ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016

Transcript

1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και κανένα ψηφίο να μην επαναλαμβάνεται; Για να διαιρούνται ακριβώς με το 5 σημαίνει ότι υποχρεωτικά το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 5 (το 0 που θα ήταν άλλη επιλογή δεν μας δίνεται). Άρα τα υπόλοιπα 2 ψηφία θα επιλεγούν ανάμεσα από τα 2,3,6,7,9. Για το 1 ο έχουμε 5 επιλογές και για το 2 ο 4 επιλογές (δεν μπορούμε να έχουμε επανάληψη). Άρα συνολικά έχουμε 5 4 1=20 3ψήφιους αριθμούς Άσκηση 6.2 [1 μονάδα] Σε ένα σακούλι έχουμε 2 άσπρες μπάλες, 3 μαύρες και 4 κόκκινες. Με πόσους τρόπους μπορούμε να πάρουμε 3 μπάλες αν παίρνουμε τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα κάθε φορά; 1 ος τρόπος Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Παίρνουμε 3 μαύρες μπάλες 2. Παίρνουμε 2 μαύρες μπάλες και μια άλλη (όχι μαύρη) 3. Παίρνουμε 1 μαύρη μπάλα και δύο άλλες (όχι μαύρες) 1η περίπτωση: C(3,3)=1 τρόπος 2η περίπτωση: C(3,2) C(6,1)= 3 6=18 τρόποι 3η περίπτωση: C(3,1) C(6,2) = 3 15= 45 τρόποι Συνολικά (κανόνας του αθροίσματος) υπάρχουν =64 τρόποι 2 ος τρόπος Όλοι οι τρόποι να καταλήξουμε με 3 μπάλες οποιουδήποτε χρώματος είναι C(9,3). Από αυτούς, πρέπει να αφαιρέσουμε αυτούς που δεν έχουν καμία μαύρη μπάλα. Αυτοί είναι C(6,3). Όμως C(9,3)-C(6,3)= 64 τρόποι.

2 ***Προσοχή***: Στην επαναληπτική διάλεξη, πέρα από τους δύο παραπάνω τρόπους, είπα (λανθασμένα!) ότι θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ως εξής: ΠΕΙΡΑΜΑ1: Επιλέγω μια από τις 3 μαύρες μπάλες με C(3,1)=3 τρόπους. ΠΕΙΡΑΜΑ 2: Τις δύο μαύρες που περισσεύουν, τις ξανακάνω επιλέξιμες. Από τις 2 λοιπόν αυτές μαύρες συν τις 6 άλλου χρώματος (συνολικά 8) επιλέγω τις 2. Έτσι, θα έχω σίγουρα μια μαύρη μπάλα (το ζητούμενο) και άλλες δύο που μπορεί να είναι οποιεσδήποτε. Επομένως, το πλήθος που με ενδιαφέρει γράφεται C(3,1) C(8,2) = 3 28 = 84. Αυτό καταλήγει σε διαφορετικό αποτέλεσμα, το οποίο είναι εσφαλμένο!!! Ο λόγος είναι ότι αυτή η σειρά πειραμάτων, μολονότι είναι «φαινομενικά» σωστή, καταλήγει να προσμετρά περισσότερες από μία φορές κάποια ίδια ενδεχόμενα!!! Για παράδειγμα, αν επιλέξω στο ΠΕΙΡΑΜΑ 1 την μπάλα Μ1 και στο ΠΕΙΡΑΜΑ 2 τις μπάλες Μ2 και Κ3, τελικά θα έχω τις μπάλες Μ1, Μ2 και Κ3. Αν τώρα επιλέξω στο ΠΕΙΡΑΜΑ 1 την μπάλα Μ2 και στο ΠΕΙΡΑΜΑ 2 τις μπάλες Μ1 και Κ3, πάλι θα έχω τις μπάλες Μ1, Μ2 και Κ3. Μολονότι αυτά τα δύο αποτελέσματα είναι ίδια (έχω πάρει τις ίδιες μπάλες) οι δύο αυτές περιπτώσεις μετρώνται ως ξεχωριστές! Συγκεκριμένα, μετρώνται: 12 περιπτώσεις αν πάρω τις μπάλες Μ1, Μ2 και μια οποιουδήποτε άλλου χρώματος, 12 περιπτώσεις αν πάρω τις μπάλες Μ1, Μ3 και μια οποιουδήποτε άλλου χρώματος, 12 περιπτώσεις αν πάρω τις μπάλες Μ2, Μ3 και μια οποιουδήποτε άλλου χρώματος, 3 περιπτώσεις αν πάρω τις μπάλες Μ1, Μ2, Μ3 και καμία άλλη, ενώ στην πραγματικότητα είναι 1. Επομένως, έχουμε προσμετρήσει περιπτώσεις που δεν θα έπρεπε Πράγματι, υπολογίσαμε 84 αντί του σωστού 64 Τελικό συμπέρασμα: Χρειάζεται μεγάλη προσοχή!!! Άσκηση 6.3 [1 μονάδα] Επιλέγουμε 7 χαρτιά από μια τράπουλα. Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να τραβήξουμε: 1. Μόνο 6αρια, 7αρια και 8αρια 2. Καθόλου 6αρια, 7αρια και 8αρια 3. Ακριβώς 2 Ντάμες ή ακριβώς δύο Βαλέδες 4. Δύο από τα χαρτιά πρέπει να είναι ντάμα ή βαλές. Τα υπόλοιπα μπορεί να είναι οτιδήποτε εκτός από ντάμα και βαλές σπαθιά και 5 κούπες 1. C(12,7) = 792

3 2. C(40,7) = C(4,2) C(48,5) + C(4,2) C(48,5) = C(8,2) C(44,5)= C(13,2) C(13,5)= Άσκηση 6.4 [1.5 μονάδα] To PIN ενός κινητού τηλεφώνου είναι ένας τετραψήφιος αριθμός (π.χ ή 0592). Πόσα διαφορετικά PINs μπορούν να οριστούν αν: Α. Κανένα ψηφίο δεν επαναλαμβάνεται Β. Το ψηφίο 1 πρέπει να συμπεριλαμβάνεται τουλάχιστον 1 φορά Γ. Το τελευταίο ψηφίο δεν μπορεί να είναι 0 ούτε μπορεί να έχει δύο συνεχόμενα μηδενικά. Δ. Όλα τα ψηφία είναι πρώτοι αριθμοί Ε. Τουλάχιστον ένα ψηφίο είναι πρώτος αριθμός Α.! = 5040 (Διάταξη χωρίς επανάληψη)! Β. Μπορούμε να έχουμε 1 φορά το 1 σε οποιαδήποτε από τις 4 θέσεις και τα υπόλοιπα ψηφία να είναι 3 από τα {0,2,3,4,5,6,7,8,9} οπότε έχουμε =2916 επιλογές, ή 2 φορές το 1 σε οποιεσδήποτε θέσεις και τα υπόλοιπα 2 από 9 ψηφία =486 επιλογές- ή 3 φορές το 1 και 1 ακόμη ψηφίο σε οποιαδήποτε θέση - 4 9=36 επιλογές - ή 4 φορές το επιλογή. Συνολικά έχουμε (κανόνας του αθροίσματος) =3439 επιλογές Γ. Έστω ότι ο 4ψήφιος αριθμός γράφεται σαν ABCD (Α το πρώτο ψηφίο, Β το δεύτερο κοκ) Υπάρχουν οι εξής αποδεκτές περιπτώσεις: 1. Α 0 και Β=0 (οπότε C 0) 2. Α 0 και Β 0 3. Α=0 και Β 0 και D 0 για όλες τις περιπτώσεις Οι 3 παραπάνω περιπτώσεις καλύπτουν όλες τις επιλογές ενώ είναι ξένες μεταξύ τους Οι αποδεκτοί 4ψήφιοι που προκύπτουν από την 1 η περίπτωση είναι =729 (9 δυνατά ψηφία για τον Α, 1 για τον Β, 9 για τον C και 9 για τον D)

4 Από τη 2 η περίπτωση προκύπτουν = ψήφιοι (9 δυνατά ψηφία για τον Α, 9 για τον Β, 10 για τον C και 9 για τον D) Από την 3 η περίπτωση προκύπτουν =810 4ψήφιοι (Ο Α είναι 0, 9 δυνατότητες για τον Β, 10 για τον C και 9 για τον D) Από τον κανόνα του αθροίσματος και εφόσον από τις παραπάνω περιπτώσεις δεν προκύπτουν κοινοί αριθμοί έχουμε συνολικά 8829 επιλογές. Δ. Τα A,B,C,D παίρνουν τιμές από το {2,3,5,7}. 4 4 περιπτώσεις. (Διάταξη με επανάληψη) Ε. Υπολογίζουμε πόσοι 4ψήφιοι αριθμοί δεν περιέχουν πρώτο αριθμό. Είναι αυτοί που σχηματίζονται από τα ψηφία 0,1,4,6,8,9 και είναι 6 4. Οι υπόλοιποι =8704 περιέχουν πρώτο αριθμό. Άσκηση 6.5 [1 μονάδα] Στο ΛΟΤΤΟ επιλέγουμε 6 από 49 αριθμούς. Πόσες είναι οι διαφορετικές επιλογές που μπορούμε να κάνουμε αν η διαφορά ανάμεσα στο μεγαλύτερο και το μικρότερο αριθμό είναι 30; Για να υπολογίσουμε τις 6άδες κάτω από αυτό τον περιορισμό πρέπει να υπολογίσουμε ποιος μπορεί να είναι ο μικρότερος αριθμός. Αν ο μικρότερος είναι ας πούμε ο k, τότε ο μεγαλύτερος θα είναι ο k+30 και οι υπόλοιποι 4 αριθμοί θα επιλεγούν από το σύνολο {k + 1, k + 2,..., k + 29} με πληθικό αριθμό 29. Γνωρίζουμε ότι 1 k και k άρα 1 k 19. Έχουμε λοιπόν 19 επιλογές για τον k και C(29,4) τρόποι επιλογής των υπόλοιπων 4 αριθμών. Συνολικά έχουμε 19 C(29, 4) = = επιλογές (Κανόνας του γινομένου) Άσκηση 6.6 [1.5 μονάδα] Η λέξη ΒΑΡΕΤΟΣ έχει 7 γράμματα μεταξύ των οποίων 3 φωνήεντα. Με πόσους τρόπους μπορούμε να την αναγραμματίσουμε έτσι που τα φωνήεντα να βρίσκονται συνεχόμενα (π.χ. ΡΒΤΣΕΟΑ ή ΣΒΟΑΕΡΤ) Καταρχήν παρατηρούμε ότι όλα τα γράμματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους Θα θεωρήσουμε τα 3 φωνήεντα σαν ένα γράμμα, οπότε πρέπει να αναγραμματίσουμε μια λέξη με 5 γράμματα: Β, Ρ, Τ, Σ και ΕΟΑ Προκύπτουν 5! = 120 αναγραμματισμοί.

5 Τα 3 φωνήεντα όμως μπορούν να θεωρηθούν ως ένα γράμμα με 3!= 6 τρόπους. Συνεπώς συνολικά έχουμε 120 6=720 αναγραμματισμούς Άσκηση 6.7 [1.5 μονάδα] Με πόσους τρόπους μπορούν να σταθούν στη σειρά 10 αγόρια και 10 κορίτσια ώστε να εναλλάσσονται (δεν στέκονται 2 αγόρια ή 2 κορίτσια συνεχόμενα) Κατ αρχήν τοποθετούμε τα 10 αγόρια. Αυτά μπορούν να σταθούν στη σειρά με 10! διαφορετικούς τρόπους. Στη συνέχεια τοποθετούμε τα 10 κορίτσια ανάμεσά τους Αυτά μπορούν επίσης να σταθούν στη σειρά με 10! διαφορετικούς τρόπους. Όταν μπουν τα κορίτσια ανάμεσα στα αγόρια, μπορούν να μπουν με 2 διαφορετικούς τρόπους (η σειρά μπορεί να αρχίζει με κορίτσι ή να αρχίζει με αγόρι) Αν δηλαδή αρχικά τοποθετήσουμε τα 10 αγόρια όπως φαίνεται παρακάτω Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 Α 5 Α 6 Α 7 Α 8 Α 9 Α 10, όταν τοποθετήσουμε και τα 10 κορίτσια η σειρά μας θα μπορεί να είναι Α 1Κ 1Α 2 Κ 2 Α 3 Κ 3Α 4 Κ 4Α 5 Κ 5Α 6 Κ 6Α 7 Κ 7Α 8 Κ 8 Α 9 Κ 9Α 10 Κ 10 ή Κ 1Α 1Κ 2Α 2 Κ 3 Α 3 Κ 4Α 4 Κ 5Α 5 Κ 6Α 6 Κ 7Α 7 Κ 8Α 8 Κ 9 Α 9 Κ 10Α 10 Συνολικά λοιπόν έχουμε 10! 10! + 10! 10! = 2 10! 10! τρόπους Άσκηση 6.8 [1.5 μονάδα] Στο Σούπερ Μάρκετ της γειτονιάς έχει 5 ειδών μπύρες: Άλφα, Fix, Mythos, Amstel και Heineken. Χρειαζόμαστε 8 εξάδες για το πάρτι μας απόψε. Α. Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς από εξάδες μπορούμε να πάρουμε? Β. Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς από εξάδες μπορούμε να πάρουμε αν πρέπει να έχουμε τουλάχιστον 1 εξάδα από κάθε μάρκα; Α. C(5+8-1,8)=C(12,8)=495 (Συνδυασμοί με επανάληψη) Β. Πρώτα παίρνουμε 1 εξάδα από κάθε μάρκα. Στη συνέχεια πρέπει να επιλέξουμε 3 ακόμη εξάδες από τα 5 είδη, που μπορούμε να το κάνουμε με C(5+3-1,3)=C(7,3)=35 τρόπους.