f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα της μέσης τιμής και της οριακής τιμής: f() f() Af() = και Mf() = f () (β). Οι θετικές μεταβλητές {, } συνδέονται με την εξίσωση: + = 4. Να διαπιστωθεί ότι το (=, = ) είναι σημείο ισοελαστικότητας, και να γίνει το σχετικό γράφημα. Παρατήρηση. Αποδεκτές θα είναι όλες οι εκδοχές της άσκησης β. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(+ ) στο θετικό διάστημα. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. (δ). Θεωρούμε τις συναρτήσεις: {f() = e, g() = / } στη θετική περιοχή:. Να γίνει το γράφημά τους στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται από τις καμπύλες τους και τους θετικούς ημιάξονες. (4 μονάδες) 3/4 /4 (α). Τα μεγέθη {,,} συνδέονται με την εξίσωση: = 4. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του, αν τα {,} ελαττωθούν αμφότερα κατά %. β). Η συνάρτηση f(,) έχει τις ισοσταθμικές του παραπλεύρως f = σχήματος. Να διερευνηθεί αν είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή f = A και να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών παραγώγων στο σημείο A. (γ). Να χαρακτηριστούν ως προς το πρόσημό τους οι παρακάτω τετραγωνικές μορφές. Σε κάθε περίπτωση να δοθεί και ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας: Q (,) = +, Q (,,) = + + (δ). Στη θετική περιοχή: {, } θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης: ma{+ + = } με >. Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. Να επαληθευτεί και η ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange. 3 ( μονάδες) Σε μια εθνική οικονομία, το εθνικό εισόδημα Y και ο πληθυσμός L κατά τα έτη {t=, t = }, βρέθηκαν να έχουν τις τιμές: {Y = 5, Y = 6} δισεκατομμύρια ευρώ {L =, L = } εκατομμύρια α) Να εκτιμηθούν ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του εθνικού εισοδήματος, του πληθυσμού, και του κατά κεφαλή εισοδήματος = Y / L. β) Υποθέτοντας το τελευταίο σταθερό, να εκτιμηθεί το κατά κεφαλή εισόδημα κατά το έτος. 4 ( μονάδες) Ένα μονοπώλιο που λειτουργεί μεγιστοποιώντας το κέρδος, διαθέτει το προϊόν του σε δύο αγορές, σε ποσότητες {X,Y} με μοναδιαίες τιμές {V,W} και με εξισώσεις ζήτησης: {V= 4 X, W= 5 Y} αντίστοιχα, και με ενιαίο συνολικό κόστος: Q= + (X+ Y).. Να βρεθεί η συνάρτηση κέρδους Π(Χ,Υ), και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της.. Να υπολογιστεί το κέρδος με ίδια τιμή στις δύο αγορές. Να γίνει και το σχετικό γράφημα. 3. Το κέρδος θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο αν επιτραπεί διαφοροποίηση τιμών? ΤΕΛΟΣ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I. Λύσεις Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα της μέσης τιμής και της οριακής τιμής: f() Af() = και Mf() = f () Λύση. Η κλίση της εφαπτομένης αρχίζει με άπειρη τιμή και φθίνει προς την οριακή κλίση της ασυμπτώτου. Η κλίση της ακτίνας είναι επίσης φθίνουσα όπως δείχνουμε στο γράφημα, αλλά πάντοτε μεγαλύτερη από την κλίση της εφαπτομένης. (β). Οι θετικές μεταβλητές {,} συνδέονται με την εξίσωση: + = 4. Να διαπιστωθεί ότι το (=, = 4) είναι σημείο ισοελαστικότητας, και να γίνει το σχετικό γράφημα. Λύση. Θα υπολογίσουμε πρώτα την παράγωγο παραγωγίζοντας πλεγμένα ως προς : + = = =,= 4 = 4 Η ελαστικότητα στο ίδιο σημείο είναι: ( 4) ε= = = 4 Έχουμε ισοελαστικότητα. Γραφικά στο σημείο ισοελαστικότητας η ακτίνα και η εφαπτομένη έχουν την ίδια κλίση σε απόλυτη τιμή, όπως φαίνεται στο γράφημα. Παρατήρηση. Λόγω της σύγχυσης που δημιουργήθηκε από δικό μου λάθος, οιαδήποτε από τις διάφορες εκδοχές διατύπωσης του παραπάνω προβλήματος θα γίνει αποδεκτή. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(+ ) στο θετικό διάστημα. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. Λύση. Είναι (γνήσια) κοίλη διότι η δεύτερη παράγωγος: είναι παντού (γνήσια) αρνητική: f =, f = < + (+ ) Έχουμε πρόβλημα κυρτού προγραμματισμού. Για το στάσιμο βρίσκουμε: f = = = + = = <, + + Απορρίπτεται διότι δεν βρίσκεται στο θετικό διάστημα. Στο αριστερό σύνορο: =, ικανοποιείται η συνθήκη: f () = = < + οπότε εκεί βρίσκεται η μέγιστη τιμή ίση με: f() = ln(+ ) () =. (δ). Θεωρούμε τις συναρτήσεις: {f() = e, g() = / } στη θετική περιοχή:. Να γίνει το γράφημά τους στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται από τις καμπύλες τους και τους θετικούς ημιάξονες. Λύση. Η περιοχή αποτελείται από δύο τμήματα. Το A έχει e πεπερασμένο εμβαδό, ενώ το B έχει άπειρο εμβαδό: + (/ )d ln ln( ) ln = = Af() Mf() Επομένως το συνολικό εμβαδό είναι άπειρο. Το ίδιο ισχύει αν επιλέξετε την περιοχή μεταξύ των καμπύλων και του θετικού ημιάξονα. A B f() /

3 (4 μονάδες) (α). Τα μεγέθη {,,} συνδέονται με την εξίσωση: 3/4 /4 = 4. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του, αν τα {,} ελαττωθούν αμφότερα κατά %. Λύση. Είναι συνάρτηση Cobb-Douglas με ελαστκότητα κλίμακας το άθροισμα των εκθετών: ε r = (3 / 4) + (/ 4) = Είναι σταθερής απόδοσης κλίμακας και επομένως το θα μεταβληθεί οριακά κατά το ίδιο ποσοστό, δηλαδή θα ελαττωθεί κατά %: %d= ε (%d) + ε (%d) = (ε + ε )(%d) = ε (%d) = ( %) = % r β). Η συνάρτηση f(,) έχει τις ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος. Να διερευνηθεί αν είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή και να f f βρεθούν τα πρόσημα των μερικών παραγώγων στο σημείο A. f = Λύση. Η διανυσματική κλίση δείχνει την κατεύθυνση αύξησης των f A f = τιμών της συνάρτησης, δεξιά-πάνω. Επομένως η συνάρτηση είναι:. φθίνουσα, αύξουσα, διότι έχει f <, f f >. οιονεί κυρτή διότι η κάτω σταθμική f είναι κυρτή περιοχή (γ). Να χαρακτηριστούν ως προς το πρόσημό τους οι παρακάτω τετραγωνικές μορφές. Σε κάθε περίπτωση να δοθεί και ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας: Q (,) = +, Q (,,) = + + Λύση. Η τετραγωνική μορφή: Q αντιστοιχεί στον συμμετρικό πίνακα: / S = με Δ= S = ()() (/ ) = / 4< / Συμπεραίνουμε ότι είναι αόριστη, δηλαδή έχει τιμές και γνήσια θετικές και γνήσια αρνητικές. Η τετραγωνική μορφή Q, γράφεται: Q = Q+ / Για = συμπίπτει με την Q οπότε επίσης έχει αμφότερα τα πρόσημα, / και επομένως είναι αόριστη. Δίνουμε και τον αντίστοιχο συμμετρικό πίνακα παραπλεύρως. (δ). Στη θετική περιοχή: {, } θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης: ma{4+ + = } με > Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. Να επαληθευτεί και η ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange Λύση. Λύνουμε τις εξισώσεις Lagrange και βρίσκουμε τη λύση: f = λg 4= λ(4) = / λ f = λg = λ = / λ g= + = Αντικαθιστούμε τα {,} από τις δύο πρώτες στην τρίτη και βρίσκουμε: (, ) 9 3 =± / 3 + = = λ=± λ 4λ 4λ =± / 3 Αποδεκτό είναι μόνο το θετικό πρόσημο, οπότε η λύση είναι: 3 8 { =, =,λ = } f () = 4 + = + = Επαληθεύουμε ότι ο πολλαπλασιαστής δίνει την παράγωγο της μέγιστης τιμής ως προς την τιμή του περιορισμού: 3 f () = = λ ()

4 3 ( μονάδες) Σε μια εθνική οικονομία, το εθνικό εισόδημα Y και ο πληθυσμός {t =, t = }, βρέθηκαν να έχουν τις τιμές: {Y = 5, Y = 6} δισεκατομμύρια ευρώ L κατά τα έτη {L =, L = } εκατομμύρια α) Να εκτιμηθούν ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του εθνικού εισοδήματος, του πληθυσμού, και του κατά κεφαλή εισοδήματος = Y / L. β) Υποθέτοντας το τελευταίο σταθερό, να εκτιμηθεί το κατά κεφαλή εισόδημα κατά το έτος. Λύση. ΔY / Y (Y Y ) / Y / 5 α) ry = = = =. %ry = ry = % Δt t t 5 ΔL / L (L L ) / L / r = = = =. %r = r = % L l L Δt t t = Y / L r = r r..=. %r = r = % Y L Μεταβάλλονται με ρυθμό {%,%,%} ετησίως, β). Μεγέθη που μεταβάλλονται με σταθερό σχετικό ρυθμό εξελίσσονται εκθετικά, οπότε μετά από χρόνια το κατά κεφαλή εισόδημα θα είναι: r 6 (.) 6. () ()e = e = e 6 6 δισεκατομμύρια ευρώ χιλιάδες ευρώ ( + + ) = εκατομμύρια πληθυσμό κάτοικο Παρατήρηση. Εναλλακτικά μπορούμε να εκτιμήσουμε και τον ετήσιο ποσοστιαίο ρυθμό μεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήματος, όπως τα δύο πρώτα. Έχουμε: Y 5 Y 6 = = = 5, = = L L 6 5 / 5 Δ / ( ) / (6 55) r = = = = %r.9 Δt ()()(5) Σαυτή την περίπτωση θα βρούμε: r 6 (.9) 6.9 () ()e = e = e 6 6 δισεκατομμύρια ευρώ χιλιάδες ευρώ (+.9+.4) = εκατομμύρια πληθυσμό κάτοικο Παρατήρηση. Για υπολογισμούς, στα παραπάνω χρησιμοποιούμε την παραβολική προσέγγιση του εκθετικού: e + + για μικρά

5 4 ( μονάδες) Ένα μονοπώλιο που λειτουργεί μεγιστοποιώντας το κέρδος, διαθέτει το προϊόν του σε δύο αγορές, σε ποσότητες {X,Y} με μοναδιαίες τιμές {V,W} και με εξισώσεις ζήτησης: V= 4 X, W= 5 Y} αντίστοιχα, και με ενιαίο συνολικό κόστος: C= + (X+ Y).. Να βρεθεί η συνάρτηση κέρδους Π(Χ,Υ), και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της.. Να υπολογιστεί το κέρδος με ίδια τιμή στις δύο αγορές. Να γίνει και το σχετικό γράφημα. 3. Το κέρδος θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο αν επιτραπεί διαφοροποίηση τιμών? Λύση.. Π= VX+ WY C = (4 X)X + (5 Y)Y [+ (X+ Y)] + X+ 3Y X Y Είναι παραβολική συνάρτηση με παραγώγους: ΠXX = 4< ΠX = 4X ΠΥΥ = < Δ= ΠXXΠΥΥ Π XY = ( 4)( ) () = 8> ΠY = 3 Y ΠΧΥ = Ο εσσιανός πίνακας της δεύτερης παραγώγου είναι αρνητικά ορισμένος, και επομένως η συνάρτηση κέρδους είναι γνήσια κοίλη, και οι ισοσταθμικές της είναι όρθιες ελλείψεις με το ίδιο κέντρο στο στάσιμο: ΠX = 4X= Χ = / =.5 ΠY = 3 Y= Y = 3 / =.5 όπου και έχει την μέγιστη τιμή. Οι ελλείψεις έχουν την μεγάλη ακτίνα στη κατεύθυνση διότι ο συντελεστής του Y είναι μικρότερος από τον συντελεστή του X. Ισχύει μόνο το τμήμα της έλλειψης που βρίσκεται στη θετική περιοχή, όπως φαίνεται στο γράφημα... Αν η τιμή είναι ενιαία τότε θα έχουμε τον περιορισμό: V= W 4 X= 5 Y Y= + X Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση κέρδους βρίσκουμε το κέρδος ως συνάρτηση μόνο του X : Π= + X+ 3(+ X) X (+ X) = 4X 6X Είναι κοίλη με μέγιστο κέρδος στο στάσιμο: Y= + X Π = 4 X = {X= / 3, Y= + / 3} Το κέρδος είναι: Π= 4(/ 3) 6(/ 3) = / 3 Y Γραφικά η λύση βρίσκεται στο σημείο όπου η πρώτη έλλειψη των ισοσταθμικών του κέρδους συναντάει εφαπτομενικά την ευθεία του περιορισμού. 3. Το κέρδος θα είναι μεγαλύτερο αν επιτρέπεται X διαφοροποίηση τιμών. Η ενιαία τιμή είναι περιορισμός στις επιλογές και επομένως ελαττώνει το μέγιστο κέρδος. ΤΕΛΟΣ