Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Transcript

1 Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x A x(x 1) x, τότε η παράσταση ορίζεται για x 0 και x 1 Σ Λ β. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0 με Δ 0 έχει δύο ρίζες άνισες γ. Για την εξίσωση αx + βx + γ = 0 με α 0 ισχύει ότι : S και P Σ Λ δ. Αν α=β, τότε Σ Λ ε. Η εξίσωση αx+β=0 για α=0 και β=0 είναι αόριστη. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) (5x 1)(3x ) x Σ Σ Λ Λ (3 μονάδες/ερώτημα) α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να υπολογίσετε το f(1) β) Να λυθεί η εξίσωση x x 1 (1) για τις διάφορες τιμές του (8 μονάδες) (8 μονάδες) γ) Να λυθεί η εξίσωση: ταυτότητα. (x 1) x 1 f (1) 0 όταν η εξίσωση (1) είναι (9 μονάδες) Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικοί) Σελίδα 1

2 Θέμα 3 Σε ένα σχολείο που έχει 10 μαθητές, θα πάνε στην εκδρομή οι 80 μαθητές. Από τους μαθητές του σχολείου 70 μαθητές είναι καλοί στα Μαθηματικά, 30 μαθητές είναι καλοί στα Αρχαία και 0 μαθητές είναι καλοί και στα δυο παραπάνω μαθήματα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α. να μην πάνε στην εκδρομή (6 μονάδες) Β. να είναι καλοί τουλάχιστον σε ένα από τα παραπάνω μαθήματα (6 μονάδες) Γ. να μην είναι καλοί ούτε στα Μαθηματικά ούτε στα Αρχαία (7 μονάδες) Δ. να είναι καλοί μόνο στα Μαθηματικά (6 μονάδες) Θέμα 4 Δίνεται η εξίσωση: x ( 1)x 0 (1) α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες x 1, x άνισες για κάθε λ. (5 μονάδες) β. Αν λ(3, ) να δείξετε ότι η (1) δεν έχει ρίζες αντίστροφες. (6 μονάδες) γ. Να βρείτε το λ ώστε οι αριθμοί x1 x,,x1x να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. (6 μονάδες) δ. Να βρείτε το λ ώστε για τις ρίζες x 1, x της εξίσωσης (1) να ισχύουν συγχρόνως: x x 3 3 x x 13 και 5x 5x 10 (8 μονάδες) Ευχόμαστε Επιτυχία! Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικοί) Σελίδα

3 Απαντήσεις Θέμα 1 Α. Σχολικό βιβλίο σελ:34 Β. α Λ, β Λ, γ Σ, δ Σ, ε Σ Θέμα α) Θα πρέπει το υπόριζο του αριθμητή να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός και ο παρανομαστής διάφορος από το μηδέν. Δηλαδή: x 0 x x x (5x 1)(3x ) 0 15x 10x 3x 0 15x 13x 0 Το τριώνυμο 15x 13x 0 έχει 15, 13. Επομένως η διακρίνουσα είναι: Και οι ρίζες x,x 1 είναι: x : , x Άρα το τριώνυμο γράφεται: 15x 13x 15x x 3 10 Συνεπώς, οι σχέσεις (1) δίνουν: ό ύ : όώ ό, ή x 13x 0 15x x 0 x ή x x x x x x x Σχηματικά: (1) Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικοί) Σελίδα 3

4 Άρα το πεδίο ορισμού της δοθείσας συνάρτησης είναι: 3 x (, ),, (, ) 10 3 Για να υπολογίσουμε το f(1) αντικαθιστούμε στη συνάρτηση f όπου x 1. Είναι αναλυτικά: β) (5x 1)(3x ) x1 (511)(31) (5 1)(3) f(x) f(1) f(1) x f(1) f(1) 4 f(1) 1 x x 1 ( 1)x 1 ( 1)( 1)x 1 () ( 1)( 1) 011ό έήύ 1 1 x ( 1)( 1) ( 1) 1 ό 0x 0 ό 1ό 0x ύ γ) Είναι: ί : έ x x x1 f(1) (x 1) x 1 f (1) 0 x 1 x 1 f (1) 0 f (1) 0 0 Το τριώνυμο 0 έχει 1, 1. Επομένως η διακρίνουσα είναι: Και οι ρίζες 1, είναι: : 4 ( 1) 41 ( ) 18 9 Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικοί) Σελίδα 4

5 , 1 Για 1 έχουμε: x1 x1 ή x1 x 3 ή x 1 Για 1 έχουμε: x1 1ίά Συνεπώς, x 3 ή x 1 Θέμα 3 Ο δειγματικός χώρος Ω είναι τα 10 παιδιά. Άρα Ν(Ω) = 10 Έστω Ε το ενδεχόμενο να πάνε τα παιδιά στην εκδρομή. Άρα Ν(Ε) = 80 Έστω Μ το ενδεχόμενο τα παιδιά να είναι καλοί στα Μαθηματικά. Άρα Ν(Μ) = 70 Έστω Α το ενδεχόμενο τα παιδιά να είναι καλοί στα Αρχαία. Άρα Ν(Α) = 30 Και εφόσον 0 μαθητές είναι καλοί και στα δυο μαθήματα έχουμε Ν(Α Μ) = 0 Α. Ρ(Ε ) = 1 Ρ(Ε) = 1 = 1 = = Β. Ρ(Α Μ) = Ρ(Α) + Ρ(Μ) Ρ(Α Μ) = Γ. Ρ[(Α Μ) ] = 1 Ρ(Α Μ) = 1 = Δ. Ρ(Μ Α) = Ρ(Μ) Ρ(Α Μ) = Θέμα 4 + = + = = = = α. x (1)x 0 Είναι α = 1, β = (λ+1), γ = λ Άρα Δ= [ (1)] 4( ) > 0 για κάθε λr. Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε λr. β. Για να έχει η εξίσωση δύο ρίζες αντίστροφες θα πρέπει το γινόμενό τους να ισούται με 1,δηλ. P άτοπο διότι λ(3, ) Άρα η (1) δεν έχει ρίζες αντίστροφες αν λ(3, ). γ. Αφού x 1, x ρίζες της εξίσωσης (1) έχουμε: x1 x 1 και x1 x Θα πρέπει να ισχύει x1x x1x 1 1 Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικοί) Σελίδα 5

6 δ. Αφού x 1, x ρίζες της εξίσωσης (1) έχουμε: x1 x 1 και x1 x Άρα από τη σχέση που μας δίνεται έχουμε: x x x x x x (x x ) x x ( 1) ( ) Από τη σχέση που μας δίνεται έχουμε: 3 3 5x 5x 0 5(x 3 x 3 ) 0 x 3 x (x x )(x x x x ) 0 (1)(4 5) (1)(4 7) 0 Όμως Άρα θα πρέπει: διότι Δ < 0 και α = 4 >0 Τελικά από (1) και () έχουμε 1 10 () 3 Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικοί) Σελίδα 6