16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

Transcript

1 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri) R ; r > 0. Zapisujeme k(s;r). Polomer kružnice vzdialenosť r = /SX/ Stred kružnice S (pevný bod) Tetiva úsečka, ktorá spája dva rôzne body kružnice Priemer najdlhšia tetiva s dĺžkou 2r = d Kruh K so stredom S a polomerom r nazývame množinu všetkých bodov Y v rovine, ktoré majú od pevného bodu S vzdialenosť /SX/ r ; pričom r (patri) R, r>0. Zapisujeme K(S;r) Dĺžka kružnice (obvod kruhu) o = 2 π r Obsah kruhu S = π r 2 Kruhový výsek prienik kruhu a uhla, ktorého vrcholom je stred kruhu. Dĺžka kružnicového oblúka = l = 2 π r/360 º α º Obsah kružnicového oblúka = S = π r 2 α º/ 360 º = lr/2 Kruhový odsek = prienik kruhu a polroviny, ktorej hraničná priamka má od stredu kruhu vzdialenosť menšiu ako polomer kruhu S = π r 2 α º / 360 º ½ r 2 sin α

2 Medzikružie = je množina všetkých bodov v rovine X, pre ktoré platí r 1 /SX/ < alebo = r 2 Obsah medzikružia = S = π (r 2 2 r 1 2 ) α π Vzájomná poloha kružnice a priamky : Vzájomnú polohu kružnice a priamky skúmame prostredníctvom počtu ich spoločných bodov môže byť 1, 2 alebo žiadny spoločný bod. 1. SEČNICA priamka p, ktorá ma s kružnicou k(s;r) 2 spločné body 2. DOTYČNICA priamka p, ktorá má s kružnicou k(s;r) jedniný spoločný bod T (T=bod dotyku, dotykový bod); zvyčajne sa označuje t 3. NESEČNICA priamka p, ktorá nemá s kružnicou k(s;r) žiadny spoločný bod Vzájomná poloha dvoch kružníc: Vzájomnú polohu dvoch kružníc skúmame tiež prostredníctvom počtu ich spoločných bodov, môže to byť 1, 2 alebo žiadny spoločný bod. Ak k 1 (S 1 ;r 1 ) a k 2 (S 2 ;r 2 ) majú spoločných : 1. 0 bodov hovoríme, že nemajú žiadny spoločný bod - k 2 leží mimo k 2 / k 2 leží vo vnútri k bod hovoríme, že sa dotýkajú (vnútorný alebo vonkajší dotyk) 3. 2 body A;B hovoríme, že sa v bodoch A;B pretínajú 4. nekonečne veľa spoločných bodov hovoríme že splývajú k 1 =k 2

3 Sústredné kružnice ak S 1 = S 2 Stredná vzdialenosť vzdialenosť stredov S 1 a S 2 dvoch kružníc

4 Úlohy: 1. Stredná( vzdialenosť )dvoch kružníc, ktoré sa dotýkajú zvonka je 12 cm a súčet obsahov obidvoch kruhov je 80π cm 2. Určite polomery týchto kružníc. 2. Kruh s polomerom R = 28 cm rozdeľte sústrednou kružnicou tak, aby obsahy vzniknutých častí boli rovnaké. Vypočítajte polomer r menšej sústrednej kružnice. 3. Kruh s polomerom R je rozdelený sústrednou kružnicou s polomerom r. Pomer obsahu vnútorného kruhu ku obsahu medzikružia je rovnaký ako pomer obsahu medzikružia ku obsahu vonkajšieho kruhu. Určite polomer r. 4. Vypočítajte polomer kružnice, ak je daná dĺžka jej tetivy t = 16 cm a výška príslušného kruhového odseku v = 5 cm. Vypočítajte tiež obsah odseku. 5. Tri rovnaké kružnice (r = 8 cm) sa navzájom dotýkajú. Určite obsah plochy ležiacej medzi kružnicami. 6. Rovnoramenný trojuholník má a =10 cm, b = c = 13cm. Do trojuholníka je vpísaná kružnica. Zistite koľko % z obsahu trojuholníka tvorí obsah kruhu. 7. Výška kruhového odseku je 2 cm, stredový uhol α = 60. Vypočítajte jeho obsah S a dĺžku oblúka o. 8. Okolo kruhového záhona je cestička široká 40 cm. Záhon má priemer 3m a 20cm. Vypočítajte obsah cestičky. 9. Prvé koleso súkolesia ozubených kolies má 60 zubov. Druhé koleso zapadajúce do prvého kolesa má 42 zubov. Tretie koleso zapadajúce do druhého kolesa má 15 zubov. Prvé koleso sa otočí sedemkrát. Koľkokrát sa otočí tretie koleso? 10. Akú dĺžku má tetiva AB, ktorej vzdialenosť od stredu S kružnice k(s, 10 cm) sa rovná 8 cm? (Viď. obrázok) 11. Do kruhovej striebornej medaile s priemerom 10 cm je vpísaný zlatý kríž, ktorý pozostáva z 5 rovnakých štvorcov. Aký je obsah striebornej časti? (π = 3,14) 12. Akú dráhu opíše hrot minútovej ručičky hodín dlhej 6cm za 20 minút ak vieme, že začiatočná poloha ručičky s konečnou zvierajú navzájom uhol 120? 13. Akú plochu kruhu zaberajú kvety vysadené v kruhovom výseku s polomerom 3 m a stredovým uhlom 45?

5 14. Dve sústredné kružnice tvoria medzikružie šírky 10 cm. Polomer menšej kružnice je 20 cm. Vypočítaj obsah medzikružia. 15. Koleso ťažnej veže má priemer 3 m. O koľko metrov vystúpi kabína výťahu, keď sa koleso otočí tým istým smerom 15- krát? 16. Vypočítaj obsah vyfarbenej časti štvorca s rozmerom 4 cm. 17. Vypočítajte polomer kružnice, ktorej dĺžka je o 7 cm väčšia ako obvod pravidelného šesťuholníka, ktorý je do tejto kružnice vpísaný. 18. Nech strana rovnostranného trojuholníka je a = 6 cm. Určte obsah medzikružia ohraničeného vpísanou a opísanou kružnicou daného trojuholníka.