ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

Transcript

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Ο 863 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔ=AB+5AΓ και AΕ =5AB+AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ ) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα α) Με σημείο αναφοράς το Α έχουμε: ΔΕ ΑΕ ΑΔ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ 3ΑΒ 3ΑΓ () ) Είναι ΒΓ ΑΓ ΑΒ () ( ) Από (α) έχουμε: ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ 3 ΑΓ ΑΒ = 3ΒΓ Άρα ΔΕ //ΒΓ (Μονάδες 3) (Μονάδες ) Θυμίζουμε ότι: ΑΒ ΟΒ ΟΑ α // α, λ R, 864 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E, Z σημεία τέτοια ώστε: AE = AΔ, AZ= AΓ 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EZ και ZB ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΔ (Μονάδες 3) ) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά (Μονάδες ) α) Με σημείο αναφοράς το Α έχουμε: Δ Γ Ζ EZ= AZ AE= AΓ AΔ = ( AΒ+ AΔ) AΔ= Ε Α = AΒ+ AΔ AΔ = AΒ AΔ () Β Μεθοδολογία ZB = AZ= AΓ= ( AB+ AΔ)= Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ 7 7 είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουμε ότι 5 δύο διανύσματα με άκρα αυτά τα σημεία, = AΔ= AΔ ( ) πχ ΑΓ, ΑΒείναι συγγραμικά ΑΓ // ) ΑΒ () () Γι αυτό αρκεί να δείξουμε ότι: ) Είναι ZB= AΔ ΕΖ 7 35 = ΑΓ ΑΒ, λ R Πράγματι, αν //ΑΓ ΑΒ θα έχουν κοινό Άρα ΖΒ // ΕΖ και επειδή έχουν κοινό σημείο το Ζ τα φορέα, άρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά συνευθειακά

2 865 Δίνονται τα διανύσματα OA = i+ 4 j, OB = 3i+ j και OΓ= 5i 5 j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα α) Να ρείτε τις συντεταγμένες των AB και BΓ (Μονάδες ) ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου (Μονάδες 3) α) ΑΒ= ΟΒ ΟΑ= 3i+ j ( i+ 4 j) = i 3 j Άρα ΑΒ= (, 3) ΒΓ= ΟΓ ΟB= 5i 5 j Άρα ΒΓ= (, 6) ( 3i+ j) = i 6 j -3 ) Είναι det( ΑΒ,BΓ)= = - 6 -(-6)= -6 Αν α= ( x,ψ ) και = ( x,ψ ) ισχύει: x ψ α// = x ψ Άρα ΑΒ // ΒΓ τριγώνου Άρα τα σημεία Α, Β,Γ είναι συνευθειακά και επομένως δεν μπορεί να είναι κορυφές 8556 π Δίνονται τα διανύσματα α και με α, = και α =, = 3 α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόμενο α ) Αν τα διανύσματα α+ και κ α+ είναι κάθετα να ρείτε την τιμή του κ γ) Να ρείτε το μέτρο του διανύσματος α+ (Μονάδες ) π α) α = ασυν α, = συν = = 3 ) Αφού είναι κάθετα έχουμε: ( α+ )( κα+ ) = κα + α+ κα+ = κα + α+ κα+ = α α= (α) κ + + κ + 4κ+ 4+ κ+ 6κ= κ=

3 γ) α+ = ( α+ ) = 4α + 4α+ = = 4α + 4α+ Άρα α+ = 4= 6 = Όταν ζητείται το ν, ρίσκουμε πρώτα το ν Θυμίζουμε ν = ν 858 Έστω τα διανύσματα α και για τα οποία : α = = και α, = 6 α) Να αποδείξετε ότι α = ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α+ και α (Μονάδες ) (Μονάδες 5) α) Είναι α = α = Έχουμε: α = α συν α, = συν6 = 4 = ) α+ = ( α+ ) = α + α+ = α + + = Άρα α + = 4 α = Άρα α = 6 ( α ) = α α+ = α α+ = Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: AΒ = (-4,-6), = (, -8 ) AΓ α) Να ρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος AΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ ) Να αποδείξετε ότι η γωνία A είναι οξεία (Μονάδες ) γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,), να ρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ 3

4 = (-,-4) = (-,-7) α) Είναι AΜ = ( AB+ AΓ) = [( 4, 6) + (, 8)] = ( 4+, 6+ ( 8)) ) AB AΓ = -4 +(-6)(-8) = () 4 Όμως AB AΓ= AB AΓσυν AB,AΓ συνα= > AB AΓ Άρα η γωνία A είναι οξεία Αν Μ µέσο της ΑΒ τότε: ΟΜ = ( ΟΑ+ ΟΒ) Αν α= ( x,ψ) τότε: α = x + ψ γ) Είναι AΒ= ( xβ -xα,ψβ-ψα) (, 6) = ( x -3, ψ -) 4 Β Β xb 3= 4 xb = ψb = 6 ψb = 5 Άρα Β (-,-5) 8598 Δίνονται τα διανύσματα AΒ= ( κ -6κ 9,κ-3) α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόμενο AΒ AΓ + και AΓ= (,6) όπου κ R ) Να ρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα AΒ και AΓ να είναι κάθετα γ) Για κ = να ρείτε το διάνυσμα ΒΓ = κ 6κ+ 9+ 6κ κ 9 α) AΒ AΓ= ( κ 6κ+ 9) + ( κ 3) 6 ) Για να είναι AΒ AΓ AΒ AΓ= 9= κ= 3ή κ=-3 γ) Για κ= είναι AΒ= (4, ), οπότε: ΒΓ= AΓ AΒ= (,6) (4, ) = ( 3,8) (α) κ (Μονάδες 9) 4

5 ΘΕΜΑ 4 Ο 866 Δίνονται τα διανύσματα α, και γ για τα οποία ισχύουν: α =, =, κ α, = 6 και γ= α, όπου κ R α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α (Μονάδες 3) ) Αν ισχύει γ= κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ = (Μονάδες 6) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 α+ γ και γ είναι κάθετα α) α = α συν6 = = κ κ ) i) γ= κ α = κ α = κ κ κ = κ = κ κ = κ κ= ii) Για κ= - είναι γ= α, οπότε: γ ( α+ ) = α + + α = = α = α+ = = 4++=7 Άρα γ = 7 iii) Αρκεί να δείξουμε ότι: ( 3 α+ γ) ( γ) Έχουμε: = [ 3 α+ ( α ) ][ ( α ) ] = ( α )( α+ ) = α 4 = α 4 = 4 4 = 868 α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u + v = u + v και u+ v = u v ) Δίνονται τα διανύσματα α,, γ για τα οποία ισχύουν: α + + γ= και α γ = = (Μονάδες ) i) Να αποδείξετε ότι: α και γ ii) Να αποδείξετε ότι: 7 α+ 3γ= α) u+ v = u + v u v u+ v = u v u v Υπόδειξη: υψώνουμε τα δύο μέλη της ισότητας στο τετράγωνο, λ σχολ ιλ σελ, 48, ασκ 5 5

6 α γ ) i) Έχουμε: α + + γ= () και = = = λ (λ>) Άρα: α = 3λ, Από () α+ = γ άρα α + = γ = γ = 7λ () = 4λ, γ = 7λ Επίσης α + = 3λ+ 4λ= 7λ (3) Από () και (3) α + = α +, οπότε από (α) ερώτημα α Από () + γ= α άρα + γ = α = α = 3λ (4) Επίσης γ = 4λ 7λ = 3λ = 3λ(λ>) (5) Από (4) και (5) + γ = γ, οπότε από (α) ερώτημα γ ii) Αφού α και γ, άρα α γ δηλ α= κγ, κ< α γ Όμως = α = γ Άρα κ = κ= (αφού κ<) Άρα α = γ 7α= 3γ= 7α+ 3γ= Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AΒ = (λ, λ +), AΓ = (3λ, λ ), όπου λ και λ, και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ α) Να αποδείξετε ότι AM = (λ, λ) ) Να ρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AM είναι κάθετο στο διάνυσμα α =, λ λ γ) Για την τιμή του λ που ρήκατε στο ερώτημα (), να υπολογίσετε το εμαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες ) α) AM = ( AΒ + AΓ) = [( λ,λ+ ) + ( 3λ,λ ) ] = (4λ,λ) = (λ, λ) ) Θα πρέπει AM α= (λ,λ), λ = 4 λ = λ= ή λ= - (απορρίπτεται) λ Άρα λ= γ) Για λ= είναι: AΒ = (,3) και AΓ= (6,) 3 ( ΑΒΓ ) = det( AΒ,AΓ ) Είναι det( AΒ,AΓ ) = = 6 = τμ Άρα ( ΑΒΓ ) 6 = 8 6 6

7 866 Δίνονται τα διανύσματα OA =(4, ) και OB =(,), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα OA και OB είναι κάθετα ) Αν Γ (α,) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: i) να αποδείξετε ότι: AB = ( 3,4) και AΓ = (α 4, +) ii) να αποδείξετε ότι: 4α + 3 = (Μονάδες 4) (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα OΓ και AB είναι κάθετα, να ρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ (Μονάδες ) α) OA OΒ= 4 + ( ) = Άρα OA OΒ ) i) ΑΒ = OΒ OΑ= (,) (4, ) = ( 3,4) ( α,) (4, ) = (α 4, ) ΑΓ = OΓ OΑ= + ii) Αφού το Γ είναι σημείο της ευθείας ΑΒ, άρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά -3 4 Άρα: ΑΒ//ΑΓ = 3 ( + ) 4( α 4) = α α+ 6= 4α+ 3= () iii) OΓ ΑΒ ΟΓ ΑΒ= ( α,)( 3,4) = 3α+ 4= () 8 6 Λύνοντας το σύστημα των () και () ρίσκουμε α= και = Άρα Γ, 5 5 7