ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Transcript

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ

2 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Υπολογισμός της Παραγώγου στο... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων... Μεθοδολογία 3. Παράγωγος και Συνέχεια... 3 Μεθοδολογία 4. Παράγωγος και Όρια... 4 Μεθοδολογία 5. Θεωρητικές Ασκήσεις ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ... ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Μεθοδολογία. Κανόνες παραγώγισης... Μεθοδολογία. Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης... Μεθοδολογία 3. Παράγωγος Ανωτέρας Τάξης... 4 Μεθοδολογία 4. Θεωρητικές Ασκήσεις... 5 Μεθοδολογία 5. Παραγώγιση με Δύο Μεταβλητές... 7 Μεθοδολογία 6. Παράγωγος Αντίστροφης Συνάρτησης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 9 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 3 Μεθοδολογία. Εφαπτόμενη που Διέρχεται από Γνωστό Σημείο... 3 Μεθοδολογία. Εφαπτόμενη παράλληλη στο... 3 Μεθοδολογία 3. Εφαπτόμενη Παράλληλη Ή Κάθετη σε Ευθεία... 3 Μεθοδολογία 4. Εφαπτόμενη που Ταυτίζεται με ευθεία... 3 Μεθοδολογία 5. Εφαπτόμενη Δύο Συναρτήσεων Μεθοδολογία 6. Εφαπτόμενη με Γνωστό λ Μεθοδολογία 7. Θεωρητικές Ασκήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE... 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 4 Μεθοδολογία. Συνθήκες Συμπεράσματα Θεωρήματος Rolle... 4 Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων Μεθοδολογία 3. Ύπαρξη Ρίζας της με Γνωστή Μεθοδολογία 4. Αντιπαραγώγιση Μεθοδολογία 5. Ύπαρξη Ρίζας της, εφαρμογή του Θ. Rolle για F Μεθοδολογία 6. Εύρεση F από τη Σχέση F( a) F( β ) Μεθοδολογία 7. Ύπαρξη Ρίζας της Μεθοδολογία 8. Το Πολύ v Ρίζες Μεθοδολογία 9. Μοναδική Ρίζα με Θ. Bolzano και Θ. Rolle για... 58

3 Μεθοδολογία. Μοναδική Ρίζα με Θ. Rolle Για F και Μεθοδολογία. Ύπαρξη Ρίζας με Άτοπο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Συνθήκες Συμπεράσματα Θ.Μ.Τ Μεθοδολογία. Ύπαρξη μίας τιμής της Μεθοδολογία 3. Θ. Bolzano ή Ε.Τ. και Θ.Μ.Τ Μεθοδολογία 4. Ρίζα της Μεθοδολογία 5. Θ.Μ.Τ. και Ανισότητες Μεθοδολογία 6. Συνθετικές ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 8 Μεθοδολογία. Σταθερή συνάρτηση Έυρεση του Τύπου της... 8 Μεθοδολογία. Εύρεση με Δοσμένη Ή Μεθοδολογία 3. Εύρεση της με Βοηθητική Συνάρτηση Μεθοδολογία 4. Η Μορφή + g h Μεθοδολογία 5. Σύνθετα Θέματα ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Εύρεση Μονοτονίας Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων... Μεθοδολογία 3. Μονοτονία και Εξισώσεις... Μεθοδολογία 4. Εξισώσεις της Μορφής κ α + λ β µ γ... 5 Μεθοδολογία 5. Εύρεση Προσήμου της... 7 Μεθοδολογία 6. Μονοτονία και Ανισότητες... Μεθοδολογία 7. Θεωρητικές Ασκήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 9 Μεθοδολογία. Θεώρημα Fermat Κρίσιμα Σημεία... 9 Μεθοδολογία. Ανισοϊσότητα Fermat Ισότητα... Μεθοδολογία 3. Η δεν έχει Ακρότατα... 4 Μεθοδολογία 4. Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων... 4 Μεθοδολογία 5. Ακρότατα και Ρίζες Πρόσημο... 7 Μεθοδολογία 6. Σύνολο Τιμών Πλήθος Ριζών Συνάρτησης... 3 Μεθοδολογία 7. Ύπαρξη Ακροτάτου Μεθοδολογία 8. Θεωρητικές ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ... 4 Σελίδα 3

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Μελέτη ως προς τα Κοίλα Μεθοδολογία. Εύρεση των Σημείων Καμπής Μεθοδολογία 3. Κοίλα Σημεία Καμπής Παράμετροι... 5 Μεθοδολογία 4. Κυρτότητα και Απόδειξη Ανισοτήτων... 5 Μεθοδολογία 5. Θεωρητικές Ασκήσεις ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 6 Μεθοδολογία. Κατακόρυφες Οριζόντιες Ασύπτωτες... 6 Μεθοδολογία. Πλάγιες Ασύμπτωτες... 6 Μεθοδολογία 3. Ασύμπτωτες Όρια - Παράμετροι ΚΑΝΟΝΑΣ De L Hospital ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Μορφή Μεθοδολογία. Μορφή Μεθοδολογία 3. Άλλες Απροσδιόριστες Μορφές... 66

5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Έστω μια συνάρτηση και A (, ( )) ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το ( lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με ( ). Δηλαδή: ( ) ( ) lim. Άλλοι τύποι υπολογισμού της παραγώγου. ( + h) ( ) ( ) lim. h h ( h) ( ) lim h h ) Παράγωγος και Πλευρικά όρια Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο τα όρια ( ) ( ) lim, lim + και είναι ίσα Εξίσωση Εφαπτόμενης y Κατακόρυφες Εφαπτόμενες Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: Σελίδα 5

6 ( ) α) lim + β) ( ) ( ) lim + (ή ) και ( ) lim ( + ), γ) ( ) ( ) lim και ( ) ( lim ) +, + τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο A (, ( )) την κατακόρυφη ευθεία. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Σχόλιο: Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο.

7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΤΟ Α. Η παράγωγος μίας συνάρτησης σε ένα σημείο D βρίσκεται με χρήση ενός από τους παρακάτω τύπους: ( ) ( ) lim () ( + h) ( ) lim h h () ( h) lim, h ( h) (3) Τονίζουμε ότι για να είναι η παραγωγίσιμη στο πρέπει τα παραπάνω όρια να είναι πραγματικοί αριθμοί. Β. Αν η αλλάζει τύπο στο, τότε εργαζόμαστε με τα πλευρικά όρια. Γ. Σε υπολογιστικά θέματα προτιμάμε τον τύπο (), ενώ σε θεωρητικά τους τύπους () και (3), ανάλογα με τη μορφή της άσκησης. Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο όταν: συν, Θα εργαστούμε με τον ορισμό της παραγώγου, δηλαδή με τον τύπο () στο σημείο Έχουμε ότι: ( ) συν συν συν ηµ lim lim lim lim ηµ ηµ lim ηµ lim( ηµ ) lim Άρα lim Παράδειγμα. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο όταν , + 3, > Θα εργαστούμε με την χρήση των πλευρικών ορίων, δηλαδή: Σελίδα 7

8 ( ) ( ) ( ) lim lim + Έχουμε ότι: (Για την εύρεση του ( ) που περιέχει την ισότητα). επιλέγουμε τον κλάδο της συνάρτησης ( ) ( )( 3 ) lim lim lim lim ( ) + 34 ( + 3 ) ( + 3 )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) lim lim lim lim ( + 34) ( ) lim lim lim ( )( 3 ) + + lim lim ( + ) + 3+ Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα: ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) + Παράδειγμα 3. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο όταν +, Παρατηρούμε ότι για η απόλυτη τιμή που βρίσκεται μέσα στην συνάρτηση μηδενίζεται. Άρα θα εργαστούμε με την χρήση των πλευρικών ορίων για την εύρεση της παραγώγου στο ζητούμενο σημείο. Έχουμε ότι: 3 3, > +, Για ( ) lim lim lim ( ) lim lim lim + Παρατηρούμε ότι lim lim + Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο

9 Παράδειγμα 4. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο και για κάθε ισχύει: ηµ ηµ +, να αποδείξετε ότι: α) β) d d α) Από υπόθεση έχουμε ότι η είναι συνεχής στο δηλαδή ισχύει ότι: lim lim lim + Αρχικά πρέπει να διαιρέσουμε τα μέλη της δοσμένης σχέσης με Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν > τότε ηµ ηµ + ηµ ηµ ηµ + ηµ + Έχουμε ότι: lim ηµ + ηµ lim ηµ + + lim + Άρα από κριτήριο παρεμβολής Αν < τότε + ηµ ηµ + ηµ ηµ ηµ + ηµ + Έχουμε ότι: lim ηµ ηµ lim ηµ + + lim Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim Επομένως d β) Από την θεωρεία έχουμε ότι d Ισχύει επίσης ότι: lim lim Διαιρούμε την δοσμένη σχέση με επομένως έχουμε ότι: ηµ ηµ + ηµ ηµ ηµ ηµ + + ηµ lim ηµ lim + + Σελίδα 9

10 Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim. Παράδειγμα 5. Αν παραγωγίσιμη στο και ηµ + 4 για κάθε, να αποδείξετε ότι η είναι Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε άρα θα ισχύει και για. Έχουμε διαδοχικά ότι: ηµ ηµ Αναζητούμε το lim lim Μετασχηματίζουμε την δοσμένη σχέση: ( 4 ) ηµ 4 ηµ ηµ 4 4 ηµ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν > τότε: ( + 4) ( 4 ) ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ + 4 ηµ + + Έχουμε ότι: ηµ lim lim ηµ lim ηµ ( 4 ) ( ) ηµ lim ( + 4 )( + 4+ ) ( + 4+ ) ( + 4+ ) + 4 ηµ lim lim ηµ lim ηµ ηµ lim Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim + Αν < τότε:

11 ( + 4) 4 ( 4 ) ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ + ηµ + + Έχουμε ότι: ηµ lim lim ηµ lim ηµ ( 4 ) ( ) ηµ lim ( + 4 )( + 4+ ) ( + 4+ ) ( + 4+ ) + 4 ηµ lim lim ηµ lim ηµ ηµ lim Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim () Από τιε σχέσεις () και () έχουμε ότι: lim lim + Παράδειγμα 6. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και ισχύει ( ) g( ) και + g + για κάθε, να δείξετε ότι g ( ) + ( ) Από υπόθεση έχουμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο δηλαδή τα όρια ( ) ( ) g g( ) g g( ) lim lim ( ) και lim lim g ( ) υπάρχουν. + + Η δοσμένη σχέση γράφεται διαδοχικά: g ( ) + ( )( + ) ( ) g g g g g Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν > τότε: ( ) ( )( + ) ( ) g g ( ) + ( )( + ) g g( ) + ( ) g g( ) + + ( ) g g( ) lim + lim ( + ) lim ( ) + g ( ) Άρα () Αν < τότε: Σελίδα

12 ( ) ( )( + ) ( ) g g ( ) + ( )( + ) g g( ) + ( ) g g( ) + + ( ) g g( ) lim + lim ( + ) lim ( ) + g ( ) Άρα () Από τις () και () έχουμε ότι: ( ) + g ( ) Σημείωση: Θυμίζουμε ότι οποτεδήποτε καλούμαστε να διαιρέσουμε μία ανίσωση με μία παράσταση του, δηλαδή με h( ), πρέπει να γνωρίζουμε το πρόσημό της. Ένα δεν το γνωρίζουμε τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: h > και h( ) < ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Έστω μία συνάρτηση που περιέχει παραμέτρους και αλλάζει τύπο, κλαδική συνάρτηση, τουλάχιστον σε ένα σημείο. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τις τιμές των παραμέτρων ώστε η να παραγωγίζεται στο τότε: Απαιτούμε η να είναι συνεχής στο δηλαδή lim lim ( ) Απαιτούμε + + lim lim Οι παραπάνω σχέσεις μας οδηγούν σε σύστημα, του οποίου η λύση μας δίνει τις ζητούμενες παραμέτρους. Παράδειγμα 7. Αν είναι παραγωγίσιμη στο. ( ) a+ ηµ, να βρείτε τι τιμές των α, β για τις οποίες η β + + 4, > Θέλουμε να δείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. Από την θεωρεία γνωρίζουμε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο τότε η θα είναι συνεχής στο. Άρα θα ισχύει ότι: lim lim + Έχουμε ότι: a+ ηµ a lim lim ( ηµ ) a+ a ( β ) lim lim Άρα a Για να είναι η παραγωγίσιμη στο θα πρέπει να ισχύει ότι:

13 lim lim + Έχουμε ότι: + ηµ ηµ lim lim lim () β+ + 4 β + 4 lim lim lim ( + 4 )( + 4+ ) lim β ( + 4+ ) ( + 4+ ) lim β lim β β Από τις () και () έχουμε ότι: β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Έχουμε ότι αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε θα ισχύει ότι: lim ( ) Προσοχή!!! Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο τότε δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη στο Ενώ αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο τότε η είναι συνεχής στο Παράδειγμα 8. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g + 3 είναι παραγωγίσιμη στο. Έχουμε ότι η είναι συνεχής στο δηλαδή lim ( ) Για έχουμε ότι: g + 3 Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο: ( ) ( 3 ) ( 3 )( 3 g g ) g ( ) lim lim lim ( ) ( )( + 3+ ) ( )( + ) + lim ( ) lim ( ) lim ( )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) + 3+ ( ) Άρα η g είναι παραγωγίσιμη στο και g ( ) Σελίδα 3

14 Παράδειγμα 9. 4 Αν η είναι συνεχής στο και + ηµ lim 5 να αποδείξετε ότι: Έχουμε ότι η είναι συνεχής στο δηλαδή ισχύει ότι: lim Για να υπολογίσουμε το όριο lim + ηµ g g ηµ και g lim lim g ηµ θεωρούμε συνάρτηση Θέλουμε να δείξουμε ότι: 3 lim 5 g lim lim lim ηµ lim g ηµ 5 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΌΡΙΑ Οι μέθοδοι που εφαρμόζουμε σε αυτό το είδος των ασκήσεων είναι όμοιες με αυτές που αναφέραμε στον υπολογισμό του ορίου με βοηθητική συνάρτηση. Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση με 4 α) lim + + β) lim + 3. Να βρείτε τα όρια: α) Από υπόθεση έχουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: ( ) ( ) lim lim Προσπαθούμε μέσα στο ζητούμενο όριο να εμφανίσουμε την προαναφερθείσα παράσταση. Έχουμε διαδοχικά: 4 ( ) ( + ) ( ) ( + ) lim lim lim lim lim β) Έχουμε ότι: + lim lim lim ( ) ( )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) lim + lim ( + 3 )( + 3+ ) ( + 3 )( + 3+ )

15 ( )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) lim + ( ) lim ( + 3+ ) Παράδειγμα. 4 lim Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο να υπολογίσετε το: Έχουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: lim Έχουμε ότι: ( ) + ( )( + ) lim lim lim 4( ) ( )( + ) 4( ) ( )( + ) lim + lim lim 4 ( + ) 4 lim lim( + ) 4 Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση : δείξετε ότι lim + με. Αν η είναι παραγωγίσιμη, να Έχουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: lim lim Θέτουμε y y για + ισχύει ότι y άρα το δοσμένο όριο γράφεται: ( y) lim lim ( y) lim + y y y y ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υπενθυμίζουμε ότι η παράγωγος της στο βρίσκεται από τις σχέσεις: ( ) ( ) lim Σελίδα 5

16 ( + ) ( ) lim και ( ) h h h ( h) lim h h όπου Με τους παραπάνω τύπους αντιμετωπίζονται όλα ορισμό της παραγώγου. ( + λ ) h lim λ h λh τα θεωρητικά θέματα που στηρίζονται στον Παράδειγμα 3. g Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και ισχύει ότι + g. + για κάθε, να δείξετε ότι: Έχουμε ότι η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε άρα θα ισχύει και για. + + και g g g Οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο δηλαδή ισχύει ότι: g g g lim lim και g lim lim Η δοσμένη για γράφεται: g g + g + + g g lim + lim lim + lim + g Παράδειγμα 4. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ( ) και ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. ( + h) lim 5, να αποδείξετε ότι h h Η συνάρτηση είναι συνεχής στο άρα ισχύει ότι: ( ) lim Θέτουμε h+ h για h τότε. Άρα το δοσμένο όριο γράφεται: ( + h) lim 5 lim 5 h h Θεωρούμε συνάρτηση g g( ) και lim g 5 Έχουμε ότι: lim lim g Ισχύει ακόμη ότι: ( ) ( ) lim lim 5 ( ) 5 5 Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα έχουμε ότι

17 Παράδειγμα 5. Έστω η συνάρτηση : g ( ), 3 5, > είναι παραγωγίσιμη στο. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) lim lim με ( ). Να δείξετε ότι η συνάρτηση Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής στο δηλαδή ( ) lim Θέλουμε η g να είναι παραγωγίσιμη στο. Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια: g Έχουμε ότι Αν < g g ( ) ( ) lim lim () Θέτουμε y y+ για ισχύει ότι: y. Άρα η () γράφεται: ( ) ( ) y y ( ) lim lim ( ) y y+ y y Αν > g g ( 35) ( ) lim lim () + + y + 5 Θέτουμε y 35 για ισχύει ότι: y. Άρα η () γράφεται: 3 ( y) ( ) ( y) ( ) lim lim 3 3 ( ) y y + 5 y y 3 g g g g Άρα lim lim g + Παράδειγμα 6. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε y, ισχύει ( + y) + ( y) + 5y, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε y, άρα θα ισχύει και για y y + y + y + 5y Από υπόθεση έχουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: lim lim Για τον υπολογισμό της παραγώγου στο τυχαίο θα κάνουμε χρήση του προσθετικού τύπο. ( + h) + ( h) + 5h ( h) + 5h ( ) lim lim lim h h h h h h Σελίδα 7

18 5h ( h) h h h h lim lim 5 5 h h Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα + 5 Παράδειγμα 7. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε y, (, ) ( y) + ( y), να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο >. Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε, (, ) y y + άρα θα ισχύει και για y + ισχύει y + y + Η είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: ( ) ( ) lim lim Για να δείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο (, + ) θα κάνουμε χρήση του πολλαπλασιαστικού τύπου υπολογισμού της παραγώγου. ( h) + ( h) ( h) ( h) ( ) ( ) lim lim lim lim h h h h h h h ( h) ( ) Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο > και μάλιστα ισχύει ότι ( )

19 Ορισμός: 3. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A. Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( α, ). β Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β) και επιπλέον ισχύει lim + α ( α) α και lim β ( β ). β Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος cc,,,, > v v, v > ηµ συν π συν ηµ εϕ, π + k σϕ, kπ e a, συν ( ), ηµ e a a ln ln, > ln, ( ), > ( ), π + εϕ, kπ + ή σϕ, kπ ή Σελίδα 9

20 Παράγωγος Αθροίσματος 3.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αν οι συναρτήσεις και ισχύει:, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση ( + g) ( ) ( ) + g ( ) + g είναι παραγωγίσιμη στο Παράγωγος Γινομένου Αν οι συναρτήσεις στο και ισχύει:, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση ( g) ( ) ( ) g( ) + ( ) g ( ) g είναι παραγωγίσιμη Παράγωγος Πηλίκου Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και g ( ), τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( ) g( ) ( ) g ( ) ( ) g [ g( )] Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g ( ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g) ( ) ( g( )) g Παράγωγος Σύνθετων Συναρτήσεων ( a ) a ( ( ) ( συν ) ηµ ( σϕ ) ηµ ( εϕ ( ) ) ( ( α ) α ) ln a ( ln ), v v ( ) v ( ηµ ) συν συν e e ( ) ln, >

21 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. Για να παραγωγίσουμε μία συνάρτηση παραγώγισης που μόλις αναφέραμε. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ χρησιμοποιούμε τους πίνακες και τους κανόνες v a Ενδιαφέρον παρουσιάζει η παράγωγος μίας συνάρτησης της μορφής με > a a av v a a a a v a v Έχουμε ότι: v v v ( ) v v v Προσοχή!!! Για να παραγωγίσουμε μία συνάρτηση πρέπει πρώτα να βρούμε το πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 3 α) a + β β) ln 3 ln γ) ηµ ln δ) + α) Η συνάρτηση είναι πολυωνυμική με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική. Έχουμε ότι: a β ( a) ( β) ( ) ( ) a a a 3 β) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του γινομένου. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο D (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο D (, + ). Ισχύει ότι: ( ln ) ln + ( ln ) ln + ln + με (, + ) γ) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του γινομένου. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο D (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και D, +. παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο + + ( ηµ ln ) ( ) ηµ ln ( ηµ ) ln ηµ ( ln ) ηµ ln + συν ln + ηµ ηµ ln + συν ln + ηµ Σελίδα

22 δ) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του γινομένου και τον κανόνα του πηλίκου. D, + ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο D (, + ). ln ( + ) ( ln ) ( ) ( ln )( ) ( ) ln + ( ln ) ( + ) ( ln ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) ln + ( + ) ( ln )( + ) ln + + ln + + ln ln Άρα ln ln ( + ) ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. Για να βρούμε την παράγωγο μίας σύνθετης συνάρτησης θα κάνουμε χρήση του πίνακα των σύνθετων συναρτήσεων που αναφέραμε στην θεωρεία. g Β. Για να βρούμε την παράγωγο μίας συνάρτησης της μορφής h g ln στην μορφή h e την μετατρέπουμε και στην συνέχεια την παραγωγίζουμε κανονικά με την χρήση των σύνθετων συναρτήσεων. Η εύρεση του πεδίου ορισμού προκύπτει από τον προηγούμενο τύπο. Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) ( 5 + ) 3 β) 4 + ln + συν e ln + e + δ) ( + ) ε) ln γ) α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική συνάρτηση. Ισχύει ότι: ( 5 + )

23 β) Για να ορίζεται η πρέπει > και + ln ln που ισχύει. Άρα D (, + ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) Ισχύει ότι: + ln ln ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ) ( ln ) ln ln 4 4 ( + ln ) ln ( ln ) ( + ln ) 4 ( + ln ) γ) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Ισχύει ότι: συν + e συν + e ηµ + e + ηµ + e ( ) δ) Θέλουμε + > > που ισχύει για κάθε. Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Ισχύει ότι: ( ) (( ) ) ( ) ( ) + ln + ln + ln + ln + ln ln ( + ) ln ( + ) + + ε) Για να ορίζεται η θέλουμε > και e + > που ισχύει. Άρα D (, + ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ). Ισχύει ότι: ln ln ln( e ) + e e + ( ) ln ln( + e ) ln ln( + e ) ln ln( + e ) e e ( ln ln ( + e )) e ( ln ) ln ( + e ) + ln ( ln ( + e )) ln ln( ) ( ) ln ln( ) ln ( + e + e e e ) ln ln ln ( e + + e + ) ln e e ln ( + e ) + ln e + ( + e ) + + e + e + e 5 Σελίδα 3

24 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΗΣ Έστω μία συνάρτηση : A. Τότε: Ορίζεται η : A όπου A A, ως συνάρτηση που αντιστοιχίζει το στο Ορίζεται η : A όπου A A, με ( ( )) ( v Ορίζεται γενικά η ν-οστή παράγωγος ) : Av, όπου Av Av A από την σχέση: ( v ) ( v ( ) ) και v 3 Τονίζουμε ότι το πεδίο ορισμού της παραγώγου μίας συνάρτησης είναι γενικά υποσύνολο του και όχι υποχρεωτικά το ίδιο, κάτι που συμβαίνει για παράδειγμα στις πολυωνυμικές συναρτήσεις αλλά όχι μόνο σε αυτές. Παράδειγμα 3. Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης + ln + ηµ ( π ) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο D (, ) συναρτήσεων στο D (, + ). Έχουμε ότι: D + ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων ( ln ηµ π ) ( ln ) ( ηµ ( π ) ) π συν ( π ) π συν ( π ) D, + ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων στο D (, + ). Έχουμε ότι: π συν ( π ) ( π συν ( π ) ) π ηµ ( π ) π ηµ ( π ) Παράδειγμα 4. Να βρείτε πολυώνυμο P( ) τέτοιο, ώστε: P P, α) β) να έχει βαθμό * v και να ισχύει P P P για κάθε με α) Από την θεωρία έχουμε ότι εάν ένα πολυώνυμο P είναι βαθμού ν τότε το πολυώνυμο P θα είναι βαθμού ν. Άρα αφού το δεύτερο μέλος είναι βαθμού θα πρέπει και το πρώτο μέλος να είναι βαθμού, δηλαδή ο βαθμός του P είναι. Ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού είναι της μορφής P a + β + γ

25 Και P a + β Έχουμε ότι: P P a + β + γ a β a + β a + γ β a α β α β γ β γ P + Άρα β) Έχουμε ότι βαθμός: P ( v) και βαθμός P ( v ) v v v v Άρα P a + β + γ και P a + β Από υπόθεση P( ) a+ β + γ () v θέλουμε να ισχύει ότι: Ισχύει ακόμη ότι: P P ( a + β) a + β + γ 4a + 4aβ + β a + β + γ 4a a α( 4α ) 4aβ β β( 4α ) β γ β γ Αν α τότε βγ δηλαδή το P( ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Αν a τότε: 4 a α α α γ β γ β γ 4 β γ β + β + β + α + β + γ 4 β Άρα P( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ + + Παράδειγμα 5. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει για κάθε, να αποδείξετε ότι ( ). Για η δοσμένη σχέση γράφεται 3 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Η δοσμένη σχέση γράφεται: ή + αδύνατη. 3 Σελίδα 5

26 Για έχουμε ότι: + ( + ) ( )( + ) + () Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα και συνεχής στο, δηλαδή ισχύει ότι: lim ( ) Η () γράφεται διαδοχικά: + + lim lim ( ) ( ) + + Παράδειγμα 6. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ( ) + ηµ για κάθε. Να βρείτε την 3 Για η δοσμένη σχέση γράφεται: 3 3 για την οποία ισχύει. ηµ ηµ + + Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της άρα μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης. Έχουμε διαδοχικά ότι: ηµ + ηµ 3 ( ) συν ( ) συν 3 + συν 3 + συν 3 ( ) + ( ) ( ) + συν Για η προηγούμενη σχέση γράφεται: + + συν 3 συν Παράδειγμα 7. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :. Να δείξετε ότι: α) Αν η είναι άρτια, τότε η είναι περιττή. β) Αν η είναι περιττή, τότε η είναι άρτια. α) Έχουμε ότι η είναι άρτια άρα για κάθε θα ισχύει ότι: ( ) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης έχουμε ότι:

27 ( ) ( ) Άρα η είναι περιττή. β) Έχουμε ότι η είναι περιττή άρα για κάθε θα ισχύει ότι: ( ) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης έχουμε ότι: Άρα η είναι άρτια. Σημείωση: Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως θεωρεία αρκεί πρώτα να αποδειχθεί. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Αν μία ισότητα με παραγωγίσιμες συναρτήσεις περιέχει δύο μεταβλητές, για παράδειγμα και y, τότε μπορούμε: Να θεωρήσουμε το y σταθερό και να παραγωγίσουμε θεωρώντας ως μεταβλητή το, Να θεωρήσουμε το σταθερό και να παραγωγίσουμε θεωρώντας ως μεταβλητή το y. Παράδειγμα 8. Αν η συνάρτηση :, είναι παραγωγίσιμη και ισχύει y ( + y) e + e ( y) + a για κάθε y, Να αποδείξετε ότι: α) a + e για κάθε β) α) Για y η δοσμένη σχέση γράφεται: y y ( ) + y e + e y + a + e + e + a + a a Για y έχουμε ότι: y a y + y e + e y + a + e + e + a + e e Η προηγούμενη σχέση θέλουμε να ισχύει για κάθε, δηλαδή β) Θεωρώντας το ως σταθερό παραγωγίζουμε την δοσμένη σχέση ως προς y. y y + y e + e y + a + y e + e y + a ( y ) ( ) ( y) ( ) ( ) + y + y e + e y + a + y e + e y ( y) y e e ( y) y έχουμε ότι: + e + + Για Σελίδα 7

28 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ για την οποία ορίζεται η : Ισχύει τότε ότι η είναι επίσης παραγωγίσιμη συνάρτηση σε κάθε σημείο προϋπόθεση ότι ( ( )). Η παράγωγος της προκύπτει ως εξής: Επειδή για κάθε ( ), παραγωγίζοντας παίρνουμε: ( ) ( )( ) ( ) y και ( ), τότε: ( ) ( y ) Η σχέση () εξασφαλίζει ότι αν ( ). με την Παράδειγμα 9. Έστω ότι η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και ορίζεται η στο. Αν + και η είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε. Επειδή ορίζεται η :, θα ισχύει ότι ( ), οπότε : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) + Από την () έχουμε ότι η ( ) ( ) (( ) + ) + ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Άρα: ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( )

29 Εξίσωση Εφαπτόμενης y 3.4 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης δίνει τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της Για την εύρεση της γωνίας που σχηματίζει η γραφική παράσταση της αρκεί να λύσουμε την εϕω εξίσωση Κατακόρυφες Εφαπτόμενες Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: α) ( ) ( ) lim + (ή ) β) ( ) ( ) lim + και ) ( lim ), + γ) ( ) ( ) lim και ) ( lim ) +, + τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο A (, ( )) την κατακόρυφη ευθεία. Σελίδα 9

30 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο Α( Α, y Α) και μας ζητείται να βρούμε την εφαπτόμενη που διέρχεται από αυτό το σημείο. Αρχικά ελέγχουμε αν το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Δηλαδή αν ( Α)y Α. Αν ανήκει τότε η εφαπτόμενη είναι της μορφής y ( A ) ( A ) ( A ) Αν δεν ανήκει στης γραφική παράσταση της τότε εργαζόμαστε ως έξεις. Εξετάζουμε αν η εξίσωση A είναι εφαπτόμενη της C. Θεωρούμε τυχαίο σημείο της C M(, y ). Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο είναι (ε): y ( ) ( ) ( ) Θέλουμε το σημείο Α( Α, y Α) να ανήκει στην ευθεία (ε). Δηλαδή y A ( ) ( )( A ) () Λύνουμε την εξίσωση () ως προς. Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση () 3+5. Να βρείτε το έτσι ώστε η εφαπτόμενη διέρχεται από το σημείο Α(,). Έχουμε ότι () Άρα το σημείο Α(,) δεν ανήκει στην γραφική παράσταση της C. Έστω τυχαίο σημείο M(, y ) της γραφικής παράστασης της. Η εφαπτόμενη στο Μ είναι η (ε): y ( ) ( ) ( ) Θέλουμε το σημείο Α(,) να ανήκει στην εφαπτόμενη δηλαδή: Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας Η είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική για κάθε 8 Έστω τυχαίο σημείο M (, y ) της ευθείας M κ, Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες που άγονται η : y είναι κάθετες. 6 η : y. Άρα θα ισχύει ότι y και 6 6 κ

31 Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της. A, τυχαίο σημείο της γραφικής παράστασης της. ( ) Έστω Η εφαπτόμενη της C στο σημείο (, ( ) ) ( ε ) A είναι της μορφής : y y 4 8 y 8 4 Θέλουμε το σημείο Μ αν ανήκει στην ευθεία (ε) δηλαδή 8 κ 4 4 8κ () 6 6 Λύνουμε την σχέση () ως προς Έχουμε ότι 8κ κ + 6 Άρα, 8κ + 64κ + και 8, 8 64 κ κ + 8 Για να είναι κάθετες οι εφαπτόμενες θέλουμε Ισχύει ότι,, 8κ 64κ + 8κ + 64κ + (, ) (, ) 8 8 ( 8κ 64κ )( 8κ 64κ ) κ 64κ + 64κ 64κ Άρα οι εφαπτόμενες που άγονται από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας η : y είναι κάθετες. 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΤΟ Έστω μια συνάρτηση. Θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της που είναι παράλληλη στον άξονα. Τότε αρκεί να λύσουμε της εξίσωσης και να υπολογίσουμε το. y Η εξίσωση της εφαπτόμενης θα είναι της μορφής Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση ln με (,+ ). Να βρείτε την εφαπτόμενη που είναι παράλληλη στον άξονα. Η παραγωγός της είναι η ( ln ) ln + Για να βρούμε την εφαπτόμενη που είναι παράλληλη στον άξονα αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ln ln + ln e Έχουμε: y Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η e e y e e ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ Ή ΚΑΘΕΤΗ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ Έστω μια συνάρτηση και μια ευθεία (ε):yα +β. Σελίδα 3

32 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε). Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση όπου α ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε). α Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που είναι κάθετη στην ευθεία (ε). Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση α όπου α ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε). Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση () 4 +3 Να βρείτε: α) την () β)την εξίσωση της εφαπτόμενης i) Που είναι παράλληλη στην ευθεία y6+5 ii)που είναι κάθετη στην ευθεία y 3 α) Έχουμε ( 4 + 3) 4 β) Για να είναι η εφαπτόμενη της C IF παράλληλη στην ευθεία y6+5 θέλουμε ισχύει ακόμη ( 5) Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η y ( 5) ( 5)( 5) y 8 6( 5) y 6 Για να είναι η εφαπτόμενη της C κάθετη στην ευθεία y 3 θέλουμε ( ) ( ) 4 Ισχύει ακόμη ( ) ( ) 4( ) Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η y + y 8 + y + 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΟΥ ΤΑΥΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση και θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της C που ταυτίζεται με την ευθεία yα +β τότε αρκεί να λύσουμε το σύστημα ( ) α ή β ( ) a a + β + α + + Να βρείτε : α) την () β) το συντελεστή διευθύνσεις της εφαπτόμενης της καμπύλης στο σημείο της Α(, ()) γ) τους α, β αν η ευθεία y+ είναι η εφαπτόμενη της καμπύλης της στο σημείο Α. 3 Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση β 3 α) Έχουμε ( + α + + β) 3 + α + β) Ο συντελεστής διευθύνσεις της εφαπτόμενης της καμπύλης της στο σημείο Α είναι ο

33 ( ) 4 + α λ 3 γ) Έχουμε ότι ( ) + α + + β + α + β Για να είναι η ευθεία y+ εφαπτόμενη της καμπύλης της στο σημείο Α θέλουμε: ( ) α + 4 α + α + β α 4 β 6 3 Άρα η συνάρτηση έχει τύπο Παράδειγμα 6. Δίνεται η συνάρτηση a : y C. ε να είναι εφαπτόμενη της, a >. Να βρείτε το α ώστε η ευθεία Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Έχουμε ότι a ln a ( ) Έστω τυχαίο σημείο, Για να είναι η ευθεία : y M της γραφικής παράστασης της. ε εφαπτόμενη της a σύστημα έχει λύση. a + β ( ) C στο σημείο, M πρέπει και αρκεί το a ln a ln a ln a a e e e e a a eln a ln e a a e a e e ln a e e a e Άρα a e e ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Δίνονται δυο συναρτήσεις () και g(). Θέλουμε να βρούμε την κοινή εφαπτόμενη τους. Έστω ότι η εφαπτόμενη τέμνει την C στο σημείο Α(α, (α)) και την C g στο σημείο B(β, g(β)). Τότε αρκεί να λύσουμε το σύστημα α g β ( α) α ( α) g( β) β g ( β) Για να βρούμε την εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο Α(α, β) αρκεί να λύσουμε το σύστημα : ( α) g ( α) ( α) α ( α) g( α) α g ( α) Το κοινό σημείο Α(α, β) είναι λύση της εξίσωσης ()g(). Παράδειγμα 7. συναρτήσεων και Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των g Σελίδα 33

34 Έχουμε: και g Οι εξισώσεις των εφαπτόμενων των C και C g στα σημεία Α(α, (α)) και B(β, g(β)) αντίστοιχα είναι: ε : y α α α ( ) ( ε ): y g( β) g ( β)( β) α g β Για να έχουμε κοινή εφαπτόμενη θέλουμε το σύστημα να έχει λύση. ( α) α ( α) g( β) β g ( β) Δηλαδή: α α α α α β β β β 3 β α α α β α β 4 β β β 4β β 8 Άρα η κοινή εφαπτόμενη μπορεί να βρεθεί από την αντικατάσταση του α ή του β σε μια από της εξισώσεις () και () Έχουμε λοιπόν: y y 4 4 y Παράδειγμα 8. Δίνονται οι συναρτήσεις και g. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων στα κοινά τους σημεία, αν υπάρχουν. Έστω M(, y) κοινό σημείο των C και C g. Τότε y και y. Έχουμε την εξίσωση: () 3 Παρατηρούμε ότι η εξίσωση () έχει ρίζα για δηλαδή Για λύσουμε την εξίσωση () κάνουμε Horner για Άρα η () γράφετε: ( )( 3 ) ( )( ) + ή Επομένως Μ (,) και M, 4 3 Έχουμε 6 5 και ( ) ( ) g Επειδή και g 9 δεν υπάρχει κοινή εφαπτόμενη των C και C g.στο σημείο M, 4 3

35 Επειδή g οι C και C g. έχουν κοινή εφαπτόμενη στο σημείο Μ (,) με εξίσωση: y y ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ Λ Δίνεται μια συνάρτηση. Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της καμπύλης της που έχει κλίση ένα αριθμό λ. Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση λ και να βρούμε το. Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της καμπύλης της συνάρτησης που σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω. Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση εφω και να βρούμε το ζητούμενο. Παράδειγμα 9. Δίνεται η συνάρτηση. Να βρείτε: α) την () β) την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45. γ) την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που έχει κλίση ίση με 4. α) Έχουμε: + β) Θέλουμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 Δηλαδή αρκεί να λύσουμε την εξίσωση 45 ± εφ Η ζητούμενες εξισώσεις θα είναι οι: Για έχουμε: y y y : ε Για έχουμε: 3 y y y : ε γ) Θέλουμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που έχει κλίση ίση με 4. Δηλαδή αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ± Η ζητούμενες εξισώσεις θα είναι οι: Για έχουμε: 4 y 4 y y : 3 ε Για έχουμε: 4 y 4 3 y y : ε Σελίδα 35

36 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: C. με > για την οποία για κάθε. Να δείξετε ότι η ευθεία : y 4 Έχουμε ότι η δοσμένη σχέση 4 Αρχικά πρέπει να βρούμε τον τύπο της. Έχουμε ότι: 4( + ) ± + 4 ισχύει για κάθε. Επειδή η είναι συνεχής στο έχουμε ότι + ή Από υπόθεση έχουμε ότι >. Άρα ε + εφάπτεται στην + + για κάθε Η είναι παραγωγίσιμη στο ( + ) ( + ) + + Για να είναι η ευθεία (ε) εφαπτόμενη της C έχουμε ότι: ± Για η σχέση () γράφεται ( ) + + αληθές Για ( ) ( ) + ( ) + άτοπο Άρα Για η (ε) εφάπτεται στην C Παράδειγμα. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g : με g για g κάθε και η συνάρτηση g,. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με το άξονα, η εφαπτόμενη της C στο σημείο που τέμνει η C τον άξονα.

37 Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Έχουμε ότι: g ( g ) g g g ( g ) Έστω ότι η το σημείο τομής της C με τον άξονα είναι το ( ) ( ) g ( ) g A(,) A C ( ) g( ) g η ( ) ( ) Για γράφεται διαδοχικά: ( ) g g g g g g Για να βρούμε την γωνία που σχηματίζει η με το άξονα, η εφαπτόμενη της C στο σημείο A (, ) αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: π ( ) εϕωˆ εϕωˆ ˆ ω 4 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση : (, ) κάθε >. Να βρείτε την εφαπτόμενη της C στο. Αρχικά θα βρούμε τον τύπο της. Θέτουμε > Άρα η γράφεται: y y 3 y 3 3 με (, + ) y y + για την οποία ισχύει 3 για Έχουμε ότι η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) Η εφαπτόμενη της C στο δίνεται από την σχέση: ( ε ) : y ( ) Έχουμε ότι: 3 3 : y 3 3 y y Άρα ( ε ) Σελίδα 37

38 Παράδειγμα 3. Αν η ευθεία : lim + Η ευθεία (ε) εφάπτεται της. ε y + εφάπτεται της C στο να βρείτε το C στο ισοδυναμεί με : ( ) και + Έχουμε ότι: ( ) + ( ) lim lim + + Το ζητούμενο όριο γράφεται διαδοχικά: ( ) ( + ) ( + ) ( + ) lim lim lim ( ) lim lim ( ) ( ) Παράδειγμα 4. Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση e 8 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g e έχουν κοινή εφαπτόμενη. Α) Θεωρούμε συνάρτηση h e 8+ 8 με [, ] Η h είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο [,]. h e h e 8 h h < >, < άρα Από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) η εξίσωση e 8 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). τέτοιο ώστε h δηλαδή Β) Οι συναρτήσεις και g είναι συνεχής και παραγωγίσιμες στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έστω τυχαίο σημείο A(, ( ) ) της γραφικής παράστασης της. Η εφαπτόμενη της C στο Α θα είναι μία ευθεία της μορφής. ε : y y 4 y 4 Έστω τυχαίο σημείο, ( ) B g της γραφικής παράστασης της g. Η εφαπτόμενη της C g στο B θα είναι μία ευθεία της μορφής. : ε y g g y e e y e e + e y e + e Για να ταυτίζονται οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) θέλουμε: 4 e 4 e 4 e 4 e e + 4( ) 4( ) ( ) 4( ) e e e Από το Α ερώτημα έχουμε ότι η εξίσωση () έχει λύση για στο (, )

39 Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την (, ) (, ) Άρα η γραφική παράσταση της και η γραφική παράσταση της g έχουν κοινή εφαπτόμενη την ευθεία : ε y g g y e + e Σελίδα 39

40 3.5 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β) και ( α) ( β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε: ( ξ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M ( ξ, ( ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα των. y Μ(ξ,(ξ)) Α(α,(α)) 8 Β(β,(β)) O α ξ ξ β

41 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE Α. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μία συνάρτηση σε διάστημα [α, β] πρέπει: Η να είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] Η να είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) ( a) ( β ) ξ a, β τέτοιο, ώστε ( ξ ) Υπάρχει τότε ένα τουλάχιστον Β. α) Είναι προτιμότερο να εξετάζουμε πρώτα την συνθήκη ( a) ( β ) β) Αν δεν ισχύει μία τουλάχιστον από τις προηγούμενες συνθήκες, τότε το Θεώρημα Rolle δεν ισχύει. Γ. Τονίζουμε ότι για μία συνάρτηση μπορεί να υπάρχει ξ ( a, β) με ( ξ ) ισχύουν στο [α, β] κάποιες από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. χωρίς όμως να 4, < Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση 8 + 9, Να δείξετε ότι για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, ] και να βρείτε το σημείο A( ξ,), ξ (, ) που η C τέμνει τον άξονα. Αρχικά θα εξετάσουμε την συνθήκη Έχουμε ότι: και άρα Για [,) (, ] η είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε ξεχωριστά την συνέχεια της στο με την χρήση του ορισμού. Έχουμε διαδοχικά: lim ( ) lim ( 4 ) 3 Ισχύει λοιπόν ότι: lim lim ( ) και ( ) + Άρα η είναι συνεχής στο [, ] lim lim αρά η είναι συνεχής στο Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) (, ) ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε ξεχωριστά την παραγωγισιμότητα της στο με την χρήση του ορισμού. Έχουμε διαδοχικά: ( ) 4 3 4( ) lim lim lim 4 ( ) ( )( 8+ ) lim lim lim lim lim ( 8 + ) άρα η είναι παραγωγίσιμη στο 4 και Σελίδα 4

42 Από τα παραπάνω έχουμε ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( a, β) τέτοιο ώστε ( ξ ), δηλαδή υπάρχει ξ (, ) που η C τέμνει τον άξονα Παράδειγμα. + π Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο [, π], παραγωγίσιμη στο (, π) και α) Να δείξετε ότι για την συνάρτηση g συν, [, π ] θεωρήματος Rolle. β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, π) τέτοιο, ώστε ( ξ ) ξ σϕξ ισχύουν οι υποθέσεις του α) Έχουμε ότι: Η g είναι συνεχής στο [, π] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, π]. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, π) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, π). g συν g συν ηµ και επειδή ( π) ( π) g( π ) g συν g π π συνπ π g Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π]. + έχουμε ότι β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, π) g ( ξ ) ( ξ ) συνξ ( ξ ) ηµξ ( ξ ) συνξ ( ξ ) ηµξ συνξ ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) σϕξ ηµξ τέτοιο ώστε Παράδειγμα 3. Έστω η συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ηµ ) για κάθε. Να δείξετε ότι: α) Για τη συνάρτηση g ( ηµ ) ισχύει το θεώρημα Rolle στο [, π]. ξ, π ξ g ξ β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε α) Ελέγχουμε τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση g στο [, π] Η g είναι συνεχής στο [, π] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, π] Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, π) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, π) g ( ( ηµ ) ) g ( ηµ ) ( ηµ ) g συν ( ηµ ) g ηµ g π ηµπ g g π, άρα β) Άρα από θεώρημα Rolle ξ ( π) g ( ξ), : Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης έχουμε ότι

43 g ηµ ( ) ( ( ηµ ) ) ( ( ηµ ) ) + ( ηµ ) g + g Για ξ η προηγούμενη σχέση γράφεται: g ξ ( ξ) ξ ( ξ) + ( ξ) ( ξ) ( ξ) g g g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν μας δίνεται μία συνάρτηση με παραμέτρους και θέλουμε να βρούμε τις τιμές των παραμέτρων αυτών, ώστε να εφαρμόζεται σε κάποιο δοσμένο διάστημα [α, β] το θεώρημα Rolle, τότε απαιτούμε: ( a) ( β ) Η να είναι συνεχής στο [α, β] κάνοντας χρήση του ορισμού για την συνέχεια στο σημείο, όταν η δίνεται κατά κλάδους. Η να είναι παραγωγίσιμη στο (α, β), κάνοντας ενδεχομένως και εδώ χρήση του ορισμού της παραγώγου. Παράδειγμα 4. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ώστε για τη συνάρτηση 4a + β, 4γ +, > 3,3 να ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [ ] Αρχικά θέλουμε 3 3 4a 3 + β 3 4 γ 3+ a+ β γ 6α + β + 6γ 5 Ελέγχουμε την ως προς την συνέχεια Η είναι συνεχής στο [ 3,) (, 3] ως πολυωνυμική συνάρτηση. Απαιτούμε η να είναι συνεχής και στο δηλαδή lim lim lim lim + + Έχουμε: lim lim 4 a + β 4 a + β ( γ ) lim lim 4 + 4γ + + Και ( ) 4a+ β Άρα 4a+ β 4γ a+ β + γ Ελέγχουμε την ως προς την παραγωγισιμότητα Η είναι παραγωγίσιμη στο ( 3,) (, 3) ως πολυωνυμική Θέλουμε η να είναι παραγωγίσιμη και στο δηλαδή ( ) ( ) lim lim ( ) + Έχουμε ότι: Σελίδα 43

44 ( ) 4a + β 4a β 4a 4a 4 ( ) a lim lim lim lim lim 4a 4a ( ) 4γ+ + 4γ 4γ+ 4γ ( )( + ) 4γ ( ) lim lim lim lim ( )( + 4γ ) lim 4γ + Άρα 4a 4γ a+ γ (3) Από τις σχέσεις () και (3) έχουμε ότι: a+ γ a + β + γ β + β Άρα η () γράφεται: 6α + β + 6γ 5 6α + 6γ 5(4) Από το σύστημα των () και (4) έχουμε ότι: a+ γ 6a+ 6γ 3 6α + 6γ 5 6α + 6γ 5 8 γ 8 γ γ 3 Άρα α 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΎΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ Το Θεώρημα Rolle είναι ένα σημαντικό εργαλείο στην εύρεση ριζών της παραγώγου μίας συνάρτησης στο διάστημα (α, β). Ένα ακόμη πολύ χρήσιμο συμπέρασμα που προκύπτει από την εφαρμογή του είναι ότι αν ισχύει για μία συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] τότε αυτή θα έχει μία τουλάχιστον εφαπτόμενη στο ( a, β ) παράλληλη στον άξονα. Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln ( ) α) Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) + e β) Η εξίσωση +. Να αποδείξετε ότι: + έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (, ) α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Η είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) ln + ln + + ln + ( ) ( + ) ln + + ln ( + ) + + +

45 ( ) ln ( + ), ( ) ( ) ln ( + ) άρα ( ) Από θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε ( ξ ) β) Για ξ έχουμε ότι: ξ ξ ξ ( ξ) ln ( ξ + ) + ln ( ξ + ) + ln ( ξ + ) ( ξ + ) ln ( ξ + ) ξ ξ + ξ + ξ + ( ξ+ ) ( ξ+ ) ξ ln ξ + ξ ξ + e Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε η εξίσωση ( ) e ρίζα στο ανοικτό διάστημα (, ). + + έχει μία τουλάχιστον 3 a β + + δ + γ δ + δ 3 Παράδειγμα 6. Έστω η συνάρτηση α β αβγδ,,, και ισχύει γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, τον άξονα., όπου ξ τέτοιο ξ ξ να είναι παράλληλη προς Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική 3 a β β + + δ + ( γ δ) + δ a + + δ + ( γ δ) 3 δ, ( ) a β + + γ 3 a β a β δ γ δ δ 3 3 γ δ δ, άρα ( ) Από θεώρημα Rolle έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε ( ξ ), δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της στο σημείο ξ, ( ξ ) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. Παράδειγμα 7. δύο, να δείξετε ότι a Αν η εξίσωση > 3β. 3 a β γ έχει τρείς ρίζες πραγματικές και άνισες ανά Έστω,, 3 οι ρίζες της εξίσωσης με < < 3 3 Θεωρούμε συνάρτηση a β γ με [, 3] Η είναι συνεχής στο [, ] και [, 3] Η είναι παραγωγίσιμη στο [, ] και [, 3] 3 + a + β ( ) ( ) ( ) 3 ως πολυωνυμική. ως πολυωνυμική. Σελίδα 45

46 Άρα από το Θεώρημα Rolle έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( ) ( ξ) ένα τουλάχιστον ξ (, ) : ( ξ ) 3, : και υπάρχει Έχουμε ότι ξ < ξ δηλαδή η που είναι ένα τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες άρα θα πρέπει να ισχύει ότι: a β a > 43 > > 3β Παράδειγμα 8. Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι «-», να δείξετε ξ ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε Από υπόθεση έχουμε ότι η παραγωγίσιμη συνάρτηση δεν είναι «-» άρα υπάρχουν δύο τουλάχιστον, με τέτοια ώστε ( ). Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι < Η είναι συνεχής στο [, ] ως παραγωγίσιμη στο Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ( ) Άρα από το θεώρημα Rolle έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ( ξ ) τέτοιο ώστε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Για την εύρεση της αντιπαραγώγου, (αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας) χρήσιμες είναι οι παρακάτω παρατηρήσεις: c ( ) + ( ) v+ v a a g + g ( g( )) v + a a ( ln ) g g g g ηµ ( συν ) συν ηµ e e v+ v ( ) v + e e

47 συν ηµ e a+β ( εϕ) ( ln ) ( σϕ) + ( ) a e a συν α ηµ ( a + β ) α ( + β ) ηµ ( a + β ) συν ( a + β ) α ln α + β α + β α a a ln a ( ) ( ) + g g g e e g g g e e Η επαλήθευση γίνεται παραγωγίζοντας το δεύτερο μέλος. Οι σχέσεις αυτές αποτελούν ισχυρά εργαλεία σε ολόκληρο το διαφορικό λογισμό και θα τις εμπεδώσουμε κυρίως σε επόμενη παράγραφο. Θα πρέπει, βλέποντας το α μέλος, να οδηγούμαστε άμεσα στο δεύτερο. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΎΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Θ. ROLLE ΓΙΑ F Όπως και για την εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano, έτσι και στο Θεώρημα Rolle είναι ορισμένες απαραίτητο να βρούμε βοηθητική συνάρτηση, η οποία θα μας εξασφαλίσει ότι υπάρχει κάποιο ξ ( a, β), ώστε να ισχύει η ζητούμενη σχέση. Θέτουμε στη θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο α μέλος. Ονομάζουμε, για παράδειγμα g( ) το α μέλος της νέας σχέσης G g, a, β. Η συνάρτηση Προσπαθούμε να βρούμε μία συνάρτηση G( ) με αυτή λέγεται αρχική ή παράγουσα της g. Στην G( ) εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle, αφού βέβαια διαπιστώσουμε ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις του. Παράδειγμα 9. Αν 6a 7 3β ln τουλάχιστον ρίζα στο (, ) β + έχει μία +, να δείξετε ότι η εξίσωση aπ ηµ ( π ) β Θεωρούμε συνάρτηση aπ ηµ ( π ) με (, ) Αναζητούμε την αρχική της, δηλαδή μία συνάρτηση F που αν την παραγωγίσουμε θα μας δώσει την F. Σελίδα 47

48 Έχουμε διαδοχικά ότι: συν ( π ) ηµ ( π ) π Και ln Άρα η αρχική της θα είναι η συνάρτηση 3 3 συν ( π ) F aπ β ln F + aσυν ( π ) β ln με [, ] 3 π 3 Η F είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η F είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ). 3 3 β F aσυν ( π ) β ln F a( ηµ ( π ) )( π ) β F aπ ηµ ( π ) 8 F( ) a, F + a β ln 3 3 F F Ελέγχουμε την συνθήκη 8 F( ) F a + aβ ln 3α 8 + 3α 3β ln 6a 7 3β ln 3 3 αληθές από υπόθεση. Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση, F ξ ξ η εξίσωση F, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε β π ηµ ( π ) + έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) a Παράδειγμα. ln Δίνεται μία συνάρτηση συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) με ξ, τέτοιο ώστε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ξ ) 3 ξ ξ + ξ Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α μέλος και θέτουμε στην θέση του ξ. Έχουμε ότι: Θεωρούμε συνάρτηση του πρώτου μέλους. g + 3 με (, ) και αναζητούμε συνάρτηση G αρχική της g τέτοια ώστε G g,. για κάθε Έχουμε ότι:

49 ( ), ( ), 3 ( 3 ), ( ln ), Άρα G + 3ln με [ ] Η G είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η G είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ). G ( + 3ln ) G + 3 με (, ) G G + ln +, Ελέγχουμε την συνθήκη G( ) G G G + + ln ln αληθές από υπόθεση. Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση ξ, τέτοιο ώστε: G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ξ) ( ξ) ( ξ) G g Παράδειγμα. ξ 3ξ + ξ Έστω η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ,, με τέτοιο ώστε ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α μέλος και θέτουμε στην θέση του ξ. Έχουμε ότι: () Παρατηρούμε ότι ( ) άρα η () γράφεται:. Να ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) Θεωρούμε συνάρτηση g ( ) με, και την G αρχική της g. Η G είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο, Η G είναι παραγωγίσιμη στο, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, G ( ) ( ) G ( ) G ( ), G άρα G G Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε: Σελίδα 49

50 ( ξ) ( ξ) ( ξ) ( ξ) ( ξ) G g Παράδειγμα. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο(α, β) και ισχύει ( ξ ) a, β ξ a, β τέτοιο ώστε + ξ aξ β ξ. για κάθε, να δείξετε ότι υπάρχει Θέτουμε στην θέση του ξ. Έχουμε ότι: + a β Παρατηρούμε ότι ένα βάλουμε όπου a ή β τότε προκύπτει μη πραγματικός αριθμός στον όρο ή αντίστοιχα στον όρο. Για να εξαλείψουμε την απροσδιοριστία θα κάνουμε ομώνυμα a β τα κλάσματα του δευτέρου μέλους και στην συνέχεια θα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. a + β + ( a)( β ) ( a+ β ) a β a β ( aβ α β ) ( a β ) + + Θεωρούμε συνάρτηση g ( aβ α β ) ( a β ) + + με ( a, β ) άρα η g γράφεται: Παρατηρούμε ότι: ( aβ α β ) a β ( a β ) ( β α β ) ( β ) g a + a+ g a + + a + ( β α β ) ( β α β ) ( β α β + ) g a Μία αρχική G της g θα είναι η G ( aβ α β ) G ( a )( β ) [ a, β ] + με Η G είναι συνεχής στο [α, β] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [α, β] Η G είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (α, β) G( a) ( aa)( β a) ( a), G( β) ( a β)( β β) ( β) G a G β άρα Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση ξ a, β τέτοιο ώστε: G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ξ ) G ( ξ) g( ξ) + a ξ ξ β ξ Παράδειγμα 3. Δίνεται συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει. Αν για κάθε [,] να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ( ). τουλάχιστον, τέτοιο ώστε

51 Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α μέλος και θέτουμε στην θέση του. Έχουμε ότι: Θεωρούμε συνάρτηση g με (,) Παρατηρούμε ότι: και Άρα μία αρχική της g είναι η συνάρτηση G με [, ] Η G είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η G είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) G G G, G και G G( ) που ισχύει από υπόθεση. ( ) ( ) Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση τέτοιο ώστε: G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) G ( ) g( ) ( ) ( ) Παράδειγμα 4. Έστω μία συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει γι αυτήν * το Θεώρημα Rolle στο [, 4]. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε: ( ξ ) + ( ξ ) 3 3 ξ Θέτουμε στην θέση του ξ και έχουμε ότι: ( ) + ( 3) ( ) 3+ 3 ( 3 ) ( ) 33 ( 3 ) Θεωρούμε συνάρτηση + + με (, 4) g Παρατηρούμε ότι : ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( + 3) + 3 Σελίδα 5