2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

Transcript

1 . ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x) 0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π( x) και υ ( x) τέτοια ώστε: Δ ( x) = δ( x) υ( x) + π( x), όπου το υ ( x) ή είναι το δ x». μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του ( ) P ( ) ( ) υ ( x ) = 0. Ισχύει ότι η διαίρεση x : Q x είναι τέλεια όταν και μόνο όταν 3 3 x Η ισότητα x + 1 = ( x + ), δηλώνει ότι το πολυώνυμο x + είναι x + παράγοντας του πολυωνύμου 1. x Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P ( x) με το x + ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. ( ) x + ρ αν και μόνο αν το ρ είναι P( ) 5. Ένα πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το ρίζα του x. Q ( ) P ( x), τότε θα είναι διαιρέτης και του P ( ) + ( ). 6. Αν το x είναι διαιρέτης του x Q x 71

2 . Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Κάθε πολυώνυμο διαιρείται με το μηδενικό πολυώνυμο.. Κάθε πολυώνυμο έχει παράγοντα οποιοδήποτε σταθερό μη μηδενικό πολυώνυμο. υ ( ) ( ) ( ) Q ( x) διαιρείται με το T ( x) και υ ( ) x διαιρεί το P ( x). 5. Αν το x ρ είναι παράγοντας του P ( x), τότε το ρ είναι ρίζα του P ( x). 6. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Q ( x) με το x είναι ίσο με P( 0). 3. Αν x Τ x = Q x, τότε το πολυώνυμο το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι ( x). 4. Αν το ρ είναι ρίζα του P x, τότε το ρ 3. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Αν Δ: διαιρετέος, δ: διαιρέτης, π: πηλίκο και υ: υπόλοιπο, τότε η ταυτότητα της ευκλείδιας διαίρεσης είναι η: A. Δ = π υ + δ B. δ = π Δ + υ Γ. Δ = υ + π δ Δ. Δ = π + υ δ. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x) Α. Ρ( ρ) Β. Ρ ( x) Γ. ρ Ρ με το x ρ είναι ίσο με: Δ. x ρ Ρ ( ) 6 ( x) : ( x ) 3. Αν x 3 = x x 5x +, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ είναι: Α. - Β. 4 Γ. -4 Δ. 7

3 4. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. Ρ ( ) 1, ( ) ( ) 1. Αν x = x + τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ x : x + 1 είναι: A. 1 B. -1 Γ. 4 Δ. -4 ( ) Το πηλίκο της διαίρεσης Ρ x = 4x x x + με το x είναι: Α. x Β. x 1 Γ. x + 1 Δ. x 3 1 ( ) Το πολυώνυμο Ρ x = x + 3x + Α. έχει παράγοντ α το x 1 Γ. δεν έχει παράγοντα της μορ φής x ρ, ρ R 3 4. Το πολυώνυμο Ρ ( x) = x + x x + Α. έχει παράγοντ α το x + Γ. δεν έχει παράγοντα της μορφής x ρ, ρ R Β. έχει παράγοντα το x + 1 Δ. έχει παράγοντα το x Β. έχει παράγοντα το x Δ. έχει παράγοντα το x Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύ μου Ρ ( x) = x 3x + 3x 1 με το x + λ είναι το μηδέν, τότε το λ είναι ίσο με: Α. - Β. 1 Γ. -1 Δ. 6. Αν Ρ ( x) = 4x 8αx + 4α, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσ ης Ρ( x ) = ( x α) είναι: Α. α 1 Β. 0 Γ. α + 1 Δ Σε μία διαίρεση πολυωνύμων που δεν είναι τέλεια ο διαιρέτης είναι τετάρτου βαθμού. Τότε το υπόλοιπο είναι βαθμού: Α. 4ου Β. 3ου Γ. το πολύ 3ου Δ. τουλάχιστον 3ου 3 8. Για τη διαίρεση ( 3x 6x 17x + 0) : ( x + 3) + είναι: Π x = 3x + x + 8, υ ( x ) = 14 Β. Π x Π x = 3x 3x, υ ( x ) = 44 Δ. x Α. ( ) 3 Γ. ( ) 8 ( ) = 3x 3x 8, υ ( x ) = 14 Π ( ) = 3x + 3x + 8, υ ( x ) = 44 73

4 5. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσει ς να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Το 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου A. 1 ή 4 Γ. 1 ή 4 Q x x ( ) = κ x 4 + 3κx αν το κ ισούται με: B. 1 ή 4 Δ. 1 ή 4. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το κx + λ, κ 0 είναι ίσο με: Α. λ λ P Β. P κ κ Γ. P κ Δ. P λ λ 3. Ένα πολυώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 4. Τότε διαιρείται με τα διώνυμα: Α. x 1 και x 4 Β. x + 1 και x 4 Γ. x + 1 και 4 x Δ. x 1 και x Αν ένα πολυώνυμο P (x) έχει ρίζα το -, τότε διαιρείται με το διώνυμο: Α. x - Β. x + Γ. x + 1 Δ. x - 1 Ε. x 5. Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) έχει ρίζες τους αριθμ ούς και - 1, τότε διαιρείται με τα διώνυμα: Α. x - κ αι x - 1 Β. x + και x - 1 Γ. x + και x + 1 Δ. x - και x + 1 Ε. x - 1 και x Αν η διαίρεση ενός πολυωνύμου Ρ (x) με το διώνυμο x + 1 είναι τέλεια, τότε το Ρ (x) έχει ρίζα του τον αριθμό: Α. Β. - Γ. 1 Δ. - 1 Ε Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) διαιρεθεί με το x - ρ και η διαίρεση είναι τέλεια, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ (x) : κ (x - ρ), κ R* είναι: Α. κ Β. - κ Γ. 0 Δ. - κ ρ Ε. κρ 74

5 6. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Αν ένα πολυώνυμο πέμπτου βαθμού διαιρείται με ένα τρίτου βαθμού, τότε το πηλίκο είναι: Α. το πολύ δευτέρου βαθμού Β. τουλάχιστον δευτέρου βαθμού Γ. ακριβώς δευτέρου βαθμού Δ. ακριβώς τρίτου βαθμού Ε. τουλάχιστον τρίτου βαθμού. Αν σε μια διαίρεση πολυωνύμων που δεν είναι τέλεια, ο διαιρέτης είναι τρίτου βαθμού, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι: Α. τουλάχιστον τρίτου βαθμού Β. ακριβώς τρίτου βαθμού Γ. ακριβώς δευτέρου βαθμού Δ. το πολύ δευτέρου βαθμού Ε. τουλάχιστον δευτέρου βαθμού 3. Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) διαιρούμενο με το Q (x) δίνει υπόλοιπο 0 [ο βαθμός του P (x) είναι μεγαλύτερος του βαθμού του Q (x)], τότε: Α. Κάθε ρίζα του Ρ (x) είναι και ρίζα του Q (x) Β. Αν ρ δεν είναι ρίζα του Q (x) τότε δεν είναι ρίζα και του Ρ (x) Γ. Ο ρ είναι ρίζα του Q (x) αν και μόνο αν ο ρ είναι ρίζα του Ρ (x) Δ. Κάθε ρίζα του Q (x) είναι και ρίζα του Ρ (x) Ε. Το Ρ (x) έχει ρίζες μόνο τις ρίζες του Q (x) 8 4. Το πολυώνυμο Ρ (x) = x + x 4 + x + 3 το διαιρούμε με το διώνυμο x - ρ. Αν είναι υ το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης, τότε: Α. υ > 0 Β. υ < 0 Γ. υ = 0 Δ. υ 0 Ε. κανένα από τα προηγούμενα 5. Για ποιο από τα παρακάτω πολυώνυμα μπορείτε με βεβαιότητα και χωρίς δοκιμή να πείτε ότι δεν μπορεί να έχει παράγοντα της μορφής x - ρ; Α. x 3 - x + x - 1 Β. 4x 5-1 Γ. x 4 - x + x - 7 Δ. x 6 - x 4 + x - 9 Ε. x 8 + x

6 7. Nα αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης (Α) με αυτά της στήλης (Β) ΣΤΗΛΗ Α ΔΙΑΙΡΕΣΗ ( x + 3x ) : ( x + 4). ( x 4 + 1) : ( x + 1) ( 5x + 15x + 5x + 15) : ( x + 3) ( 3x 8x 6x + 16x) : ( x 1) ΣΤΗΛΗ Β ΥΠΟΛΟΙΠΟ Α. Β. 0 Γ. 6 Δ Nα αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης (Α) με αυτά της στήλης (Β). Αν η 5 3 ι x = x x+ 1 : x + x + 3x x 4 είναι ταυτότητα διαίρεσης σότητα ( ) ( ) ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. πηλίκο. διαιρέτης 3. υπόλοιπο 4. διαιρετέος Α. 5 x Β. x x + 1 Γ. 3 x + x + 3 x + 4 Δ. 5x 4 9. Nα αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης (Α) με αυτά της στήλης (Β). 76

7 ΣΤΗΛΗ Α 3 ΑΝ ΤΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ x + x + x+ ΔΙΑΙΡΕΘΕΙ ΜΕ ΣΤΗΛΗ Β ΑΦΗΝΕΙ ΥΠΟΛΟΙΠΟ 1. x + 1. x 1 3. x 4. x + Α. 5 Β. - 4 Γ. 16 Δ. 10. Nα αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης (Α) με αυτά της στήλης (Β). ΣΤΗΛΗ Α ΔΙΑΙΡΕΣΗ 3 1. ( 6x 19x + 0x 10) : ( 3x 5x + 6). ( x 3 + 1) : ( x + 1) 3 3. ( x + x x 1) : ( x 1) ΣΤΗΛΗ Β ΠΗΛΙΚΟ Α. x 3 Β. x + 1 Γ. x x Συμπληρώστε κατάλληλα τα κενά. 1. Για κάθε ζεύγος Δ και. με. 0 υπάρχουν δύο. φυσικοί αριθμοί π και. τέτοιοι ώστε... = δ... + υ, 0 < υ < δ. Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της... Ο Δ λέγεται., ο δ., ο π. και ο υ. της διαίρεσης.. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου. με. είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για = P ρ. x =. Είναι δηλαδή ( ) 77

8 Το σχήμα Horner με διαιρετέο 3x + 3x +...x... με το x... δίνει: Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης είναι ( ) =.. ( )... Λ x... και το υπόλοιπο υ = P... =. 4. Το σχήμα Horner με διαιρετέο το 4x 8αx + 4α και διαιρέτη το x α δίνει: Άρα π ( x ) =... και ( x ) =... υ. 78