ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω να θεωρηθούν ισοπίθανα. Μονάδες 0 Β. α. Ποιες µεταβλητές λέγονται ποσοτικές; Μονάδες 3 β. Πότε µια ποσοτική µεταβλητή ονοµάζεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει f ()>0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες β. Ισχύει: f ( ) f '( ) g( ) + = g( ) όπου f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις. γ. Η διακύµανση είναι µέτρο θέσης. δ. Αν Α Β τότε P(A) > P(B). ( g( ) ) f ( ) g' ( ) Μονάδες Μονάδες Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

2 ΘΕΜΑ Σε ένα διαγώνισµα Βιολογίας η βαθµολογία των µαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραµµα συχνοτήτων ν i : v i Βαθµός α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις βαθ/γίας [ ) Κέντρο κλάσης i Συχνότητα ν i Σχετική f i Αθροιστική Ν i Αθρ. σχετ. F i [, 8) [8,) [,6) [6,0) Σύνολο β. Να βρείτε τη µέση τιµή των βαθµών. γ. Πόσοι µαθητές έχουν βαθµό το πολύ µέχρι και 0; Μονάδες Μονάδες 8 Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

3 ΘΕΜΑ 3 Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν: (i) Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α, Β είναι 7/8 (ii) Οι πιθανότητες P(B), P(A B) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο 5 X = k,,, όπου: 3 5 k = lim α. Να βρεθεί το k Μονάδες 5 β. Να βρεθούν τα P(B), P(A B) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 8 γ. Να βρεθούν οι πιθανότητες: () Να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α () Να πραγµατοποιηθεί µόνο το ενδεχόµενο Α Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ( ) =, (0, + ) α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της f στο σηµείο Λ(,). Μονάδες 7 β. Από τυχαίο σηµείο Μ(, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουµε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και yy, οι οποίες σχηµατίζουν µε τους ηµιάξονες Ο, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Να βρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου Μ, ώστε η περίµετρος του ορθογωνίου παραλληλογράµµου να είναι ελάχιστη. Μονάδες 0 γ. Οι τετµηµένες πέντε διαφορετικών σηµείων της εφαπτοµένης του ερωτήµατος (α) έχουν µέση τιµή = 5 και τυπική απόκλιση s =. Να βρεθεί η µέση τιµή y και η τυπική απόκλιση s y των τεταγµένων των σηµείων αυτών. Μονάδες 8 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. 3ος κανόνας λογισµού των πιθανοτήτων: Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για δύο ενδεχόµενα Α και Β έχουµε Α Β) + Α) + Β) Α Β), () αφού στο άθροισµα Α) + Β) το πλήθος των στοιχείων A B υπολογίζεται δυο φορές. Αν διαιρέσουµε τα µέλη της () µε έχουµε: Α Β) Α) Β) Α Β) = + και εποµένως P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόµος (additive law). Β. α. Ποσοτικές λέγονται οι µεταβλητές των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί. β. ιακριτή ονοµάζεται η ποσοτική µεταβλητή η οποία παίρνει µόνο µεµονωµένες τιµές. Συνεχής ονοµάζεται η ποσοτική µεταβλητή η οποία µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών (α, β). Γ. α Σ β Λ γ Λ δ Λ ΘΕΜΑ α. Κλάσεις βαθ/γίας [ ) Κέντρο κλάσης i Συχνότητα v i Σχετική f i Αθροιστική N i Αθρ.σχετ. F i [, 8) 6 5 0, 5 0, [8, ) 0 0 0, 5 0,3 [, 6) 5 0,5 0 0,8 [6, 0) 8 0 0, 50 Σύνολο β. = = = 3, Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

5 γ. Βαθµό το πολύ µέχρι και 0 έχουν = 0 µαθητές. ΘΕΜΑ ( 5) 3 3 α. Είναι κ = lim = lim = lim = = ( )( 5) β. Αφού κ =, το σύνολο X =,,. 5 5 Επειδή >, η τιµή αποκλείεται να ισούται µε κάποια από τις τιµές 3 P (A B), P (B). Έτσι {P(A B),P(B)} =,. Ισχύει A B B άρα P (A B) P (B) και επειδή P (A B) P (B) είναι P (A B) < P (B). 3 Άρα P(A B) =, P(B) =. γ. () P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Άρα = P(A) +, οπότε P(A) =. 8 8 () Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο το ενδεχόµενο Α είναι: 5 P(A B) = P(A) P(A B) = =. 8 8 ΘΕΜΑ α. ος τρόπος λύσης: Η συνάρτηση f() = είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ), µε f () =. Η εφαπτοµένη της καµπύλης της f στο σηµείο Λ(, ) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f () = -. Εποµένως η εξίσωσή της είναι y = - + β. Επειδή όµως το σηµείο Λ(, ) ανήκει στην εφαπτοµένη, είναι = - + β β =. Άρα η ζητούµενη εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y = - +. ος τρόπος λύσης: Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Λ (, ) είναι : y f() = f () ( ). Όµως f() = και f ( ) = =. Εποµένως y = ( ) y = + + y = Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

6 β. y B M(,y) ε ' O A y' ε Έστω Μ(, y) τυχαίο σηµείο της γραφικής παράστασης της f() = και ε, ε οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και είναι παράλληλες αντίστοιχα προς τους άξονες και y y. Η περίµετρος του σχηµατιζόµενου ορθογωνίου παραλληλογράµου ΟΑΜΒ είναι Π = + y = ( + y) () Λόγω της σχέσης y =, η () γράφεται : Θεωρούµε τη συνάρτηση Π = +. = + Π() µε (0, + ). Η Π() είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) µε Από την εξίσωση Π () = 0 έχουµε: ( )( + ) Π () = = =. ( )( + ) = 0 = Η τιµή = - απορρίπτεται γιατί (0, + ). + ή =. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6

7 Σχηµατίζουµε τον πίνακα µεταβολών: Π' () Π () ελαχ. + Π() = Οπότε για την τιµή =, η Π() παρουσιάζει ελάχιστο. Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ(, ). γ. Είναι : y = + = 3 και =. = Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7