5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις

Transcript

1 5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

2 Περιεχόμενα ενότητας Επίδραση ορθών τάσεων στη μεταβολή του όγκου Τρισδιάστατες αξονικές παραμορφώσεις Υπολογισμός μεταβολής όγκου Επίδραση υδροστατικής πίεσης Επίδραση αξονικής καταπόνησης Υπολογισμός εμβαδού διατομής Υπολογισμός επιμήκυνσης ράβδου δοκού 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

3 Εισαγωγή (1/2) Μεταξύ λοιπόν των ατόµων των στερεών ασκούνται συγχρόνως τόσο ελκτικές όσο και απωστικές δυνάµεις, οι οποίες τα συγκρατούν σε ορισµένες σχετικές μεταξύ τους αποστάσεις, όπου η δυναµική ενέργεια γίνεται ελάχιστη. Για να παραµορφώσουµε ένα στερεό σώµα, πρέπει να µεταβάλλουµε αυτές τις σχετικές αποστάσεις, εποµένως πρέπει να ασκήσουµε εξωτερική δύναµη. Όταν ασκούµε σε ένα στερεό σώµα εξωτερική δύναµη, λέµε ότι το σώµα υφίσταται καταπόνηση. Ανάλογα µε τον τρόπο, που καταπονείται το σώµαέχουµε τα αντίστοιχα είδη παραµορφώσεων. 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

4 Εισαγωγή (2/2) Στην συγκεκριμένη ενότητα θα μελετήσουμε την παραμόρφωση ενός σώματος (στερεού) η οποία θα προέρχεται από δύο αίτια: A. Εξωτερική καταπόνηση λόγω επιβολής εξωτερικού φορτίου (δύναμης). B. Μεταβολή της θερμοκρασίας. Επειδή οι ταλαντώσεις των μορίων γύρω από τη θέση ισορροπίας τους δεν είναι συμμετρικές, εμφανίζεται το φαινόμενο της διαστολής όταν αυξάνεται η θερμοκρασία, και της συστολής όταν μειώνεται. 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

5 Τριδιάστατες αξονικές παραμορφώσεις Σε ένα ιδεατό στοιχειώδη κύβο με τριδιάστατη καταπόνιση μπορούμε να βρούμε την μετατόπιση σε 3 διαστάσεις αν γνωρίζουμε την ορθή παραμόρφωση στις διευθύνσεις,, : d d d 1 d d d d 1 d d d d 1 d d d d 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

6 Μονοαξονικές Παραμορφώσεις Θεωρούμε ένα ισότροπο υλικό με λόγο Poisson ν. Αν κάθε φορά καταπονείται με ορθή τάση, σ, σε μία διάσταση τότε οι παραμορφώσεις θα είναι ως ακολούθως: Για ορθή τάση : Για ορθή τάση : Για ορθή τάση :,, E E E,, E E E,, E E E 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

7 Επιβολή ορθών τάσεων σε όλες τις διαστάσεις Θεωρούμε και πάλι ένα ισότροπο υλικό με λόγο Poisson ν. Αν τώρα το υλικό καταπονείται με ορθές τάσεις, σ, ταυτόχρονα σε όλες τις διαστάσεις, τότε οι παραμορφώσεις θα είναι ως ακολούθως: 1 ( ) (1) E E E E 1 ( ) (2) E E E E 1 ( ) (3) E E E E 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

8 V Υπολογισμός μεταβολής όγκου ddd (1 )(1 )(1 ) ό V ό (1 ) Άρα: V (1 ) ό αμελητέο διότι 1 1 Οπότε: VV ό V ό ( 1 ) 1 V (4) Όμως επειδή: (4) V E E E E E E E E E 1 2 V E (5 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών 2015 ) 8

9 Περίπτωση υδροστατικής πίεσης Σε αυτή την περίπτωση όλες οι τάσεις είναι θλιπτικές και ίσες με την υδροστατική πίεση. Συνεπώς : οπότε η σχέση (5) γίνεται: V 1 2v 1 2v 3 3 p(1 2 v) p (6) E E E Ορίζουμε ογκομετρικό μέτρο ελαστικότητας (bulk modulus): K p K V E 3(1 2 v) (7) *Εφαρμογή: Να αποδειχθεί ότι ο λόγος Poisson των περισσοτέρων στερεών έχει μέγιστο το 0,5: 1 V 0 ή K 0 12v 0 0 v 2 Από τα ως άνω προκύπτει ότι ασυμπίεστα στερεά (όπως το καουτσούκ) έχουν λόγο Poisson ~0,5 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

10 Λόγοι Poisson Υλικό Λόγος Poisson Καουτσούκ 0,4999 Χρυσός 0,43 Μαγνήσιο 0,35 Τιτάνιο 0,34 Χαλκός 0,33 PMMA (pleiglass) 0,33 Ατσάλι 0,30 μπετόν 0,20 αφρός 0,10 0,40 φελλός ~0,00 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

11 Μεταβολή όγκου σε αξονική καταπόνηση Από τη σχέση (5) επειδή έχουμε καταπόνηση μόνο στον άξονα οι ορθές τάσεις, είναι μηδέν. Συνεπώς: Αντίστοιχα: 1 2 v e ( ) ή αλλιώς e (1 2 v) E 1 2 v e ( ) ή αλλιώς e (1 2 v) E 1 2 v e ( ) ή αλλιώς e (1 2 v) E 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

12 Θερμική διαστολή Κρύο Ζεστό 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

13 Παραμόρφωση από μεταβολή θερμοκρασίας Το δεύτερο αίτιο που θα μελετηθεί στα πλαίσια του μαθήματος το οποίο προκαλεί παραμόρφωση των στερεών είναι η μεταβολή της θερμοκρασίας. Ας θυµηθούµε ότι στα στερεά σώµατα τα γειτονικά µόρια συγκρατούνται αλληλεπιδρώντας µε ισχυρές δυνάµεις. Το καθένα δονείται γύρω από µια σταθερή θέση. Όταν το σώµα θερµαίνεται, τα µόρια κινούνται ταχύτερα. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της απόστασης των µορίων. ηλαδή, κατά τη διαστολή, δεν αυξάνεται το µέγεθος των µορίων, αλλά οι μεταξύ τους αποστάσεις. 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

14 Παραδοχές συμπεριφοράς σωμάτων για θερμοκρασιακές μεταβολές Η μεταβολή της θερμοκρασίας επηρεάζει τις ελαστικές σταθερές. Για μικρές μεταβολές της θερμοκρασίας θεωρούμε ότι δεν μεταβάλλονται οι ελαστικές ιδιότητες των σωμάτων. Η μεταβολή της θερμοκρασίας διαστέλλει ή συστέλλει ένα σώμα είτε είναι ελεύθερο τάσεων είτε όχι. Στα ομογενή και ισότροπα υλικά οι παραμορφώσεις που οφείλονται στην μεταβολή της θερμοκρασίας είναι ομοιόμορφες σε όλες τις διευθύνσεις. Επομένως δεν αναπτύσσονται διατμητικές παραμορφώσεις. 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

15 Πειραματικός προσδιορισμός ε~f(t) Ας θεωρήσουμε την περίπτωση που έχουμε μία ομογενή ράβδο ΑΒ ομοιόμορφης, εγκάρσιας διατομής της οποίας το ένα άκρο είναι ελεύθερο και της επιβάλουμε μία μεταβολή θερμοκρασίας. Αν το σώμα είναι ελεύθερο να μεταβάλλει τις διαστάσεις του όπως αυτό του σχήματος τότε το σώμα δεν μεταβάλλει την εντατική του κατάσταση όμως παραμορφώνεται κατά [ δτ ] λόγω της ΔΤ. 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

16 Υπολογισμός παραμόρφωσης λόγω ΔΤ σε ράβδο με ελεύθερο άκρο L Ισχύουν: (1) και at (2) L (1),(2) L al T Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που δεν περιορίζεται η διαστολή ή η συστολή δεν εμφανίζονται τάσεις στο σώμα. Δηλαδή σ=0. L o Ο συντελεστής α ονομάζεται συντελεστής θερμικής διαστολής και εκφράζεται σαν μία ποσότητα ανα βαθμό C ή K. 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

17 Νόμος θερμικής διαστολής Ο νόµος αυτός µε λόγια λέει ότι: Η αύξηση του µήκους ( L) µιας ράβδου, όταν µεταβληθεί η θερµοκρασία της κατά Τ, είναι ανάλογη του αρχικού µήκους της (L ο ), ανάλογη του ( Τ), ενώ εξαρτάται και από το συντελεστή γραµµικής διαστολής, α, του υλικού: Δ Δ 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

18 Ανάπτυξη θερμικών τάσεων λόγω πάκτωσης της ράβδου Είδαμε πρίν ότι η μεταβολή του μήκους λόγω ΔΤ είναι: Λόγω πάκτωσης (περιορισμού) θα αναπτυχθεί δύναμη P που αναλύεται σε: PL P AE Η πάκτωση επιβάλλει: ( T) L PL T P 0 a( T) L 0 A E P Ea( T ) A 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών