Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Transcript

1 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται στο σύνολο και τα καλούμε στοιχεία του. Ο Cantor, ο θεμελιωτής της Θεωρίας Συνόλων, περιέγραψε το σύνολο ως εξής: «Με τη λέξη σύνολο εννοούμε μιαν οποιαδήποτε συνάθροιση σε ολότητα καθορισμένων και διακεκριμένων στοιχείων της διαίσθησης ή του στοχασμού μας.» Όταν έχουμε ένα σύνολο θα πρέπει να γνωρίζουμε ακριβώς ποια στοιχεία περιέχει. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα, Β κ.τ.λ. Τα στοιχεία ενός συνόλου τα συμβολίζουμε με μικρά γράμματα α, β, x, y κ.τ.λ. Εάν το α είναι στοιχείο του συνόλου γράφουμε α και διαβάζουμε «το α ανήκει στο». Εάν το αντικείμενο β «δεν ανήκει» στο σύνολο, γράφουμε β. Καθορίζουμε ένα σύνολο γράφοντας τα στοιχεία του μέσα σε άγκιστρα { }. Παραδείγματα: 1. Έστω το σύνολο = { 0, 1 } το σύνολο που περιέχει τους αριθμούς 0 και 1. Τότε 0, 1, ενώ Προκειμένου ν αναπαραστήσουμε το σύνολο των φωνηέντων της Ελληνικής γλώσσας θα γράψουμε: Β = { α, ε, ι, η, υ, ο, ω } ή θα γράψουμε Β = { x/ x φωνήεν της ελληνικής γλώσσας }. 3. Το σύνολο Γ των θετικών ακεραίων που είναι πολλαπλάσια του 2, μπορούμε να το αναπαραστήσουμε επίσης με αναγραφή των στοιχείων του Γ = { 2, 4, 6, }, όπου οι τρεις τελείες σημαίνουν πως άπειρα στοιχεία ακολουθούν στο ίδιο μοτίβο ή με περιγραφή των στοιχείων του Γ = { x/ x θετικός ακέραιος και x πολλαπλάσιο του 2 }. 4. Το σύνολο των ψηφίων που χρησιμοποιούνται για να γράψουμε τον αριθμό είναι το Δ = { 0, 1, 2, 3, 5 }. Ενώ λοιπόν το ψηφίο 1 εμφανίζεται τρεις φορές μέσα στον αριθμό , στο Δ το γράφουμε μία μόνο φορά. Τα στοιχεία ενός συνόλου είναι διακεκριμένα. Παρατηρήσεις: 1. Δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία εμφανίζονται τα στοιχεία ενός συνόλου, δηλ. τα { 1, 2, 4, 0 } και { 0, 1, 2, 4 } δεν αποτελούν διαφορετικά, αλλά ένα και το αυτό σύνολο. 2. Όταν χρησιμοποιούμε τις τρεις τελείες ( ), πρέπει να προσέχουμε να γίνεται φανερό ποια είναι τα στοιχεία που δεν αναγράφονται. Π.χ. εάν το σύνολο Γ που είδαμε σε προηγούμενο παράδειγμα το γράφαμε Γ = { 4, 6, 2, 8, }, θα είχαμε πρόβλημα. Ένα σύνολο που θα χρησιμοποιούμε είναι το λεγόμενο κενό σύνολο που το συμβολίζουμε με. Είναι ένα σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία. Δηλ. για οποιοδήποτε αντικείμενο α, ισχύει α. Έστω δύο σύνολα και Β. Θα λέμε ότι το είναι υποσύνολο του Β και θα γράφουμε Β, εάν κάθε στοιχείο του είναι και στοιχείο του Β, δηλ. εάν x τότε x Β. Εάν Β, λέμε ότι το περιέχεται στο Β και το Β περιέχει το.

2 2 Φυσικά, δύο σύνολα, Β είναι ίσα ανν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία., δηλ. εάν x τότε x Β και εάν x Β τότε x. Γράφουμε = Β. Παράδειγμα: Έστω ότι = { κ, α, λ } και Β = { x/x γράμμα της λέξης «καλά» }. Τότε = Β. Εάν, Β είναι δύο σύνολα ώστε Β και Β, τότε = Β. Επίσης εάν, Β είναι δύο σύνολα για τα οποία = Β, τότε Β και Β. Έστω ένα οποιοδήποτε σύνολο. Το κενό σύνολο δεν έχει στοιχεία. Άρα, κάθε στοιχείο του κενού, μιας και δεν υπαρχει, είναι και στοιχείο του. Άρα. Διαγράμματα του Venn: Τα διαγράμματα του Venn είναι ένας τρόπος να παριστάνουμε τα σύνολα θεωρώντας τα ως κλειστές περιοχές ενός επιπέδου. Θεωρούμε δε ότι τα σύνολα που μελετούμε είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω, το οποίο παριστάνουμε ως το εσωτερικό ενός ορθογωνίου. Στην περίπτωση που μελετούμε αριθμητικά σύνολα, είναι Ω = R. Για παράδειγμα, οι γνωστές μας σχέσεις N Z Q R, αποδίδονται με το εξής διάγραμμα Venn: R N Z Q σχήμα 1

3 3 Πράξεις μεταξύ συνόλων α) Το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των, Β το καλούμε τομή των, Β και το συμβολίζουμε με Β. Δηλαδη Β = { x/ x A και x B }. Είναι φανερό ότι Β = Β. A B σχήμα 2 Στην περίπτωση που δύο σύνολα, Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, όταν δηλ. είναι Β =, λέμε ότι τα, Β είναι ξένα. Β σχήμα 3 β) Έστω δύο σύνολα και Β. Το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του κι εκείνα του Β (τα κοινά και μη κοινά τους στοιχεία), το καλούμε ένωση των, Β και το συμβολίζουμε με Β. Δηλαδη Β = { x/ x A ή x B }. Είναι φανερό ότι Β = Β. A B σχήμα 4 Η ένωση δύο ξένων συνόλων αποτελείται από όλα τα μη κοινά τους στοιχεία μιας και κοινά στοιχεία δεν υπάρχουν (σχήμα 3). Παραδείγματα: 1. Έστω ότι = { 1, 2, 3, 5 } και Β = {1, 6, 8}. Τότε Β = { 1, 2, 3, 5, 6, 8 } και Β = { 1 } Β Ω = N σχήμα 5 2.Εάν όμως επιλέξουμε να είναι = { 1, 3, 5 } και Β = { 2, 4, 6 }, τότε ναι μεν Β = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } αλλά τα δύο σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία. Έτσι, Β =.

4 4 3. ρκετές πληροφορίες παιρνουμε από το διάγραμμα Venn: -Β Β Β- Β όπως το ότι η τομή είναι υποσύνολο καθενός εκ των, Β ή το ότι τα -Β, Β είναι ξένα. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι για τα σύνολα και Β ισχύουν: Β και Β Β ενώ Β και Β Β. Εάν τώρα υποθέσουμε ότι για τα σύνολα και Β είναι Β = Β. Τότε Β. Πράγματι, έστω x A. Τότε x Β και αφού Β = Β, έχουμε ότι x Β. φού λοιπόν για x A έχουμε x Β, έπεται ότι Β. Μπορείτε για να βεβαιωθείτε ότι κατανοήσατε τα προηγούμενα, να δικαιολογήσετε ότι εάν για τα σύνολα και Β είναι Β =, τότε Β. Θα δούμε τώρα κάποιες «πιο πολύπλοκες» ιδιότητες της τομής και της ένωσης. Έστω, Β, Γ τρία σύνολα. Ισχύουν: 1. ( Β) Γ = ( Γ) (Β Γ) και 2. ( Β) Γ = ( Γ) (Β Γ). Θα αποδείξουμε την πρώτη και ομοίως εργαζόμαστε για τη δεύτερη. Έστω x ( Β) Γ. Τότε x Β και x Γ, δηλαδη (x ή x Β) και x Γ. Άρα (x και x Γ ) ή (x Β και x Γ ), οπότε x Γ ή x Β Γ και τελικά x ( Γ) (Β Γ). Έπεται ότι ( Β) Γ ( Γ) (Β Γ). [1] Έστω τώρα ότι x ( Γ) (Β Γ). Τότε x Γ ή x Β Γ. Εάν x Γ τότε x και x Γ, άρα x Β και x Γ, δηλ. x ( Β) Γ. Εάν x Β Γ τότε x Β και x Γ, άρα x Β και x Γ, δηλ. πάλι x ( Β) Γ. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν έχουμε ότι εάν x ( Γ) (Β Γ), τότε x ( Β) Γ. Άρα ( Γ) (Β Γ) ( Β) Γ [2]. Εκ των [1] και [2], έπεται ότι ( Β) Γ = ( Γ) (Β Γ). Ω σχήμα 6

5 5 Σημείωση: υτό που κάναμε παραπάνω λέγεται απόδειξη. Δηλ. υποθέτοντας ότι ισχύουν κάποιες ιδιότητες και με λογικές διεργασίες καταλήξαμε σε κάποια νέα ιδιότητα Άλλες ιδιότητες: 1. = και =. 2. = και =. 3. Εάν Β = Β τότε Β. 4. Εάν Β, τότε Β = Β και Β =. Διαφορά δύο συνόλων: Έστω τα σύνολα και Β. Ονομάζουμε διαφορά του Β από το και συμβολίζουμε με -Β το σύνολο που αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία του που δεν περιέχονται στο Β. Δηλ. -Β = { x / x και x Β }. Για τη διαφορά -Β έχουμε ότι: -Β και (-Β) Β =. A-B σχήμα 7 Προσοχή: Τα σύνολα -Β και Β- δεν είναι ίσα. Όμως είναι (-Β) ( Β-) =, δηλ. είναι ξένα. Πράγματι, εάν υποθέσουμε ότι το σύνολο (-Β) ( Β-) δεν είναι το κενό, τότε θα περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο, έστω x. Τότε x (-Β) ( Β-), ή ισοδύναμα x -Β και x Β-. πό την x -Β έπεται ότι x και x Β, ενώ από την x Β- έπεται ότι x Β και x. Τελικά συμπεραίνουμε ότι x και x Β και x Β και x, που προφανώς αποτελεί αντίφαση. Υποθέτοντας λοιπόν ότι το σύνολο (-Β) ( Β-) δεν είναι το κενό, καταλήξαμε σε αντίφαση (σε άτοπο) και συνεπώς δε μπορεί παρά να αληθεύει ότι (-Β) ( Β-) =. Σημείωση: Στην προηγούμενη απόδειξη χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Κατ αυτήν υποθέτουμε ότι το συμπέρασμά μας είναι λάθος. Με λογικά επιχειρήματα και χρησιμοποιώντας ιδιότητες (σχέσεις) που ισχύουν καταλήγουμε σε κάτι που είναι γνωστό πως είναι λάθος. Άρα το συμπέρασμα στο οποίο έπρεπε να καταλήξουμε είναι σωστό. Για τη διαφορά δύο συνόλων έχουμε τις επιπλέον ιδιότητες: 1. -Β = -( Β), 2. Γ ( Β) = (Γ-) (Γ-Β), 3. Γ ( Β) = (Γ-) (Γ-Β). Για να αποδείξουμε τις παραπάνω σχέσεις, έχουμε: 1. Έστω x -Β.

6 6 Τότε x και x Β. φού x Β, έπεται ότι x Β. Δηλ. x και x Β ή ισοδύναμα x -( Β). Έπεται ότι -Β -( Β). [3] Έστω τώρα ότι x -( Β). Τότε x και x Β και συνεπώς x και x Β (διότι με x και x Β θα είχαμε x Β που δεν ισχύει). Άρα x -Β. Έπεται ότι -( Β) -Β. [4] Εκ των [3] και [4] έπεται ότι -Β = -( Β). 2. Έστω ότι x Γ ( Β). Τότε x Γ και x Β, δηλ. x Γ και (x ή x Β). Άρα είναι (x Γ και x ) ή (x Γ και x Β) που σημαίνει ότι x Γ- ή x Γ-Β, δηλ. x (Γ-) (Γ-Β). Έπεται ότι Γ ( Β) (Γ-) (Γ-Β). [5] Έστω τώρα ότι x (Γ-) (Γ-Β). Τότε (x Γ και x ) ή (x Γ και x Β). Άρα x Γ και ο x δεν είναι κοινό στοιχείο των, Β ή ισοδύναμα x Γ και x Β. Άρα x Γ ( Β) και συμπεραίνουμε ότι (Γ-) (Γ-Β) Γ ( Β). [6] πό τις σχέσεις [5] και [6] έπεται η αποδεικτέα. 3. Ομοίως με τη 2.

7 7 Η έννοια του συμπληρώματος σχέσεις τομής, ένωσης, διαφοράς ς υποθέσουμε ότι όλα τα σύνολα που χρησιμοποιούμε είναι υποσύνολα ενός συνόλου Ω. Για παράδειγμα, όταν ασχολούμαστε με σύνολα φυσικών αριθμών μπορούμε να πάρουμε ως Ω το σύνολο N ={ 0, 1, 2, }. Ω Για Ω, θέτουμε = Ω- και το καλούμε συμπλήρωμα του. Ω- σχήμα 8 Προσοχή: Για να γράψουμε πρέπει πρώτα να έχει αποσαφηνιστεί ποιο θα είναι το σύνολο Ω. Είναι φανερό ότι ( ) = Ω- = Ω-(Ω-) =. (Δικαιολογήστε.) Δηλαδη το συμπλήρωμα του συμπληρώματος ενός συνόλου είναι το ίδιο το σύνολο. Έχουμε δει ότι Γ ( Β) = (Γ-) (Γ-Β) και Γ ( Β) = (Γ-) (Γ-Β). Εάν θέσουμε το Ω στη θέση του Γ, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται: ( Β) = A B και ( Β) = A B και με τη μορφή αυτή είναι γνωστές ως κανόνες De Morgan. Έστω τώρα δύο υποσύνολα και Β ενός βασικού συνόλου Ω. Τότε Β =( ( Β) ) = (A B ). (Χρησιμοποιήσαμε την Β =( ( Β) ) και την ( Β) = A B.) Η τελευταία σχέση μας δίνει μια έκφραση της ένωσης συναρτήσει της τομής και του συμπληρώματος.