1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

Transcript

1 1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť, fáza (uhol) komplexného čísla, rýdzoimaginárne číslo, komplexne združené číslo znázorniť komplexné čísla v Gaussovej rovine vedieť vyjadriť komplexné číslo v algebrikom, goniometrikom a exponeniálnom tvare ovládať základné aritmetiké operáie s komplexnými číslami 1.1 Trošku opakovania z oborov čísel: Doteraz ste praovali s číslami, ktoré pohádzali z nasledovnýh množín: N - prirodzené čísla {1,, 3,, 5,...} N 0 - prirodzené čísla vrátane čísla 0 {0, 1,, 3,, 5,...} Z - elé čísla {.., -5, -, -3, -, -1, 0, 1,, 3,...} Q - raionálne čísla {-10, 7,, -0.5, 10,...} 5 I - iraionálne čísla { 7,,,...} R - reálne čísla { 7,,, -10, 7,, -0.5, 10,, } 5 Keď si uvedomíme, že podmnožinou reálnyh čísel sú všetky predtým uvedené množiny, tak sa nám môže zdať, že je to najširší obor čísel. Opak je však pravdou, pretože reálne čísla sú podmnožinu komplexnýh čísel. Komplexné čísla budeme využívať pri riešení striedavýh obvodov. Ih využitie má veľký význam v elektrotehnikýh disiplínah ako aj v matematike. C - komplexné čísla { 7,, 0,,, +3i, -i} 5 1. Základné pojmy: Vo všeobenosti vyjadríme komplexné číslo v tvare: x + iy kde x, y R a i je imaginárna jednotka. Poznámka: Imaginárna jednotka sa označuje v matematike písmenom i, ale v elektrotehnike ju budeme označovať písmenom j (aby sa nemýlila s prúdom, ktorý označujeme v elektrotehnike písmenom i). 1/6

2 1..1 Imaginárna jednotka: Pre práu s komplexnými číslami si je potrebné osvojiť umoňovanie imaginárnej jednotky. Platí: j 1 j j 5 j j 3 ( 1) ( j) j j jj 1 j 6 j 3 j 3 ( j) ( j) j 1 j 3 jj j j j 1 j j... je vidno, že sa to po. monine opakuje j j j ( 1) ( 1) 1 Príklad 1. Určte, čomu sa rovnajú nasledovné moniny čísla j. Priníp spočíva v tom, že si musíme napísať moninu ako najväčší násobok čísla a zvyšok. Preto sme zvolili číslo, pretože po. monine sa začína výsledok umoňovania opakovať. j 13 j 1 j 1 1j 1 j j 66 j 6 j 1j 1 Poznámka: j 1 j + + j j j Reálna časť komplexného čísla: Re{x + jy} = x 1..3 Imaginárna časť komplexného čísla: Im{x + jy} = y Ak sa komplexné číslo skladá iba z čisto imaginárnej časti, tak ho nazývame rýdzoimaginárne číslo. Príkladom rýdzoimaginárneho čísla môže byť { -j, 5j, j,... } 1.. Znázornenie komplexného čísla v Gaussovej rovine: Gaussova rovina je súradniový systém, ktorého x-ová os reprezentuje reálnu časť komplexného čísla a y-ová os imaginárnu časť komplexného čísla. X-ovú os označujeme symbolom Re - reálna os. Y-ovú os označujeme symbolom Im - imaginárna os /6

3 Príklad. Zobrazte v Gaussovej rovine komplexné číslo z = 3 - j. Re{z} = 3 Im{z} = - Im Abs. hodnota 0 3 Uhol Re - z 1..5 Veľkosť komplexného čísla (absolútna hodnota): x + jy x + y Pre naše komplexné číslo z. príkladu z = 3 - j sa jeho veľkosť rovná z 3 + ( ) Poznámka: Znak absolútnej hodnoty sa používa na označenie veľkosti komplexného čísla Uhol (fáza, argument) komplexného čísla: Uhol môžeme vypočítať zo známyh vedomostí zo základnej školy - vety o pravouhlom trojuholníku. Môžeme použiť: sin( α) protiľahlá prepona os ( α) priľahlá prepona tg( α) protiľahlá priľahlá otg( α) priľahlá protiľahlá Použijeme napríklad funkiu tangens. V našom prípade je protiľahlou stranou imaginárna časť komplexného čísla a priľahlou stranou reálna časť komplexného čísla. tg( α) Im( z) Re( z) Pre komplexné číslo z. príkladu vypočítame uhol tg( α) 3 Poznámka: Konkrétny uhol v číselnom vyjadrení by sme zistili použitím kalkulačky. 3/6

4 1.3 Tvary komplexnýh čísel: Algebriký tvar komplexného čísla: Algebriký tvar komplexného čísla bol doteraz vyššie uvedený. Jeho tvar je: z = x + jy 1.3. Goniometriký tvar komplexného čísla: Goniometriký tvar komplexného čísla dostaneme tak, že si vyjadríme veľkosť a uhol komplexného čísla a zapíšeme ih v tvare: kde z = z ( os ( α) + sin( α) ) z x + y a tg( α) y x Exponeniálny tvar komplexného čísla: Exponeniálny tvar komplexného čísla sa veľmi podobá na goniometriký tvar, len je vyjadrený pomoou exponeniálnej funkie. z = z e α Poznámka: Treba si uvedomiť, že neh vyjadríme komplexné číslo v ktoromkoľvek tvare, tak je to stále rovnaké číslo (je to iba iný zápis konktrétneho čísla). Ak máme napríklad číslo v goniometrikom tvare, tak veľmi jednoduho môžeme získať číslo v algebikom tvare vypočítaním konkrétnyh hodnôt funkií sínus a kosínus uhla (pomoou kalkulačky) a vynásobením týhto hodnôt veľkosťou komplexného čísla. 1. Operáie s komplexnými číslami: 1..1 Sčítanie a odčítanie: Sčítanie a odčítanie komplexnýh čísel sa vykonáva podobne ako s reálnymi číslami. Rozdiel je v tom, že musíme sčítavať a odčítavať iba reálnu časť s reálnou časťou a imaginárnu časť s imaginárnou časťou. Príklad 3. Sčítajte a odčítajte dve komplexné čísla a = + 3j, b = -1 + j. Sčítanie: Výsledné číslo označíme = a + b = (+3j) + (-1+j) = 1 + j Odčítanie: Výsledné číslo označíme = a - b = (+3j) - (-1+j) = 3 + j Poznámka: Výhodný tvar pre sčítanie a odčítanie je algebriký tvar komplexného čísla. /6

5 1.. Násobenie: Násobenie dvoh komplexnýh čísel môžeme robiť dvomi spôsobmi Násobenie komplexnýh čísel v algebrikom tvare: Prvý spôsob využívame, keď máme komplexné čísla v algebrikom tvare a je rovnaký ako násobenie výrazov v matematike. Vynásobíme každé číslo s každým. Príklad. Výnasobte číslo a = 1+j číslom b = +. ( ) j ( 1 + j) j j + j Dostali sme rýdzoimaginárne číslo, ktorého imaginárna časť je Násobenie komplexnýh čísel v exponeniálnom tvare: Druhý spôsob využíva exponeniálny tvar komplexného čísla. Násobenie spočíva v tom, že veľkosti vynásobíme a exponenty sčítame (základné pravidlá z matematiky o výrazoh s exponentom a x a y a ( x+ y) ) Príklad 5. Rovnaké zadanie ako v. príklade. Čísla v exponeniálnom tvare sú (overte): a e b e a b + e e e e 1..3 Delenie: Komplexne združené číslo (konjugované) Komplexne združené číslo je také číslo, ktoré má imaginárnu časť opačnú. Príkladom komplexne združeného čísla k číslu x + jy je číslo x - jy. Komplexne združené číslo značíme z Delenie komplexnýh čísel sa môže vykonať dvomi spôsobmi: Pomoou komplexne združeného čísla (v algebrikom tvare): Delenie vykonáme tak, že rozšírime zlomok komplexne združeným číslom k číslu v menovateli. Porozmýšľajte, prečo to rozširujeme práve komplexne združeným číslom. Príklad 6. Vydeľte číslo a = 1+j číslom b = 3 + j. Určte reálnu a imaginárnu zložku výsledného čísla. a b 1 + j 3 + j 1 + j 3 j j 3 j 3 j ( 1 + j) ( 3 j) ( 3 + j) ( 3 j) ( ) + j j + 3 j ( 3) j ( ) 3 1 Re{} = Im{} = 3 1 5/6

6 1..3. Pomoou vyjadrenia čísel v exponeniálnom tvare: Delenie vykonáme tak, že podelíme veľkosti jednotlivýh čísel a exponenty odčítame (základné pravidlá z matematiky o výrazoh s exponentom ax a y ( a xy ) ). Príklad 7. Rovnaké zadanie ako v 6. príklade. Čísla v exponeniálnom tvare vyzerajú nasledovne (overte): a e b 6 e a b e 6 e e 6 e 1 Pomoou kalkulačky zistite reálnu a imaginárnu časť a porovnajte ju s výsledkom zo 6. príkladu! Poznámka: Ako vidieť z obidvoh príkladov aj pre násobenie aj pre delenie, výhodnejší spôsob pre elektrotehniku je násobenie a delenie v exponeniálnom tvare komplexného čísla. Exponeniálny tvar budeme častejšie využívať ako algebriký, pretože nás väčšinou bude zaujímať veľkosť a uhol (amplitúda a fáza - ale o tom, potom...). 6/6