Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
|
|
|
- Ευτροπια Βυζάντιος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
2 Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση των δικτύων μεταφοράς (tranportation network), δηλαδή δικτύων στα οποία οι ακμές μεταφέρουν κάποιο είδος κίνησης και οι κόμβοι ως "μεταγωγείς" για τη μεταφορά της κίνησης στις διάφορες ακμές. Παραδείγματα..1 οδικό δίκτυο εθνικών οδών ακμές είναι εθνικοί οδοί κόμβοι είναι έξοδοι εθνικών οδών.2 δίκτυο υπολογιστών ακμές είναι συνδέσεις που μεταφέρουν πακέτα κόμβοι είναι μεταγωγείς (roter).3 δίκτυο μεταφοράς υγρών ακμές είναι σωληνώσεις κόμβοι είναι συνδέσεις μεταξύ των σωληνώσεων Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 2/37
3 Χαρακτηριστικά Μοντέλων Δικτύων Χωρητικότητα. Οι ακμές έχουν χωρητικότητα (capacity) η οποία δείχνει πόση ποσότητα μπορεί να μεταφερθεί. Kόμβοι Προέλευσης. Κόμβοι προέλευσης (orce) στο γράφημα οι οποίοι παράγουν κίνηση. Kόμβοι Απόληξης. Κόμβοι απόληξης ή προορισμού (target) στο γράφημα οι οποίοι μπορούν να "απορροφήσουν" την κίνηση που καταφθάνει. Κίνηση. Η κίνηση που διαδίδεται μέσω των ακμών. Αναφερόμαστε στην κίνηση αυτή ως ροή (flow). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 3/37
4 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V. Οι υπόλοιποι κόμβοι, εκτός των και t, θα ονομάζονται εσωτερικοί (internal) κόμβοι. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37
5 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V. Διάφορες Παραδοχές..1 δεν υπάρχει ακμή που να εισέρχεται στην προέλευση V ή να εξέρχεται από την απόληξη t V,.2 υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή προσκείμενη σε κάθε κόμβο.3 όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι αριθμοί Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37
6 Δίκτυο Ροής Flow Network Το δίκτυο ροής (flow network) είναι ένα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Με κάθε ακμή e E είναι συσχετισμένη μια χωρητικότητα c e 0. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος προέλευσης V. Υπάρχει ένας μόνο κόμβος απόληξης t V t 20 Παράδειγμα δικτύου ροής με προέλευση, απόληξη t και χωρητικότητες δίπλα στις ακμές. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 4/37
7 Ροή Λέμε ότι η ροή t ( t flow) είναι μια συνάρτηση f που αντιστοιχίζει κάθε ακμή e σε έναν μη αρνητικό πραγματικό αριθμό f : E R +. Διαισθητικά η τιμή f(e) αντιπροσωπεύει την ποσότητα ροής που μεταφέρεται από την ακμή e. Η ροή πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω δύο ιδιότητες..1 (Συνθήκες χωρητικότητας) Για κάθε ακμή e E, έχουμε 0 f(e) c e..2 (Συνθήκες διατήρησης) Για κάθε κόμβο εκτός των and t, έχουμε f(e) = f(e) e προς το e από το Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 5/37
8 Τιμή Ροής Η τιμή μιας ροής f, που συμβολίζουμε ως (f), ορίζεται ως η ποσότητα της ροής που παράγεται στην προέλευση. (f) = f(e) e από το Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 6/37
9 Μερικοί Ορισμοί Για να κάνουμε πιο συμπαγή τον τρόπο γραφής μας, ορίζουμε ότι f ot () = f(e), e από το και f in () = f(e). e προς το Το ίδιο και για σύνολα κόμβων S V ορίζουμε πως f ot (S) = f(e), e από το S και f in (S) = f(e). e προς το S Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 7/37
10 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Max Flow Problem Πρόβλημα. Με δεδομένο ένα δίκτυο ροής, βρείτε μια ροή με τη μέγιστη δυνατή τιμή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/37
11 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Max Flow Problem Πρόβλημα. Με δεδομένο ένα δίκτυο ροής, βρείτε μια ροή με τη μέγιστη δυνατή τιμή. Από τι εξαρτάται η μέγιστη ροή; Υποθέστε πως διαιρούμε τους κόμβους του γραφήματος σε δύο σύνολα, A και B, έτσι ώστε A και t B. Διαισθητικά, οποιαδήποτε ροή πρέπει να περνάει από το A στο B και άρα να χρησιμοποιεί κάποια από τις χωρητικότητες ακμής από το A στο B. A B t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/37
12 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37
13 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37
14 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37
15 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι t 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37
16 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι 30. Δεν μπορούμε να στείλουμε τίποτα άλλο αν δεν πάρουμε πίσω κάποια ροή από την ακμή (, t ) Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37
17 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Κανόνας. Για να υπολογίσουμε μια μέγιστη ροή θα προσπαθήσουμε να βρούμε διαδρομές από το στο t μέσω των οποίων να στείλουμε ροή. Θα φροντίσουμε να μην παραβιάσουμε τις χωρητικότητες των ακμών. Άπληστος Αλγόριθμος. Μήπως λειτουργεί μια απλή άπληστη τακτική; Στο δίκτυο που βλέπουμε μπορούμε να στείλουμε 20 μονάδες ροής μέσω της διαδρομής t. Η μέγιστη ροή όμως είναι Δεν μπορούμε να στείλουμε τίποτα άλλο αν δεν πάρουμε πίσω κάποια ροή από την ακμή (, ). 30 t Ουσιαστικά πρέπει να στείλουμε μονάδες ροής μέσω της ακμής (, ), να αναιρέσουμε μονάδες ροής από την ακμή (, ) και να στείλουμε μονάδες μέσω της ακμής (, t). 20 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/37
18 Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Τεχνική. Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής γενικότερο τρόπο για την προώθηση ροής. θα προωθούμε προς τα εμπρός (ευθύδρομα) σε ακμές που έχουν περίσσευμα χωρητικότητας θα προωθούμε προς τα πίσω (ανάδρομα) σε ακμές που μεταφέρουν ήδη ροή, έτσι ώστε να την εκτρέψουμε σε διαφορετική κατεύθυνση. Για να κάνουμε αυτή την τεχνική πιο σαφής θα ορίσουμε το υπολειπόμενο γράφημα (reidal graph). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο /37
19 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Δεδομένου ενός γραφήματος G και μιας ροής f στο G, ορίζουμε το υπολειπόμενο γράφημα G f του G ως προς την ροή f με τον εξής τρόπο. Το G f έχει το ίδιο σύνολο κόμβων με το G. Για κάθε ακμή e = (, ) του G όπου f(e) < c e υπάρχουν c e f(e) μονάδες χωρητικότητας ελεύθερες. Συμπεριλαμβάνουμε την ακμή e = (, ) στο G f με χωρητικότητα c e f(e). Αυτές οι ακμές λέγονται ευθύγραμμες (forward edge). Για κάθε ακμή e = (, ) του G όπου f(e) > 0, μπορούμε να "αναιρέσουμε" f(e) μονάδες. Συμπεριλαμβάνουμε την ακμή e = (, ) στο G f με χωρητικότητα f(e). Αυτές οι ακμές λέγονται ανάδρομες (backward edge). Κάθε ακμή e G μπορεί να δημιουργήσει το πολύ δύο ακμές στο G f. Άρα το G f έχει το πολύ διπλάσιες ακμές από το G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 11/37
20 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Όταν αναφερόμαστε στη χωρητικότητα ακμής στο υπολειπόμενο γράφημα, χρησιμοποιούμε τον όρο υπολειπόμενη χωρητικότητα (reidal capacity). 20/20 0/ 20/30 t 0/ 20/20 Το υπολειπόμενο γράφημα μας δίνει ένα συστηματικό τρόπο να αλλάζουμε την ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 12/37
21 Υπολειπόμενο Γράφημα Reidal Graph Όταν αναφερόμαστε στη χωρητικότητα ακμής στο υπολειπόμενο γράφημα, χρησιμοποιούμε τον όρο υπολειπόμενη χωρητικότητα (reidal capacity). 20/20 0/ 20 20/30 t 20 t 0/ 20/20 20 Το υπολειπόμενο γράφημα μας δίνει ένα συστηματικό τρόπο να αλλάζουμε την ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 12/37
22 Διαδρομές Επαύξησης Agmenting Path Οποιαδήποτε διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f από τον κόμβο προέλευσης στον κόμβο απόληξης t ονομάζεται διαδρομή επαύξησης. Ορισμός bottleneck. Έστω P μια απλή διαδρομή t στο γράφημα G f. Ορίζουμε ότι η b(p, f) είναι η ελάχιστη υπολειπόμενη χωρητικότητα οποιασδήποτε ακμής της P, σε σχέση με τη ροή f. Επαύξηση (agmentation). Έστω μια διαδρομή επαύξησης P στο G f. Oρίζουμε την παρακάτω λειτουργία, η οποία παράγει μια νέα ροή f στο G. Για κάθε ακμή e = (, ) P της διαδρομής P G f Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή αύξησε το f(e) στο G κατά b(p, f). Αν e = (, ) είναι ανάδρομη ακμή μείωσε το f(, ) στο G κατά b(p, f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/37
23 Παράδειγμα 0/15 0/ 0/30 t 0/ 0/20 Έστω το δίκτυο G στα αριστερά και f η μηδενική ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
24 Παράδειγμα 0/15 0/ 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Το υπολειπόμενο γράφημα G f στα δεξιά. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
25 Παράδειγμα 0/15 0/ 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Έστω P =,, t μια διαδρομή επαύξησης με b(p, f) = Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
26 Παράδειγμα /15 / 15 0/30 t 30 t 0/ 0/20 20 Στέλνουμε στο γράφημα G ροή από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
27 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 0/ 0/20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
28 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t 0/ 0/20 20 Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
29 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t 0/ 0/20 20 Έστω P =,, t μια διαδρομή επαύξησης πάλι με b(p, f ) = Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
30 Παράδειγμα /15 / 0/30 t 5 30 t / /20 20 Στέλνουμε στο γράφημα G ροή από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
31 Παράδειγμα /15 / 0/30 t / /20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
32 Παράδειγμα /15 / / 0/30 t / t Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
33 Παράδειγμα /15 / / 0/30 t / t Έστω P =,,, t η μόνη διαδρομή επαύξησης με b(p, f ) = 5 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
34 Παράδειγμα 15/15 / / 5/30 t 15/ t Στέλνουμε στο γράφημα G ροή 5 από το στο t μέσω της διαδρομής P. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
35 Παράδειγμα 15/15 / 5/30 t / 15/20 Έχουμε μια καινούρια ροή f Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
36 Παράδειγμα 15/15 / 15 / 5/30 t 15/ t Ας δούμε τώρα το καινούριο υπολειπόμενο γράφημα G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
37 Παράδειγμα 15/15 / 15 / 5/30 t 15/ t Δεν υπάρχει t διαδρομή στο G f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 14/37
38 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37
39 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Πρέπει να επαληθεύσουμε τις συνθήκες χωρητικότητας και διατήρησης. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37
40 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Η f διαφέρει από την f μόνο κατά μήκος της P, άρα αρκεί να ελέγξουμε μόνο αυτές τις ακμές. Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι c e f(e) και έχουμε 0 f(e) f (e) = f(e) + b(p, f) f(e) + (c e f(e)) = c e. Αν (, ) G f είναι ανάδρομη ακμή που προκύπτει από την e = (, ) G, τότε η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι f(e) και άρα c e f(e) f (e) = f(e) b(p, f) f(e) f(e) = 0. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37
41 Επαύξηση Λήμμα Έστω G ένα δίκτυο ροής, f μια ροή και P μια απλή διαδρομή στο υπολειπόμενο γράφημα G f. Έστω επίσης f η συνάρτηση στο γράφημα G που προκύπτει από την επαύξηση κατά b(f, P) μονάδες. Η f είναι ροή. Απόδειξη Η f διαφέρει από την f μόνο κατά μήκος της P, άρα αρκεί να ελέγξουμε μόνο αυτές τις ακμές. Αν e = (, ) είναι ευθύδρομη ακμή η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι c e f(e) και έχουμε 0 f(e) f (e) = f(e) + b(p, f) f(e) + (c e f(e)) = c e. Αν (, ) G f είναι ανάδρομη ακμή που προκύπτει από την e = (, ) G, τότε η υπολειπόμενη χωρητικότητα της είναι f(e) και άρα c e f(e) f (e) = f(e) b(p, f) f(e) f(e) = 0. Πρέπει να ελέγξουμε για διατήρηση τους εσωτερικούς κόμβους της P. Έστω ένας τέτοιος κόμβος. Μπορούμε να επαληθεύσουμε πως η μεταβολή στην ποσότητα ροής που εισέρχεται στον κόμβο είναι ίδια με την μεταβολή στην ποσότητα ροής που εξέρχεται από τον κόμβο. Επειδή η f ικανοποιούσε τη συνθήκη διατήρησης στον το ίδιο θα ισχύει και για την f. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/37
42 Αλγόριθμος Ford-Flkeron Έυρεση Μέγιστης Ροής Inpt: Δίκτυο G(V, E) με χωρητικότητες στις ακμές {c e : e E}. Otpt: Μέγιστη ροή Αρχικά f(e) = 0 για όλα τα e E while υπάρχει t διαδρομή P στο γράφημα G f do f f + επαύξηση κατά b(p, f) ενημέρωσε το G f με βάση την καινούρια ροή end Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 16/37
43 Τερματισμός Αλγορίθμου Ακέραιες Τιμές Τερματισμός. Για να αποδείξουμε πως ο αλγόριθμος τερματίζει, θα δείξουμε πως κάνει συνέχεια βήματα προόδου. Ακέραιες Τιμές Ροής. Είναι εύκολο μέσω επαγωγής να δείξουμε πως οι τιμές ροής {f(e)} και οι υπολειπόμενες χωρητικότητες στο G f είναι πάντα ακέραιοι αριθμοί. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/37
44 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37
45 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37
46 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Το γράφημα G δεν έχει ακμές που εισέρχονται στον κόμβο, και άρα μια εξερχόμενη ακμή από το στο γράφημα G f είναι υποχρεωτικά ευθύδρομη ακμή. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37
47 Τερματισμός Αλγορίθμου Γνησίως αύξουσα τιμή ροής Λήμμα Έστω ότι f είναι μια ροή στο G, και έστω ότι P είναι μια απλή διαδρομή t στο G f. Τότε (f ) = (f) + b(p, f) και αφού b(p, f) > 0 έχουμε (f ) > (f). Απόδειξη Η πρώτη ακμή e στην διαδρομή P εξέρχεται από το στο υπολειπόμενο γράφημα G f, και αφού η διαδρομή είναι απλή, δεν έχουμε άλλη επίσκεψη στο. Το γράφημα G δεν έχει ακμές που εισέρχονται στον κόμβο, και άρα μια εξερχόμενη ακμή από το στο γράφημα G f είναι υποχρεωτικά ευθύδρομη ακμή. Η ακμή e είναι η μόνη ακμή του που αλλάζει η ροή της και η ροή της αυξάνεται κατά b(p, f). Άρα f = f + b(p, f). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/37
48 Τερματισμός Αλγορίθμου Άνω όριο της Μέγιστη Ροής Άνω Όριο. Ο αλγόριθμος υπολογίζει διαρκώς ακέραιες ροές και η ροή που υπολογίζει αυξάνει από βήμα σε βήμα. Για να δείξουμε πως τερματίζει αρκεί να βρούμε και ένα άνω όριο της μέγιστης ροής. Εξερχόμενες ακμές από την προέλευση. Αν όλες οι ακμές που εξέρχονται από τον μπορούσαν να κορεστούν πλήρως με ροή, η τιμή της ροής θα ήταν c e. e από το Έστω ότι C συμβολίζει αυτό το άθροισμα. Έχουμε πως για κάθε t ροή f. (f) C Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 19/37
49 Τερματισμός Αλγορίθμου Απόδειξη Έχουμε πλέον όλα τα εργαλεία για να αποδείξουμε πως ο αλγόριθμος τερματίζει. Θεώρημα Υποθέστε ότι όλες οι χωρητικότητες σε ένα δίκτυο ροής G είναι ακέραιες. Ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τερματίζει μετά από το πολύ C επαυξήσεις. Απόδειξη Καμία ροή στο G δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από C. Κάθε ροή είναι ακέραιος και κάθε επαύξηση αυξάνει την ροή τουλάχιστον κατά μια μονάδα. Η ροή στην αρχή είναι μηδέν και άρα θα εκτελεστούν το πολύ C επαυξήσεις. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 20/37
50 Χρόνος Εκτέλεσης Ford-Flkeron Επειδή έχουμε υποθέσει πως όλοι οι κόμβοι έχουν τουλάχιστον μια προσκείμενη ακμή, ισχύει m n/2 και άρα για απλούστευση θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός πως O(m + n) = O(m). Θεώρημα Αν όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι, ο αλγόριθμος Ford-Flkeron μπορεί να υλοποιηθεί ώστε να εκτελείται σε χρόνο O(mC). Απόδειξη Η επανάληψη εκτελείται το πολύ C φορές. Σε κάθε επανάληψη κάνουμε τα εξής. φτιάχνουμε το G f σε χρόνο O(m) ψάχνουμε διαδρομή t, έστω P, στο γράφημα G f σε χρόνο O(m + n) = O(m) με DFS ή BFS. Υπολογίζουμε το f σε χρόνο O(n) αφού η P έχει το πολύ n 1 ακμές. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 21/37
51 Μέγιστη Ροή Έχουμε δείξει πως ο αλγόριθμος τερματίζει αλλά δεν έχουμε αποδείξει ακόμη πως υπολογίζει την μέγιστη δυνατή ροή. Όρια του Δικτύου. Το βασικό ερώτημα είναι πως η δομή του δικτύου θέτει άνω όρια ως προς τη μέγιστη τιμή μιας ροής t. Εξερχόμενη Χωρητικότητα του. Είδαμε ήδη ένα άνω όριο: η τιμή (f) για οποιαδήποτε ροή t είναι το πολύ ίση με C = c e. Θέλουμε όμως e από το ένα πιο καλό όριο, αυτό το όριο είναι πολλές φορές πολύ αδύναμο. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 22/37
52 Αποκοπή Ct Αποκοπή t. Μια αποκοπή t είναι μια διαμέριση (A, B) του συνόλου των κορυφών V έτσι ώστε A και t B. Χωρητικότητα. Η χωρητικότητα μιας αποκοπής (A, B), την οποία συμβολίζουμε ως c(a, B), είναι απλώς το άθροισμα των χωρητικοτήτων για όλες τις ακμές που εξέρχονται από το A: c(a, B) = c e. e από το A Οι αποκοπές παρέχουν πολύ φυσικά όρια ως προς τις τιμές των ροών. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 23/37
53 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37
54 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Απόδειξη Από τον ορισμό (f) = f ot (). Με βάση τις παραδοχές μας f in () = 0 και άρα (f) = f ot () f in (). Επίσης όλες οι κορυφές A εκτός του είναι εσωτερικές και άρα f ot () f in () = 0. Έτσι (f) = A(f ot () f in ()). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37
55 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) = f ot (A) f in (A). Απόδειξη Από τον ορισμό (f) = f ot (). Με βάση τις παραδοχές μας f in () = 0 και άρα (f) = f ot () f in (). Επίσης όλες οι κορυφές A εκτός του είναι εσωτερικές και άρα f ot () f in () = 0. Έτσι (f) = A(f ot () f in ()). Θα αναδιατυπώσουμε το άθροισμα. Έστω μια ακμή e = (, ). Εαν A και A τότε η ακμή εμφανίζεται 2 φορές στο άθροισμα με αντίθετα πρόσημα, και άρα αλληλοαναιρούνται. Αν A και A δεν εμφανίζεται καθόλου. Αλλιώς εμφανίζεται μια φορά. Με βάση αυτά μπορούμε να γράψουμε: (f) = (f ot () f in ()) = f(e) f(e) = f ot (A) f in (A). A e προς το A e από το A Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 24/37
56 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37
57 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Απόδειξη (f) = f ot (A) f in (A) f ot (A) = e από το A e από το A = c(a, B) f(e) c e Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37
58 Αποκοπή Ct Λήμμα Έστω ότι η f είναι κάποια t ροή και (A, B) είναι κάποια αποκοπή t. Τότε (f) c(a, B). Απόδειξη (f) = f ot (A) f in (A) f ot (A) = e από το A e από το A = c(a, B) f(e) c e Με άλλα λόγια στην τιμή κάθε ροής τίθεται ένα άνω όριο με βάση τη χωρητικότητα κάθε αποκοπής. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 25/37
59 Αλγόριθμος Ford-Flkeron και Μέγιστη Ροή Έστω ότι το f συμβολίζει τη ροή που επιστρέφεται από τον αλγόριθμο Ford-Flkeron. Στόχος. Θέλουμε να δείξουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron βρίσκει την μέγιστη ροή. Μέθοδος. Θα βρούμε μια t αποκοπή (A, B ) για την οποία ( f) = c(a, B ). Η ύπαρξη αυτής της αποκοπής αμέσως αποδεικνύει πως η f είναι μέγιστη λόγω του προηγούμενου λήμματος. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 26/37
60 Max-Flow Min-Ct Theorem Θεώρημα Αν η f είναι μια ροή t τέτοια ώστε να μην υπάρχει διαδρομή t στο υπολειπόμενο γράφημα G f, τότε υπάρχει μια t αποκοπή (A, B ) στο G για την οποία (f) = c(a, B ). Κατά συνέπεια, η f έχει τη μέγιστη τιμή από όλες τις ροές του G και η (A, B ) έχει την ελάχιστη χωρητικότητα από όλες τις αποκοπές t του G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37
61 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37
62 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε A και B. Τότε η ακμή είναι κορεσμένη, f(e) = c e, αλλιώς η e θα ήταν ευθύδρομη στο G f. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε B και A. Τότε η ακμή είναι αχρησιμοποίητη, f(e) = 0, αλλιώς η ανάδρομη της e = (, ) θα υπήρχε στο G f. G f t A B Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37
63 Max-Flow Min-Ct Theorem Απόδειξη Έστω A το σύνολο των κόμβων G που υπάρχει διαδρομή στο G f και έστω B = V \ A. Το (A, B ) είναι μια t αποκοπή αφού δεν υπάρχει διαδρομή t στο G f και άρα A ενώ t B. Έστω e = (, ) G έτσι ώστε A και B. Τότε η ακμή είναι κορεσμένη, f(e) = c e, αλλιώς η e θα ήταν ευθύδρομη στο G f. Άρα Έστω e = (, ) G έτσι ώστε B και A. Τότε η ακμή είναι αχρησιμοποίητη, f(e) = 0, αλλιώς η ανάδρομη της e = (, ) θα υπήρχε στο G f. (f) = f ot (A ) f in (A ) = f(e) f(e) e από το A e προς το A = c e 0 e από το A = c(a, B ). G f A B t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 27/37
64 Max-Flow Min-Ct Theorem Μπορούμε να διατυπώσουμε πιο γενικά το τελευταίο αποτέλεσμα. Θεώρημα Σε όλα τα δίκτυα ροής η μέγιστη τιμή μιας ροής t είναι ίση με την ελάχιστη χωρητικότητα μιας αποκοπής t. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 28/37
65 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37
66 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37
67 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37
68 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37
69 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37
70 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37
71 Χρόνος Εκτέλεσης Καταλήγουμε πως ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει σε χρόνο O(mC) όπου C είναι η μέγιστη ροή του δικτύου. Ψευδο-πολυωνυμικός Χρόνος. Έχουμε αναφερθεί και πάλι σε τέτοιου είδους χρόνους και τους αποκαλέσαμε ψευδοπολυωνυμικούς. Ο λόγος είναι πως τέτοιοι αλγόριθμοι είναι πολυωνυμικοί ως προς το μέγεθος των αριθμών εισόδου αλλά όχι ως προς το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση τους t Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 29/37
72 Μια παραλλαγή των Edmond και Karp BFS. Εαν υλοποιήσουμε την αναζήτηση για μονοπάτια προσαύξησης στο G f με BFS τότε ο αλγόριθμος Ford-Flkeron τρέχει στην χειρότερη περίπτωση σε χρόνο O(m 2 n) αντι για O(mC). Μικρότερος Αριθμός Ακμών. Με άλλα λόγια διαλέγουμε πάντα το μονοπάτι προσαύξησης t που έχει τον μικρότερο αριθμό ακμών. Στο παράδειγμα της προηγούμενη διαφάνειας ο αλγόριθμος τερματίζει με 2 προσαυξήσεις αντί για 00. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 30/37
73 Διμερές Ταίριασμα Ένα γράφημα G(V, E) είναι διμερές (bipartite) αν το σύνολο των κόμβων του V μπορεί να διαμεριστεί σε σύνολα A και B με τέτοιο τρόπο ώστε η κάθε ακμή να έχει το ένα άκρο στο A και το άλλο στο B. a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 31/37
74 Διμερές Ταίριασμα Ένα ταίριασμα (matching) σε ένα γράφημα G(V, E) είναι ένα σύνολο ακμών M E με την ιδιότητα ότι κάθε κόμβος εμφανίζεται το πολύ σε μια ακμή του M. Το M είναι ένα τέλειο ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μια μόνο ακμή του M. Με ταιριάσματα μοντελοποιούμε προβλήματα ανάθεσης, για παράδειγμα ανάθεση υπολογιστικών εργασιών σε υπολογιστές όπου μια ακμή υποδηλώνει την ικανότητα του εκάστοτε υπολογιστή να διεκπεραιώσει την λειτουργία. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 32/37
75 Διμερές Ταίριασμα Το πρόβλημα Διμερούς Ταιριάσματος (Bipartite matching problem) είναι το ακόλουθο: Δεδομένου ενός διμερούς γραφήματος G, βρείτε ένα ταίριασμα μέγιστου μεγέθους. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 33/37
76 Αναγωγή σε Max-Flow Ξεκινώντας με το γράφημα G ενός προβλήματος Διμερούς Ταιριάσματος, κατασκευάζουμε ένα δίκτυο ροής G. t Προσθέτουμε κόμβους και t και όλες οι ακμές έχουν χωρητικότητα 1. Η τιμή της μέγιστης ροής στο καινούριο δίκτυο t είναι ίση με το μέγεθος τους μέγιστου ταιριάσματος στο G. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 34/37
77 Αναγωγή σε Max-Flow Λήμμα Έστω στο G ένα μέγιστο ταίριασμα που αποτελείται από k ακμές (a 1, b 1 ),..., (a k, b k ). Τότε υπάρχει ροή t στο G με τιμή k. Απόδειξη Έστω η ροή που στέλνει μια μονάδα κατά μήκος κάθε διαδρομής, a i, b i, t. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 35/37
78 Αναγωγή σε Max-Flow Λήμμα Έστω στο G μια μέγιστη ροή f με τιμή k. Υπάρχει ταίριασμα στο G με k ακμές. Απόδειξη Από το θεώρημα ακέραιων τιμών για τις μέγιστες ροές γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια ακέραια ροή f με τιμή k, και αφού c e = 1 για κάθε e G έχουμε πως f(e) {0, 1}. Έστω M το σύνολο των ακμών της μορφής (a, b) για τις οποίες η τιμή της ροής είναι 1. Έχουμε πως M = k και επίσης κάθε κόμβος είτε του A είτε του B έχει το πολύ μια μονάδα ροής που περνάει από αυτόν λόγω αρχής διατήρησης. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 36/37
79 Χρόνος Εκτέλεσης Έστω πως n = A = B και έστω m το πλήθος των ακμών στο διμερές γράφημα G. t αποκοπή. Έχουμε C = e από το c e = A = n. Χρόνος Ford-Flkeron. Το χρονικό όριο O(mC) είναι ουσιαστικά O(mn) σε αυτή την περίπτωση. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 37/37
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή,
Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους
Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 13: Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive
Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του
Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,
Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον
Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους
Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση
u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Κατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax
ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ
Επιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα
ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε
Κατανεμημένα Συστήματα Ι
Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού
q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;
Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο
Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε
3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/55 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/55 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
d(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)
Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Επίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15%
Επίλυση 1 ης Εργασίας Παραδόθηκαν: 11/12 15% ΘΕΜΑ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής Το φορτίο που μεταφέρεται από τον r είναι 3 (r->1=1) + (r->3=0) + (r- >4=2) Το φορτίο που φθάνει στον
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Αναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από
Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας
Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012
ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Άσκηση 1. Ψευδοκώδικας Kruskal. Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα.
Άσκηση 1 Ψευδοκώδικας Kruskal Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα. Αντιστοιχίζω τους κόμβους με αριθμούς από το 0 έως το 4. 2Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ - MAY 2018
Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης
Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA
Chapter 7, 8 : Completeness
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη
Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης
HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο,
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Κατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ. Ατομική Διπλωματική Εργασία. Μελέτη Προβλήματος Εύρεσης Μέγιστης Ροής ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Κυριακή Χριστοδούλου.
Ατομική Διπλωματική Εργασία Μελέτη Προβλήματος Εύρεσης Μέγιστης Ροής Κυριακή Χριστοδούλου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μάιος 205 Σ ελίδα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μελέτη Προβλήματος
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths
Εκλογή αρχηγού σε σύγχρονο δακτύλιο: Οι αλγόριθμοι LCR και HS. 1 Ο αλγόριθμος LCR (Le Lann, Chang, and Roberts)
Κ Σ Ι Εκλογή αρχηγού σε σύγχρονο δακτύλιο: Οι αλγόριθμοι LCR και HS Παναγιώτα Παναγοπούλου 1 Ο αλγόριθμος LCR (Le Lann, Chang, and Roberts) Ο αλγόριθμος LCR είναι ένας αλγόριθμος εκλογής αρχηγού σε ένα
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Συντομότερες Διαδρομές
Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής
Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.
Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Κατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Το πρόβλημα του σταθερού γάμου
Το πρόβλημα του σταθερού γάμου Γάμος και Θεωρία Γραφημάτων Γάμος πρόβλημα ταιριάσματος Θα δούμε έναν αλγόριθμο ταιριάσματος (matching algorithm) που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές Γνωριμίες (γραφεία,
Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017
Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall για την έυρεση όλων των αποστάσεων σε ένα γράφημα με βάρη στις ακμές Συνεχίσαμε σήμερα το θέμα της προηγούμενης Τετάρτης. Έχουμε ένα γράφημα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται
Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018
Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018 Άσκηση 9.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91
Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος
Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Αναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου
Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Συντομότερες Διαδρομές
Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος
Επαναληπτικές Διαδικασίες
Επαναληπτικές Διαδικασίες Οι επαναληπτικές δομές ( εντολές επανάληψης επαναληπτικά σχήματα ) χρησιμοποιούνται, όταν μια ομάδα εντολών πρέπει να εκτελείται αρκετές- πολλές φορές ανάλογα με την τιμή μιας
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του
d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.