3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται στην τύχη, να µη διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β). Ορίζουµε το ενδεχόµενο Β ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία διαβάζει την εφηµερίδα (β). Να αποδείξετε ότι Ρ( Β) i Να αποδείξετε ότι, η συνάρτηση f (x) = x x + Ρ( Β )x δεν έχει ακρότατα. Έστω τα ενδεχόµενα Α ο κάτοικος διαβάζει την εφηµερίδα α Β ο κάτοικος διαβάζει την εφηµερίδα β Τότε, Α Β είναι το ενδεχόµενο Ο κάτοικος διαβάζει την εφηµερίδα α και δε διαβάζει τη β. ίνεται ότι Ρ(Α) = 50 %, Ρ(Α Β) = 30% Το ενδεχόµενο o κάτοικος δε διαβάζει την α ή διαβάζει τη β είναι το Α Β. Ρ(Α Β) = Ρ(Α ) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Είναι προφανές ότι = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Β) + Ρ(Α Β) = [Ρ(Α) Ρ(Α Β)] = Ρ(Α Β) = = 7 0 = 70% Β Β Α Ρ(Β) Ρ(Β Α ) Ρ(Β) 7 0 Ρ(Α Β) = 30% Ρ(Α) Ρ(Α Β) = 30% 50% Ρ(Α Β) = 30% Ρ(Α Β) = 0%. () () Όµως Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) ( ) 0 00 Ρ(Β)

2 i f (x) = 3x x + Ρ(B) = Ρ(Β) 5 Ρ(Β) ( ) Από το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε Άρα το τριώνυµο 5 Ρ(Β) Ρ(Β) Ρ( Β) Ρ( Β) Ρ( Β) f (x) = 3x x + Ρ(B) είναι οµόσηµο του α = 3, δηλαδή θετικό, για κάθε x R, άρα η f δεν έχει ακρότατα.

3 3. Έστω Ω = {,, 3, 4, 5 } ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και τα ενδεχόµενα Α = {x Ω / 0 ln(x ) ln3 } Β = {x Ω / (x 5x)(x ) = 6(x )} Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ( Α Β), Ρ(Β Α ) Αν Ρ ( Α) = να βρείτε την πιθανότητα Ρ ( Α Β ) 4 i Αν Ρ( Α ) = και Ρ(Β Α) =, να βρείτε την ποιο µικρή και την ποιο 4 8 µεγάλη τιµή της πιθανότητας Ρ(Χ), όπου Χ είναι ενδεχόµενο του Ω, έτσι ώστε Α Χ = Β. 0 ln(x ) < ln3 ln ln(x ) < ln3 x < 3 x < 4 άρα Α = {, 3} (x 5x)(x ) = 6(x ) (x 5x)(x ) + 6(x ) = 0 A B = Ø άρα Ρ(A B) = 0 (x )(x 5x + 6) = 0 x = ή x = ή x = 3 Οπότε Β = {,, 3} Β Α = {,, 3} {, 4, 5} = {,, 3, 4, 5} = Ω. Άρα Ρ(Β Α ) = Ρ(Ω) = Α Β = {, 4, 5} {4, 5} = {, 4, 5} = Α. Οπότε Ρ ( Α Β ) = Ρ(Α ) = Ρ(Α) = 4 = 3 4 i Αφού Α = {, 3}, Β ={,, 3} και πρέπει να ισχύει Α Χ = Β, το Χ δύναται να είναι ένα από τα παρακάτω ενδεχόµενα Χ = {} ή Χ = {, } ή Χ 3 = {, 3} ή Χ 4 = {,, 3} Επειδή το Χ είναι υποσύνολο όλων των άλλων, η ποιο µικρή τιµή της πιθανότητας Ρ(Χ) είναι η Ρ(Χ ). Όµως Χ = Β Α, άρα Ρ(Χ ) = Ρ(Β Α) = 8 Αφού και τα Χ, Χ, Χ 3 είναι υποσύνολα του Χ 4, η ποιο µεγάλη τιµή της πιθανότητας Ρ(Χ) είναι η Ρ(Χ 4 ), για την οποία έχουµε Ρ(Χ 4 ) = Ρ() + Ρ() + Ρ(3) = Ρ(Χ ) + Ρ(Α) = = 3 8

4 4 3. Έστω Ω = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Για τα ενδεχόµενα Α, Β, Γ του Ω δίνεται ότι Α Β = {,, 3, 4, 5, 6}, Α Β = {, 3, 4}, Α Β = {, 6 } x + και Γ = {x Ω / } x Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) Να βρείτε την πιθανότητα ώστε να πραγµατοποιηθεί το Β και όχι το Γ. i Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγµατοποιηθεί ένα µόνο από τα Β, Γ iν) Αν S είναι η διακύµανση των τιµών λ, 3λ, 5λ όπου λ Ω, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχόµενου = { λ Ω / S > 4 }. Αφού Α Β = {, 3, 4} και Α Β = {, 6 }, θα είναι Α = {, 3, 4,, 6} Αφού Α Β = {,, 3, 4, 5, 6}, Α = {, 3, 4,, 6}, Α Β = {, 3, 4}, Για το ενδεχόµενο Γ έχουµε x + x Ρ(Α) = N(A) N( Ω ) = 5 0 x + 0 x x + x + x 3 x x 0 (3 x)(x ) 0 και x 0 θα είναι Β ={, 3, 4, 5} < x 3 και επειδή x Ω, θα είναι x = ή x = 3 Άρα Γ={, 3} N( Β), Ρ(Β) = N( Ω ) = 4 0 και Ρ(Γ) = Ν( Γ) Ν( Ω ) = 0 Β Γ = {, 4, 5} άρα Ρ(Β Γ) = N( Β Γ ) N( Ω ) = 3 0 i Γ Β = {}, οπότε (Β Γ) (Γ Β) = {,, 4, 5}, άρα Ρ[(Β Γ) (Γ Β)] = 4 0 iν) λ + 3λ + 5λ x = = 3λ 3

5 5 S ( λ 3 λ ) + (3λ 3 λ ) + (5λ 3 λ) 4λ + 4λ 8λ = = = S 8λ > 4 > 4 λ > 9 λ < 3 ή λ > 3 3 Και εφόσον λ Ω, θα είναι ={ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} Οπότε Ρ( ) = N( ) N( Ω ) = Στο διπλανό πίνακα δίνεται η κατανοµή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 µαθητών. Αν γνωρίζεται ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες της 3 ης και της 4 ης κλάσης. Από το δείγµα, επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα : α) O µαθητής έχει βάρος µικρότερο από 65 κιλά β) Ο µαθητής έχει βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και µικρότερο των 75. f = F = 0, άρα f 3 = 0,4 F 3 = F + f 3 = 0,5 + 0,4 = 0,9 F 4 = f = F F = 0,5 0, = 0,3 α) f + f = 0, + 0,3 = 0,5 β) f + f 3 = 0,3 + 0,4 = 0,7 Βάρος σε κιλά [, ) , , Αθρ.Σχετική Συχνότητα....

6 6 5. Ένα κινητό κινείται σ έναν άξονα και η θέση του κάθε χρονική στιγµή δίνεται από τη συνάρτηση x(t) = t 5t + 6, όπου t ο χρόνος σε sec µε t [ 0, 0] και το x σε m. Σε ποια θέση του άξονα βρισκότανε το κινητό στην έναρξη της κίνησης; Ποια είναι η ταχύτητα του κινητού 4 sec µετά την έναρξη της κίνησης; i Ποια είναι η επιτάχυνση του κινητού; iν) Ποια χρονικά διαστήµατα κινείται προς την θετική φορά, ποια προς την αρνητική και πότε είναι στιγµιαία ακίνητο; ν) Ποια είναι η µέση ταχύτητα του κινητού κατά το χρονικό διάστηµα [, 5] ; ν Να βρείτε το συνολικό διάστηµα που διήνυσε το κινητό. x(0) = = 6 m υ(t) = x (t) = t 5, i α(t) = υ (t) = m/ sec iν) άρα υ(4) = 4 5 = 3 m/sec υ(t) > 0 t 5 > 0 t > 5 Oπότε, το κινητό κινείται προς την θετική φορά, όταν t ( 5, 0, κινείται προς την αρνητική φορά, όταν t 0, 5 ) και είναι στιγµιαία ακίνητο όταν t = 5 ν) υ µ = x(5) x() = 6 0 = 3 m/sec 5 5 ν S ολ = x 5 ( ) x( 0) + x ( 0 ) x 5 ( ) = = 6,5 m

7 7 6. Ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης περιέχει 00 ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Αν Α, Β είναι δύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα του Ω, έτσι ώστε να ισχύει 9Ρ (Β) + 5 = 3Ρ(Β) + Ρ(Α), τότε είξτε ότι: [ 3 Ρ( Β) ] = 0 Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). i Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων των ενδεχοµένων Α, Β. iν) Nα βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α Β) 9Ρ (Β) + 5 = 3Ρ(Β) + Ρ(Α) 9Ρ (Β) Ρ(Β) + 4 = Ρ(Α) + Ρ(Β) () Α, Β ασυµβίβαστα Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Α Β) Η () γίνεται 9Ρ (Β) Ρ(Β) + 4 = Ρ(Α Β) () Όµως Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 0 Η () γίνεται 9Ρ (Β) Ρ(Β) [ 3 Ρ( Β) ] 0, οπότε [ 3 ( ) ] Ρ Β = 0 [ 3 Ρ( Β) ] = 0 3Ρ(Β) = 0 Ρ(Β) = 3 Αντικατάσταση στην υπόθεση δίνει Ρ(Α) = 3 i Ρ(Β) = Ν( Β ) = 3 Ν( Ω) 3 και οµοίως Ν(Α) = 670 iν) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ν( Β ) = N(B) =

8 8 7. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω και α, β [0,] Αν Ρ(Α Β) = α και Ρ(A B) = β Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Πραγµατοποιείται ένα µόνο από τα Α, Β Να δείξτε ότι α + β i Αν Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β), δείξτε ότι + α β + α. Ρ[(Α Β) (Β Α)] = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = β α α + β Ρ(Α Β) + Ρ(A B) i Ρ(Α Β) + Ρ(A B) Ρ(Α Β) Ρ(A B), η οποία ισχύει αφού Α Β A B + α β + α + Ρ(Α Β) Ρ(A B) + Ρ( Α Β ) + Ρ(Α Β) Ρ(A B) + Ρ( Α Β ) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(A B) Ρ(A B) + Ρ( Α Β ) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β ) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α) Ρ( Β ) [Ρ(Α) + Ρ(Β)] 4[ Ρ( Α) Ρ( Β ) ] Ρ (Α) + Ρ (Β) + Ρ(Α)Ρ(Β) 4 Ρ(Α)Ρ(Β) Ρ (Α) + Ρ (Β) Ρ(Α)Ρ(Β) 0 [Ρ(Α) Ρ(Β)] 0, η οποία είναι προφανής

9 9 8. i ) Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας Κλάσεις [, ) Κεντρική τιµή x i Σχετική σχ. f i 3 5 0, 5 7 0, 7 9 0,3 9 Σύνολο x i f i ( x x) ( ) i x x f i i i iν) Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση και να εξετασθεί αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Να βρείτε τις τιµές που πρέπει να πάρει η σταθερά c > 0, έτσι ώστε, αν οι τιµές της µεταβλητής X αυξηθούν κατά c, το δείγµα να γίνει οµοιογενές. Αν c Ω = {,, 3,,0}, όπου Ω δειγµατικός χώρος µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α το δείγµα είναι οµοιογενές και c είναι άρτιος αριθµός Ο πίνακας συµπληρωµένος Κλάσεις [, ) Κεντρική τιµή x i Σχετική σχ. f i x i f i ( x x) ( ) i x x f , 0,4 6, ,, 4 0, ,3, ,4 4,0 4,6 Σύνολο.. 8,0 4 4,0 Επειδή x = xifi S = κ (xi x) νi = ν i= = 8, οι δύο τελευταίες στήλες συµπληρώνονται όπως παραπάνω ν κ i (xi x) = i= ν κ (xi x) fi i= = 4. Άρα S = CV = S x = = 0,5 = 5% > 0%, εποµένως το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. 8 i i i Οι νέες τιµές θα είναι y i = x i + c

10 0 y = x + c = 8 + c και S y = S x =, οπότε CV y = S y y = 8 + c Για να είναι το δείγµα οµοιογενές θα πρέπει iν) 8 + c 0, c c Το ενδεχόµενο Α είναι Α = {, 4, 6, 8, 0}, άρα Ρ(Α) = N(A) N( Ω ) = 5 0 = 4

11 9. Έστω Ω = { ω N/ ω 0 }. Ορίζουµε την συνάρτηση Ρ(ω), όπου 3α αν ω περιττός Ρ = πιθανότητα για κάθε ω Ω, ως εξής : Ρ( ω ) = 006 α αν ω άρτιος 503 όπου α θετική σταθερά. Να βρείτε τη σταθερά α. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Α = { ω Ω / ω περιττός }, Β = { ω Ω/ ω = πολ5 και ω 00} Γ = Α Β Προφανώς Ω = {,, 3, 4,, 00, 0, 0 } Στο Ω υπάρχουν 0 αριθµοί. Οι µισοί δηλαδή οι 006 είναι άρτιοι και οι άλλοι µισοί περιττοί. Είναι Ρ(Ω) = Ρ() + Ρ() + Ρ(3) + + Ρ(0) + Ρ(0) 3α α = α + α = 0 α = ( η α = απορρίπτεται αφού είναι αρνητική) 3 A = {, 3, 5,, 0} 3α Ρ(Α) = Ρ() + Ρ(3) + Ρ(5) + + Ρ(0) = B = {5, 0, 5, 0,..., 85, 90, 95, 00} = 3 3 = 3 Στο Β υπάρχουν 0 πολλαπλάσια του 5. Από αυτά τα 0 είναι άρτιοι αριθµοί και τα α 3α υπόλοιπα περιττοί οπότε Ρ(Β) = = = = Ρ(Γ) = Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) () Το ενδεχόµενο Α Β περιέχει τα περιττά πολλαπλάσια του 5 από το έως το 00, που είναι 0 το πλήθος, οπότε 3 3 Ρ(Α Β) = = () Ρ(Γ) = 3 0 =

12 30. Κάποιος έχει την δυνατότητα να βάλει υποψηφιότητα για πρόεδρος σε δύο συλλόγους Σ και Σ. Έστω τα ενδεχόµενα Σ Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ Σ Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ Αν η πιθανότητα να εκλεγεί πρόεδρος στον Σ είναι 4, να µην εκλεγεί στον Σ είναι 3 και να µην εκλεγεί συγχρόνως και σους δύο συλλόγους είναι 6 5, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Εκλέγεται στον Σ Εκλέγεται στον Σ i Εκλέγεται και στους δύο συλλόγους iν) Εκλέγεται σ έναν τουλάχιστον σύλλογο ν) εν εκλέγεται σε κανέναν ν Εκλέγεται σε έναν µόνο σύλλογο ν Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται Ρ(Σ ) = 4 Ρ(Σ ) = Ρ(Σ ) = = 3 3 i 5 Ρ( Σ Σ ) = Ρ( Σ Σ ) = = 6 6 iν) Ρ( Σ Σ ) = Ρ(Σ ) + Ρ(Σ ) Ρ( Σ Σ ) = = 5 ν) Ρ( Σ Σ ) = Ρ( Σ Σ ) = 5 = 7 ν Ρ[(Σ Σ ) (Σ Σ )] = Ρ(Σ ) + Ρ(Σ ) Ρ( Σ Σ ) = + 4 ν 3 6 = 4 Το ενδεχόµενο : Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται είναι το ( Σ Σ ). 5 Άρα Ρ( Σ Σ ) = 6