Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Transcript

1 Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο Μακεδονίας 1

2 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ένα διάνυσμα u = (u1, u2,, un) εισάγεται στη MATLAB ως εξής: >> u=[ u1, u2,, un] ή >> u=[ u1 u2 un] Οι συνιστώσες βρίσκονται ανάμεσα σε αγκύλες (όχι παρενθέσεις) και διαχωρίζονται από κόμματα ή απλώς με διαστήματα. Οι πίνακες ορίζονται με παρόμοιο τρόπο: δίνουμε τα στοιχεία κάθε γραμμής και για να υποδείξουμε την αλλαγή γραμμής χρησιμοποιούμε το σύμβολο ; ή απλά αλλάζουμε γραμμή. 2

3 Παραδείγματα >> u=[ 1, 2, 3] u = >> u=[1 2 3] u = >> u=[1; 2; 3] u = >> u=[1 2 3; 4 5 6] u =

4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Οι πράξεις μεταξύ πινάκων γίνονται με τα σύμβολα που φαίνονται στον πίνακα: Τελεστής Ερμηνεία + Πρόσθεση - Αφαίρεση * Πολλαπλασιασμός \ Αριστερή διαίρεση / Δεξιά διαίρεση ^ Ύψωση σε δύναμη 4

5 Εννοείται βέβαια ότι οι χρησιμοποιούμενοι πίνακες πρέπει να είναι συμβατοί ως προς την πράξη που κάνουμε. Π.χ. η ύψωση σε δύναμη είναι δυνατή μόνο για τετραγωνικούς πίνακες. Σημειώνουμε επίσης τα εξής: Ο ανάστροφος Α Τ ενός πραγματικού πίνακα Α, ορίζεται ως A'. Οι εντολές A*A*A και A^3, όπου Α τετραγωνικός πίνακας είναι ισοδύναμες. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία ενός πίνακα Α και ενός διανύσματος u με ένα αριθμό x (βαθμωτός πολλαπλασιασμός): x*a και x*u. 5

6 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία με κάποιο μη μηδενικό αριθμό x: A/x και u/x. Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ένα αριθμό x από όλα τα στοιχεία ενός πίνακα Α και ενός διανύσματος u: A x και u + x. 6

7 Παράδειγμα Να βρείτε τον ανάστροφο A Τ του πίνακα Α. >> A=[ ; ; ; ]; >> A'

8 Παράδειγμα Να βρείτε το γινόμενο Β Τ Α >> A=[ ; ; ; ]; >> Β=[1 ; 2 ; -4; 3]; >> Β'*A

9 Αριστερή και δεξιά διαίρεση Η MATLAB είναι ένα αρκετά προχωρημένο λογισμικό και επιτρέπει την επίλυση γραμμικών συστημάτων με πολλούς τρόπους. Αν ο A είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας έχουμε τις πιο κάτω διαιρέσεις πινάκων: A\b : μας δίνει τη λύση του συστήματος Ax = b (αριστερή διαίρεση) A/b : μας δίνει τη λύση του συστήματος xa = b(δεξιά διαίρεση) όπου οι πίνακες A, x και b έχουν συμβιβαστές διαστάσεις. 9

10 Η διαφορά της αριστερής από τη δεξιά διαίρεση φαίνεται στον πίνακα: Συμβολισμός MATLAB Αριστερή διαίρεση b\α Δεξιά διαίρεση α/b Μαθηματικό ισοδύναμο b a a b 10

11 Παραδείγματα Έστω οι πίνακες >> A = [1 1 1; 1 0 2; 0 2 1] >> b = [6; 7; 7] Θα λύσουμε τα συστήματα Ax = b και xa = b T. >> A\b >> b'/a

12 Παράδειγμα Θα βρούμε τον πίνακα C για τον οποίο ισχύει AC = B, όπου >> A = [1 1 1; 2 0 1; ]; >> B = [6 5 4; 3-1 2; 4 0 1]; >> format rat >> C = A\B C = 11/10 1/5 9/10 41/10 31/5 29/10 4/5-7/5 1/5 12

13 Στοιχειώδεις πίνακες Αρκετοί στοιχειώδεις πίνακες μπορούν να παραχθούν με τις συναρτήσεις της MATLAB. Οι σημαντικότερες από αυτές φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Συνάρτηση Ερμηνεία eye zeros ones rand randn hilb Πίνακας με 1 στην κύρια διαγώνιο και 0 αλλού Μηδενικός πίνακας Πίνακας με 1 σε όλες τις θέσεις Ομοιόμορφα ψευδο-τυχαίος πίνακας Κανονικά ψευδο-τυχαίος πίνακας Τετραγωνικός πίνακας Hilbert 13

14 Στις παραπάνω συναρτήσεις πρέπει να ορίσουμε τις επιθυμητές διαστάσεις του πίνακα, π.χ. eye(m,n) ή eye([m n]). Αν ο πίνακάς μας είναι τετραγωνικός μπορούμε να γράψουμε eye(n,n) ή eye(n). Η rand(m,n) μας δίνει ένα m n πίνακα με τυχαία στοιχεία επιλεγμένα από μια ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0, 1]. Με αυτή την κατανομή, το ποσοστό των αριθμών που βρίσκονται στο διάστημα [a, b], όπου 0 < a < b <1, είναι b a. Η randn(m,n) μας δίνει ένα m n πίνακα με τυχαία στοιχεία επιλεγμένα από τη συνήθη κανονική κατανομή με μέση τιμή το 0, διασπορά 1 και τυπική απόκλιση 1. Καλώντας τις χωρίς όρισμα παίρνουμε ένα τυχαίο αριθμό. 14

15 Παραδείγματα >> eye(2,3) >> eye(3,3) >> rand >> zeros(4,5) >> ones(4,2) >> rand(4)

16 Οι συναρτήσεις pascal και magic επίσης ορίζουν τετραγωνικούς πίνακες. Η πρώτη μας δίνει τον κλασικό πίνακα του Pascal ενώ η magic επιστρέφει μαγικά τετράγωνα. Παραδείγματα >> pascal(4) >> magic(3)

17 Υπάρχουν πολλές άλλες συναρτήσεις στοιχειωδών και άλλων ειδικών πινάκων. Με την εντολή >> help elmat η MATLAB μας δίνει τον κατάλογο κατάλογό τους. Όποιος θέλει να ανακαλύψει περισσότερα για τις εντολές που υπάρχουν, μπορεί να χρησιμοποιήσει την εντολή help. 17

18 Ορισμός διανυσμάτων και πινάκων με βήμα Η MATLAB μας δίνει τη δυνατότητα να ορίσουμε τα στοιχεία ενός διανύσματος με κάποιο βήμα: >> u = [u1 : b : ulast] Αν το βήμα b είναι ίσο με τη μονάδα, τότε αυτό μπορεί να παραλειφθεί: >> u = [u1 : ulast] Παράδειγμα >> u=[-1:1:5] u =

19 Παραδείγματα >> u=[-1:2:9] u = >> u=[-1:2:10] u = >> u=[-1:3:10] u = >> A=[1:5;10:-2:2] A = >> B=[1:5;2:2:10;3:3:15] B =

20 Στοιχεία ενός διανύσματος ή ενός πίνακα Αν το u είναι ένας n 1 ή 1 n πίνακας, τότε το u(i) όπου 1 i n μας δίνει το στοιχείο u i. Αν το u είναι ένας 1 n πίνακας το u(i: k: j) μας δίνει το υποδιάνυσμα u i =[u i u i+k u j ]. Παραδείγματα >> u=[-1:2:9] u = >> u(2) 1 >> u(1:3)

21 Τα παραπάνω γενικεύονται και για m n πίνακες. Έτσι αν Α = α 11.. α 1n τότε: α m1.. α mn το Α(i, j) μας δίνει το στοιχείο α ij το Α(:, j) μας δίνει την j -στήλη του A το Α(i, : ) μας δίνει την i -γραμμή του A το Α(m: n, p: s) μας δίνει τον υποπίνακα του Α που ορίζεται από τις γραμμές m εως n και τις στήλες p εως s το Α(end, : ) μας δίνει την τελευταία γραμμή του Α το Α(:, end) μας δίνει την τελευταία στήλη του Α 21

22 Παραδείγματα >> Α=[1 2 3; ; 7 8 9]; Για τον πίνακα Α (3x3), να βρείτε τα παρακάτω: >> Α(1,3) >> Α(:,2) >> Α(1,:) >> Α(1:2,2:3) >> Α(end,:) >> Α(1:2,end) >> Α([1 3],[2 3]) >> Α(end,[1 3]) H MATLAB μας δίνει την δυνατότητα να επιλέξουμε ονομαστικά τους δείκτες γραμμών και στηλών. 22

23 Βιβλιογραφία 1. Γ. Γεωργίου, Χ. Ξενοφώντος. Εισαγωγή στη MATLAB. Πανεπιστήμιο Κύπρου, Λευκωσία, 2007 (ISBN ). 2. Matlab, High-Performance Numeric Computation and Visualization Software. The Math Works Inc,