ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [,, ] να αποδείξετε ότι: f (t)dt G( ) G( ). Α. i) Να διατυπώσετε το θ. Frmat. Α3. ii) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης; Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: Μονάδες 7 Μονάδες 4 «Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σ ένα διάστημα Δ, τότε θα ισχύει πάντοτε f( ) 0 για κάθε Δ.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4 Α4. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. i) Αν f () 0 για κάθε ημ ii) Ισχύει lim 0. * R τότε η f είναι σταθερή στο * R. iii) Αν F, G είναι παράγουσες της f στο Δ τότε οι F και G είναι ίσες. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

2 iv) Αν f () 0 για κάθε,, η f είναι συνεχής στο, και η f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό τότε: f ()d 0. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f(). Β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. Μονάδες 6 Β. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης του πραγματικού αριθμού α. ( ) για τις διάφορες τιμές Μονάδες 6 Β3. Να βρείτε την ασύμπτωτη (ε) της συνάρτησης στο Μονάδες 5 Β4. Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από την C f, την (ε) και τις ευθείες =0 και =α με α>0,είναι ( ) Μονάδες 4 Β5. Αν το α μειώνεται με ρυθμό μονάδες/sc να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή που το α είναι μονάδες. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R για κάθε R (). συν f 4f R με f R Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να δείξετε ότι, R. f 4 συν R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

3 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε το όριο f lim. Μονάδες 6 Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ημ έχει μοναδική λύση στο διάστημα π,0 4. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0, ) R για την οποία ισχύουν: 3 f "() για κάθε >0 και f (() f '() 0. Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση Δ. Να δείξετε ότι g() f '() f () είναι σταθερή στο (0, ). Μονάδες 5 f () για κάθε >0. Μονάδες 5 Δ3. Να μελετηθεί η f() ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα. Δ4. Να δείξετε ότι : α. Η εξίσωση της εφαπτομένης της f() είναι στο σημείο Α(,f()) είναι y ( ) ( ). β. γ. ( )( ) για κάθε >0. 7 f ()d 4 Μονάδες 5 Μονάδες 3 Μονάδες 3 Μονάδες 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία. Α. Θεωρία. A3. α. Λάθος. β. Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f ( ) 4. Επειδή η 3 ( ) 4 είναι γνησίως f αύξουσα στο R, η f ( ) στο R αφού f (0) 0. 4 είναι κυρτή στο R. Εντούτοις η Α4. i. Λάθος ii. Σωστό iii. Λάθος iv. Σωστό ( ) δεν είναι θετική f ΘΕΜΑ Β. f () ί f () f () Tότε ο πίνακας μονοτονίας και ακροτάτων είναι ο εξής: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 8

5 Έτσι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [0, ) και παρουσιάζει στο 0 ό ά f (0) 0 Δηλαδή ισχύει f () 0 R 0 Β. Είναι: ( ) f () Βρίσκουμε τα όρια: lim f () lim ( ) ό D.L.H lim lim 0 ύ lim ί lim f () 0 ύ lim u lim 0 u Οπότε για τα διαστήματα,0 0, έ ί ή ύ ώ : f ( ) 0, f ( ) 0, Έτσι έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις για τις διάφορες τιμές του 0 ό έ ί ί 0 ό 0 ή ί 0 ό έ ύ ί, ί,0 ί 0, R ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 8

6 B 3. Είναι f () lim lim ό lim lim lim f () lim( ) lim( ) Ά ύ ί ί ί : : y Β 4. Το ζητούμενο εμβαδό δίνεται από τον τύπο: f () ( ) d d d 0 Β 5. Όταν το α μεταβάλλεται σε σχέση με τον χρόνο τότε και το εμβαδό γράφεται (t) (t) Ισχύει ότι (t) (t ) 0 Ψάχνουμε το Ε (t 0 ).Οπότε: (t) (t) (t) και για t=t 0 (t 0 ) (t ) (t ) (t ) ( ). / sc ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω, με f f, τότε έχουμε: συνf συνf συν f συν f 4f 4f 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 8

7 Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις και 3 έχουμε: συν f 4f συν f 4f. Άρα η συνάρτηση f είναι, οπότε αντιστρέφεται. Από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f είναι το., επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ισχύει η ισοδυναμία: f y f y οπότε η σχέση ισοδύναμα γράφεται: συν y 4y f y f y 4y συν y. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι: f : με f 4 συν Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και η συνάρτηση συνf είναι παραγωγίσιμη στο συνάρτηση ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, όπως επίσης και η συν f. Παραγωγίζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της σχέσης έχουμε: συνf συνf 4f συνf ημf f 4f 4συνf ημf f f. Για κάθε είναι: 4 συνf ημf Α τρόπος: ημf ημf συνf ημf συνf ημf συνf συνf ημf συνf ημf συνf 0 4 ημf συνf 0 Β τρόπος: 4 ημf συνf 3ημf συνf 3ημ f συν f ημf συνf 3 ημf συνf 0 Οπότε f 0, για κάθε. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 8

8 Γ3. Για 0 έχουμε: f 0 f 0. Είναι f 0 f 4 ημf συνf 4 ημ0 συν0 4 f f f lim lim f f. Οπότε lim 4. Όμως Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση h f ημ 4 συν ημ,. Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστημα π,0 4, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. π π h h Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση h 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα π,0 4. Για κάθε π,0 4 είναι: h 4 ημσυν συν 4 συν ημσυν 0. Άρα η 0 0 συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο π,0, οπότε η ρίζα είναι μοναδική. 4 ΘΕΜΑ Δ Δ. Η συνάρτηση g() είναι συνεχής στο 0, αφού η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και η είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Άρα για να είναι σταθερή αρκεί να δείξουμε ότι g () 0 0, Eίναι Άρα g()=c 3 f () g () f () f () f () 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 8

9 Δ. Είναι g() f () f () 0 0 ά g() 0 0 ό f () f () 0 f () f () f () f () f () f () c c c 0 έ ά f () Δ 3. Είναι f () ύ 0 έ : 0 f () f () 0 0 Έ ί ί ά ύ ί ή : ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 8

10 με f()= να είναι το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης. Επίσης f () ά 3 f () 0 0, ή f () ί ή 0, Δ 4. α) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(,f()) δίνεται από τον τύπο: y f () f ()( ) y ( ) y y β) Επειδή η συνάρτηση είναι κυρτή για κάθε >0 η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη σε κάθε σημείο με εξαίρεση το σημείο επαφής. Έτσι ισχύει: f () ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 7 ΑΠΟ 8

11 Δ 5. ύ : f: f () f () ό ύ ό ύ f () ό ύ ό ί ή ό : d d d 7 d 4 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 8 ΑΠΟ 8