ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Transcript

1 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Σάββατο, πριλίου 8 Ώρα : : - 4: Προτεινόµενες Λύσεις ΘΕΜ α iμε βάση τον Β νόµο του Νεύτωνα η συνισταµένη ύναµη Σ F που ασκείται στο σύστηµα των δύο σωµάτων και Γ είναι ίση µε Σ F ΟΛΙΚΟ πό το σχήµα προκύπτει ότι ΣF άρα ΣF ΣFΧ οπότε F α Γ Λύνουµε την τελευταία σχέση ως προς α F 5 α 5 Γ 3 ii Με εφαρµογή του Β νόµου του Νεύτωνα στο σώµα προκύπτει ότι ΣF A ΣF 5 5N iii Το σώµα κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο κάνοντας Ευθύγραµµη Οµαλά Επιταχυνόµενη Κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα Έτσι, η κίνησή του περιγράφεται από τις πιο κάτω εξισώσεις α και πό τις και προκύπτει ότι α 3 ντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση προκύπτει ότι: Άρα το διάστηµα που κάλυψε το σώµα µέχρι που η ταχύτητά του γίνει ίση µε είναι Σελίδα από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

2 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου β i Η απόσταση µεταξύ των σωµάτων Γ και µπορεί να βρεθεί από την πιο κάτω εξίσωση: Χ Χ Γ Χ Γ l ' 3 Άρα Χ l ' - 4 πό τη σχέση 4 φαίνεται ότι η επιτάχυνση α του σώµατος Γ µετά την αποκοπή του νήµατος και η ταχύτητα των σωµάτων την χρονική στιγµή 5 είναι άγνωστα γι αυτό θα πρέπει να υπολογιστούν F 5 ' α 7,5 5 Γ πλοποιούµε τη σχέση 4 οπότε : Χ l ' - Χ l ' 7 ντικαθιστούµε τις 5 και 6 στην τελική σχέση, σχέση 7 και βρίσκουµε το διάστηµα Χ Χ l ',5 7,5 6 Χ 6,5 ii Επειδή το σώµα από το 5 µέχρι και το 9 κάνει ευθύγραµµη οµαλή κίνηση αφού ΣF η ταχύτητα του στο 9 δευτερόλεπτο της κίνησής του θα είναι όση και στο 5 δευτερόλεπτο, δηλαδή: 5 ενώ η ταχύτητα του Γ επειδή στο πιο πάνω χρονικό διάστηµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση α και αρχική ταχύτητα 5 θα είναι: Β α 5 7,54 Β 55 Σελίδα από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΘΕΜ α Για να υπολογίσουµε την επιτάχυνση του σώµατος Σ αναλύουµε τη ύναµη N F του Βάρους όπως στο σχήµα Σ F Σ F W χ φ W ψ W πό τη σχέση προκύπτει ότι Σχήµα F W F W ηµφ F W ηµφ 3 ντικαθιστούµε στη σχέση 3 και προκύπτει ότι: 6,5 5,5 8 4,5 Άρα η επιτάχυνση του σώµατος κατά το χρονικό διάστηµα από µέχρι και, 5 είναι 8 βγια να υπολογίσουµε την επιβράδυνση του σώµατος Σ όταν µηδενιστεί η δύναµη αναλύουµε τη δύναµη του Βάρους W όπως στο σχήµα W Χ φ W Σχήµα πό το σχήµα προκύπτουν: ΣF, Σ F W g ηµφ 5 πό τις σχέσεις προκύπτει ότι:,5 5 6 Για να µπορεί το σώµα Σ να επανέλθει πίσω στο και να µην διαφεύγει από το κεκλιµένο επίπεδο, θα πρέπει η ταχύτητά του να µηδενίζεται σε κάποιο σηµείο του κεκλιµένου επιπέδου Για να είναι το µήκος του κεκλιµένου επιπέδου ελάχιστο θα πρέπει το σηµείο µηδενισµού της ταχύτητας να είναι το ανώτατο σηµείο του κεκλιµένου επιπέδου Υποθέτουµε ότι το σώµα µέχρι τη χρονική στιγµή, 5 βρισκόταν στη θέση Χ του κεκλιµένου επιπέδου κινούµενο µε ταχύτητα,οπότε και η δύναµη που ασκείται πάνω του µηδενίζεται, ενώ για να φτάσει στην κορυφή του κεκλιµένου επιπέδου κινείται κάνοντας ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση από το σηµείο αυτό για χρόνο καλύπτοντας απόσταση Χ Σελίδα 3 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις Ν

4 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Οπότε το συνολικό µήκος του κεκλιµένου επιπέδου είναι: 7 Υπολογίζουµε την ταχύτητα που έχει το σώµα Σ τη χρονική στιγµή, 5 Οπότε, 8,5 4 8 Ονοµάζουµε την ταχύτητα του σώµατος στην κορυφή του κεκλιµένου επιπέδου οπότε ισχύει η σχέση: , άρα 8,5 4,8 5,8, 6 Άρα το µήκος του κεκλιµένου επιπέδου είναι 6 γ Για να υπολογίσουµε το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος όταν βρεθεί ξανά στο σηµείο χρησιµοποιούµε τις σχέσεις 3 και 4 Το σώµα Σ κινούµενο από την κορυφή του κεκλιµένου επιπέδου κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση α και αρχική ταχύτητα ίση µε µηδέν Υποθέτουµε ότι για να κινηθεί από την κορυφή του επιπέδου µέχρι το σηµείο χρειάζεται χρόνο 3,ενώ όταν φτάνει στο σηµείο έχει ταχύτητα Άρα από την 3 προκύπτει ότι πό την 4 δ 3 5, 5, 5,6 5 3, Σελίδα 4 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

5 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΘΕΜ 3 Οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα Σ φαίνονται στο σχήµα που ακολουθεί: Τ Θ Τ Τ T Σ W Σχήµα Το σώµα Σ ισορροπεί Έτσι, µε βάση το νόµο του Νεύτωνα ΣF άρα ΣF και ΣF πό τις σχέσεις, και το σχήµα προκύπτουν οι πιο κάτω ισότητες: T W και T T 3 W 5 Άρα T W T συνθ W και T Τ 8, 78Ν συνθ συν 37 και T T Τ Τ ηµθ 8,78 ηµ 37 Τ, 3Ν β πό τη σχέση προκύπτει η µάζα που µπορεί να έχει το σώµα Σ έτσι ώστε ότι το νήµα Ν του οποίου η Τάση Τ είναι µεγαλύτερη από την Τάση Τ του νήµατος Ν να έχει ΤN ΣF T W συνθ άρα 37 συν, 6 Kg γ Η γραφική παράσταση της Τ και της Τ καθώς το βάρος µεταβάλλεται από -5Ν φαίνεται πιο κάτω: T N 5 T N Σελίδα 5 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

6 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΘΕΜ 4 α Είναι γνωστό ότι το Εµβαδόν Ε που 8 Β προκύπτει από τη γραφική παράσταση και τον άξονα του χρόνου µας δίνει τη Γ 5 5 µεταβολή της ταχύτητας στο χρονικό διάστηµα -8 που εξετάζουµε E πό την προκύπτει ότι 4 Άρα η αρχική ταχύτητα του σώµατος είναι 4 β Το µέτρο της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας βρίσκεται αν διαιρέσουµε τη µετατόπιση του σώµατος δια το συνολικό χρόνο Χ 3 U ΜΕΣΗ U ΜΕΣΗ 5 Η µετατόπιση Χ υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση f γ Για να κατασκευάσουµε τη γραφική παράσταση της f θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος στο δευτερόλεπτο της κίνησής του, η οποία ταχύτητα έχει το ίδιο µέτρο, την ίδια διεύθυνση και φορά µέχρι το 5 δευτερόλεπτο της κίνησής του, επειδή το σώµα κάνει ευθύγραµµη οµαλή κίνηση α Έτσι αν συµβολίσουµε την ταχύτητα αυτή σαν τότε: E AΒΓ πό τη σχέση 3 προκύπτει η ταχύτητα του σώµατος στο δευτερόλεπτο της κίνησής του 4 4 Η µετατόπιση Χ για τις διάφορες χρονικές στιγµές βρίσκεται από το Εµβαδόν του διαγράµµατος f και του άξονα του χρόνου Σελίδα 6 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

7 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου δ iη Συνισταµένη ύναµη είναι µηδέν από το δευτερόλεπτο µέχρι και το 5 δευτερόλεπτο διότι σταθερ ό, α ΣF Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα ii πό το 5 δευτερόλεπτο µέχρι και το δευτερόλεπτο η ταχύτητα έχει την ίδια φορά µε την επιτάχυνση είναι οµόρροπεςη επιτάχυνση έχει πάντα την ίδια φορά µε τη συνισταµένη δύναµη εύτερος Νόµος του Νεύτωνα, έτσι στο πιο πάνω χρονικό διάστηµα η Συνισταµένη ύναµη και η Ταχύτητα έχουν την ίδια φορά θετική iii Στα χρονικά διαστήµατα από -5 και από 5- η επιτάχυνση άρα και η δύναµη έχει αντίθετη φορά από την ταχύτητα Σελίδα 7 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

8 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΘΕΜ 5 α l α A 3 - Μοντέλο B Μοντέλο Β α Υποθέτουµε ότι τα δύο µοντέλα αυτοκινήτων θα συναντηθούν δεξιότερα του Β κάποια χρονική στιγµή Έτσι, κατά τη στιγµή της συνάντησής τους, το µοντέλο αυτοκινήτου θα έχει µετατοπιστεί κατά ενώ το µοντέλο αυτοκινήτου Β θα έχει µετατοπιστεί κατά Η σχέση που συνδέει τις µετατοπίσεις και τη χρονική στιγµή της συνάντησης είναι: l άρα, l πό τις γραφικές παραστάσεις f των δύο µοντέλων αυτοκινήτων προκύπτουν οι αρχικές ταχύτητες και οι επιταχύνσεις τους και 3 και 4 ντικαθιστώντας τις τιµές που βρίσκουµε από τις εξισώσεις 3 και 4 στην προκύπτει ότι: 5 Σελίδα 8 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

9 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ± 6, Οι δύο λύσεις της εξίσωσης 7 είναι, 5 εκτή και 5, 48 που είναι αρνητική και απορρίπτεται β ντικαθιστούµε το χρόνο, 5 στην εξίσωση κίνησης του µοντέλου αυτοκινήτου για να βρούµε την απόσταση που θα απέχει το σηµείο συνάντησης των δύο αυτοκινήτων από το,5,5 95, 3 8 Άρα τα δύο µοντέλα αυτοκινήτου όταν θα συναντηθούν θα απέχουν από το σηµείο 95,3 γ Για να βρούµε τις ταχύτητες και των δύο µοντέλων αυτοκινήτων κατά τη χρονική στιγµή της συνάντησής τους, αντικαθιστούµε στις σχέσεις:,5, 5 9,5 4, 3 ΘΕΜ 6 Ξ Θ h Μ Σ Οριζόντιο επίπεδο Σ Σελίδα 9 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

10 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Β Ξ Θ h Θ χ Γ Σ α Όταν το σώµα Σ προχωρήσει κατά µικρή απόσταση χ το σώµα Σ θα κατέβει θα προχωρήσει προς τα κάτω κατά απόσταση όπως φαίνεται στο σχήµα Για να βρούµε την απόσταση αφαιρούµε από την απόσταση Β την ΒΓ Επειδή η απόσταση Χ είναι σχετικά µικρή για να βρούµε το φέρνουµε από το Γ κάθετη στο Β Η απόσταση Θ είναι ίση µε Ε συνθ συνθ Σ Ξ h και από το σχήµα συνθ συνθ Ξ ντικαθιστώντας την στην προκύπτει ότι: Ξ Ξ r 3 h Ε βξεκινούµε από το Β νόµο του Νεύτωνα Σ F 4 Εφαρµόζοντας τη σχέση 4 για το Σώµα Σ και το σώµα Σ προκύπτει ότι : W 5 T και T συνθ Μ α6 h h ηµ 3 Ξ,6 7 Ξ ηµ 3 Ξ πό τα δεδοµένα r οπότε Ξ h 6 r,558 6,8 Σ Ε φού Σελίδα από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

11 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου φού r τότε παίρνοντας µια µικρή µεταβολή της και µια µικρή µεταβολή της διαιρώντας και τα δύο µέλη της ισότητας αυτής µε προκύπτει ότι : r 9 r,55 πό τις εξισώσεις 5 και 6 προκύπτει το σύστηµα των πιο κάτω εξισώσεων µετά από τις αντικαταστάσεις: 3 T και T ενώ παράλληλα ισχύει και η σχέση,55 ιαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις και προκύπτει: T T α 3 ο λόγος προκύπτει από την 3 3,55 α T T πό την 3 προκύπτει ότι: T,3 T,866 και 3,,3 T T, 866 Άρα 3, T 7, 7N 4,3,866 Έτσι η Τάση Τ που αναπτύσσεται στο νήµα είναι 7,7Ν ΘΕΜ 7 Τα δύο µοντέλα αυτοκινήτων περνώντας από το και το Β µε ταχύτητες και αντίστοιχα κάνουν ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση Χ Β Κατά τη διάρκεια της κίνησής τους και σε χρόνο συναντώνται δύο φορές Εποµένως για να υπολογίσουµε την µεταξύ τους αρχική απόσταση θα πρέπει να λύσουµε την πιο κάτω εξίσωση δηλαδή Σελίδα από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις

12 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Σελίδα από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις Η εξίσωση είναι δευτεροβάθµια εξίσωση µε άγνωστο το χρόνο 3 πό την εξίσωση 3 προκύπτει ότι: 4 Λύνουµε την εξίσωση 4 ως προς τον χρόνο : 8 4 ± 4 Μετά τις απλοποιήσεις η σχέση 4 γίνεται: ± 5 πό την 5 προκύπτουν οι δύο λύσεις της εξίσωσης, 6 Άρα το ζητούµενο θα είναι: Έτσι, η απόσταση Β βρίσκεται από τη σχέση ΘΕΜ 8 ατο µέτρο της συνισταµένης δύναµης που ασκείται στο σύστηµα βάρκας-βαρκάρη υπολογίζεται από τη σχέση: Ν ΟΛΙΚΟ ΟΛΙΚΟ ΟΛΙΚΟ ΟΛΙΚΟ ΟΛΙΚΟ ΟΛΙΚΟ 5 4 6,5 F F F α β Το µέτρο της δύναµης F που ασκεί η προβλήτα µέσω του σχοινιού στο βαρκάρη είναι όσο και το µέτρο της δύναµης F που ασκεί ο βαρκάρης στην προβλήτα µέσω του σχοινιού, είναι δηλαδή 3Ν υτό προκύπτει από τον Γ νόµο του Νεύτωνα αξίωµα δράσης -αντίδρασης αφού οι δύο δυνάµεις αποτελούν ζεύγος δυνάµεων δράσης-αντίδρασης

13 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου γ Η αντίσταση που προβάλλει το νερό πάνω στη βάρκα υπολογίζεται µε βάση τη σχέση: F ΟΛΙΚΟ F R R F FΟΛΙΚΟ Ν δ Μέχρι τη χρονική στιγµή 4 η βάρκα και ο βαρκάρης κινούνται προς το µέρος της προβλήτας κάνοντας ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση, χωρίς αρχική ταχύτητα µε αρχική ταχύτητα µηδέν Άρα στο χρονικό διάστηµα από µέχρι 4 θα καλύψει απόσταση η οποία βρίσκεται από τη σχέση:, Άρα µέχρι τη χρονική στιγµή 4 το σύστηµα βάρκας - βαρκάρη θα καλύψει απόσταση 3, δηλαδή θα προσεγγίσει την προβλήτα κατά 3 Τη χρονική στιγµή 4 η ύναµη που ασκεί ο Βαρκάρης στην προβλήτα µηδενίζεται οπότε η βάρκα µε τον βαρκάρη κινείται κάνοντας πια ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση Η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο σύστηµα είναι η αντίσταση του νερού R που είναι σταθερή καθ όλη την διάρκεια της κίνησης Έτσι εφαρµόζοντας τον Β νόµο του Νεύτωνα προκύπτει ότι: R 75 FΟΛΙΚΟ O ΛΙΚΟ α R ΟΛΙΚΟ α α α, 5 4 ΟΛΙΚΟ 6 Βρίσκουµε τον χρόνο που θα κάνει η βάρκα και ο βαρκάρης κινούµενοι µέχρι να µηδενιστεί η ταχύτητά τους,5 5,5 Έτσι το σύστηµα βάρκας-βαρκάρη θα κινείται άλλα µέχρι να µηδενιστεί η ταχύτητά του υπό την προϋπόθεση ότι δεν θα συναντήσει και συγκρουστεί µε την προβλήτα πιο πριν Στο πιο πάνω χρονικό διάστηµα θα καλύψει απόσταση :,5, Άρα η βάρκα µαζί µε τον βαρκάρη, κινούµενοι για χρονικό διάστηµα 6, θα καλύψουν συνολική απόσταση: ΟΛΙΚΟ Άρα η απόσταση που θα καλύψει συνολικά η βάρκα µε το βαρκάρη θα είναι Επειδή η προβλήτα απέχει 4 από την αρχική θέση της βάρκας, δηλαδή απόσταση µεγαλύτερη, η βάρκα µε το βαρκάρη δεν θα καταφέρουν να φτάσουν στην προβλήτα ΤΕΛΟΣ Σελίδα 3 από 3 η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Προτεινόµενες Λύσεις