ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ

Transcript

1 ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ

2 Κεφάλαιο 1:Περιγραφική Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική είναι ο κλάδος των µαθηµατικών ο οποίος έχει ως σκοπό:! Το σχεδιασµό της διαδικασίας συλλογής δεδοµένων.! Την Ταξινόµηση και κατάλληλη παρουσίαση τους.! Την ανάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτων. Πληθυσµός λέγεται το σύνολο των αντικειµένων του οποίου τα στοιχεία εξετάζουµε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητή είναι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουµε τον πληθυσµό. Τις µεταβλητές τις διακρίνουµε σε:! Ποιοτικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές δεν είναι αριθµοί.! Ποσοτικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί και διακρίνονται σε: α) διακριτές µεταβλητές β)συνεχείς µεταβλητές. Δείγµα είναι µία αντιπροσωπευτική οµάδα ή υποσύνολο του πληθυσµού και δειγµατοληψία η εξέτασή του. Οι τιµές t 1,t,,t v που παίρνουµε από την µελέτη ενός δείγµατος µεγέθους ν µιας µεταβλητής Χ, λέγονται παρατηρήσεις. Οι τιµές χ 1,χ,,χ κ (κ ν) λέγονται τιµές της µεταβλητής Χ και είναι οι διαφορετικές µεταξύ τους παρατηρήσεις.

3 Συχνότητες Στην τιµή χ i (i=1,,,κ) αντιστοιχίζεται η συχνότητα ν i, δηλαδή ο φυσικός αριθµός που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή χ i, στο σύνολο των παρατηρήσεων και είναι ν 1 +ν + +ν κ =ν. Η αθροιστική συχνότητα(ν i ) εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής χ i. Αν διαιρέσουµε την συχνότητα ν i µε το µέγεθος ν του δείγµατος προκύπτει η σχετική συχνότητα f i της τιµής χ i δηλαδή: f i = (i=1,,3,,κ) µε 0 f i 1 και f 1 +f +f 3 + f κ =1. Εκφράζεται συνήθως επί τοις εκατό, δηλαδή f i = και ισχύει f 1 %+f %+f 3 %+ f κ %=100%. Η αθροιστική σχετική συχνότητα F i εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής χ i.

4 Γραφικές Παραστάσεις α) Ραβδόγραµµα Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής ή µιας ποσοτικής µεταβλητής.! Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις του βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα(κατακόρυφο ραβδόγραµµα).! Σε κάθε τιµή της µεταβλητής Χ αντιστοιχεί µία ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα, σχετική συχνότητα κλπ.! Με παρόµοιο τρόπο έχουµε και το οριζόντιο ραβδόγραµµα. Κατακόρυφο ραβδόγραµµα

5 Οριζόντιο ραβδόγραµµα β) Εικονόγραµµα Χρησιµοποιείται στην µελέτη µεγάλων δειγµάτων. γ) Κυκλικό διάγραµµα! Χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση των ποιοτικών και ποσοτικών µεταβλητών, όταν οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες.! Είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες.! Αν α i τα τόξα τότε α i = *360 o =360*f i.

6 Πωλήσεις 8% 3% 10% 59% 1ο*Τρ. ο*τρ. 3ο*Τρ. 4ο*Τρ. Οµαδοποίηση των παρατηρήσεων! Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι αρκετά µεγάλο(συνήθως σε συνεχείς µεταβλητές) οµαδοποιούµε τα δεδοµένα σε µικρό πλήθος οµάδων, που ονoµάζονται κλάσεις µε τέτοιο τρόπο ώστε κάθε τιµή να ανήκει σε µία µόνο κλάση.! Οι κλάσεις έχουν την µορφή διαστηµάτων [α,β).! Το ηµιάθροισµα ονοµάζεται κέντρο κλάσης.! Πλάτος κλάσης ονοµάζεται η διαφορά β-α.! Η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων µε οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις γίνεται µε το ιστόγραµµα συχνοτήτων.

7 Παράµετροι θέσης Επικρατούσα τιµή µιας µεταβλητής είναι η τιµή µε τη µεγαλύτερη συχνότητα. Αν δυο ή περισσότερες τιµές έχουν την ίδια µέγιστη συχνότητα, τότε υπάρχουν περισσότερες από µία επικρατούσες τιµές. Μέση τιµή ( ) διαφόρων τιµών είναι το πηλίκο του αθροίσµατος των τιµών προς το πλήθος τους. Η µέση τιµή ταυτίζεται µε το µέσο όρο µόνο σε ποσοτικές µεταβλητές. Ισχύει η σχέση: Διάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ονοµάζεται: Η µεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό. Το ηµιάθροισµα των µεσαίων παρατηρήσεων αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο. Σύγκριση παραµέτρων θέσης! Η µέση τιµή επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές και εξαρτάται από όλες τις τιµές της µεταβλητής.! Η επικρατούσα τιµή εξαρτάται µόνο από την µεγαλύτερη τιµή.! Η διάµεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές και εξαρτάται από όλες τις τιµές της µεταβλητής.

8 Παράµετροι διασποράς Εύρος( R) των τιµών µιας µεταβλητής είναι η διαφορά της µικρότερης από τη µεγαλύτερη τιµή. Διακύµανση (s )µιας µεταβλητής Χ που παίρνει τιµές, µε αντίστοιχες συχνότητες, που έχουν µέση τιµή, ονοµάζεται το πηλίκο: Τυπική απόκλιση (s) µιας µεταβλητής Χ που παίρνει τιµές, µε αντίστοιχες συχνότητες, που έχουν µέση τιµή ονοµάζεται το πηλίκο: Συντελεστής µεταβλητότητας ή µεταβολής. Ορισµός: Αν ένα δείγµα εξεταζόµενο ως προς µια ποσοτική µεταβλητή του, παρουσιάζει µέση τιµή και τυπική απόκλιση s, τότε συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας (CV) ονοµάζεται το πηλίκο:

9 Παρατηρήσεις: Ο CV µετράει την οµοιογένεια ενός πληθυσµού. Αν είναι CV<10%, ο πληθυσµός θεωρείται οµοιογενής. Αν είναι CV>10% ή CV=10%, ο πληθυσµός θεωρείται ανοµοιογενής. Όσο µεγαλύτερος είναι ο CV τόσο µικρότερη είναι η οµοιογένεια.

10 Ασκήσεις 1. Ποιές από τις παρακάτω µεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιές ποσοτικές. α) Ο µήνας κατά τον οποίο ένας υπάλληλος παίρνει άδεια. β) οι απουσίες ενός µαθητή σε όλο το σχολικό έτος. γ) οι προτιµήσεις των µαθητών στα µουσικά συγκροτήµατα. δ) το αγαπηµένο χρώµα των µαθητών ενός τµήµατος.. Ποιες από τις παρακάτω µεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές και ποιες συνεχείς; α. το µήκος ενός ποταµού β. το πλήθος των σελίδων ενός βιβλίου γ. το χρώµα µαλλιών δ. η διάρκεια µιας κινηµατογραφικής ταινίας ε. τα µόρια για τη εισαγωγή στα ΑΕΙ και ΤΕΙ στ. η θερµοκρασία ενός δωµατίου ζ. η εθνικότητα η. το πλήθος των επιβατών που χωράει ένα αυτοκίνητο θ. το πλήθος των θεατών σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου ι. το ύψος ενός βουνού κ. η διάρκεια ζωής ενός λαµπτήρα λ. οι πωλήσεις ενός µοντέλου αυτοκινήτου µ. το βάρος µιας φραντζόλας ψωµιού ν. το φύλο ενός ανθρώπου 3.Μελετάµε τους µαθητές της Γ τάξης Λυκείου ως προς την διαγωγή τους. Τον αριθµό των απουσιών τους, την ειδικότητα που παρακολουθούν και το βάρος τους. Να βρείτε ποιες από τις µεταβλητές αυτές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές. Από τις ποσοτικές ποιες είναι συνεχείς και ποιες διακριτές. 4.Έγινε µία δειγµατοληπτική έρευνα για το βάρος των εµπορευµάτων µιας αποθήκης λαχανικών. Βρήκαµε ότι τα βάρη 10 κιβωτίων σε κιλά είναι: 17,1,1,15,18,,4,5,19,0. α) ποιος είναι ο πληθυσµός; β) ποιο είναι το δείγµα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) ποια είναι η µεταβλητή και ποιες οι τιµές της;

11 5.Σε ένα λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στη στατιστική. Πήραµε τις βαθµολογίες: 15,11,10,10,14,16,19,18,13,17. α) ποιος είναι ο πληθυσµός; β) ποιο είναι το δείγµα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) ποια είναι η µεταβλητή και είναι συνεχής ή διακριτή; 6.Τα τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους εξής µαθητές: 31,9,7,9,8,8,30,8,9,30,31,9,31,7,7,9. Να κατασκευάσετε τους πίνακες συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Να κατασκευάσετε τα κατακόρυφα ραβδογράµµατα συχνοτήτων και σχετικών ποσοστιαίων συχνοτήτων. 7. Οι παρακάτω αριθµοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαµε 30 φορές:,3,6,,3,1,,4,1,,1,1,3,3,5,5,1,6,4,4,4,6,4,5,5,,5,,6,5 Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτητων. 8.Οι παρακάτω αριθµοί είναι το πλήθος των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγµατοποίησαν σε µία µέρα 30 συνδροµητές Να κατασκευάσετε: α. Τους πίνακες συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. β. Το διάγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο.

12 γ. Να βρεθεί το ποσοστό των συνδροµητών που πραγµατοποίησαν: 1. τουλάχιστον 6 κλήσεις.. το πολύ 5 κλήσεις. 3. από 4 εως και 7 κλήσεις. 9. Ένα δείγµα 0 µαθητών της Β Γυµνασίου εξετάστηκε ως προς τις ώρες που παρακολουθεί τηλεόραση το Σαββατοκύριακο. Από την εξέταση αυτή προέκυψαν τα παρακάτω δεδοµένα: α) Να κάνετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετ. συχνοτήτων. β) Να κάνετε ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων. γ) Να βρείτε τον αριθµό των µαθητών που βλέπουν το πολύ 3 ώρες τηλεόραση το Σαββατοκύριακο. δ) Να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που βλέπουν τουλάχιστον 5 ώρες τηλεόραση το Σαββατοκύριακο. 10.Οι παρακάτω αριθµοί αντιπροσωπεύουν το πλήθος των ενηλίκων επιβατών που µπορεί να µεταφέρει καθένα από 30 διαφορετικά αυτοκίνητα α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα µε τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες της µεταβλητής «πλήθος επιβατών». β. Να κατασκευάσετε ένα διάγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων γ. Να βρείτε το ποσοστό των αυτοκινήτων του δείγµατος που µπορεί να µεταφέρει: i. τουλάχιστον 5 επιβάτες ii. το πολύ 4 επιβάτες iii. 4 ή 5 επιβάτες 11.Μια βιβλιοθήκη περιέχει συνολικά 105 τόµους βιβλίων. Απ αυτούς 350 είναι λογοτεχνικοί, οι 50 ιστορικοί και οι υπόλοιποι σχετικοί µε µαθηµατικά. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων.

13 1.Ένας παίκτης του µπάσκετ είχε το 008 συµµετοχή σε 30 αγώνες της οµάδας του. Τα παρακάτω δεδοµένα αντιπροσωπεύουν τα φάουλ που έκανε σε καθέναν απ αυτούς τους αγώνες α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα µε τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες της µεταβλητής «φάουλ». β. Να κατασκευάσετε ένα διάγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο συχνοτήτων. 13. Να συµπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα ο οποίος αναφέρεται σε κάποια µεταβλητή Χ. Σχ. Μεταβλητη Σχετ. Αθρ. Αθρ.Σχ. Αθρ.Σχ. Συχνότητα Συχν. Χ Συχν. Συχν. Συχν. Συχν. % % Χ 1 Χ Χ 3 67,5 Χ 4 0,1 Χ Nα συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Μεταβλητή Χ Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική συχνότητα X Χ 0,5 Χ ,5

14 15. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και κατόπιν να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων. 16.Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που έχει τους βαθµούς ενός τµήµατος φοιτητών Βαθµοί χ i Συχνότητα v i Αθροιστική Συχνότητα v i Σύνολο Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i % Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθµό: α) Το πολύ 7 β) Τουλάχιστον 7 γ) Από 6εώς 8.

15 17.Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας ο οποίος παρουσιάζει τους µεταξεταστέους µαθητές της Α τάξης Λυκείου. Μαθήµατα Συχνότητα Σχετική χ i v i Συχνότητα f i % Αρχαία 6 Νέα 5 Αγγλικά 8 Μαθηµατικά 8 Φυσική 10 5 Χηµεία Σύνολο 18. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ i Συχνότητ ν i Αθροιστική Συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i % , Σ 19.Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: και υπολογίστε την µέση τιµή και την διάµεσο.

16 0.Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: 1.Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 50 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους. Αριθµός παιδιών χ i Αριθµός οικογενειών ν i Σύνολο 50 α) να τον συµπληρώσετε µε τις στήλες αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων % και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. β) Να βρείτε τον αριθµό και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: I. Τουλάχιστον 1 παιδί. II. Πάνω από 3 παιδία. III. Από 3 ως 5 παιδιά. IV. Το πολύ 6 παιδιά.

17 V. Ακριβώς 6 παιδιά. γ) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραµµα συχνοτήτων και το κυκλικό διάγραµµα σχετικών ποσοστιαίων συχνοτήτων..οι πωλήσεις σε χιλιάδες τεµάχια ενός προϊόντος φαίνονται στο παρακάτω ραβδόγραµµα. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα. 3.Σε ένα κυκλικό διάγραµµα ο κυκλικός τοµέας της τιµής Α έχει κεντρική γωνία ίση µε 100. Αν η µεταβλητή που µελετούµε παίρνει τιµές Α, Β, Γ, Δ και η τιµή Α έχει διπλάσια σχετική συχνότητα από την Β και τριπλάσια από την Γ, να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραµµα. 4.Από την ερώτηση ενός δείγµατος 800 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. α. Να κάνετε την κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων και να παραστήσετε την κατανοµή αυτή µε ραβδόγραµµα. β. Να βρεθεί η επικρατούσα τιµή. γ. Αν οι οικογένειες µε περισσότερα από 3 παιδιά παίρνουν επίδοµα πολυτεκνίας να βρείτε το ποσοστό που θα πάρουν το επίδοµα.

18 5.Τα παρακάτω δεδοµένα αντιπροσωπεύουν τις καθυστερήσεις (σε λεπτά) 30 δροµολογίων µιας αµαξοστοιχίας α. Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε κατάλληλο αριθµό κλάσεων ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε πίνακα µε τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες των κλάσεων αυτών. β. Να κατασκευάσετε τα πολύγωνα σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. 6.Μετρήσαµε τη διάρκεια ζωής (σε ώρες) 44 λυχνιών και βρήκαµε τα παρακάτω αποτελέσµατα: α. Να οµαδοποιήσετε τις µετρήσεις αυτές σε κατάλληλο αριθµό κλάσεων β. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.

19 7.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την επίδοση που είχαν 10 φοιτητές σε εξέταση του µαθήµατος των µαθηµατικών: ΒΑΘΜΟΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ i. Να υπολογιστούν: α) Η µέση βαθµολογία των φοιτητών β) Η διάµεσος της βαθµολογίας γ) Η επικρατούσα τιµή δ) το εύρος ε) Η διακύµανση της βαθµολογίας ii. είναι το δείγµα οµοιογενές: (Δίνεται ότι 1,7) 8.Οι τιµές δέκα προιόντων σε ένα κατάστηµα είναι: 7,11,10,13,15,3,1,11,4,14 σε ευρώ. Να υπολογίσετε τα παρακάτω για τις τιµές των προιόντων: α) να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων β) την µέση τιµή γ)την επικρατούσα τιµή δ) τη διάµεσο ε) το εύρος στ)τη διακύµανση ζ)να βρεθεί το πλήθος των προιόντων µε τιµή τουλάχιστον 1 ευρώ. 9.Οι βαθµοί 7 φοιτητών σε µία εργασία ήταν: 3,9,5,10,5,7,10 α) Να βρεθεί η µέση βαθµολογία των φοιτητών. β) Να βρεθεί η διάµεσος γ) Να βρεθεί η τυπική απόκλιση δ)να δειχθεί ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

20 30.Εξετάζουµε ένα δείγµα 5 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών που έχουν. Μερικά αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθµός παιδιών οικογένειες Σχετικές συχνότητες Αθροιστικές συχνότητες Σχετικές Αθροιστικές συχνότητες χ i ν i f i % Ν i F i Σύνολο 5 α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα β) Να βρείτε την µέση τιµή, την διάµεσο και την επικρατούσα τιµή γ) Να βρείτε την διακύµανση και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές δ) Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: i. τουλάχιστον 3 παιδιά ii. το πολύ παιδιά iii. ένα µόνο παιδί. 31.Στον παρακάτω πίνακα: χ i v i f i % N i F i % Σύνολο α) Βρείτε την Επικρατούσα τιµή.

21 β) Συµπληρώστε τα κενά. γ) Βρείτε την διάµεσο. δ) Υπολογίστε την τιµή του 4 ώστε η µέση τιµή να είναι 5,48. 3.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει των αριθµό πελατών που επισκέφθηκαν ένα κατάστηµα σε µία χρονική περίοδο 100 ηµερών. α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: β. Να κάνετε: 1. Το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο γ. Να βρείτε το ποσοστό των ηµερών στις οποίες επισκέφθηκαν το κατάστηµα: 1. Λιγότεροι από 50 πελάτες. Από 35 εως 75 πελάτες 3. Από 43 εως 63 πελάτες 33.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα ποσά σε ευρώ που ξοδεύουν 100 µαθητές στο κυλικείο του σχολείου τους σε διάστηµα ενός µηνός. α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

22 β. Να κάνετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο. γ. Να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που ξοδεύουν: 1. Λιγότερο από 30 ευρώ ευρώ ευρώ. δ. Να βρείτε το µέσο ποσό χρηµάτων που ξοδεύουν οι µαθητές. 34.Στο σχήµα δίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων που παρουσιάζει τη βαθµολογία µιας οµάδας φοιτητών στο µάθηµα της Στατιστικής. Η βαθµολογία κυµαίνεται από έως 10. α. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β. Να βρείτε τη διάµεσο. γ. Να βρείτε τη µέση τιµή και τυπική απόκλιση της βαθµολογίας των φοιτητών.

23 35.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις ηλικίες σε έτη των παιδιών σε ένα κολυµβητήριο: ΗΛΙΚΙΕΣ [3,5) 0 [5,7) 0, [7,9) 60 [9,11) ΣΥΝΟΛΟ 00 α) Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα β) Αποδείξτε ότι το παραπάνω δείγµα δεν είναι οµοιογενές γ)τι ποσοστό παιδιών έχει ηλικία τουλάχιστον 7 έτη 36.Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις ηλικίες εικοσιπέντε αθλητών ποδοσφαίρου: Ηλικίες Συχνότητα [16,0) 3 [0,4) 5 [4,8) [8,3) 7 [3,36) α) Αν η συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι τετραπλάσια από την συχνότητα της πέµπτης κλάσης. Να βρεθεί η µέση τιµή β) Να βρεθεί η επικρατούσα τιµή γ) Να βρεθεί η διάµεσος δ) Να βρεθούν η διακύµανση και η τυπική απόκλιση ε) Να εξετασθεί αν το δείγµα είναι οµοιογενές.

24 37.Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την κατανοµή δείγµατος 50 κινηµατογραφικών ταινιών ως προς την διάρκειά τους (σε λεπτά). Να βρείτε: α. τη µέση τιµή β. την τυπική απόκλιση γ. το συντελεστή µεταβλητότητας Διάρκεια Συχνότη (λεπτά) τα [60,75) [75,90) 8 [90,105) 15 [105,10) 11 [10,135) 10 [135,150) 4 38.Ο διπλανός πίνακας δείχνει το ενοίκιο ανά στρέµµα ενοικιαζόµενης γης (µε άρδευση) στους 54 νοµούς της Ελλάδας. Να βρείτε: α. τη µέση τιµή του ενοικίου β. το εύρος γ. τη διακύµανση και την τυπική απόκλιση δ. το συντελεστή µεταβλητότητας Κλάση ( ) Συχνότητα [7,36) 7 [36,45) 14 [45,54) 13 [54,63) 6 [63,7) 9 [7,81) 5

25 39.Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθµό των επισκέψεων 30 µαθητών µιας τάξης σε διάφορες βιβλιοθήκες της Αθήνας τον τελευταίο µήνα Επισκέψεις Μαθητές Σχετική Συχνότητα χ i ν i f i [0,) 3 [,4) 9 [4,6) 6 [6,8) 0, [8,10) α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας β) Να βρεθούν η µέση τιµή, η διάµεσος, η επικρατούσα τιµή, το εύρος γ) Να υπολογιστούν (θεωρήστε την =5) η διακύµανση, η τυπική απόκλιση, ο συντελεστής µεταβλητότητας. 40.Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας και να βρεθούν τα µέτρα θέσης και διασποράς. Είναι το δείγµα οµοιογενές;

26 41.Σε ένα εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικών λαµπτήρων έγινε δειγµατοληπτική έρευνα σε 500 λαµπτήρες για το «χρόνο ζωής» τους σε µήνες. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας. β) Πόσοι λαµπτήρες έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 7,5 µήνες; γ) Να υπολογισθεί η µέση τιµή, η διάµεσος και η επικρατούσα τιµή. 4.Η βαθµολογία 30 φοιτητών στο µάθηµα της στατιστικής κυµαίνεται από 0 µέχρι 10. Γνωρίζουµε επίσης ότι πέντε φοιτητές έχουν βαθµό κάτω του, δώδεκα µαθητές έχουν βαθµό κάτω του 4, έξι µεγαλύτερο ή ίσο του 8 και δέκα µεγαλύτερο ή ίσο του 6. α. Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων. β. Να υπολογίσετε την µέση τιµή, τη διάµεσο, την επικρατούσα τιµή και την τυπική απόκλιση. γ. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα συχνοτήτων. δ. Τι ποσοστό µαθητών έγραψε 14 και πάνω; 43. Μεταξύ 50 δροµέων 400 µέτρων οι 1 έκαναν χρόνο κάτω από 51 sec, οι 0 έκαναν χρόνο κάτω από 5 sec, οι 30 έκαναν χρόνο κάτω από 53 sec και οι 44 έκαναν χρόνο κάτω από 54 sec. Αν οι χρόνοι των αθλητών κυµάνθηκαν από 50 έως 55 sec τότε: α. Να παραστήσετε τα δεδοµένα µε πίνακα συχνοτήτων β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο, την επικρατούσα τιµή και την τυπική απόκλιση γ. Αν προκρίνεται το 16% των αθλητών τότε ποιο χρόνο το πολύ πρέπει να έχει κάνει ένας δροµέας ώστε να προκριθεί;

27 44. Σε µια βιοµηχανία εργάζονται 100 άτοµα. Ο συνολικός χρόνος εργασίας τους σε έτη δίνεται από το παρακάτω κυκλικό διάγραµµα (οι τιµές αντιστοιχούν σε µοίρες): Έτη [0,5)&&36 [15,0)&&7 [5,30)&& [0,5)&&36 [5,10)&&54 [10,15)&&144 [0,5)&&36 [5,10)&&54 [10,15)&&144 [15,0)&&7 [0,5)&&36 [5,30)&& α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων, απολύτων και αθροιστικών β) Να βρείτε την µέση τιµή των ετών εργασίας τους γ) Πόσοι υπάλληλοι της βιοµηχανίας εργάζονται τουλάχιστον 10 έτη; 45.Να υπολογιστεί η συχνότητα που λείπει στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων αν γνωρίζουµε ότι: α. η µέση τιµή είναι ίση µε 3,0 β. η διάµεσος είναι ίση µε 3,5

28 46.Να υπολογιστεί η συχνότητα που λείπει στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων αν γνωρίζουµε ότι: α. η µέση τιµή είναι ίση µε 3,41 β. η διάµεσος είναι ίση µε 3,5 47.Οι µηνιαίοι µισθοί των 0 υπαλλήλων µιας επιχείρησης ήταν στο τέλος του 009 (σε χιλιάδες ): 17,5 15 7,5 17, ,5 1,5 17,5 30 7, , ,5 33,75 7,5 7,5 1,5 α. Να βρείτε τη µέση τιµή των µισθών β. Το 010 όλοι όσοι είχαν µισθό µικρότερο από τη µέση τιµή πήραν αύξηση ώστε ο µισθός τους να είναι όσο η µέση τιµή του 009. Οι υπόλοιποι πήραν αύξηση από ο καθένας. Ποια είναι η µέση τιµή των µισθών µετά από αυτές τις αυξήσεις; 48.Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής Χ έχει µέση τιµή!! =5 και συντελεστή µεταβλητότητας CV=30%. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s. 49.Το µέσο ύψος µιας τάξης µε 0 µαθητές είναι 1,70 εκ. α) Να βρεθεί το µέσο ύψος αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 1.80 εκ. β) Το µέσο ύψος των µαθητών όταν ήρθε ένας καινούριος µαθητής έγινε 1,7. Τι ύψος είχε ο νέος µαθητής;

29 Όριο-συνέχεια Συνάρτησης Όριο Συνάρτησης Πεδίο ορισµού συνάρτησης f ονοµάζουµε το σύνολο από το οποίο παίρνει τιµές η µεταβλητή. Διακρίνουµε περιπτώσεις:! Αν η f είναι πολυώνυµο τότε το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο Α=R. π.χ η f()=5- έχει πεδίο ορισµού το σύνολο Α=R.! Αν η f είναι κλάσµα τότε έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R, εκτός από τις τιµές που µηδενίζουν τον παρανοµαστή. π.χ. η f()= έχει πεδίο ορισµού το σύνολο A=R-{3}.! Αν f()= τότε το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο που προκύπτει από την λύση της εξίσωσης φ() 0! Αν f()= τότε το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο που προκύπτει από την λύση της εξίσωσης φ() 0. Ιδιότητες του Ορίου Συνάρτησης 1) ) 3), εφόσον 0 4), εφόσον

30 5), νє Ν 6). Παρατήρηση Για να βρούµε το, βάζουµε όπου τον αριθµό 0. Αν (απροσδιόριστη µορφή), τότε: α) Αν η f είναι κλάσµα µετατρέπουµε τον αριθµητή και τον παρανοµαστή σε γινόµενο, απλοποιούµε όσες φορές χρειαστεί και βρίσκουµε το όριο. β) Αν η f είναι κλάσµα που περιέχει τετραγωνικές ρίζες, πολλαπλασιάζουµε τον αριθµητή και παρανοµαστή µε την συζυγή παράσταση του όρου που περιέχει τις ρίζες και εφαρµόζουµε την ταυτότητα (α-β)(α+β)=α -β. Έπειτα απλοποιούµε και βρίσκουµε το όριο. Συνέχεια συνάρτησης Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α, λέγεται συνεχής στο σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν, ισχύει. Αν µια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α, αριστερά του єα (< ) και δεξία του δίνεται µε διαφορετικό τύπο, τότε είναι συνεχής στο, αν και µόνο αν:

31 Ασκήσεις 1. Αν f()= 3-3,να υπολογίσετε τις τιµές f(1),f(),f(-1).. Αν φ(t)= t -5t+6, να υπολογίσετε τις τιµές φ(0) και φ(1). Για ποιές τιµές του t είναι φ(t)=0. 3. Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο:f()= -5. Υπολογίστε τις τιµές f(0), f(1), f(5), f(-3), f(+1), f( 0 +h). 4. Αν f()=, να υπολογίσετε τις τιµές f(1) και f(e). 5. Δίνεται η συνάρτηση f()= υπολογίστε τις τιµές f(0), f(), f(3), f(1). 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού καθεµίας από τις συναρτήσεις: i) f()= ii) f() iii) f() 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f()=. 8. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f()=. 9. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: i) f()= ii) f()= 10. Δίνεται η συνάρτηση α) να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f β) να υπολογιστούν οι τιµές f(-1), f().

32 11. Δίνεται η συνάρτηση α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να βρεθούν τα f(), f(0), f(1), f(-1). 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: i) f()=, ii) f(), iii) f(), iv) f(), v) f() 13. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: i) f(), ii) f(), iii) f(), iv) f() v) f(), vi) f() 14. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(). Ποια από τα παρακάτω σηµεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της: Α(,0), Β(0,-1), Γ(3,0.8), Δ(-1,1), Ε(5,6). 15. Να υπολογίσετε τον αριθµό κ,έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=k -3 να διέρχεται από το σηµείο Κ(,8). 16. Να υπολογιστούν τα όρια: i), ii), iii). 17. Να υπολογιστούν τα όρια: i) ), ii) iii)

33 18.Να βρείτε τα όρια: i. lim( 1) ii. ( 3 lim ) iii. lim ( 1 ) ( 3 + ) + 4 iv. lim v. lim Να βρείτε τα όρια: α. lim ( 3 + 1) β. lim 1 + lim 1 3 γ. ( ) 1 3 ( + ) δ. ( ) ε. lim lim στ. lim 1 3 lim ζ. ( ) η. 1 lim θ. lim ι. lim ( )( ) ( ) κ. lim 3( 4) ( 4 + 1) λ. lim ( 3 11) ( 5 15) µ. ν. 3 ( ) + ( 3) 3 lim lim ( ) ( )

34 0.Αν γνωρίζετε ότι παρακάτω όρια: lim f() g() α. [ ] 0 10g() β. lim 0 f() f() + 5g() γ. lim 0 f() g() δ. lim f() + 5() 0 1 ε. lim 3 0 g() f() g() στ. lim 0 f() + g() lim f() = 5 και 0 lim g() = 4, υπολογίστε τα 0 1.Να υπολογιστούν τα όρια: i), ii), iii), iv), v).να βρείτε τα παρακάτω όρια : α), β), γ) δ), ε) 3.Να βρείτε τα παρακάτω όρια :, β), γ) δ), ε), στ) 4.Να βρείτε τα παρακάτω όρια :

35 α), β), γ) δ), ε), στ) ζ), η) 5.Να υπολογίσετε αν υπάρχουν τα όρια: 3+ α. lim β. lim 3 ( ) + 4 γ. lim δ. lim ε. lim στ. lim ζ. lim η. lim θ. lim ( ) 6.Να βρεθούν αν υπάρχουν τα όρια: + α. lim β. lim γ. lim 9 9 δ. ε. 1 1 lim lim 1 1

36 + 8 3 στ. lim ζ. lim η. lim θ. lim ι. lim κ. lim λ. lim µ. ν lim lim ξ. lim 1 1 ο lim Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 8.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 9.Δίνεται η συνάρτηση:

37 Να βρείτε το. 30.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 31.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 3.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 33.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 34. Δίνονται οι συναρτήσεις: + 1, < 1 α) f( ) = + 1, 1 β) + 1, < g ( ) = 1,

38 3 >, 1 γ) f( ) =, 1 +, < 3 δ) g ( ) = + 4, 3 5 1, 5<, < 1 ε) f( ) = +, 1, > + 1, 5 στ) f( ) = 6 1, 5<. + 1, < Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων στα σηµεία όπου αλλάζει ο τύπος , < Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + 1, , Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: lim f lim f lim f α) ( ) 1 β) ( ) 1 γ) ( ) 3. 1, Δίνεται η συνάρτηση f() = + 4, > 1 Να βρείτε αν υπάρχει το lim f() Να βρεθούν τα όρια: α. lim f() 1 και +, < 1 g() = + + 1, 1 limg(), όπου f() = 3, , > 1 και 38.Σε κάθε µια από τις παρακάτω συναρτήσεις, να βρεθούν οι τιµές των α και β για τα οποία υπάρχουν τα όρια στα σηµεία όπου αλλάζει ο τύπος: α, < 3 α) f( ) =, 3

39 +, > 4 β) f( ) = 1 α, 4 β, < 1 γ) f( ) = β 3, 1 β, < 1 δ) f( ) = + α, 1 3 ( β + 1) + 3 α, > ε) 3 1, < β f( ) =. + 1, β 39.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το. 40.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το. 41.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το λ ώστε να υπάρχει το. 4.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το.

40 3 α, 1 43.Έστω η συνάρτηση f() = α + β, 1< < 1. 3 α + γ, 1 Να βρείτε τις τιµές των α, β, γ για τις οποίες υπάρχει το lim f() και limf() = α + 1, 1 44.Δίνεται η συνάρτηση f() =. 3 α + β, > 1 Να βρείτε τις τιµές των α,β R ώστε να υπάρχει το lim f() Έστω η συνάρτηση Να βρείτε τα α,β ώστε 3 8α β + 1, < 1 f() = β + 3, 1 lim f( ) = 1 1. α + β, < 46.Δίνεται η συνάρτηση f() = + 4 α β, Να βρεθούν τα α, β ώστε lim f() = 4.. α + β, 1 47.Δίνεται η συνάρτηση f() =. Αν υπάρχει + β + α, > 1 το lim f() και η γραφική παράσταση της f περνά από το σηµείο Α(,) να βρεθούν οι τιµές των α και β. 48.Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια στο χ 0 τις συναρτήσεις: και χ 0 = και χ 0 =0 49.Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια στο χ 0 τις συναρτήσεις:

41 και χ 0 =1 και χ 0 =- 50.Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια στο χ 0 =1 τις συναρτήσεις: 51. Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: + 4, < α. f() = 3, + 1, < 1 β. f() = 3+, 1 +, γ. f() = + 3, =

42 5+ 6, δ. f() = 5, = 3, 1 ε. f() = 1, > , 1 στ. f() = + + 1, > 1 1, 1 ζ. f() = 1, = 1 + 3, < 1 η. f() = 4 + 1, 1 3 +, < 1 θ. f() = 6, = 1 + 3, > , 1 ι. f() = + 3, 1< < 4 1, , 1 κ. f() = 1 1, = 1 5.Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: α. β. γ. δ. ε.

43 στ. ζ. η. θ. + + f() = 1 3, = 1 3, 1 53.Δίνεται η συνάρτηση: α)για χ είναι συνεχής η f; β)για ποια τιµή του αєr η συνάρτηση είναι συνεχής στο χ 0 =3; 54.Δίνεται η συνάρτηση: α)να βρείτε το β) Την τιµή του αєr, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο χ 0 =1. 55.Δίνεται η συνάρτηση: α)να βρείτε το β) Την τιµή του αєr, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο χ 0 =

44 56.Να βρείτε τις τιµές του αєr για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού τους. 57.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε τα α,βєr, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο που αλλάζει ο τύπος της. 58.Να βρείτε τις τιµές των α,β ώστε η f να είναι συνεχής: α. β. γ. α + β < 1, 1 f() = 5, = 1 α + β, > 1 ( α )( + α), f() = α + 5, > + 1 e + α, 1 f() = β, 1< < 0 βηµ 7 συν + ln( + 1 ), 0

45 δ. α + = α + β < < βηµ +ασυν + 1, e, 1 f() 3, Να βρεθούν τα α, β ώστε η f να είναι συνεχής α + β, < 1 f() = 1, = 1 β + α 1, > 1 60.Να βρεθούν τα α, β ώστε η f να είναι συνεχής 3α + β + 1, < 1 α. f() = 3, = 1 + α + β, 1< β. + α + β, < f() = 4, = α + β, < 61.Να βρεθούν τα α, β ώστε η f να είναι συνεχής 3α + β 4, 1 α. f() = και f()=5 β α, > 1 β. 3α + β, < f() = α β, και f(-1)=4

46 Παράγωγοι Ορισµός: Μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της, αν υπάρχει το όριο: Παρατήρηση: Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0 του πεδίου ορισµού τη, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Αν δεν είναι συνεχής στο 0, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη σε αυτό. Κανόνες παραγώγισης (f +g) =f g (f g) = f g+ f (c f) = c f () = g Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Συνάρτηση f Παράγωγος f c (c) =0, c =1 ( ) =,,>0 ( ) =, ( ) =, ( ) = ηµ συν εφ σφ (ηµ) =συν (συν) =-ηµ (εφ) = (σφ) =, ( ) =

47 Παράγωγοι Σύνθετων Συναρτήσεων ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ f ( ) =!, ) = ( = ( ) = ηµ(g()) (ηµ(g()) =συν(g()) συν(g() (συν(g()) =-ηµ(g()) εφ(g()) (εφ(g())) = σφ(g()) (σφ(g())) = ( =

48 1. Για την f()=+5 υπολογίστε: Ασκήσεις i) f (1), ii) f (5), iii) f ( ), για κάθε..α) Αν f()= 3-, να βρείτε το f (). β) Αν f()= +, να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 3. Εξετάστε αν η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιµη στο 4. Έστω f()= Εξετάστε αν η f είναι: i) συνεχής στο ii) παραγωγίσιµη στο 5. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f()= είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο σηµείο 6. Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο του πεδίου ορισµού της και ισχύει f( = να βρείτε το 7. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο του πεδίου ορισµού της και ισχύει και f( 0 )=, να βρείτε το α 8. Να βρείτε τα α,β, ώστε η συνάρτηση f()= να είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 =1.