Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
|
|
|
- Ματθίας Λούπης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4
5 x + = 0
6 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + )
7 P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),..., P (n) P (n + ) P (n) n n P (n) : n k = n = k= n(n + ). ( + ) P () : =, n = n P (n) n + P (n + ) : (n + ) = (n + )(n + ) (n + ) = n + (n + ) n(n + ) = + (n + ) ( n ) = (n + ) + = (n + )(n + ). + x = b,, b N, < b = b > b Z = {0, ±, ±, ±3,...}.
8 0 + = + 0 =, + ( ) = ( ) + = 0. < > = b, b Z = b +, b Z, b b 0 bx = b b Q = { m n : m Z, n N }. m n = m n m n = n m, m + m = m n + m n m, m = m m, n n n n n n n n m > m m n > m n m n m n > 0, m n m n N. n n q q = m n m n
9 6 = 3, 4 4 = 4 8 = x x =. q Q q = q = b b q = q = b = = b. = c c Z 4c = b c = b. b b b x = L R
10 l L r R l < r L R l,.4,.4,.44,.44,..., r l,.5,.4,.45,.443,....,.4,.4,.44,...,.5,.4,.45,... L R R Q A = A R A R x x A A
11 A R x x A A A, 3, 3 4,..., n n +,..., n N. x x 3 x < x < 3 = A R A R A x x x A A A R A A R A R A A
12 R A A A A A A A A A A A A A A, A = A, 3, 3 4,..., n n +,..., n N. < n n > n + > x x 3 x < x < 3 A = {x Q : x > 0 x < } A = 0 A =
13 A = {x Q : x > 0 x < } A Q A = Q A A = A R A R R = { : }., b c + b = c R, b, c R ( + b) + c = + (b + c) ( ). R, b R + b = b + ().
14 R 3 R R + 0 = 0 + = ( ). R 4 R R + ( ) = ( ) + = 0 ( )., b R b b b = + ( b)., b c b = c R 5, b, c R ( b) c = (b c) ( ). R 6, b R b = b (). R 7 R R = = ( ). R 8 R, 0 R = = ( )., b R, b 0 b b b = b.
15 R 9, b, c R (b + c) = b + c ( ). R < R 0, b R < b = b > b ( ). R, b, c R < b b < c < c R, b, c R < b + c < b + c R 3, b, c R < b c > 0 c < b c x R R + x = 0 + x = 0. R 3 x + 0 = x. R x = x + 0 = 0 + x = 0. R b, c R + b = + c = 0 R 3 R R R 3 c = c + 0 = c + ( + b) = (c + ) + b = ( + c) + b = 0 + b = b. R R 8 R R R 4 R R 5 R 8 R R R 9
16 R 0 R 3 (R, +,, <) (Q, +,, <) x =, x R x = R A R y A y A y A y A = { : A} A ( A) = s t = s A s A t = s A t A t A t A t A t A s t t s = t A R A = A > 0 x A x > A = A > 0 x A x < +
17 = A > 0 x A x A, 0, > 0 x A x > A = b < = b > 0 b A x A x b =, = A x, y R x > 0 n N nx > y nx y n N A = {nx : n N} A A = s x > 0 s x < s n 0 N n 0 x > s x s < (n 0 + )x s A x R Z x < + x [x] [x] x < [x] [.4] =, [ 4.7] = 5. x, y R x < y q Q x < q < y
18 y x > 0 n N n(y x) > nx + < ny nx < [nx] + nx + < ny, q = [nx] + n x < [nx] + n < y, x, y R x < y p x < p < y x < y x < y q Q x < q < y, x < q + < y. p = q + R { 0, = < 0. R b 0 b b b.
19 , b R + b + b ( ). b b b + b ( ). 0 < 0 b b b, ( + b ) + b + b, = b + b b + b b b. b = b + b + = b + b b. b b b, b b b = b + < < + R. + +
20 R + ( ) = ( ) + = (+ ) =, + (+ ) = (+ ) + = ( ) = +. > 0 ( ) = ( ) =, (+ ) = (+ ) = +. < 0 ( ) = ( ) = +, (+ ) = (+ ) =. ( ) + ( ) =, (+ ) + (+ ) = +, ( ) ( ) = +, (+ ) (+ ) = +, ( ) (+ ) = (+ ) ( ) =. ( ) + (+ ), (+ ) + ( ), 0 ( ), ( ) 0, 0 (+ ), (+ ) 0,, +, +, + +. A A = + A A =, b R < b (, b) = {x R : < x < b}, (, b] = {x R : < x b}, [, b) = {x R : x < b}, [, b] = {x R : x b}, (, ) = {x R : x > }, [, ) = {x R : x }, (, ) = {x R : x < }, (, ] = {x R : x }.
21 n k k= n (k ). k= n k = k= n(n + )(n + ). 6 n (k) k= n (k ). k= n (k + ) k = A + (B + Cn) n, k=0 A, B C n n (i) n > n (ii) n > n 3 x > ( + x) n + nx n N. x > ( + x) n + nx n(n ) x n N. q Q q 3 = p, q, r, s Q p + q = r + s, p = r, q = s q s
22 A = {x R : x > 0 0 < x } B = {x Q : x 0 0 < x } C = {0,, 3, 4,..., n },... D = {x R : x < 0 x + x < 0} { } E = n + ( )n : n N A R A = A A A, B R A B B A A B. A, B R A+B = {+b : A, b B} (A + B) = A + B. R x < y + > 0 x y x y + > 0 x y x y > 0 x = y < x < b < y < b x y < b
23 n n n n ( n ) ( n ) n 0 ( n ) n 0 {, } 3,..., n n +,... n =, n =,,... n n = ( )n n, n =,,... n = n, n =,,... n = ( ) n, n =,,...
24 =, n+ = n +, n =,,... n n n n n n n ε > 0 ( ε, + ε) ε ε n n n n ( ε, + ε) ε < n < + ε ε < n < ε n < ε ( n ) ( n ) ε > 0 N = N(ε) n n > N n < ε. n n n n = ε ε N ε N ε n ( ε, + ε)
25 N ( ε, + ε) ε > 0 ( ε, + ε) m ( n ) m = 5, n n = n m +n = n m+n ( n ) (b n ) m n = b n n > m n n = n b n = ( n ) n =, n =,,... n,, 3,..., 0,..., 00,..., 000,..., n ε > 0 N n n > N n 0 = < ε nε >. n x = ε > 0 y = N Nε > n n > N nε > Nε > n = ( ) n, n =,,...,,,,,..., m =, m =,,... m =, m =,,... m m m ( m ) ( m ) n ( n )
26 n n R ε > 0 N n = N > N n n > N ( ) n < ε. ( ) N < ε < ε ε < < ε ε < < + ε. n = N + > N ( ) N+ < ε < ε ε < + < ε ε < < + ε. ε = 0 < < < < 0 ( n ) ( n ) ( n ) n = n = b n n n = b b ε = N b > 0 n n = n n > N n < ε = n n = b N b, n n > N n b < ε = b. N = {N, N } n n > N n > N n > N b = n + n b n + n b < = b b + b = b, n = n, n =,,... n n +
27 ( n ) ( n ) + E > 0 N = N(E) n n > N n > E. n + n n n = + ( n ) E > 0 N = N(E) n n > N n < E. n n n n = E E N E N E n E n E n (E, ) (, E ( n ) ε + E ( n ) ± n = n, n =,,... + n E > 0 N n n > N n > E. x = > 0 y = E N N > E n n > N n > N > E ( n ), (b n ) (c n ) n b n c n n N
28 n n = n c n = n b n = ε > 0 n c n n N N n n > N n < ε ε < n < + ε n n > N c n < ε ε < c n < + ε. N = {N, N } n n > N n > N n > N ε < n b n c n < + ε b n < ε, b n n n b n c n n m m N b n =, n =,,... n, 4, 9,..., 00,..., 0000,..., ,..., n c n =, n =,,... n n = 0, n =,,... 0 < n n n N, n 0 = n n n = 0, n = 0 ( n ) M > 0 n M n N.
29 ( n ) n n ε > 0 N n n > N n < ε. n n < ε n < + ε n > N. M = {,,..., N, + ε} n M n N ( ). ( n ) ( n ) n n n 0 n n 0 n ( n ) n 0 n 0 n = 0
30 ( n ) n n n n ε > 0 N n n > N n < ε. n n < ε, n n ( n ) (b n ) n b n b n +b n +b n ε > 0 n b n b ε = ε > 0 N N n n > N n < ε = ε, n n > N b n b < ε = ε. N = {N, N } n n > N n > N n > N n + b n ( + b) = n + b n b n + b n b < ε + ε = ε, n + b n + b n ( n ) (b n ) n 0 (b n ) n b n 0 n (b n ) M > 0 b n M n N.
31 ε > 0 n 0 ε = ε M n n > N > 0 N n < ε = ε M. n n > N n b n = n b n < ε M M = ε, n b n 0 n ( n ) c R n c n c n ( n ) (b n ) n b n b n b n b n n b n b 0 n b n b = n b n b n + b n b = ( n )b n + (b n b). n n 0 (b n ) ( n )b n 0. b n b b n b 0 (b n b) 0. n b n b = ( n )b n + (b n b) 0 n. ( n ) (b n ) b n 0 n N n b n b b 0 n b n b n b n b 0 b n b = b b n bb n. b n b
32 b n b ε = b > 0 N n n > N b n b b n b < b b n b > b b n > b b n < b, b n bb n b b n = (b n b) 0 b n b = b b n 0 n bb n n n = 0 n ( n ) = ( ) n n = ( ) 0 = 0, n ( ) n + n ( = + ) = n n + n n n = + 0 =, = n n n = 0 ( ) 4 4 7n 4 = n n 4 n n + = n 4 4 n n 4 + n ( 7) + n n = n 4 ( 7) = 7, = = 0 n n n n ( 7) + 0 = 7, ( n )
33 ( n ) n+ n n N ( n ) n+ > n n N ( n ) n+ n n N ( n ) n+ < n n N ( n ) ( n ) ( n ) n m n m. ( n ) A = { n : n N} A ( n ) A + ( n ) A = { n : n N} ( n ) n A n ( n ) n + n
34 ( n ) n A n ( n ) n n ( n ) A = { n : n N} A A = n ε > 0 ε < ε A N ε < N, ( n ) A n n > N ε < N n < + ε. n > N n < ε n = A E > 0 ( n ) E A N N > E, ( n ) n n > N n N > E. n > N n > E ( n ) + n =! +! + +, n =,,.... n! n+ n = = (! + ) (! + + (n + )!! +! + + ) n! (n + )! > 0 n+ > n n N,
35 ( n ) 0 < n =! +! + + n! n ( ) = n = <, n ( n ) ( n ) n > 0 n N ρ < n 0 n ρ > n + n n+ = ρ. n n n+ = ρ 0 ρ < ε > 0 n n ρ < ρ + ε = r < ε N n n N n+ ρ n+ n ρ n < ε n+ < ρ + ε n+ < r n. n n > N 0 < n < r n < r n < < r n N N = N r N rn ( ). r < r n 0 n 0 n n+ = ρ ρ > ε > 0 ρ > ρ ε = r > n n ε N n n N n+ n ρ > ε n+ n > ρ ε n+ > r n.
36 n > N n > r n > r n > > r n N N = N r N rn ( ). r > r n + n + n ( n ) ρ = ( n ) n 0 n N n ρ < n 0 n ρ > n + n n n = ρ. n n = ρ 0 ρ < ε > 0 n ρ < ρ + ε = r < ε N n n N n n ρ n n ρ < ε n n < ρ + ε n < r n. r < r n 0 n 0 n n n = ρ ρ > ε > 0 ρ > ρ ε = r > n ε N n n N n n ρ > ε n n > ρ ε n > r n. r > r n + n + n ( n ) ρ = R n = n, n =,,...
37 > ( n ) + n = n n < < n 0 n = ( n ) n n < ( n ) n + n > x > 0 = + x n = n = ( + x) n + nx n N. E > 0 y = E N Nx > E n > N ( n ) + n n = n + nx > + Nx > Nx > E, 0 < < > x > 0 = + x n = ( + x)n + nx > nx n N. 0 < n = n < nx n N. nx 0 n 0 n = 0 < < 0 0 < b = < b n 0 n n 0 n < b = > b n + n > 0 n = n n
38 > n = n > n = + x n x n 0 = n n = ( + x n ) n + nx n > nx n n N, 0 < x n < n n N, x n 0 n 0 < < > n n, n n n = n = n n n n = n n n = + x n x n 0 ( + x) n + nx + n(n ) x > n(n ) x n N ( n = + n) n n e ( + n) n = e. n q Q n ( + q n) n = e q. n = n, n =,,... n! n+ n = n+ (n + )! n n! = n + 0 < ( ),
39 n 0 n n = 4n, n =,,... n4 4 n n n 4 = 4 ( n n) = 4 >, n + n ( n ) n+ = n +, n =,,..., =. n > 0, n =,,... = + = > = n n n + n + n + n + n+ n, =, =, 3 = +, 4 = + +,..., ( n ) = < n < n+ = n + < + = 3 <, ( n ) n n = n+ n + + ( ),
40 = + = + = 0 = 5 = + 5. n > 0, n =,,... 0 = + 5 ( n ) n = n+ n N n = n+ n N ( n ) ( n ) 0 < n < n N n N n = n n ( n ) ( n ) N N ( n ) n 0 n N n n n n n = n 3 3n + n = n 3 3n + n = n 3 3n + ( ) n 3 n = 3n + n = n n
41 n = n + n n = n n n = (n ) n n = n n n + ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) n n = > 0 n > 0 n > N, N N ( n ) (b n ) b n < n n N n 0 b n 0 n n = n n = 00 + ( )n n n = 00 n + ( )n n = n n = n n ( ) ( n + n = ) 4n n ( n = ( ) n + ) n n + ( ) n n = 4n n = n + ( )n n n n = n + n n + n
42 ( n ) n 0 n N n+ n n = ρ. ρ < n 0 n ( n ) n+ ρ n n N 0 < ρ < n 0 n n m, m N > 0 n+ ρ n n N ρ > n + n n N ( n ) n 0 n N n n ρ n N 0 < ρ < n 0 n n m, m N n n ρ n N ρ > n + n n m, m N n = 4n n! n = nn n! n = 4n n 8 n = n (n!) (n)! n = 4n n! n ( n n = + n) n ( n = + ) n n ( n = n + ) n n ( ) + n n n = n
43 ( n = ) n n n = ( + n ) n n = n n + n ( n ) n+ = n +, n =,,..., = 0. ( n ) ( m ) ( m+ ) ( n ) m m+ m n n
44 ( n ) n + n n ( n ) n s n = n. (s n ) s n s n + = n = s. (s n ) + + n = + n = (s n ) n= n= n=
45 x x n. x n+ s n = + x + + x n x, = x n + x = n=0 n n=0 n, m x n < x < x n 0 s n n x n=0 x n = x. x > x n + s n + n + x < x = s n + n + x = (s n ) (s n ) n=m
46 n = m + n. n= n= n= n=m+,,..., m n = s b n = t λ, µ R (λ n + µb n ) = λ n + µ b n = λs + µt. n= n= n= n n n s n = k, t n = b k u n = (λ k + µb k ) k= k= u n = λs n + µt n. n = s b n = t s n s t n t n n= n= u n λs + µt n (λ n + µb n ) = λs + µt n= k= n = s n 0 n n= n s n = n n n s n s s n n= s n n= n = s n s n s s = 0 n. n n n n n=
47 n n = n + n n= ( ) n+ n = ( ) n+ n n= n= n n + n = n n + 0 n n 0 n n n n= n= n n 0 n N n= n n 0 n N n= (s n ) (s n ) n 0 n N n= n n = + s n+ = n + n+ = s n + n+ s n n N, (s n ) (s n ) (s n ) n n= n=
48 (s n ) s n + n n = + n= n= n p = p + p + + n p +, p p > p p = n = , n= (s n ) (s n ) > 4 =, > 4 8 =, > 8 6 =,, 4, 8,... / / n = n s n + n s n + n n N. n = s = + n n + s n+ = s n + n + + n ( ) n + n = s n + n + + n n+ s n + n n+ = s n +,
49 s n+ s n + + n + = + (n + ), M > 0 n 0 + n 0 > M n = n 0 n n n s n s n = s n 0 + n 0 > M, (s n ) n = + n= p < (s(p) np n ) (s (p) n M > 0 n n n= s (p) n = p + p + + n p > n = s n > M, (s (p) n ) ) n= n p = + p > np n= p =, 4, 8,... + p 3 < p = p, p 4 p + 5 p + 6 p + 7 p < 4 4 p = 4 p, 8 p + 9 p p < 8 8 p = 8 p. + p + 4 p + 8 p + = + p + n=0 < p ) n = ( p ( ) ( + ) 3 + = p p p = p p. n=0 ( ) n p
50 (s (p) n ) (s (p) n ) s (p) n p p n N, (s (p) n ) n= n= p > np n p p > np n= n n 0 n N M > 0 n Mb n n N b n n n= M > 0 M n b n b n 0 n N b n = + n = + n= (s n ) n= n= n= n (s n ) b n = t s n Mt n N (s n ) n= (s n ) n = s (t n ) b n n= n= n=
51 t n Ms n N (t n ) b n (s n ) n= n = + n= n n= b n n b n > 0 n N n = ρ > 0, n b n ( ) n M > 0 b n n= n b n M n Mb n n N. b n n= n = ρ > 0 n b n b n = n n ρ > 0 ( n b n > 0 ) n M > 0 n= M n b n n N n n= b n n= n n 3 + n + n= n n = > 0 n N n 3 + n + n n n 3 b n = n=
52 n n = 3 n n= n= n= n n 3 + n + n n b n n N, n n= n M = n 3 + n + n= n n + n= n n n n + > 0 n > 0 n N n n n + n n n= n n + n= = n N ρ < ρ > n n= n n= n+ = ρ. n n n n > 0 n+ = ρ 0 ρ < ε > 0 n n ρ < ρ+ε = r < ε n=
53 N n n N n = N + n= n r n N N. n N + n=n = N + N n=0 r < n n= r n r n N N n=n r n n+ = ρ ρ > ε > 0 ρ > ρ ε = n n r > ε N n n N n = N + n= n=0 n r n N N. n N + n=n = N + N n=0 r > n n= r n r n N N n=n r n ρ = n n 0 n N n n=0 n n = ρ. n=
54 ρ < ρ > n n= n n= n n = ρ 0 ρ < ε > 0 n ρ < ρ+ε = r < ε N n n N n = N + n= n < r n. n < N + n=n = N + r N r < n n= n=0 r n n=n r n n n = ρ ρ > ε > 0 ρ > ρ ε = r > n ε n=0 N n n N n = N + n= n > r n. n > N + n=n = N + r N n=0 r > n n= r n n=n r n r n r n n=0
55 ρ = n= n (n!) (n)! n+ n = n+ ((n + )!) (n + )! n (n!) (n)! = (n + ) (n + )(n + ) 4 = < n n= n= n (n!) (n)! n n n = n n = ( n n) = > n, n n n= n+ n = n+ + 5 n+ n + 5 n = n+ + 5 n= n n n + 5 n n + 5 = + 5 n = n, n n n n= n=
56 n n= n n= n n n 0 n + n n n N. n n= n= n n ( n + n ) n n= n = n= ( n + n n ) = n= n= ( n + n ) n= n n= n, n= ( n + n ) n= n= n ( ) n n n= n n= ( ) n n n= n n 4 n= n n 4 n= n n N, n 4 n4 n=
57 n4 n= n n 4 n= n n 4 n= ( ) n+ n n= + n n= ( ) n+ n n ( n ) n 0 n n= ( ) n+ n n+ n ( ) n n= n= ( n ) n 0 s n = + + n n 0 n n=
58 n 0 ( ) n n n= n > 0 n N n > 0 n N n n= n= n n= n= n n n b n = b (b n b n+ ) = b b n= (n )(n + ) = n= n + n = n + n n= n= n(n + )(n + ). ( n + n). n= + n n. n= n + n. n n= ( n n ) n. n=
59 n= ( ) n+ n + n. n= n= n= n + n n 3. n n. n! n n. ( n n ) n= θ n = n n n 3 ( + n) n < e < 3 n = ( + θ n ) n n 0 n N n > 0 n N n= n= n= n n + n n + n n= n + n n n p, q R n= ( + ) n. n p n n p (p > 0). n= n=
60 n= n= (0 < q < p). n p nq + ( ) n n. n= ( ) n + n. ( n ( ) 0) n+. n= ( ) n n n +. n= n+ n ( ) n. n= n n x n. n= n= n x n n.
61 X, Y X Y x X y Y f : X Y f X Y y = f(x) f x y f x f(x) y f(x) f f(x) f x x y y = f(x) x x X y Y x X y Y x X y Y f : X Y X f f(x) = {y Y : x X y = f(x)} = {f(x) : x X} f
62 f : X Y Y f : X Y f Y Y X R c R f : X R f(x) = c X = R f(x) = {c} X R f : X R f(x) = x X = R f(x) = R X R f : X R f(x) = x + X = R f(x) = [, ) X R f : X R { 0 x, f(x) = 0 x < 0 x >, X = R f(x) = {0, } X R f : X R f(x) = x(x ), X = R {0, } A B A B A B f(x) = (, 4] (0, ) A B A B X R f : X R { x, f(x) = 0 x, X = R f(x) = {0, } y = x x y x 0 x > 0
63 y y = x y x y t y t y(t) f : X Y f x, x X x x f(x ) f(x ) x, x X f(x ) = f(x ) x = x f f(x) = Y y Y x X y = f(x) x X y Y y Y x X f : R R f(x) = x f : R R f(x) = x + f : X Y g : U V f(x) U g f : X V (g f)(x) = g(f(x)) f g g f f(x) U x X f(x) U A A R f : A R g : A R
64 f + g : A R (f + g)(x) = f(x) + g(x) R f : A R ( f)(x) = f(x) f g : A R (f g)(x) = f(x)g(x) g(x) 0 x A f g : A R ( f g f(x) g(x) f g f(x) g(x) x A A A R f : A R f x, x A x < x f(x ) f(x ) ) (x) = f x, x A x < x f(x ) < f(x ) f x, x A x < x f(x ) f(x ) f x, x A x < x f(x ) > f(x ) f f A A R f : A R f M R x A f(x) M f m R x A f(x) m f M R x A f(x) M A A R f : A R f x A f( x) = f(x) f x A f( x) = f(x)
65 f : X Y f : X f(x) y f(x) x X y = f(x) f : f(x) X f (y) = x f(x) = y. f f f : X Y f f : X X f f : f(x) f(x) (f f)(x) = x x X (f f )(y) = y y f(x) f : R R f(x) = x 3 f R f R y = x 3 x f : R R f (y) = 3 y +. y x x + f : R R f (x) = 3. (x, f(x)) f (f(x), x) f (x, f(x)) x X OX f(x) Y OY (f(x), x) y = x f(x) X OX f(x) Y OY X OX y = x Y OY X OX X OX f(x)
66 x Y OY y = x (f(x), x) (x, f(x)) f f y = x ( n ) f : N R N f(n) = n p : R R p(x) = 0 p(x) = n x n + n x n + + x + 0, n N {0} 0,,..., n R n 0 n n = 0 p(x) = 0 p(x) = 0 p n = p(x) = x + 0 p n n n ρ p p(x) = (x ρ)p (x) p n f : A R f(x) = p(x) q(x), p, q q(x) 0 f A = {x R : q(x) 0} x x, x, x x X OX Y OY (t, s) (, 0), (0, ), (, 0) (0, ) π x = 0 (, 0) x = π/ (0, ) x = π
67 (, 0) x x (, 0) x > 0 x < 0 x (t, s) x = s, x = t, x = x x, x = x x. x x / {kπ + π/ : k Z} x x x / {kπ : k Z} x (t, s) x x x x π x x = x x3 3! + x5 5! + + ( )n x n+ + = (n + )! n=0 ( ) n x n+. (n + )! ( ) n x n+ x R (n + )! n = ( )n x n+ (n + )! n=0 n+ n = ( ) n+ x n+3 (n + 3)! ( ) n x n+ (n + )! x = (n + )(n + 3) 0 n x R. x x R x x = x! + x4 4! + + ( )n x n + = (n)! ( ) n x n. (n)! x x R ( ) n x n n = ( )n x n (n)! (n)! n=0 n=0 n+ n = ( ) n+ x n+ (n + )! ( ) n x n (n)! x = (n + )(n + ) 0 n x R.
68 x x R x x x x x x x = = 3 3! + 5 5! + 3 3! + 5 5! = = = x R x, x. x + x =. ( π ) ( π ) x = x, x = x. x x. x ( π/, π/) x x x. : R [, ] : R [, ] π, b R ( + b) = b + b. ( b) = b b.
69 ( + b) = b b. ( b) = b + b. () =. () = = =. + b = + b b = b + b = + b b = + b b. + b. b. b. : R [, ] [ π/, π/] : [ π/, π/] [, ] : [, ] [ π/, π/] (y) = x x = y x [ π/, π/] : R [, ] [0, π] : [0, π] [, ] : [, ] [0, π] (y) = x x = y x [0, π] : ( π/, π/) R : R ( π/, π/) (y) = x x = y x ( π/, π/) : (0, π) R : R (0, π) (y) = x x = y x (0, π) > 0 n = n
70 Z Q R ( e x e = + n n n) e x = + x + x! + + xn n! + = x x x R x n n! n = x n n! n=0 n+ n = x n+ (n + )! x n n! = x n + e x x R n=0 x n n!. 0 n x R. e x +x = e x e x x, x R e x = x R ex e x > 0 x R e x R e x R e x (0, + ) x = x x = x x > 0 e x x < 0 e x = e x x > 0 x = 0 e0 = x, x R x < x x x > 0 e x x e x x > ex e x > ex > e x e x < e x,
71 e x R x > 0 e x > + x x ex = x e x = 0 x, > 0 x + ex = + e x : R (0, ) : (0, ) R y = x e x = y x, > 0 x = e x., b > 0 x, y R x+y = x y. ( x ) y = xy. x =. x (b) x = x b x. > 0 x : R (0, + ) 0 < < = > x e x
72 A A R f : A R f(x) l f l x x 0 ε > 0 δ = δ(ε) > 0 x A 0 < x x 0 < δ f(x) l < ε. f(x) l x x 0 x x 0 f(x) = l ε ε δ ε f(x) l δ x x 0 0 < x x 0 < δ x 0 δ < x < x 0 + δ x x 0 f(x) l < ε l ε < f(x) < l + ε f(x) (l ε, l + ε) x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } 0 < x x 0 x x 0 x x 0 x = x 0 x 0 A f(x 0 ) x = x 0 x x 0 f(x) f x 0 x 0 A x 0 δ > 0 (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } A x 0 δ > 0 x A 0 < x x 0 < δ x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } x 0 A A = (0, ) A [0, ] A 0, x 0 A A δ > 0 (x 0 δ, x 0 + δ) A x 0 A = (0, ) {} A x 0 A
73 f : R R f(x) = x + x f(x) = 5 ε > 0 δ > 0 x R 0 < x < δ f(x) 5 < ε x 4 < ε. x 4 = x x + = x x + 4 x ( x + 4) < δ(δ + 4), δ(δ + 4) ε δ + 4δ ε ε δ ε. δ 0 < δ 4 + ε δ ε f : [, ] R { x + x 0, f(x) = 0 x = 0. x 0 f(x) = δ > 0 ε > 0 x 0 f(x) f(0) A A R f : A R x x 0 f(x) = l x x 0 f(x) = m l = m l m ε = δ > 0 l m x A 0 < x x 0 < δ f(x) l < ε = x x 0 f(x) = m δ > 0 x A 0 < x x 0 < δ f(x) m < ε = > 0 x x 0 f(x) = l l m, l m. δ = {δ, δ } x A 0 < x x 0 < δ 0 < x x 0 < δ 0 < x x 0 < δ l m = l f(x) + f(x) m f(x) l + f(x) m < l = m l m + l m = l m,
74 A A R f : A R f(x) + x x 0 E > 0 δ = δ(e) > 0 x A 0 < x x 0 < δ f(x) > E. f(x) + x x 0 x x 0 f(x) = + f(x) x x 0 E > 0 δ = δ(e) > 0 x A 0 < x x 0 < δ f(x) < E. f(x) x x 0 x x 0 f(x) = E E δ E δ x x 0 f(x) l ε f(x) + E A f : R {} R f(x) = f(x) = + (x ) x E > 0 δ > 0 x R {} x < δ f(x) > E (x ) > E x < δ 0 < x < δ (x ) > δ, δ E δ E 0 δ. E E
75 δ 0 < δ E δ ε g : R { } R g(x) = g(x) = (x + ) x δ > 0 E > 0 x x 0 f(x) f (x 0 δ, x 0 + δ) (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) f(x) f(x) f : (0, ) R x x 0 A A R f : A R f(x) l f l x x 0 ε > 0 δ = δ(ε) > 0 x A x 0 δ < x < x 0 f(x) l < ε. f(x) l x x 0 x x 0 f(x) = l f(x) l f l x x 0 ε > 0 δ = δ(ε) > 0 x A x 0 < x < x 0 + δ f(x) l < ε. f(x) l x x + 0 f(x) = l x x f(x) = +, x x 0 f(x) = x x + 0 f(x) = +, x x + 0 x x 0 f(x) = x 0 A A R f : A R f(x) x x 0 x x 0 f(x) f(x) x x + 0
76 f : R R { x < 0, f(x) = x 0. f(x) = x 0 ε > 0 δ > 0 x R δ < x < 0 f(x) ( ) < ε ( ) < ε, δ f(x) = x 0 + f(x) x + A A R f : A R f(x) l f l x + ε > 0 M = M(ε) > 0 f(x) l x + x A x > M f(x) l < ε. f(x) = l x + f(x) l f l x ε > 0 M = M(ε) > 0 f(x) l x x A x < M f(x) l < ε. f(x) = l x M > 0 x A x > M x < M M > 0 x A x > M x < M + A f(x) = x + +, f(x) = +, f(x) = f(x) = x x + x
77 x x 0 f(x) = l ε > 0 δ > 0 x A (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } f(x) l < ε ε > 0 δ > 0 x A 0 < x x 0 < δ f(x) l ε. x x 0 f(x) = l x A x 0 f(x) l f : R R { x < 0, f(x) = x 0. x 0 f(x) = 0 ε 0 < ε < δ > 0 x R δ < x < 0 f(x) 0 = 0 = ε x R 0 < x < δ f(x) 0 = 0 = ε f(x) = f(x) = x 0 x 0 A A R f : A R x x 0 f(x) = l (x n ) A x n x 0 x n x 0 f(x n ) l n x x 0 f(x) = l ε > 0 δ > 0 x A 0 < x x 0 < δ f(x) l < ε. δ > 0 x n x 0 x n x 0 n N n n > N 0 < x n x 0 < δ f(x n ) l < ε,
78 ε > 0 N n n > N f(x n ) l < ε n f(x n) = l (x n ) A x n x 0 x n x 0 n (f(x n )) l x x 0 f(x) = l ε > 0 δ > 0 x A 0 < x x 0 < δ f(x) l ε. δ > 0 δ = n x n A 0 < x n x 0 < n f(x n) l ε. > 0, n N 0 < x n x 0 < n x n x 0 x n x 0 f(x n ) l ε (f(x n )) l n f(x) = l f(x) = l x x 0 x x 0 (x n ) A x n x 0 x n x 0 (f(x n )) l n A A R f, g : A R f(x) = l g(x) = m x x 0 x x 0 x x 0 (f(x) + g(x)) = l + m x x 0 f(x)g(x) = lm g(x) 0 x A m 0 x x 0 f(x) g(x) = l m
79 A A R f : A R f x 0 A f(x) f(x) = f(x 0 ) x x 0 x x 0 ε > 0 δ = δ(ε) > 0 x 0 f x A x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. A A R f : A R f A x 0 A f x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x) x 0 A A f A f x 0 A δ > 0 (x 0 δ, x 0 +δ) A x 0 x A x x 0 < δ x = x 0 ε > 0 δ > 0 x A x x 0 < δ x = x 0 f(x) f(x 0 ) = f(x 0 ) f(x 0 ) = 0 < ε,
80 x x 0 f(x) = f(x 0 ) f x 0 f(x) = f(x 0 ) x x 0 x x 0 f(x) x x + 0 f(x) f(x) = f(x 0 ) = f(x) f x x + 0 x 0 x x 0 f(x) = l = f(x) l f(x 0 ) x x 0 x x + 0 f(x 0 ) = l x x 0 f(x) = l l + = f(x) x x + 0 x x 0 f(x) f(x) x x + 0 f : A R x 0 A ε > 0 δ > 0 x A x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) ε. f : R R f(x) = c c R f x 0 R x 0 R x 0 ε > 0 δ > 0 x R x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) = c c = 0 < ε, δ > 0 f : R R f(x) = x f x 0 R x 0 R x 0 ε > 0 δ > 0 δ = ε x R x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) = x x 0 < ε,
81 f : R R f(x) = x 3x + f x 0 R x 0 R x 0 ε > 0 δ > 0 x R x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) = x 3x x 0 + 3x 0 < ε. x 3x x 0 + 3x 0 = (x x 0 )(x + x 0 ) 3(x x 0 ) = x x 0 x + x 0 3 = x x 0 x x 0 + x 0 3 x x 0 ( x x 0 + x 0 3 ) < δ(δ + x 0 3 ), δ(δ + x 0 3 ) ε δ + x 0 3 δ ε 0 x 0 3 x ε δ x x ε. x0 3 δ 0 < δ + 4ε x 0 3 δ ε A A R f : A R f x 0 A (x n ) A x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) n A A R f, g : A R f, g x 0 A f + g x 0 f g x 0
82 g(x) 0 x A f g x 0 A, B A, B R f : A R, g : B R f(a) B f x 0 A g f(x 0 ) B g f : A R x 0 f x 0 A (x n ) A x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) n g f(x 0 ) B (f(x n )) B f(x n ) f(x 0 ) g(f(x n )) g(f(x 0 )) (g f)(x n ) (g f)(x 0 ) n (x n ) A x n x 0 (g f)(x n ) (g f)(x 0 ) n g f x 0 I I R f : I R I f I I I R f : I R I f : f(i) R f(i) n N f : R R f(x) = x n R
83 n R n = f(x) = x f(x) = x n R f(x) = x n+ = x n x R p : R R R p p(x) = n x n + n x n + + x + 0, n N {0} 0,,..., n R n 0 p R f : A R A f f(x) = p(x) q(x), p, q q(x) 0 f A, : R [, ] R : A R : B R A B x 0 R ε > 0 δ > 0 x R x x 0 < δ x x 0 < ε. x x 0 = x x 0 x + x 0 = x x 0 x + x 0 x x 0 = x x 0 < δ, δ = ε R
84 x x 0 = x 0 x x = x x x + x 0 x A = R {kπ + π/ : k Z} x = x x B = R {kπ : k Z}, x A B : [, ] [ π/, π/] [, ] : [, ] [0, π] [, ] : R ( π/, π/) R : R (0, π) R : [ π/, π/] [, ], : [0, π] [, ], : ( π/, π/) R : (0, π) R e x : R (0, + ) R : (0, + ) R (0, + ) > 0 x : R (0, + ) R x 0 R e x x 0 ε > 0 δ > 0 x R x x 0 < δ e x e x 0 < ε, x = x 0 + h h < δ e x 0+h e x 0 < ε.
85 e x 0+h e x 0 = e x 0 e h e x 0 = e x 0 e h = e x 0 + h + h! + h3 3! + + hn n! + ) e x 0 ( h + h + h h n +! 3! n! ( = e x 0 h + h )! + h + + h n + h n 3! n! (n + )! + ( e x 0 h + h ) + h + + h n + n = e x h 0 h < δ ex 0 δ, = e x 0 h h h < δ < δ e x δ 0 δ ε δ ε, e x 0 + ε δ < e x 0+h e x 0 < ε, e x e x R x x = e x f(x) = x e x R x R
86 f : [, b] R [, b] f m, M R m f(x) M x [, b]. f [, b] x [, b] I I n = [, b ] = [, b] = [ n, b n ] f x [ n, b n ] f x I I + b = + b I [ f x, ] + b I = [, b ] = [, ] [ + b f x, ] + b [ ] + b M f x, b [ + b I = [, b ] =, b ] I = [, b ] = b b = b b = b = b f x I + b I I n = [ n, b n ] = n b n b b = b n N
87 b n n = b n N n f x I n n N I n+ I n I n c I n c d c d c d I n n c b n n d b n n N 0 d c b n n = b n b 0 n 0 d c 0 n d = c c I = [, b] c = c (, b) c = b c (, b) f c ε > 0 δ > 0 x [, b] x c < δ f(x) f(c) < ε x (c δ, c + δ) f(x) < f(c) + ε f x (c δ, c + δ) n N I n (c δ, c + δ) f x I n c = c = b f : [, b] R [, b] f x, x [, b] f(x ) f(x) f(x ) x [, b]. f f x [, b] f([, b]) = s x [, b] s = f(x ) f(x) < s x [, b] g : [, b] R g(x) = s f(x). g [, b] g x [, b] M > 0 g(x) M x [, b] n N x n [, b] s n < f(x n) < s,
88 n < s f(x n ) = g(x n) M n N, N M f x f(x ) f(x) x [, b] [, b] f : [, b] R f() < 0 f(b) > 0 (, b) ρ (, b) f(ρ) = 0 f : [, b] R [, b] f() < 0 f(b) > 0 ρ (, b) f(ρ) = 0 I I n = [ n, b n ] f( n ) < 0 f(b n ) > 0 I = [, b ] = [, b] f( ) = f() < 0 f(b ) = f(b) > 0 I + b = + b ( ) + b I f = 0 ρ = ( ) + b + b f > 0 [ I = [, b ] =, ] ( ) + b + b f < 0 [ + b I = [, b ] =, b ] I = [, b ] = b b = b b = b f( ) < 0 < f(b ) = b + b I I n = [ n, b n ] = n b n b b = b n N b n n = b n N n
89 f( n ) < 0 < f(b n ) n N ( n ) (b n ) b n n = b 0 n n n = b n = ρ n n ρ [, b] f ρ f(ρ) = n f( n) 0 n f(b n) = f(ρ), f(ρ) = 0 f() > 0 f(b) < 0 f : [, b] R [, b] f() < ξ < f(b) c (, b) f(c) = ξ g : [, b] R g(x) = f(x) ξ f [, b] g [, b] g() = f() ξ < 0 g(b) = f(b) ξ > 0 c (, b) g(c) = 0 f(c) = ξ f(b) < ξ < f() f : [, b] [, b] [, b] c [, b] f(c) = c f() = f(b) = b f [, b] < f() f(b) < b g : [, b] R g(x) = x f(x) f [, b] g [, b] g() = f() < 0 g(b) = b f(b) > 0 c (, b) g(c) = 0 f(c) = c
90 f(x) = x 7 f(x) = x x + f(x) = x x + f(x) = x + x f(x) = x + x + x x =. x 0 x x x x + x + x + x x 3x + x 3 3x + x 3 8 x x x( x + x) x + x + x 0 x x x x + x x + x x 0 x x 0 x x x x + x x + x x + x f : R R f(0) = δ > 0 x ( δ, δ) 6 7 < f(x) < 8 7
91 x x 0, f : R R f(x) = x 0 x = 0. f : R R f(x) = x x 0, x 0 x = 0. b R x + x, f : R R f(x) = x b x (, 3), x + x 3. 3x + 6 x <, f : R R f(x) = x b x [, 3], x b x > 3. ( ) f : A R 0 A f = ( ) n n N f n f : A R 0 f(x ) f(x ) x x x, x A f A f : R R f(x) x x R f f : R R R R n+ = f( n ), n =,,... n n = f() = f : R R R f(0) = f() x 0 [0, ] f(x 0 ) = 0 3x x = 0 (0, ) α, β, γ > 0 λ < µ < ν α x λ + β x µ + γ x ν = 0 (λ, µ) (µ, ν)
92 f : [0, ] R [0, ] f(0) = f() x 0 [0, ] f(x 0 + ) = f(x 0 ) f : (, b) R (, b) f (, b) f : [, b] R [, b] f(x) > 0 x [, b] m > 0 f(x) m x [, b] f, g : [, b] R [, b] f(x) > g(x) x [, b] m > 0 f(x) > g(x) + m x [, b] [0, π] = n+ = ( n ), n =,,... n n = 0 f : [, b] R [, b] x, x,..., x n [, b] x 0 [, b] f(x 0 ) = f(x ) + f(x ) + + f(x n ). n
93 A A R f : A R x 0 A f x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h f (x 0 ) f x 0 x 0 + h = x f(x) f(x 0 ). x x 0 x x 0 f x 0 f (x 0 ) A A R f : A R f A x 0 A f : R R f(x) = c c R f x 0 R f (x 0 ) = 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h = h 0 c c h 0 = h 0 h = 0 = 0. h 0 f : R R f(x) = x f x 0 R f (x 0 ) =
94 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h = h 0 x 0 + h x 0 h h = h 0 h = =. h 0 f : R R f(x) = x 3x + f x 0 R f (x 0 ) = x 0 3 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h = h 0 (x 0 + h) 3(x 0 + h) + x 0 + 3x 0 h = h 0 x 0 + x 0 h + h 3x 0 3h x 0 + 3x 0 h = h 0 x 0 h + h 3h h = h 0 (x 0 + h 3) = x 0 3. f : R R f(x) = x f(x) = { x x 0, x x < 0, f (x 0 ) = x 0 > 0 f (x 0 ) = x 0 < 0 x 0 = 0 f(0 + h) f(0) h 0 + h f(0 + h) f(0) h 0 h f(0 + h) f(0) h 0 h h = h 0 + h = h h 0 + h = = h 0 + h = h 0 h = h h 0 h = h 0 ( ) =, f x 0 = 0 f : R R { x x 0, f(x) = x x < 0. f (x 0 ) = x 0 > 0 f (x 0 ) = x 0 x 0 < 0 x 0 = 0 f(0 + h) f(0) h 0 + h f(0 + h) f(0) h 0 h = h 0 + h 0 h = h 0 h 0 h h = h 0 + h = = h 0 + = h 0 h = 0,
95 f(0 + h) f(0) f x 0 = 0 h 0 h : R [, ] x 0 R (x 0 ) = x 0 (x 0 + h) x 0 h 0 h = h h 0 x 0 x x h h = h 0 h ( x 0 + h ) ( x 0 + h ) = x 0 = x 0, h 0 = A A R f : A R f x 0 A f x 0 f x 0 f(x) f(x 0 ) = f (x 0 ). x x 0 x x 0 x x 0 (f(x) f(x 0 )) = x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 (x x 0 ) f(x) f(x 0 ) = (x x 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0, x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 f(x) = f(x 0 ), f x 0 f x 0 f x 0 f : R R f(x) = x A A R f : A R f x 0 A f x 0
96 f : R R { x 0, f(x) = x < 0, f A A R f, g : A R f, g x 0 A f + g x 0 (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) R f x 0 ( f) (x 0 ) = f (x 0 ) f g x 0 (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) g(x) 0 x A f g x 0 ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ). g (g(x 0 )) f, g x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h = f (x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) = g (x 0 ). h 0 h (f + g)(x 0 + h) (f + g)(x 0 ) h 0 h = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) + g(x 0 + h) g(x 0 ) h f(x 0 + h) f(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) = + h 0 h h 0 h = h 0 f(x 0 + h) + g(x 0 + h) (f(x 0 ) + g(x 0 )) h = f (x 0 ) + g (x 0 ),
97 ( f)(x 0 + h) ( f)(x 0 ) h 0 h = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (f g)(x 0 + h) (f g)(x 0 ) h 0 h = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h = f (x 0 ) ( ), = h 0 f(x 0 + h)g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 ) h = h 0 f(x 0 + h)g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 + h) + f(x 0 )g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 ) h = h 0 (f(x 0 + h) f(x 0 ))g(x 0 + h) + f(x 0 )(g(x 0 + h) g(x 0 )) h f(x 0 + h) f(x 0 ) = h 0 h g(x g(x 0 + h) g(x 0 ) 0 + h) + f(x 0 ) h 0 h 0 h = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ), h 0 g(x 0 + h) = g(x 0 ) g x 0 ( h 0 h g(x 0 + h) ) g(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) = h 0 h g(x 0 )g(x 0 + h) = g(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) h 0 h g(x 0 + h) = g (x 0 ) (g(x 0 )), h 0 ( ) (x 0 ) = g (x 0 ) g (g(x 0 )), h 0 g(x 0 + h) = g(x 0 ) g x 0 /g
98 A, B A, B R f : A R, g : B R f(a) B f x 0 A g f(x 0 ) B g f : A R x 0 (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ) (g f)(x) (g f)(x 0 ) x x 0 = g(f(x)) g(f(x 0)) f(x) f(x 0 ) = g(f(x)) g(f(x 0)) x x 0 f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0, (g f)(x) (g f)(x 0 ) x x 0 x x 0 g(f(x)) g(f(x 0 )) x x 0 f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 g(y) g(f(x 0 )) y f(x 0 ), y f(x ψ(y) = 0 ) g (f(x 0 )) y = f(x 0 ). g(f(x)) g(f(x 0 )) x x 0 = ψ(f(x)) f(x) f(x 0) x x 0, x A {x 0 } x f(x) = f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) x x 0 x x 0 f x 0 f x 0 g f(x 0 ) ψ f(x 0 ) ψ f x 0 x x 0 ψ(f(x)) ψ(f(x 0 )) = g (f(x 0 )) g(f(x)) g(f(x 0 )) x x 0 x x 0 = x x 0 ψ(f(x)) x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = g (f(x 0 ))f (x 0 ), f : R R f(x) = x n, n N R f (x) = nx n
99 n n = f(x) = x R f (x) = f(x) = x n R f (x) = nx n f(x) = x n+ = x n x = g(x)h(x) f (x) = g (x)h(x) + g(x)h (x) = nx n x + x n = (n + )x n, f : R R f(x) = x n, n N R f (x) = nx n f(x) = x n = x = n g(x) f (x) = g (x) (g(x)) = nxn (x n ) = nxn x n = nx n. p : R R p(x) = n x n + n x n + + x + 0 n N {0} 0,,..., n R n 0 p R p (x) = n n x n + (n ) n x n + + f : A R f(x) = p(x) p, q q(x) q(x) 0 f A f (x) = p (x)q(x) p(x)q (x) (q(x)) : R [, ] R (x) = x : R [, ] R (x) = x : A R x = x x x A = R {kπ + π/ : k Z}, A (x) = x x x( x) x = x + x x = x.
100 : B R B = R {kπ : k Z} (x) = x. : [, ] [ π/, π/] (y) = x x = y x [ π/, π/] [ π/, π/] x = x 0 x ( π/, π/) (, ) (y) = x = x. x = y x ( π/, π/) x + x = x = x = y (y) =, y (, ). y y x (x) =, x (, ). x : [, ] [0, π] (y) = x x = y x [0, π] [0, π] x = x 0 x (0, π) (, ) (y) = x = x. x = y x (0, π) x + x = x = x = y (y) =, y (, ). y y x (x) =, x (, ). x
101 : R ( π/, π/) (y) = x x = y x ( π/, π/) ( π/, π/) x = 0 x ( π/, π/) x R (y) = x = x. x = y x ( π/, π/) x + x = x = + y y x (y) = + y, y R. (x) = + x, x R. : R (0, π) (y) = x x = y x (0, π) (0, π) x = 0 x (0, π) R x (y) = x = x. x = y x (0, π) x + x = x = + y y x (y) = + y, y R. (x) = + x, x R. e x : R (0, + ) R (e x ) = e x e x R : (0, ) R e x y = x e x = y e x R (e x ) = e x 0 x R (0, ) (y) = e =, y (0, ). x y
102 y x (x) =, x (0, ). x x x = e x f(x) = x e x R x R f : R R f(x) = (x ) g(x) = x h(x) = x R f = h g R f (x) = h (g(x))g (x) = (x ) (x) = x (x ) f : R R f(x) = ( (x )) g(x) = x h (x) = x h (x) = x R f = h (h g) R f (x) = h ((h g)(x))(h g) (x) = h (h (g(x)))h (g(x))g (x) = ( (x )) ( (x )) (x) = x (x ) ( (x )) A A R f : A R x A f : A R x f (x) f f A f f : A R x f (x) = (f ) (x) f n f (n) : A R, n N, n > f A f (n) f (n+) : A R x f (n+) (x) = (f (n) ) (x) (n + ) f n n f : A R x 0 A f (n) (x 0 ) n N
103 p : R R p(x) = n x n + n x n + + x+ 0 n N {0} 0,,..., n R n 0 x R p (m) (x) = 0 m n + f : (, b) R f x 0 (, b) x 0 f (x 0 ) = 0 f x 0 h > 0 h < 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h f(x 0 + h) f(x 0 ) h f x 0 f (x 0 ) = 0 0,, f +(x 0 ) = h 0 + f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0,, f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ) 0, f x 0 f : (, b) R x 0 (, b) f x 0 δ > 0 x (, b) x x 0 < δ f(x) f(x 0 ). 0, 0. f x 0 δ > 0 x (, b) x x 0 < δ f(x) f(x 0 ).
104 f x 0 f x 0 f : (, b) R f x 0 (, b) x 0 f (x 0 ) = 0 h < δ f : R R f(x) = x 3 f (0) = 0 f I I R f : I R x 0 I f f (x 0 ) = 0 f : [, b] R f [, b] x 0 [, b] f(x 0 ) x 0 = x 0 = b x 0 (, b) f (x 0 ) = 0 x 0 (, b) f x 0 x 0 f : R R f(x) = x 3 3x + x [0, ] f (x) = 3x 3 x = x = f x = 0, x = x = f f(0) =, f() = f() = 3,
105 f [0, ] f() = 3 f() = f : [, b] R f [, b] (, b) f() = f(b) x 0 (, b) f (x 0 ) = 0 f [, b] f [, b] (, b) b f x 0 f (x 0 ) = 0 f x 0 f (x 0 ) = 0 (, b) (, b) f b f() = f(b) f f(x) = f() = f(b) x [, b] f (x) = 0 x [, b] x 0 (, b) f (x 0, f(x 0 )) X OX f : [, b] R f [, b] (, b) x 0 (, b) f (x 0 ) = f(b) f(). b g : [, b] R g(x) = f(x) f(b) f() (x ). b g [, b] (, b) g() = f() f(b) f() ( ) = f(), b f(b) f() g(b) = f(b) (b ) = f(), b g() = g(b) x 0 (, b) g (x 0 ) = 0 f f(b) f() (x 0 ) = b
106 L (, f()) (b, f(b)) f(b) f() b x 0 (, b) f f(b) f() (x 0 ) = f (x 0 ) b T f (x 0, f(x 0 )) T L f : (, b) R f (x) = 0 x (, b) f (, b) x, x (, b) x x x < x f [x, x ] (x, x ) x 0 (x, x ) f (x 0 ) = f(x ) f(x ) x x. f (x 0 ) = 0 f(x ) = f(x ) f (, b) f (, b) f : R R f(x ) f(x ) (x x ) x, x R f f(x + h) f(x) h (x + h x) h = h h = h, f(x + h) f(x) = 0 h 0 h f (x) = 0 x R f R f, g : (, b) R f (x) = g (x) x (, b) f = g + c c R f g : (, b) R (f g) (x) = f (x) g (x) = 0 x (, b) f g = c f = g +c c R
107 f : (, b) R (, b) f (x) 0 x (, b) f (, b) f (x) > 0 x (, b) f (, b) f (x) 0 x (, b) f (, b) f (x) < 0 x (, b) f (, b) < x < x < b f [x, x ] (x, x ) x 0 (x, x ) f (x 0 ) = f(x ) f(x ) x x f(x ) f(x ) = f (x 0 )(x x ). f (x 0 ) 0 x x > 0 f(x ) f(x ) 0 f(x ) f(x ) x, x (, b) x < x f(x ) f(x ) f (, b) f : (, b) R (, b) x 0 (, b) f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) f (x 0 ) > 0 f x 0 f (x 0 ) < 0 f x 0 f (x 0 ) = 0 δ > 0 0 < f (x 0 ) = x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x) =. x x 0 x x 0 x (, b) x 0 < x < x 0 + δ f (x) > 0 x (, b) x 0 δ < x < x 0 f (x) < 0 x 0 < x < x 0 + δ f [x 0, x] (x 0, x) x (x 0, x) f(x) f(x 0 ) = f (x )(x x 0 ) > 0 f(x 0 ) < f(x),
108 x 0 δ < x < x 0 f [x, x 0 ] (x, x 0 ) x (x, x 0 ) f(x 0 ) f(x) = f (x )(x 0 x) < 0 f(x 0 ) < f(x), f(x 0 ) < f(x) x (x 0 δ, x 0 + δ) f x 0 f (x 0 ) f (x 0 ) = 0 x 0 f : (, b) R (, b) x, x (, b) (x, f(x )) (x, f(x )) f f (x, f(x )) (x, f(x )) f (, b) x 0 (, b) f (x 0, f(x 0 )) f f f (x 0, f(x 0 )) (x 0, f(x 0 )) f (, b) x 0 (, b) f (x 0, f(x 0 )) y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). f (, b) x 0 (, b) f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x (, b) x x 0 f (, b) x 0 (, b) f(x) < f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x (, b) x x 0 f (, b) x 0 (, b) x (, b) x 0 < x f
109 [x 0, x] (x 0, x) x (x 0, x) f(x) f(x 0 ) = f (x )(x x 0 ) > f (x 0 )(x x 0 ) f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), f (, b) x (, b) > x 0 f f(x) < f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). f (, b) f (, b) f (, b) f (, b) f (, b) f : (, b) R (, b) f (x) > 0 x (, b) f (, b) f (x) < 0 x (, b) f (, b) x 0 (, b) f f f f : R R f(x) = x + f R f (x) = x (x + ). f (, 0) (0, ) f(0) = R f (x) > 0 x (, 3 f(x) = 0 f(x) = 0 f x + x f (x) = (3x ) (x + ) 3. (, ) 3 3 ) f ( 3, ( ) 3, x (, ) 3 f (x) < 0 x ( ) 3, 3 ) f
110 f(x) x x 0 g(x) f, g x 0 g(x) 0 x x 0 x x 0 f(x) = g(x) = 0 x x 0 x x 0 f(x) = g(x) = ±. x x 0 x x f, g f, g : (, x 0 ) (x 0, b) R (, x 0 ) (x 0, b) g(x) 0 g (x) 0 x (, x 0 ) (x 0, b) x x 0 f(x) = f (x) g(x) = 0 f(x) = g(x) = ± x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 g (x) f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). x x 0 f(x) g(x) f (x) f(x) = g(x) = 0 x x + 0 x x + 0 x x + g (x) 0 x x 0 f (x) f(x) = g(x) = 0 x x 0 x x 0 x x 0 g (x) = l x x + 0 f(x) g(x) = l x x+ 0 = + x x 0 f(x) g(x) = + f(x) = g(x) = 0 f (x) = l x + x + x + g (x) f(x) x + g(x) = l x + x f(x) = x + f(x) = x + g(x) = 0 x + g(x) = + x + f (x) x + g (x) f (x) x + g (x) = + = l f(x) x + g(x) = + f(x) x + g(x) = l
111 f(x) = { x + x +, x, 4x, x < x = x = f x = R f(x) = (x 4 + x + ) 4 ( ) x f(x) = x + f(x) = (x + x + ) 3 f(x) = (x) (x ) f(x) = ( (x )) f(x) = (x + x + ) ( f(x) = x + ) x + ( ) f(x) = x + u (x) u(y) = y y + y(x) = (x + ) n n f(x) = x m f(x) = x + R R ( ) x 0, f(x) = x 0 x = 0. ( ) x x 0, f(x) = x 0 x = 0.
112 ( ) x x 0, f(x) = x 0 x = 0. x x 0, f(x) = x x = 0. ( f ): R R f f(0) = f (0) = 0 nf = 0 n n f : [0, ] R [0, ] f(0) = f() = f() = 0 x 0 (0, ) f (x 0 ) = 0 f : R R f δ > 0 f ( δ, δ) f, g : R R x 0 R f(x 0 ) = 0 f x 0 g x 0 f g x 0 f, g : [, b] R [, b] f() = g() f(b) = g(b) x 0 (, b) f g (x 0, f(x 0 )) (x 0, g(x 0 )) f(x) = x 3 x + [ 3, 3] f(x) = x 3 + x + [, ] f(x) = x 5 5x 3 0x [, ] f(x) = 4x 3 + 3x + = 0 f(x) = 4x 4 x + = 0 f(x) = x 3 3x x + = 0 R
113 f(x) = x 3 3x + f(x) = x + f(x) = x x + f(x) = x x f(x) = x + x p : R R p(x) = (x ρ )(x ρ ) (x ρ n ) n N, ρ, ρ,..., ρ n R ρ < ρ < < ρ n p (x) = 0 n n x n + n x n + + x = 0 n N,,..., n R n 0 ρ n n x n + (n ) n x n + + = 0 r 0 < r < ρ p : R R p(x) = x n+ + x + b n N,, b R > 0 p(x) = 0 f : (0, ) R f (0, ) x 0 = f : R R f( ) = 0, f() = f () > 0 x x 0 x x x 0 x + x 3x 5 x ± x x + (x ) x 0 x x x 0 x x x 3 4x 3 x 3 x π/ x + (x)
114 f : [, b] R x 0 [, b] f n x 0 f (x 0 ), f (x 0 ),..., f (n) (x 0 ) T n (f, x 0 ; x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k k! k=0 n f x 0 x 0 = 0 f n f(x) = 0 + (x x 0 ) + + n (x x 0 ) n, k = f (k) (x 0 ), k = 0,,..., n, k! T n (f, x 0 ; x) = f(x) n f x 0 f
115 f : [, b] R n + [, b] x 0 [, b] T n (f, x 0 ; x) n f x 0 R n (f, x 0 ; x) = f(x) T n (f, x 0 ; x) n f x 0 R n (f, x 0 ; x) = f (n+) (ξ) (x ξ) n (x x 0 ) ξ x 0 x n! R n (f, x 0 ; x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ ξ x 0 x x [, b] ϕ : [, b] R ϕ(t) = R n (f, t; x) = f(x) T n (f, t; x) = f(x) ϕ(t) t [, b] ϕ (t) = f (t) k= n k=0 f (k) (t) (x t) k. k! n [ f (k+) (t) (x t) k f ] (k) (t) (x t)k k! (k )! = f (t) f (t)(x t) + f (t) f (t) (x t) + f (t)(x t)! f (n+) (t) (x t) n + f (n) (t) (x t)n n! (n )! = f (n+) (t) (x t) n. n! ϕ x x 0 ξ x x 0 ϕ(x 0 ) ϕ(x) = ϕ (ξ)(x 0 x). ϕ(x 0 ) = R n (f, x 0 ; x), ϕ(x) = R n (f, x; x) = 0 ( ), ϕ (ξ) = f (n+) (ξ) (x ξ) n, n!
116 R n (f, x 0 ; x) = f (n+) (ξ) (x ξ) n (x x 0 ). n! f(x) = T n (f, x 0 ; x) + R n (f, x 0 ; x). f n = 0,,,... f(x) = n T n(f, x 0 ; x) = n R n(f, x 0 ; x) = 0, n n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k = k! n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! f(x) = x f (x) = x, f (x) = x, f (x) = x, f (4) (x) = x, f (n) (x) = ( ) n x f (n+) (x) = ( ) n x x R n = 0,,,... f (n) (0) = 0 f (n+) (0) = ( ) n n = 0,,,... T n+ (f, 0; x) = x x3 3! + x5 5! + + ( )n x n+ (n + )! = n k=0 ( ) k x k+. (k + )! n + x x 0 ξ 0 x R n+ (f, 0; x) = ( )n+ ξ x n+, (n + )! R n+ (f, 0; x) = ξ (n + )! x n+ x n+ (n + )!.
117 n = n+ n = x n+4 (n + 4)! x n+ (n + )! = x (n + 3)(n + 4) R n+(f, 0; x) = 0, n x = n T n+(f, 0; x) = f(x) = x n=0 0 n, ( ) n x n+. (n + )! f (x) = x, f (x) = x, f (x) = x, f (4) (x) = x, x n+ (n + )! f (n) (x) = ( ) n x f (n+) (x) = ( ) n+ x x R n = 0,,,... f (n) (0) = ( ) n f (n+) (0) = 0 n = 0,,,... T n (f, 0; x) = x! + x4 4! + + ( )n x n (n)! = n ( ) k x k. (k)! k=0 n x x 0 ξ 0 x R n (f, 0; x) = ( )n+ ξ x n+, (n + )! R n (f, 0; x) = ξ (n + )! x n+ x n+ (n + )!. n = n+ n = x n+3 (n + 3)! x n+ (n + )! = x (n + )(n + 3) 0 n, x n+ (n + )! R n(f, 0; x) = 0, n
118 x = n T n(f, 0; x) = ( ) n x n. (n)! f(x) = e x f (n) (x) = e x x R n = n=0 0,,,... f (n) (0) = n = 0,,,... T n (f, 0; x) = + x + x + + xn n! = n n e x k=0 x k k!. x 0 R n (f, 0; x) = e ξ (n + )! xn+, ξ 0 x x > 0 e x 0 < ξ < x R n (f, 0; x) = e ξ (n + )! xn+ < ex x n+ (n + )!. x < 0 x < ξ < 0 e ξ < e 0 = x 0 R n (f, 0; x) = e ξ (n + )! xn+ < xn+ (n + )! < e x x n+ (n + )!. R n (f, 0; x) e x x n+ (n + )!. n = e x x n+ (n + )! n+ n = e x x n+ (n + )! e x x n+ (n + )! = x n + R n(f, 0; x) = 0, n e x = n T n(f, 0; x) = 0 n, n=0 x n n!. f(x) = ( + x), x (, ] f (x) = + x, f (x) = ( + x), f (x) = ( + x), f (4) 6 (x) = 3 ( + x), 4
119 f (n) (x) = ( )n (n )! x > n =,,... f(0) = 0 ( + x) n f (n) (0) = ( ) n (n )! n =,,... T n (f, 0; x) = x x + x ( )n x n n ( ) k x k =. n k n ( + x) < x x 0 R n (f, 0; x) = ξ 0 x k= ( ) n (n + )( + ξ) n+ xn+, R n(f, 0; x) = 0, n ( + x) = n T n(f, 0; x) = ( ) n x n. n n=0 x 5x + 8, x 3 + 7x +, x 4 x 5 3x 3 + x x + α 0 + α (x ) + α (x ) + + α n (x ) n n T n (f, 0; x) f(x) = + x. f(x) = + x. T 3 (f, 0; x), T 4 (f, 0; x) T 5 (f, 0; x) f(x) = x 4 + x 3 + x + x +,, e e 0 7 n f, g : (, b) R n x 0 (, b) f(x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n ) (x 0 ) = 0, g(x 0 ) = g (x 0 ) = = g (n ) (x 0 ) = 0 g (n) (x 0 ) 0 f(x) x x 0 g(x) = f (n) (x 0 ) g (n) (x 0 ).
120 n f : (, b) R n x 0 (, b) f(x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n ) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ) 0 n f (n) (x 0 ) > 0 f x 0 n f (n) (x 0 ) < 0 f x 0
121 f : [, b] R [, b] f(x) 0 x [, b] f X OX x = x = b A s A S A s A A S. < b P [, b] x 0, x,..., x n [, b] = x 0 < x < < x n = b.
122 P [, b] b f : [, b] R [, b] P = {x 0, x,..., x n } [, b] [x i, x i ], i =,,..., n m i = {f(x) : x i x x i }, M i = {f(x) : x i x x i }. f P L(f, P ) L(f, P ) = n m i (x i x i ), i= f P U(f, P ) U(f, P ) = n M i (x i x i ). i= s S f f [, b] m i M i m i M i f P [, b] L(f, P ) U(f, P ), m i M i m i (x i x i ) M i (x i x i ), i =,,..., n. P Q [, b] Q P P Q L(f, P ) L(f, Q), U(f, P ) U(f, Q).
123 Q P P = {x 0, x,..., x k, x k,..., x n }, Q = {x 0, x,..., x k, u, x k,..., x n }, = x 0 < x < < x k < u < x k < < x n = b. m = {f(x) : x k x u}, m = {f(x) : u x x k }. L(f, P ) = n m i (x i x i ), i= k n L(f, Q) = m i (x i x i ) + m (u x k ) + m (x k u) + m i (x i x i ). i= i=k+ L(f, P ) L(f, Q) m k (x k x k ) m (u x k ) + m (x k u). {f(x) : x k x x k } {f(x) : x k x u} m k m. m k m. m (u x k ) + m (x k u) m k (u x k ) + m k (x k u) = m k (u x k + x k u) = m k (x k x k ). Q P L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q)
124 Q P P Q P = P, P,..., P m = Q, P j+ P j L(f, P ) = L(f, P ) L(f, P ) L(f, P m ) = L(f, Q), U(f, P ) = U(f, P ) U(f, P ) U(f, P m ) = U(f, Q). P P [, b] f : [, b] R [, b] L(f, P ) U(f, P ). P P P P = P P P P P L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P ) L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P ). U(f, P ) {L(f, P ) : P [, b]} U(f, P ) {L(f, P ) : P [, b]} U(f, P ) P [, b], {L(f, P )} {U(f, P ) : P [, b]} {L(f, P )} {U(f, P )}. P [, b] L(f, P ) {L(f, P )} U(f, P ) L(f, P ) {U(f, P )} U(f, P ), {L(f, P )} = {U(f, P )} {L(f, P )} < {U(f, P )} f
125 f : [, b] R [, b] f [, b] {L(f, P ) : P [, b]} = {U(f, P ) : P [, b]}. f b f b f(x)dx s b f L(f, P ) b f(x)dx U(f, P ) P [, b]. b f(x)dx f : [, b] R f(x) = c c R P = {x 0, x,..., x n } [, b] m i = M i = c, i =,,..., n, L(f, P ) = U(f, P ) = n n n m i (x i x i ) = c(x i x i ) = c (x i x i ) = c(b ) i= i= i= n n M i (x i x i ) = c(x i x i ) = c i= i= i= {L(f, P )} = {U(f, P )} = c(b ), b f(x)dx = b cdx = c(b ). n (x i x i ) = c(b ).
126 f : [, b] R [, b] f [, b] ε > 0 P [, b] U(f, P ) L(f, P ) < ε. f [, b] {L(f, P )} = {U(f, P )}. ε > 0 ε = ε/ > 0 P [, b] {L(f, P )} ε < L(f, P ) {L(f, P )} L(f, P ) < ε = ε/ P [, b] U(f, P ) < {U(f, P )} + ε U(f, P ) {U(f, P )} < ε = ε/. U(f, P ) {U(f, P )} + {L(f, P )} L(f, P ) < ε/ + ε/ U(f, P ) L(f, P ) < ε. P P P P = P P L(f, P ) L(f, P ) L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P ). U(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) L(f, P ) < ε,
127 ε > 0 P [, b] U(f, P ) L(f, P ) < ε. L(f, P ) {L(f, P )} {L(f, P )} L(f, P ) {U(f, P )} U(f, P ), ε > 0 {U(f, P )} {L(f, P )} U(f, P ) L(f, P ) < ε. {U(f, P )} {L(f, P )} < ε, {U(f, P )} = {L(f, P )} f [, b] f : [0, b] R f(x) = x P n = {x 0, x,..., x n } [, b] x 0 = 0, x = b n, x = b n,..., x i = [x i, x i ], i =,,..., n m i = x i, M i = x i. (i )b, x i = ib n n,..., x n = b, L(f, P n ) = n m i (x i x i ) = i= n x i (x i x i ) = i= n i= (i )b n b n = b n n i= (i ) = b n n i=0 i = b (n )n n = n b n
128 U(f, P n ) = n M i (x i x i ) = i= = b n n i= n x i (x i x i ) = i= i = b n(n + ) n U(f, P n ) L(f, P n ) = n + b n = n + b n. n n n i= b = b n = b n. n b n < ε nε > b, f [0, b] b f(x)dx 0 n b n = L(f, P n) {L(f, P )} = b 0 ib b n n f(x)dx = {U(f, P )} U(f, P n ) = n + b n n b n b 0 f(x)dx n + b n, n b n b n + n b 0 b b f(x)dx = b n, b f(x)dx = b. f(x) = x f(x) = x f : [0, ] R f(x) = { 0, x,, x =.
129 P = {x 0, x,..., x n } [, b] x j < < x j, < j < n m i = M i = 0 i =,,..., n, i j, m j = 0, M j =. j L(f, P ) = m i (x i x i ) + m j (x j x j ) + i= j U(f, P ) = M i (x i x i ) + M j (x j x j ) + i= n i=j+ n i=j+ U(f, P ) L(f, P ) = x j x j. m i (x i x i ) = 0 M i (x i x i ) = x j x j. ε > 0 U(f, P ) L(f, P ) < ε P x j < < x j, < j < n x j x j < ε f [0, ] f(x)dx 0 0 = L(f, P ) {L(f, P )} = f(x)dx = {U(f, P ) U(f, P ) = x 0 j x j < ε 0 0 f(x)dx < ε ε > 0 0 f(x)dx = 0 x = [0, ] f : [, b] R [, b] f [, b]
130 f [, b] f() f(x) f(b) x [, b], f [, b] f() = f(b) f f() < f(b) ε > 0 n + x i = + i b, i = 0,,..., n, n x i x i b x 0 = x n = n b P n = {x 0, x,..., x n } [x i, x i ], i =,,..., n m i = f(x i ), M i = f(x i ). L(f, P n ) = U(f, P n ) = n m i (x i x i ) = i= n i= n M i (x i x i ) = i= f(x i ) b n n i= f(x i ) b n = b n (f(x 0) + f(x ) + + f(x n )) = b n (f(x ) + f(x ) + + f(x n )). U(f, P n ) L(f, P n ) = b n (f(x n) f(x 0 )) = (b )(f(b) f()). n n (b )(f(b) f()) n < ε nε > (b )(f(b) f()), f [, b] f [, b] f : [, b] R [, b] f [, b]
131 f [, b] [, b] ε > 0 f [, b] [, b] ε = ε > 0 δ > 0 b x, x [, b] x x < δ f(x) f(x ) < ε = ε b. δ = δ(ε ) = δ(ε) ε x, x P = {x 0, x,..., x n } x i x i < δ, i =,,..., n f [x i, x i ], i =,,..., n u i, v i [x i, x i ] m i = f(v i ), M i = f(u i ). U(f, P ) L(f, P ) = < u i v i x i x i < δ, M i m i = f(u i ) f(v i ) < n M i (x i x i ) i= n i= ε b. n m i (x i x i ) = i= ε b (x i x i ) = ε b n i= n (M i m i )(x i x i ) i= (x i x i ) = ε (b ) = ε, b f [, b]
132 f : [, b] R [, b] c [, b] f [, b] f [, c] [c, b] b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. f, g : [, b] R [, b] f + g [, b] b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + b g(x)dx. f : [, b] R [, b] c [, b] cf [, b] b cf(x)dx = c b f(x)dx. c > 0 P = {x 0, x,..., x n } [, b] [x i, x i ], i =,,..., n m i = {(cf)(x) : x i x x i }, M i = {(cf)(x) : x i x x i } m i = {f(x) : x i x x i }, M i = {f(x) : x i x x i }. m i = cm i M i = cm i, i =,,..., n, L(cf, P ) = cl(f, P ) U(cf, P ) = cu(f, P ), {L(cf, P )} = c {L(f, P )} {U(cf, P )} = c {U(f, P )}. f [, b] {L(f, P )} = b f(x)dx = {U(f, P )},
133 {L(cf, P )} = c {L(f, P )} = c b cf [, b] b cf(x)dx = c f(x)dx = c {U(f, P )} = {U(cf, P )}, b f(x)dx. c < 0 m i = cm i M i = cm i, i =,,..., n, c > 0 c = 0 b cf(x)dx = b 0 f(x)dx = 0 = 0 b f(x)dx = c b f(x)dx. f : [, b] R [, b] m f(x) M x [, b] m(b ) b f(x)dx M(b ). P = {x 0, x,..., x n } [, b] [x i, x i ], i =,,..., n m m i, M i M, m(b ) n m i (x i x i ) i= n M i (x i x i ) M(b ) i= m(b ) L(f, P ) U(f, P ) M(b ). f [, b] m(b ) {L(f, P )} = b f(x)dx = {U(f, P )} M(b ),
134 f : [, b] R [, b] f(x) 0 x [, b] b f(x)dx 0. f, g : [, b] R [, b] f(x) g(x) x [, b] b f(x)dx b g(x)dx. m = 0 f, g [, b] f g (f g)(x) 0 x [, b] b (f g)(x)dx 0 b (f(x) g(x))dx 0 b f(x)dx b b g(x)dx. f(x)dx b g(x)dx 0 f : [, b] [m, M] [, b] ϕ : [m, M] R [m, M] ϕ f : [, b] R [, b] f : [, b] R [, b] f [, b] b b f(x)dx f(x) dx. ϕ(x) = x f f(x) f(x) f(x) x [, b],
135 b ( f(x) )dx b f(x)dx b b f(x) dx b f(x) dx b f(x)dx f(x) dx. b f(x)dx b f(x) dx f, g : [, b] R [, b] f fg [, b] f [, b] ϕ(x) = x f fg fg = (f + g) (f g), 4 f : [, b] R [, b] F : [, b] R F (x) = x f(t)dt f f : [, b] R [, b] F f [, b] f [, b] f [, b] M > 0 f(x) M x [, b].
136 x 0 [, b] F x 0 ε > 0 δ > 0 F (x) F (x 0 ) = x x0 x x [, b] x x 0 < δ F (x) F (x 0 ) < ε. x f(t)dt x0 f(t)dt = f(t) dt, x 0 < x < x 0 + δ, x 0 f(t) dt, x 0 δ < x < x 0 x f(t)dt, x 0 < x < x 0 + δ, x 0 f(t)dt, x 0 δ < x < x 0 x x0 x x 0 Mdt, x 0 < x < x 0 + δ, x0 M(x x 0 ), x 0 < x < x 0 + δ, = = M x x 0 < Mδ, M(x 0 x), x 0 δ < x < x 0 x Mdt, x 0 δ < x < x 0 Mδ ε δ ε M F f F (x) F (x 0 ) M x x 0 M > 0. F M > 0 f : [, b] R [, b] M > 0 f(x ) f(x ) M x x x, x [, b]. f [, b] f [, b] f : [, b] R [, b] f x 0 [, b] F f x 0 F (x 0 ) = f(x 0 ).
137 f x 0 ε > 0 δ > 0 t [, b] t x 0 < δ f(t) f(x 0 ) < ε. F (x) F (x 0 ) x x 0 x x 0 F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) = x x 0 = = ( ) F (x) F (x0 ) = f(x 0 ) f(x 0 ) = 0. x x 0 x x 0 x f(t)dt x 0 f(t)dt f(x 0 ) x x 0 x x 0 f(t)dt f(x 0 )(x x 0 ) x x 0, x 0 < x, x 0 f(t)dt + f(x x 0)(x 0 x), x < x 0 x x 0 x x 0 (f(t) f(x 0 ))dt x x 0, x 0 < x, x0 x (f(t) f(x 0))dt, x < x 0, x 0 x F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 = x = x x 0 f(t)dt x x 0 f(x 0 )dt, x x 0 x 0 < x, x0 x x 0 x 0)dt, x x 0 x < x 0 x 0 (f(t) f(x 0 ))dt x 0 x x x 0 f(t) f(x 0 ) dt x x 0, x 0 < x, x0 x f(t) f(x 0) dt, x < x 0. x 0 x x x 0, x 0 < x, (f(t) f(x 0))dt, x < x 0 x 0 x x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } x 0 t x x t x 0 t (x 0 δ, x 0 + δ) F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 < x x 0 εdt x x 0, x 0 < x, x0 x εdt x 0 x, x < x 0 = ε(x x 0 ) x x 0, x 0 < x, ε(x 0 x) x 0 x, x < x 0 = ε.
138 ε > 0 δ > 0 x [, b] 0 < x x 0 < δ F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 < ε, F x 0 F (x 0 ) = f(x 0 ) f : [, b] R [, b] F f [, b] F (x) = f(x) x [, b]. f : [, b] R [, b] ξ (, b) b f(x)dx = f(ξ)(b ). F (x) = x f(t)dt [, b] f [, b] F [, b] F () = 0 ξ (, b) b f(x)dx = F (b) F () = F (ξ)(b ) = f(ξ)(b ). f : [, b] R [, b] G : [, b] R G (x) = f(x) x [, b] b f(x)dx = G(b) G(). F f F (x) = f(x) = G (x) F (x) = G (x) x [, b], F (x) = G(x) + c c R.
139 0 = F () = G() + c c = G(), b f(x)dx = F (b) = G(b) + c = G(b) G(). G G (x) = f(x) x [, b] f F f f b f(x)dx f G : [, b] R [, b] G [, b] b G (x)dx = G(b) G(). P = {x 0, x,..., x n } [, b] [x i, x i ], i =,,..., n ξ i (x i, x i ) G(x i ) G(x i ) = G (ξ i )(x i x i ). m i = {G (x) : x i x x i }, M i = {G (x) : x i x x i }, m i G (ξ i ) M i, L(G, P ) = n m i (x i x i ) i= n G (ξ i )(x i x i ) i= n M i (x i x i ) = U(G, P ), i= n L(G, P ) (G(x i ) G(x i )) U(G, P ) i= L(G, P ) G(b) G() U(G, P ) {L(G, P )} G(b) G() {U(G, P )}
140 G [, b] {L(G, P )} = b b G (x)dx G(b) G() G (x)dx = {U(G, P )}, b G (x)dx, b f(x)dx f G G (x) = f(x) x [, b] x n dx = xn+, n N {0}, n, n + dx = x, x e x dx = e x, xdx = x, xdx = x, dx = x, x dx = x, x dx = x, x
141 dx = x. + x f, g : [, b] R [, b] f g [, b] b f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g() fg [, b] b (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). f (x)g(x)dx. f g fg [, b] (fg) b f(x)g (x)dx = = b b ((fg) (x) f (x)g(x))dx (fg) (x)dx 0 xe x dx = e (e e 0 ) = e e + = π 0 π 0 x xdx = π 0 b xdx = π 0 = 0 = e xdx = e 0 xdx = f (x)g(x)dx = f(b)g(b) f()g() x(e x ) dx = e 0 e 0 x( x) dx = π π π e (x) xdx = e e e 0 b (x) e x dx = e 0 x( x) dx = e f (x)g(x)dx, 0 e x dx = (x) ( x)dx = e x x dx =
142 e e e e dx = e (e ) = e e + = e x x dx = x x dx e e x x dx = x x dx = e x( x) dx = ( e) ( ) e ( x) xdx = x x dx = e x xdx = (e x ) xdx = e x x e x ( x) dx = e x x e x xdx = e x x (e x ) xdx = e x x e x x+ e x ( x) dx = e x ( x x) e x xdx e x xdx = e x ( x x) e x xdx = ex ( x x). g : [, b] R [, b] g [, b] f : g([, b]) R [, b] b f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(u)du. F f g(b) g() f(u)du = F (g(b)) F (g()). F f (F g) (x) = (F g)(x) g (x) = (f g)(x) g (x) x [, b], F g (f g) g b f(g(x))g (x)dx = (F g)(b) (F g)() = F (g(b)) F (g()) = g(b) g() f(u)du. u = g(x) du = g (x)dx u x
143 b g() g(b) g() > g(b) g(b) g() f(u)du = g() g(b) f(u)du u u g(x) π u = x du = xdx π 0 4 x xdx = π 4 0 xdx = π 0 π 4 0 π 4 0 u 4 du = xdx 0 π x x dx = 4 0 u = x du = xdx π 4 0 π 4 xdx = 0 u du = u du = e x x dx u = x du = dx x 0 4 x xdx u 4 du = = 5. x x dx. du = u = = = e e x x dx = u du = du = ( ) = ( ). u 0 x + x dx u = + x du = xdx xdx = du 0 x + + x dx = du +0 u = x + x + dx u du = ( ) =.
144 x + x + dx = (x + x + ) + dx = (x + ) + dx. u = x + du = dx (x + ) + dx = du = u = (x + ). u + e x + e dx x u = e x du = e x dx dx = du e = du x u e x u + e dx = du x + u u = u u( + u) du. e x + e x dx = u u( + u) = u + u, ( u ) du = + u u du = u ( + u) = e x ( + e x ) + u du f : [, b) R b R b = + f x [, x] < x < b f(t)dt x b f [, b) b f(t)dt = x b x f(t)dt. ± b f(t)dt ± f : (, b] R R = f [x, b] < x < b b f(t)dt = x + b x f(t)dt,
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)
![ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)](/thumbs/80/82069494.jpg "ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)")
Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ.
f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemnn Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
![f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].](/thumbs/75/71620010.jpg "f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].")
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 1 εκεµβρίου 15 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Προτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1
Προτάσεις που χρησιμοποιούντι στη λύση σκήσεων κι χρειάζοντι πόδειξη Πρότση 1 Έστω η συνάρτηση f: A R η οποί είνι γνησίως ύξουσ Ν δείξετε ότι ) η f ντιστρέφετι ) η f -1 είνι γνησίως ύξουσ στο f(α) γ) Οι
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Από το σχήμα που ακολουθεί, προκύπτει ότι σχύουν οι παρακάτω σχέσεις: x = ρ.cosθ y = ρ.sinθ (Π.2.α)
Π. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π.. Μιγαδικοί αριθμοί Ένας μιγαδικός αριθμός z μπορεί να γραφεί είτε σε καρτεσιανή είτε σε πολική μορφή ως εξής: z = x + jy = ρ.e jθ (Π.) Στην (Π.): Η x + jy είναι η καρτεσιανή μορφή του μιγαδικού
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαφορικές εξισώσεις 302.
Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
P m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα
f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 216 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Έκδοση 01 Φεβρουάριος Ντάνος Γιώργος
Έκδοση 01 Φεβρουάριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ντάνος Γιώργος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Copyright ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017 1 Περιεχόμενα Μέρος Α Α1. Συναρτήσεις.σελίδα
3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li
![3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li](/thumbs/54/34281457.jpg "3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li")
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.
1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε
lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση
1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων.
1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οοία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)χ 2 +1,χ 0 και ερνάει αό την αρχή των αξόνων. f x f x x + 1 (1) x 0 H f(x) ερνάει αό το (0, 0) f(0) 0 (2) (1) x Άρα οι συναρτήσεις διαφέρουν
Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.
Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0,, 2, 3, 4, }. Με Q θα συμβολίζουμε
Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Ολοκλήρωση Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Το ζητούμενο Είδαμε μεθόδους υπολογισμού για το πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις στιγμιαία. Αν αθροίσουμε αυτές τις στιγμιαίες μεταβολές θα έχουμε ένα
Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων
ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός
ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Καηηγορημαηικός Λογιζμός Μοπθέρ Θεωπημάηων Υπάξρεη έλα αληηθείκελν ώζηε λα ηζρύεη θάηη. Υπαξμηαθόο πνζνδείθηεο Γηα θάζε αληηθείκελν ηζρύεη όηη θάηη. Καζνιηθόο πνζνδείθηεο 2 Καηηγοπήμαηα
f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x
του πεδίου ορισμού της τότε η f είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. ε) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού δεν έχει ασύμπτωτες.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής
ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.
![ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.](/thumbs/78/76995198.jpg "ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.")
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A1. Έστω μια
την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του
ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 3 f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω f φ(x) τότε:
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]
![ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]](/thumbs/76/73907473.jpg "ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]")
ιαµέριση (Prtition) ορισµένη στο διάστηµα I = [, b] P = {x 0,x 1,x 2,...,x n } = x 0
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0,, 2, 3, 4, }. Με Q θα συμβολίζουμε
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 99 Α. α) Ψ β) Η συνάρτηση
Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ
Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή
1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n
Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ., x 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Τρόποι ολοκλήρωσης-θεµελειώδες θεώρηµα Θέµα lnx+, x > x ίνεται η συνάρτηση f(x) =. Να αποδειχθεί ότι η f είναι x, x x + ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [,] και να υπολογιστεί
lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για
Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )
Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 96 Αριθµητική Ολοκλήρωση
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ (0-6-005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και ένα δείγμα x, x,, x n. Θεωρούμε την τιμή k = n i= ( x && x) i.να διευκρινιστεί
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )
l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2000-2010 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΙΑ
Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές
ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
......
...... m() 1 m() E(X; ) 1 m() 1 m() E(X; ) 1 m() E 1 (X; ).1 E 1 (X; ) E 2 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E 3 (X; ) 1 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) 2 E 2 (X; ) E 3 (X; ).5 m() E 1 (X; ) E 2 (X; ) E
Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)
![Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)](/thumbs/63/49057706.jpg "Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)")
Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................
f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young
Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Σελίδα από ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: /6/9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors)
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors) Δάτης Καλάλη Στον παππού και στην γιαγιά μου Πρόλογος Οι διαγωνισμοί των μαθηματικών διοργανώνονται στις περισσότερες χώρες σε εθνικό και διεθνή
Σημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 1 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 1 Συναρτήσεις 1.1 Έννοια συνάρτησης Ορισμός 1 Έστω Α, Β δύο υποσύνολα του R. Μια διαδικασία με το όνομα f ονομάζεται αν σε κάθε
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c
Λύσεις Ασκήσεων στα Θεμέλια των Μαθηματικών II Ρωμανός-Διογένης Μαλικιώσης Παρασκευή, 29 Οκτωβρίου 2010 Άσκηση 1. Απλοποιήστε τις ακόλουθες εκφράσεις (α ) (D c F ) c (D F ) (β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c
M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες
Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις
Περιεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier
Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό