Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Transcript

1 Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης

2 Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου περικλείει αυτή η επιφάνεια: Η κλειστή επιφάνεια λέγεται συχνά επιφάνεια Gauss. Ο νόµος του Gauss έχει θεµελιώδη σηµασία στη μελέτη των ηλεκτρικών πεδίων.

3 Νόμος Gauss - Διατύπωση Έστω ένα θετικό σημειακό φορτίο q. Το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r απ το φορτίο είναι: ( r) = K r Θεωρούμε σφαιρική επιφάνεια, με κέντρο το φορτίο και ακτίνα r. Το διάνυσμα της έντασης του πεδίου είναι ακτινικό, δηλαδή κάθετο σε κάθε σημείο της επιφάνειας. Διαιρούμε την επιφάνεια σε Ν στοιχειώδεις επιφάνειες ΔΑ i. Κάθε διάνυσμα A είναι εξ ορισμού ακτινικό, με φορά έξω απ την επιφάνεια. Άρα: / / A i δηλ. η μεταξύ τους γωνία είναι φ = Η ηλεκτρική ροή μέσα απ την επιφάνεια είναι: q N N N = i A = A cosφ = A = A i i i ( cosφ = 1) i= 1 i= 1 i= 1

4 Νόμος Gauss - Διατύπωση Το εμβαδό της επιφάνειας μιας σφαίρας ακτίνας r είναι: Οπότε: Αφού παίρνουμε: A = 4π r = 4π r q 1 ( r) = K K =, = r 1 q q = 4π r = 4π r = 4πε r ε 1 µε ε 4πε N m C Νόμος του Gauss: Η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη του φορτίου που περικλείεται στην επιφάνεια. q = ε

5 Νόμος Gauss Γενικές διαπιστώσεις Η συνολική ηλεκτρική ροή που διέρχεται από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια γύρω από ένα σημειακό φορτίο q δίνεται απ το λόγο q/ε και δεν εξαρτάται από το σχήµα της επιφάνειας αυτής. Η συνολική ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια η οποία δεν περικλείει φορτίο είναι ίση µε µηδέν.

6 Νόμος Gauss Γενικές διαπιστώσεις Αφού το ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργείται από πολλά φορτία προκύπτει απ το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους ηλεκτρικών πεδίων που δημιουργεί κάθε φορτίο ξεχωριστά, η ροή που διέρχεται από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια δίνεται απ τη σχέση: οπότε: κι έτσι: = i i M = ( ) = i i i Mi Ai ji Ai j= 1 q N M N M N M M j j= 1 = = = = = = ji Ai i ji j i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 j= 1 ε ε M q j

7 Νόμος Gauss Εφαρμογή Σύμφωνα με τον ορισμό-διατύπωση του νόµου του Gauss: απαιτείται ο υπολογισμός της ηλεκτρικής ροής μέσα απ την επιφάνεια Gauss: N q = Ai = ε = i A i i i= 1 Αν θεωρήσουμε στοιχειώδες το τμήμα της επιφάνειας, η ηλεκτρική ροή υπολογίζεται ως εξής: i i Ai i= 1 i N = lim i A = ida Η προηγούμενη έκφραση είναι επιφανειακό ολοκλήρωμα, σε ολόκληρη την κλειστή επιφάνεια Gauss. A

8 Νόμος Gauss Εφαρμογή Ο νόµος του Gauss χρησιμοποιείται στην πράξη, για τον προσδιορισμό του ηλεκτρικού πεδίου, όταν η κατανομή των φορτίων παρουσιάζει συμμετρία. Συνθήκες, που επιδιώκουμε να ικανοποιεί η επιφάνεια Gauss: - Η τιµή του ηλεκτρικού πεδίου µπορεί να θεωρηθεί σταθερή, λόγω συμμετρίας, σε ολόκληρη την επιφάνεια. - Η επιφάνεια είναι κάθετη στο διάνυσμα της έντασης του πεδίου, οπότε. / / A A = A - Η επιφάνεια είναι παράλληλη στο διάνυσμα της έντασης του πεδίου, οπότε A A = - Το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν στο συγκεκριμένο τμήμα επιφάνειας.

9 Νόμος Gauss Επιφάνειες Όταν το είναι σταθερό και κάθετο στην επιφάνεια Gauss, η ηλεκτρική ροή δίνεται από: = da = da = da A A A A da = ab + ac + bc A da = 4π R A da = π R + π RL

10 Νόμος Gauss Σημειακό φορτίο Επιφάνεια Gauss: σφαιρική με κέντρο το φορτίο (το πεδίο έχει σταθερό μέτρο σε όλη την επιφάνεια και είναι κάθετο σ αυτήν). Νόμος Gauss: q = da = = = 4π = ( // ) da da r da ε A A A q q = = K 4πε r r Το αποτέλεσμα αυτό προέκυψε και μετά από εφαρμογή του νόμου Coulomb.

11 Νόμος Gauss Σφαιρική (ομοιόμορφη) κατανομή φορτίου Επιφάνεια Gauss: σφαιρική ομόκεντρη με την κατανομή. Εσωτερικό σφαίρας (r<a): αφού το φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα (έστω πυκνότητα ρ) στη σφαίρα ακτίνας r περικλείεται φορτίο: Q 3 3 qr< a = ρ Vr < a = π r = Q a 4, οπότε: 3 π a 3 qr< a r Q r = 4π r = = Q = ε a 4πε a Εσωτερικό σφαίρας (r>a): το πεδίο είναι ίδιο με αυτό του σημειακού φορτίου (όλο το φορτίο περικλείεται στην επιφάνεια Gauss): Q = 4πε r 3 3 r

12 Νόμος Gauss ορτισμένη (ομοιόμορφα) ευθεία άπειρου μήκους Επιφάνεια Gauss: κυλινδρική με άξονα την ευθεία (το πεδίο έχει σταθερό μέτρο σε όλη την πλευρική επιφάνεια και είναι κάθετο σ αυτήν). Νόμος Gauss: q = da = = = π = ( // ) da da rl da ε A A A q = πε rl Αφού θεωρούμε ομοιόμορφα φορτισμένη την ευθεία, μπορούμε να γράψουμε την έκφραση χρησιμοποιώντας τη γραμμική πυκνότητα φορτίου: λ = q l = λ πε r = K λ r

13 Νόμος Gauss ορτισμένη (ομοιόμορφα) ευθεία άπειρου μήκους Η όψη από τη βάση του κυλίνδρου δείχνει ότι το πεδίο είναι κάθετο στην πλευρική επιφάνεια. Η ροή που διέρχεται από τις βάσεις του κυλίνδρου είναι μηδενική, καθώς το πεδίο είναι παράλληλο με αυτές τις επιφάνειες.

14 Νόμος Gauss ορτισμένο (ομοιόμορφα) επίπεδο Επιφάνεια Gauss: κυλινδρική κάθετη στο επίπεδο (το πεδίο έχει σταθερό μέτρο σε όλα τα σημεία που ισαπέχουν απ το επίπεδο και είναι κάθετο σ αυτό). Νόμος Gauss: = = // = = q da da da ( da) ε A A A Το πεδίο είναι παράλληλο στην πλευρική επιφάνεια, οπότε η ροή μέσα απ αυτήν είναι μηδενική. Στον υπολογισμό του επιφανειακού ολοκληρώματος παίρνουμε υπόψη μόνο τις βάσεις του κυλίνδρου. Άρα: q q σ π όπου = A = r = = = σ ε πε r ε = q π r Η ένταση του πεδίου δεν εξαρτάται απ την απόσταση r, δηλαδή είναι ομογενές

15 Αγωγοί - Ιδιότητες Όταν δεν υπάρχει κίνηση φορτίου σε έναν αγωγό, τότε λέμε ότι ο αγωγός είναι σε ηλεκτροστατική ισορροπία. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι ίσο με μηδέν σε κάθε σημείο του εσωτερικού του αγωγού. Είτε ο αγωγός είναι κοίλος είτε συμπαγής. Αν ο αγωγός είναι μονωμένος και φέρει φορτίο, τότε αυτό βρίσκεται στην επιφάνειά του. Το ηλεκτρικό πεδίο σε ένα σημείο που βρίσκεται ακριβώς έξω από έναν φορτισμένο αγωγό είναι κάθετο στην επιφάνεια του αγωγού και έχει μέτρο σ/єo. Όπου σ είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στο συγκεκριμένο σημείο. Σε έναν αγωγό με ακανόνιστο σχήμα, η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της σε θέσεις όπου η ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας είναι ελάχιστη.

16 Αγωγοί - Ιδιότητες Θεωρούμε μια αγώγιμη πλάκα σε ένα εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο. Αν το πεδίο στο εσωτερικό του αγωγού ήταν μη μηδενικό, τότε τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού θα δέχονταν μια ηλεκτρική δύναμη. Τα ηλεκτρόνια αυτά θα επιταχύνονταν. Τα ηλεκτρόνια δεν θα βρίσκονταν σε ισορροπία. Επομένως, στο εσωτερικό του αγωγού δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο.

17 Αγωγοί - Ιδιότητες Πριν από την εφαρμογή του εξωτερικού πεδίου, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα σε ολόκληρο τον αγωγό. Όταν εφαρμοστεί το εξωτερικό πεδίο, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια ανακατανέμονται μέχρι το μέτρο του εσωτερικού πεδίου να είναι ίσο με το μέτρο του εξωτερικού πεδίου. Στο εσωτερικό του αγωγού, το συνολικό πεδίο είναι ίσο με μηδέν. Η ανακατανομή γίνεται μέσα σε 1 16 s και μπορεί να θεωρηθεί ακαριαία. Αν ο αγωγός είναι κοίλος, τότε το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του είναι επίσης ίσο με μηδέν. Είτε θεωρήσουμε σημεία επάνω στον αγωγό είτε σημεία της κοιλότητας εντός του αγωγού.

18 Αγωγοί - Ιδιότητες Επιλέγουμε μια επιφάνεια Gauss που βρίσκεται στο εσωτερικό του αγωγού, αλλά κοντά στην πραγματική επιφάνεια. Το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του αγωγού είναι ίσο με μηδέν. Η συνολική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια Gauss είναι ίση με μηδέν. Εφόσον μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η επιφάνεια Gauss βρίσκεται οσοδήποτε κοντά στην πραγματική επιφάνεια, συνεπάγεται ότι στο εσωτερικό της επιφάνειας δεν μπορεί να υπάρχει φορτίο.

19 Αγωγοί - Ιδιότητες Επιλέγουμε ως επιφάνεια Gausss έναν κύλινδρο. Το πεδίο πρέπει να είναι κάθετο στην επιφάνεια. Αν το είχε παράλληλη συνιστώσα, τότε τα φορτία θα δέχονταν μια δύναμη, θα επιταχύνονταν στην επιφάνεια και, επομένως, δεν θα βρίσκονταν σε ισορροπία. Η συνολική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια Gauss είναι ίση με εκείνη που διέρχεται μόνο από την επίπεδη βάση που βρίσκεται εκτός του αγωγού. Το πεδίο σε αυτό το σημείο είναι κάθετο στην επιφάνεια. Εφαρμόζουμε τον νόμο του Gauss: σ A σ = A = = ε ε