Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Transcript

1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο ( ) = παραλληλογραμμο ηλαδη οι παραλληλες, εχουν κοινο σημειο, οποτε ταυτι- ζονται που σημαινει,, συνευθειακα σημεια. ν και ειναι τα μεσα των πλευρων και αντιστοιχως, παραλληλογραμ- µου, να αποδειξετε οτι οι, και συντρεχουν. Το ειναι παραλληλογραμμο, αρα οι διαγωνιες του, διχοτομουνται σημειο. Το ειναι παραλληλογραμμο ( =, μισα απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου) και η μια διαγωνιος του ειναι η με μεσο το σημειο. ρα και η αλλη διαγωνιος του θα διερχεται απ'το σημειο. ειξτε οτι τα μεσα των διαγωνιων και τα μεσα δυο απεναντι πλευρων κυρτου τετραπλευρου ειναι κορυφες παραλληλογραμμου. Στο τριγ. : Κ, μεσα των,, αρα Κ = (1) Στο τριγ. : Ν, μεσα των,, αρα Ν = () πο (1),() : Κ = Ν που σημαινει ΚΝ παραλληλογραμμο. Κ Ν ειξτε οτι τα μεσα των πλευρων μη κυρτου τετραπλευρου ειναι κορυφες παραλληλογραμμου. Φερνω το. Στο τριγ. : Κ, μεσα των,, αρα Κ = (1) Στο τριγ. :, Ν μεσα των,, αρα Ν = () πο (1),() : Κ = Ν που σημαινει ΚΝ παραλληλογραμμο. Ν Κ

2 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) ι διαμεσοι, τριγωνου τεμνονται στο Θ. ν, ειναι τα μεσα των Θ, Θ αντιστοιχα, να δειχτει οτι το ειναι παραλληλογραμμο. τρ. :, μεσα, αρα = = τρ.θ :, μεσα, αρα = παραλληλογραμμο. Θ A Θεωρουμε τριγωνο και Ρ το μεσο της διαμεσου. ν Σ σημειο της ωστε Σ =, να δειχτει οτι ΣΡ =. 4 4 Ν ιναι Σ = = =. στω Ν μεσο της. 4 Ν τρ.ν : Ρ,Σ μεσα, αρα ΡΣ = ΡΣ = = 4 τρ. :,Ν μεσα, αρα Ν = Να δειχτει οτι τα μεσα πλευρων ορθογωνιου σχηματιζουν ρομβο, ενω τα με - σα των πλευρων ρομβου σχηματιζουν ορθογωνιο. τρ. : Θ, μεσα, αρα Θ = Θ = τρ. :, μεσα, αρα = Θ παραλληλογραμμο. μως = = = Θ που σημαινει οτι Θ ρομβος. Θ Ρ Σ Ν τρ. : Θ, μεσα, αρα Θ = Θ = τρ. :, μεσα, αρα = Θ παραλληλογραμμο. μως, Θ, Θ, που σημαινει οτι Θ ορθογωνιο. Θ

3 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 3 Στις πλευρες του παραλληλογραμμου θεωρουμε τα ισα τμηµατα Κ = = = Ν. ειξτε οτι το ΚΝ ειναι παραλληλογραμμο. Κ = (υποθεση) Ν = (διαφορα ισων) Κ Ν = και ΚΝ = (1) = ( παραλληλογραμμο) = Ν (υποθεση) Κ = (διαφορα ισων) Κ = Ν και Κ = Ν () = ( παραλληλογραμμο) πο (1), () : ΚΝ ειναι παραλληλογραμμο. Σε π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο τα σημεια, ειναι μεσα των, α ντιστοιχα, οπου το σ η μ ε ι ο τομης των δ ι α γ ων ι ω ν του. Να δειξετε οτι το ειναι παραλληλογραμμο. φου ειναι παραλληγραμμο τοτε και διχοτομουν - ται, δηλαδη = (1) και = (). τσι μεσο = + = + = = (3) μεσο πο (1) και (3) προκυπτει οτι το ειναι παραλληλογραμμο. Ν Κ ν, ειναι τα μεσα των πλευρων, ενος παραλληλογραμμου, να δειξετε οτι οι ευθειες, τριχοτομουν την διαγωνιο. ιναι = (μισα απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου), αρα. Στο τριγωνο : μεσο της και Κ. ρα Κ μεσο της και Κ = Κ (1) Στο τριγωνο : μεσο της και Κ. ρα μεσο της Κ και Κ = Κ () πο (1) και () προκυπτει : Κ = Κ = Κ. Κ Στις πλευρες,,, ενος παραλληλογραμμου, παιρνουμε τα σημεια,,,θ ωστε Θ παραλληλογραμμο. ειξτε οτι = και Θ=. Θ = (απεναντι πλευρες παρ / μου) -Π- = (απεναντι γωνιες παρ / μου) Θ = αρα Θ =, = Θ = (πλευρες παραλληλες) Θ

4 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 4 στω το μεσο της διαμεσου τριγωνου. ν η τεμνει την στο να δειξετε οτι =. Φερνουμε. Στο τριγωνο : μεσο και. ρα μεσο της και = (1). Στο τριγωνο : μεσο και. ρα μεσο της και = (). πο (1) + () : + = + + = = (1) πο τις κορυφες και παραλληλογραμμου φερνουµε καθετες προς τη διαγωνιο, τις Κ και αντιστοιχα. ν, Ν τα μεσα των, αντιστοιχα να δειξετε οτι τα Κ,,, Ν ειναι κορυφες παραλληλογραμμου. Το τετραπλευρο Ν ειναι παραλληλογραμμο, αφου = Ν (μισα απεναντι πλευρων ). ρα εχει διαγωνιες, Ν που διχοτομουνται στο. Το τετραπλευρο Κ ειναι παραλληλογραμμο, αφου Κ = ( = : =, =, = και καθετα στην ιδια ευθεια αρα παραλληλα). ρα εχει διαγωνιες, Κ που διχοτομουνται στο. τσι το ΚΝ ειναι παραλληλογραμμο αφου οι διαγωνιες του διχοτομουνται. Κ Ν πο τις κορυφες και παραλληλογραμμου φερνουµε καθετες προς τη διαγωνιο, τις Κ και αντιστοιχα. ν, Ν τα μεσα των, αντιστοιχα να δειξετε οτι τα Κ,,, Ν ειναι κορυφες παραλληλογραμμου. Παιρνω μεσο του Κ. Το ειναι και μεσο της γιατι τα τριγωνα Κ, ειναι ισα (ορθογωνια, =, Κ = ) Κ= δηλαδη : Κ = Κ + Κ = + =. Σημ. : Το ιδιο αποτελεσμα αν χρησιμοποιουσαμε το παραλλη - λογραμμο Κ (προηγουμενη ασκηση). Το ειναι κεντρο συμμετριας του και τα, Ν συμμετρι - κα ως προς. ηλαδη η Ν διερχεται απ'το και = Ν. τσι το ΚΝ ειναι παραλληλογραμμο αφου οι διαγωνιες του διχοτομουνται. Κ Ν

5 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 5 ν, ειναι τα μεσα των πλευρων, αντιστοιχως ορθογωνιου, το σημειο τομης των, και Θ το σημειο τομης των,, να αποδειξετε οτι το Θ ειναι ρομβος Τα ορθογωνια και ειναι ισα (ισες πλευρες) οπο - τε οι διαγωνιες τους (και τα μισα τους) θα ειναι ισες. τσι : = = Θ = Θ (1) Τα ισοσκελη τριγωνα και Θ ειναι ισα (Π - Π - Π) αρα = Θ Θ και = Θ Θ ρα Θ ειναι παραλληλογραμμο () πο (1), () προκυπτει το ζητουμενο. π'τη κορυφη τριγωνου φερνω τις καθετες, προς τις διχοτομους (εσωτερικη - εξωτερικη) της γωνιας. Να δειχτει οτι : ειναι ορθογωνιο. ιναι + εξ = 18, οποτε = 9 και τοτε και τοτε παραλληλογραμμο και επειδη = 9 ειναι ορθογωνιο. To τριγωνο Κ ειναι ισοσκελες (απο ορθογωνιο) και ειναι : Κ = Κ + Κ = Κ = =. ι Κ, ειναι εντος - εκτος επι ταυτα, αρα. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) φερνω το υψος. διχοτομος της γωνιας τεμνει τη διχοτομο της γωνιας στο. ν ειναι το μεσο της πλευ - ρας, να δειχτει οτι : το τριγωνο ειναι ισοσκελες. =, = (συμπληρωματικες της, αντιστοιχα) (1) Προεκτεινω που τεμνει την στο. = + (εξωτερικη τριγ. ) =, οποτε τριγ.ισοσκελες = + (λογω (1)) μως στο τριγ. η διχοτομος, αρα και υψος και διαμεσος. Στο ορθογωνιο τριγωνο η διαμεσος, οποτε =, δηλαδη το τριγωνο ισοσκελες. Στo τριγωνο :, μεσα των, οποτε. Κ Θ

6 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 6 ινεται παραλληλογραμμο. Πανω στις, αντιστοιχα, θεωρουμε σημεια, τετοια ωστε =. ν Κ, μεσα των, αντιστοιχα, να δειξετε οτι το Κ ειναι παραλληλογραμμο και οτι οι Κ,, συντρεχουν. στω η τομη των διαγωνιων του παραλληλογραμμου. Στο : Κ μεσο και μεσο. τσι Κ = (1) Στο : μεσο και μεσο. τσι = () = (3) σαν διαφορες ισων τμηματων. πο (1),(),(3) : Κ =,δηλαδη μεσο του Κ. Τελικα το Κ ειναι παραλληλογραμμο αφου οι διαγωνιες του και Κ διχοτομουνται. Κ Σε παραλληλογραμμο ειναι = και το υψος. ν, ειναι τα μεσα των πλευρων, αντιστοιχα, να δειχτει οτι η διχοτομει τη γωνια. Στο ορθογωνιο τριγωνο η ειναι διαμεσος, οποτε : = = = = ισοσκελες και = (1) που τεμνει η, αρα = () (εντος εναλλαξ) πο (1),() : =, δηλαδη διχοτομος της. Σ ενα τριγωνο, με = 45 και = 3 φερνουμε τη διαμεσο. Να δειχτει οτι = 3. Φερνουμε το υψος. Στο ορθογωνιο τριγωνο η ειναι διαμεσος, οποτε : = = = = (αφου = 3 ), δηλαδη τριγωνο ισοπλευρο και = 6 = 15-6 = 45. μως και = 45, αρα το τριγωνο ισοσκελες. = Στο τριγωνο : = + = 9-6 = = 15 Τελικα : = - = = 3

7 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 7 Aν, ειναι αντιστοιχως τα μεσα των πλευρων και παραλληλογραμμου, να αποδειξετε οτι οι και τριχοτομουν τη διαγωνιο. στω η τομη των διαγωνιων του παραλληλογραμμου. Στο : Θ το βαρυκεντρο και Θ = = = (1) Στο : το βαρυκεντρο και = = = () Θ = - Θ - = - - = (3) πο (1),(),(3) προκυπτει το ζητουμενο. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με = 3 και μεσο της υποτεινουσας η μεσοκαθετη της τεμνει την στο. ειξτε οτι ==/3. Τα ορθογωνια τριγωνα και ειναι ισα γιατι : = ( μεσοκαθετη) = (1) = ( ορθογωνιο, = 3 ) Στο ορθογωνιο τριγωνο, = 3, οποτε (1) = = - 3 = = 3 Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με υψος ισχυει =4. Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου. Φερνουμε την διαμεσο. ιναι γνωστο οτι = =. ιναι : = 4 = 4 = που σημαινει για το ορθογωνιο τριγωνο οτι = 3. = Στο τριγωνο : = + 3 = = 15 κομη, = 9 - = 9-15 = Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με υψος και = 15 να δειξετε οτι ισχυει =4. Φερνουμε την διαμεσο. ιναι γνωστο οτι = =. = Στο τριγωνο : = + = = 3. ια το ορθογωνιο τριγωνο η = 3 οποτε = = = =

8 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 8 ινεται ισοσκελες τραπεζιο ( ) με = = και =. Να βρεθουν οι γωνιες του τραπεζιου. Τριγ. ισοσκελες : 1 = 1 = = 1 : 1 = Στο τριγωνο ( = ) : = (= ) 3 = 1 + = + = =. τσι = = 36 5 = 36 = 7 = και = 18 - = 18-7 = 18 = Σε τριγωνο εχουμε υψος και Κ,, τα μεσα των πλευρων του,, αντιστοιχα. Να δειχτει οτι το Κ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Στο τριγωνο (, μεσα των, ) : που σημαινει οτι Κ τραπεζιο. Στο τριγωνο (Κ, μεσα των, ) : Κ = (1) Στο τριγωνο : = 9 και διαμεσος : = () πο τις (1) και () Κ = που σημαινει οτι το τραπεζιο Κ ειναι ισοσκελες. Σε ισοσκελες τραπεζιο ( = ) να δειξετε οτι οι μεσοκαθετες των μη παραλληλων πλευρων τεμνονται σε σημειο που ισαπεχει απ'τις κορυφες. φου, Ν ειναι μεσοκαθετοι των και αντιστοιχα : = και = (1) Φερνω την Ν που ειναι παραλληλη στις βασεις και ειναι : = Ν () μισα ισων πλευρων, και Ν = Ν (3) αφου και Ν ισοσκελες τραπεζιο. πο (3) : Ν = Ν 9 - Ν = 9 - Ν Ν = Ν αρα το τριγωνο Ν ισοσκελες και = Ν (4) Τα τριγωνα και Ν ειναι ισα γιατι : ρθογωνια = Ν απο () = (5) = Ν απο (4) πο (1) και (5) : = = =. 1 1 Κ Ν

9 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 9 ινεται ορθογωνιο τραπεζιο ( = = 9 ) και το υψος του. ν = και = 3, να δειχτει οτι : Το ειναι τετραγωνο διχοτομει το υψος. Το τετραπλευρο ειναι ορθογωνιο (,, = 9 ) οποτε = =. ρα = = (1) = = 18 4 = 18 + = 18 ( ) = 45 ισοσκελες ρα =, οποτε λογω της (1) το ειναι τετραγωνο. = οποτε ειναι παραλληλογραμμο και οι διαγωνιες του διχοτομουνται. ρα διχοτομει το. ο Θεωρουμε τραπεζιο με = = 9, = και = 3. Φερουμε την που τεμνει την στο Κ και την που τεμνει την στο. ο Να δειχτει οτι : = 45 = Κ = 4 ιναι =, = 3, = = 9. + = = 18 4 = 18 = 45 = (αποστασεις παραλληλων) και = 9,αρα A B ορθογωνιο και κατα συνεπεια =. K π'τα πιο πανω ειναι = = και. τσι το ειναι παραλληλογραμμο και το Κ μεσο της. μως και το ειναι μεσο της, οποτε στο τριγωνο : Κ = = =. 4 E υθεια ε περναει απο τη κορυφη και αφηνει το παραλληλογραμμο προς το ιδιο μερος της. ν ', ', ' ειναι οι αποστασεις των,, απ'την ε αντι - στοιχα, να δειχτει οτι : ' = ' + '. ' ειναι διαμεσος του τραπεζιου '' και '+ ' ' = (1) ' Στο τριγωνο ' (,' μεσα των, '') : ' = () ' '+ ' πο (1) και () : = '= '+ '

10 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 ν,,, και Κ ειναι αντιστοιχως οι προβολες των κορυφων και του κεντρου Κ παραλληλογραμμου σε μια ευθεια ε που αφηνει ολες τις κορυφες προς το ιδιο μερος της, να αποδειξετε οτι: = 4ΚΚ ΚΚ' ειναι διαμεσος του τραπεζιου '' και '+ ' ΚΚ' = (1) ΚΚ' ειναι διαμεσος του τραπεζιου AA'' και '+ ' ΚΚ' = () '+ ' πο (1) + () : ΚΚ' = + '+ '+ '+ ' ΚΚ' = '+ ' 4ΚΚ' = '+ '+ '+ '. ινεται ισοσκελες τριγωνο ( = ) και μεσο της πλευρας. Φερνουμε τη μεσοκαθετη της που τεμνει την στο. ν, να α - ποδειξετε οτι =. (υποθεση) ειναι ισοσκελες τραπεζιο = ( ισοσκελες) και = (1) ειναι μεσοκαθετη της, αρα = () πο (1), () : = ινεται τραπεζιο ( ) και μεσο της πλευρας. ν = + να δειξετε οτι = 9. Φερνουμε τη διαμεσο Ν. + ιναι Ν = = Στο τριγωνο, η Ν ειναι διαμεσος στην πλευρα και ισχυει Ν =. ρα το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με = 9. Ν

11 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 11 Eστω τραπεζιο ( ) με =+. Να δειξετε οτι οι διχοτομοι των γωνιων και τεμνονται σε σημειο που βρισκεται πανω στην. στω οτι η διχοτομος της γωνιας τεμνει τη στο. Θα δειξουμε οτι η ειναι διχοτομος της γωνιας. = ( διχοτομος) ειναι ισοσκελες = (εντος εναλλαξ, ) αρα = (1) π'την υποθεση : = + = + - = = που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες. τσι =, = ( ειναι ισοσκελες) αρα η = (εντος εναλλαξ, ) διχοτομος της. (1) ινεται παραλληλογραμμο και το συμμετρικο του σημειου ως προς τη διαγωνιο. Να αποδειχθει οτι το ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Φερνω τις διαγωνιες του που τεμνονται στο και το συμμετρικο του ως προς τη. Στο τριγωνο :, τα μεσα των πλευρων και αντιστοιχα. ρα που σημαινει : τραπεζιο. = μεσοκαθετη της, οποτε = = =. ρα το τραπεζιο ειναι ισοσκελες αφου =. Σε τραπεζιο η βαση ειναι διπλασια της βασης. ειξτε οτι οι διαγωνιες, τριχοτομουν τη διαμεσο Ν. Ν ειναι παραλληλη στις βασεις και τεμνει τισ, στα σημεια, αντιστοιχα. τσι : μεσο μεσο της και = (1) : Ν μεσο μεσο της και Ν = () Ν φου, μεσα των διαγωνιων, τοτε : - - = = = (3) π'τις (1),(),(3) προκυπτει το ζητουμενο. Ν