ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται: E = I = 00000cm k = 6000 m m ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α E = 2 0 m 8 2, I = 00000cm = 0 m, k = 6000 m, f = k = ( 6000) m EI = 2 0 m 0 m = 2 0 m Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι εξισώσεις ισορροπίας ικανοποιούνται Απαίτηση ικανοποίησης και της εξισώσεως συμβιβαστού ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

2 Α ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση του γραμμικού ελατηρίου. (Στατική Αοριστία = ) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 2

3 Στατική Επίλυση Φορέα Α M N = V3 8= 0 V3 = 27.50k = 0 V + V = 0 V = 260 V 3 V = Στατική Επίλυση Φορέα Β M = 0 3+ V3 8= 0 V3 38 = = 0 V + V 3 + = 0 V = ( 3 8) V = 58 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ ] [M ] Εξίσωση Συμβιβαστού: ( s) 0 =Δ =Δ + F X, όπου 3 M M Δ + = dx S f S EI ομόρροπα ( ) Για ml = 3 m = 3 8 και nl = 3 n =5 8 από το αντίστοιχο διάγραμμα λαμβάνουμε: M M dx ( ) EI EI = EI + = 64 = = =0 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 3

4 Επομένως, 3 3 Δ + = Δ = M M Επίσης, F = dx+ S ( f EI S ) 2, όπου M M 5 dx 5 = 8 = EI EI S ( f S ) = ( ) ( ) = Επομένως, F = F = Τελικά, ( s) =Δ =Δ + F X 0 = X X = 49.7 M = V3 8 = 0 V3 = F = V V = 0 V = V V = 0.77 y 3 3 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 4

5 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [M] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με = 29.7 Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [N] είναι μηδενικό. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 5

6 Β ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση στη στήριξη #3. (Στατική Αοριστία =) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 6

7 Στατική Επίλυση Φορέα Α M N = 0 V = 0 V2 = 340k = 0 V + V = 0 V = 260 V 3 V = 80 Στατική Επίλυση Φορέα Β M = 0 8+ V2 3= 0 V3 83 = = 0 V + V 2 + = 0 V = ( 8 3) V = 53 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ ] Εξίσωση Συμβιβαστού [M ] M M dx S f S EI M M dx = 3 5 ( 2 ( 53.75) 375) 5 5 ( 2 ( 93.75) 375) EI EI = = [ ] = EI ( s) 0.0 =Δ =Δ + F X, όπου Δ = + ( ) 8 S ( f S ) = ( 340) = Επομένως, Δ = Δ = M M Επίσης, F = dx+ S ( f S ), όπου EI M M dx = 8 5 = S f S = =.85 0 EI EI Επομένως, F = F = και ( ) ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 7

8 Τελικά, ( s) =Δ =Δ + F X 0.0 = X X = M = V2 3 = 0 V2 = = 0 V + V = 0 V = V 2 V = 97.0 Παρατήρηση: Τα αποτελέσματα της μεθόδου β παρουσιάζουν μικρές διαφορές με εκείνα της μεθόδου α λόγω δεκαδικών ψηφίων. Δεν υπάρχουν σημαντικά αξιόλογες διαφορές. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 8

9 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [Μ] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με = Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα αξονικών δυνάμεων είναι μηδενικό. Ερώτημα β Προκειμένου να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23), τοποθετούμε μία συγκεντρωμένη μοναδιαία φόρτιση στο σημείο αυτό, αναφερόμενοι σε οποιοδήποτε θεμελιώδη ισοστατικό φορέα.. Εδώ θα χρησιμοποιηθεί ο θεμελιώδης φορέας του πρώτου τρόπου επίλυσης, που είδαμε παραπάνω. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 9

10 Εξισώσεις ισορροπίας M = 0 V = 0 V3 = = 0 V + V 3 = 0 V = V 3 V = Διάγραμμα Ροπών Κάμψεως [ M ] Θεώρημα Μοναδιαίου Φορτίου (Εξίσωση Ελαστικότητας): M M δ = dx 00 EI M M dx = ( ) EI EI = [ ] = + = 6EI 3 3 Άρα, δ = δ =.23cm ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 0