα Δύο σύνολα Α και Β καλούνται ισάριθμα αν υπάρχει μία ένα-προς-ένα και επί συνάρτηση f:a->b Ένα σύνολο A είναι πεπερασμένο αν είναι ισάριθμο με το σύνολο {1,2,...,n} για κάποιο φυσικό αριθμό n. Αν το σύνολο Α είναι ισάριθμο

3 με το σύνολο {1,2,...,n} τότε λέμε ότι ο πληθικός αριθμός του Α είναι n και γράφουμε Α =n. Ένα σύνολο καλείται άπειρο αν δεν είναι πεπερασμένο. Ένα σύνολο καλείται αριθμήσιμα άπειρο αν είναι ισάριθμο με το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών. Ένα σύνολο καλείται αριθμήσιμο αν είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμα άπειρο. Ένα σύνολο το οποίο δεν είναι αριθμήσιμο, καλείται μη αριθμήσιμο. Για να δείξουμε ότι ένα σύνολο Α είναι αριθμήσιμα άπειρο, είναι αρκετό να δείξουμε ότι υπάρχει μία 1-1 και επί συνάρτηση μεταξύ του Α και ενός αριθμήσιμα άπειρου συνόλου Β. Επειδή το Β είναι ισάριθμο με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν, τότε θα έχουμε δείξει ότι τα Α και Ν είναι ισάριθμα. Αν Α αριθμήσιμα άπειρο και Β ένα άπειρο υποσύνολο του Α, τότε το Β είναι αριθμήσιμα άπειρο. Η ένωση πεπερασμένου αριθμού αριθμήσιμα άπειρων συνόλων είναι αριθμήσιμα άπειρο σύνολο Νδο οι θετικοί ακέραιοι είναι αριθμήσιμοι Θα βρω μία 1-1 και επί συνάρτηση f από τους Ν στους Ζ

4 Νδο οι ακέραιοι είναι αριθμήσιμοι Δεν έχω από που να ξεκινήσω τους ακέραιους μιας και δεν υπάρχει μικρότερος ακέραιος: Νδο το σύνολο των αριθμών που δημιουργούνται μόνο με το ψηφίο 1 είναι αριθμήσιμοι. Χρειάζομαι ένα τρόπο περιγραφής των αριθμών αυτών, (x,y) = (αριθμός άσσων πριν την υποδιαστολή, αριθμός άσσων μετά την υποδιαστολή) π.χ. (2,3) = Πρέπει να αντιστοιχίσω τους Ν με αυτούς εδώ. Αν ξεκινήσω με 1η γραμμή τότε επειδή έχω άπειρα στοιχεία, δεν είναι ξεκάθαρο το πότε θα φτάσω στη γραμμή 2.

5 Μπορώ να ξεκινήσω με τιδ "ανάποδες" διαγώνιους, δλδ * (0,1) και (1,0) * (0,2), (1,1), (2,0) * (0,3), (1,2), (2,1), (3,0) κτλ Κάθε στοιχείο μιας διαγωνίου έχει ίδιο άθροισμα συνταταγμένων με τα υπόλοιπα στοιχεία της διαγωνίου. 1-1: Για να είναι 1-1 αυτή η αντιστοίχηση θα πρέπει να εξασφαλίσω ότι δε θα μετρηθεί κάποιος αριθμός >=2 φορές. Για να συμβεί αυτό, θα πρέπει αυτός ο αριθμός να βρεθεί είτε σε 2 διαφορετικές διαγώνιες ή σε μία διαγώνιο να μετρηθεί 2 φορές. Άτοπο. Επί: Για να είναι επί αυτή η αντιστοίχηση θα πρέπει να εξασφαλίσω ότι δε θα υπαρξει κάποιος αριθμός μόνο με 1 που δε θα μετρηθεί. Άτοπο! Άρα το σύνολο των αριθμών που δημιουργούνται μόνο με το 1 είναι αριθμήσιμο. Νδο το σύνολο των άρτιων είναι αριθμήσιμοι. - Αφού δείξαμε ότι οι ακέραιοι είναι αριθμήσιμοι και αφού οι άρτιοι είναι υποσύνολο των ακέραιων, άρα και οι άρτιοι είναι αριθμήσιμοι. 2ος τρόπος:

6

7 Έστω τα σύνολα Α={1,2,3,4}, Β={α,β,γ,δ} και οι συναρτήσεις: φ:a->b, g:b->a έτσι ώστε φ(1)=δ, φ(2)=γ, φ(3)=α, φ(4)=β και g(α)=2, g(β)=1, g(γ)=3, g(δ)=2 * Είναι η φ 1-1; Είναι η g 1-1; * Είναι η φ επί; Η g; * Έχει η φ αντίστροφη; Αν ναι, να βρεθεί. Ομοίως, για τη g