Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Transcript

1 Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Νόμος της Βαρύτητας επιτάχυνση της βαρύτητας Κίνηση δορυφόρου Νόμοι Keple Το σύμπαν και οι δυνάμεις βαρύτητας Ο λόγος που βλέπουμε το βράδυ με ξαστεριά μια πιο φωτεινή περιοχή (περίπου σαν γραμμή) στη μέση του ουρανού είναι ότι προς εκείνη την κατεύθυνση υπάρχουν δισεκατομμύρια αστέρια (μεγαλύτερα και μικρότερα του δικού μας Ήλιου), ενώ προς όλες τις άλλες κατευθύνσεις αυτά είναι λιγότερα. Η θέση του δικού μας αστέρα στο Γαλαξία (Milky Way) είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Ο Γαλαξίας έχει ακτίνα περίπου έτη φωτός και πάχος μόλις μερικές χιλιάδες έτη φωτός. Εμείς βρισκόμαστε σε απόσταση περίπου 8000 έτη φωτός από το κέντρο του, και άρα βλέπουμε τον περίπου δίσκο του σπειροειδούς μας γαλαξία σαν να έχει μεγαλύτερη πυκνότητα σε αυτή τη κατεύθυνση. Κατά συνέπεια είναι και πιο φωτεινός. Σχήμα 1. Αναπαράσταση του Γαλαξία και η θέση του αστέρα μας σε αυτόν. Τι είναι όμως αυτό που κάνει το Γαλαξία, αλλά και όλους τους άλλους γαλαξίες να έχουν τόσα πολλά αστέρια (ο Γαλαξίας έχει μεταξύ 00 και 400 δισεκατομμύρια αστέρια) σε τόσο όμορφους σχηματισμούς; Γιατί δεν διαλύεται ο σχηματισμός τους; Για να απαντήσουμε αυτές τις ερωτήσεις θα πρέπει να κατανοήσουμε ότι η δύναμη της βαρύτητας δεν είναι μόνο υπεύθυνη για να μας έλκει προς τη Γη αλλά κυριαρχεί και παίζει πρωταγωνιστικό ρόλο στην κίνηση των πλανητών και αυτή των αστέρων. Ο νόμος της Βαρύτητας Η ίδια δύναμη ασκείται και μεταξύ δύο πολύ μικρότερων σωμάτων π.χ. μεταξύ ενός χαρτιού και του στυλό όταν τα αφήσουμε και τα δύο πάνω σε ένα τραπέζι. Αυτή όμως η δύναμη είναι πολύ πιο ασθενής από άλλες δυνάμεις (π.χ. τριβή) που κυριαρχούν σε αυτά τα τόσο μικρά μεγέθη. Για το λόγο αυτό το στυλό μας δεν πηγαίνει συνεχώς μόνο προς την κατεύθυνση του χαρτιού και το αντίθετο!

2 Ο Νεύτωνας το 1665 δεν είπε απλά ότι το μήλο έλκεται από τη Γη αλλά ότι «κάθε σώμα έλκεται από κάθε άλλο σώμα». Συνεπώς και το μήλο έλκει τη Γη, δηλαδή και η Γη κινείται προς το μήλο όταν αυτό πέσει από το δέντρο. Ποσοτικά ο Νεύτωνας πρότεινε την εξής διατύπωση για το νόμο της Βαρύτητας: Κάθε σωμάτιο ύλης στο σύμπαν έλκει κάθε άλλο σωμάτιο και η ελκτική αυτή βαρυτική δύναμη είναι ανάλογη προς το γινόμενο των μαζών των δύο σωμάτων και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης. Συγκεκριμένα: m1m = G, (1) όπου m 1 και m είναι οι μάζες των σωμάτων, είναι η απόσταση μεταξύ τους και G είναι η σταθερά της βαρύτητας ή αλλιώς βαρυτική σταθερά (ΠΡΟΣΟΧΗ: ΌΧΙ η επιτάχυνση της βαρύτητας g). Η τιμή της σταθεράς G είναι: G=6.67x10-11 Nm /kg, ή επειδή N=kg m/sec μπορεί να γραφτεί και ως G=6.67x10-11 m 3 /kg sec. Αν για παράδειγμα δούμε το σύστημα μήλου τότε έχουμε: Για m 1 =0.1 kg και m =6x10 4 kg και =R =6,37x10 6 m έχουμε: m1m = G 1N, αλλά και B = m 1N 1g Δηλαδή η δύναμη που ασκείται είναι (όπως θα περιμέναμε) ίση με το βάρος του μήλου κοντά στην επιφάνεια της. Λόγω της δράσης αντίδρασης που είδαμε σε προηγούμενο μάθημα ίση δύναμη με αντίθετη φορά ασκείται και στη Γη από το μήλο. Αλλά η επιτάχυνση που αποκτά η Γη λόγω του μήλου είναι λόγω του δεύτερου νόμου: 5 = mα α = 1. 6x 10 m / sec. m Η επιτάχυνση αυτή είναι πολύ μικρή για να γίνει αντιληπτή. Ακόμα και η πτώση ενός μεγάλου αεροπλάνου (m kg) του οποίου οι μηχανές έσβησαν στον αέρα δεν προκαλεί αρκετά μεγάλη επιτάχυνση στη Γη για να γίνει αντιληπτή από εμάς. Δύο όμως σώματα αστρονομικών διαστάσεων, όπως δύο πλανήτες ή ένας πλανήτης και ο δορυφόρος του (π.χ. Γη Σελήνη) έλκουν με αρκετά ισχυρές δυνάμεις και τα δύο το ένα το άλλο. Για την ακρίβεια σε αυτές τις περιπτώσεις ενώ ο νόμος της βαρύτητας μιλάει για σωμάτια ύλης, η Γη και η Σελήνη (καθότι σχεδόν σφαιρικές) μπορούν με καλή προσέγγιση να θεωρηθούν σωμάτια. Αυτό ισχύει γιατί «μια σφαιρικά συμμετρική και ομοιογενής μάζα έλκει ένα σώμα που βρίσκεται εκτός αυτής σαν όλη η μάζα της να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο της». Εσωτερικά της σφαίρας η βαρυτική δύναμη μειώνεται αντί να αυξάνεται λόγω της μείωσης της απόστασης των δύο σωμάτων. Η απόσταση συνεπώς μήλου είναι ίση με την ακτίνα της R =6,37x10 6 m γιατί το μήλο βρίσκεται σε ένα ύψος μόλις μερικά μέτρα πάνω από τη Γη (στη μηλιά), όπου είναι για παράδειγμα h=m. Κανονικά δηλαδή είναι =R +h=6,37x10 6 +m. Συνεπώς και επειδή το ύψος είναι πολύ μικρότερο της ακτίνας της (h<<r ) είναι =R =6,37x10 6 m Λόγω της ύπαρξης αυτής της δύναμης οι πλανήτες έχουν σφαιρικό σχήμα. Τα διάφορα κομμάτια μάζας που τον αποτελούν αν αποκολληθούν (π.χ. σκόνη, πέτρες, λάβα) τείνουν να μειώσουν την απόσταση από το κέντρο μάζας και άρα να βρεθούν σε

3 πιο ευσταθή κατάσταση. Στους αστεροειδής οι δυνάμεις αυτές δεν είναι αρκετά μεγάλες καθώς η μάζα τους είναι πολύ μικρότερη και άρα και η δύναμη της βαρύτητας πολύ μικρότερη. Παράδειγμα είναι τα μη σφαιρικά σχήματα αστεροειδών όπως ο Eos, η Ida κ.α. του σχήματος. Σχήμα. Σχήματα ορισμένων αστεροειδών του ηλιακού συστήματος. Φυσικά η αρχή της επαλληλίας που εφαρμόσαμε σε όλα τα διανύσματα και δυνάμεις σε προηγούμενα μαθήματα ισχύει και εδώ. Συνεπώς όταν βρισκόμαστε στην αίθουσα δεχόμαστε δυνάμεις ελκτικές (βαρυτικής φύσης) από όλους γύρω μας και τα θρανία, καρέκλες κ.α. αλλά και από σώματα εκτός του δωματίου και φυσικά τη Γη, τη Σελήνη, τον Ήλιο και άλλους αστέρες. Ισχύει δηλαδή γενικά: Σ 1 = K + 1n, () όπου Σ 1 είναι η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα 1 και 1i είναι η ελκτική βαρυτική δύναμη που ασκείται στο σώμα 1 λόγω του σώματος i. Φυσικά ένα εκ των i σωμάτων είναι η Γη. Έτσι πρέπει σε κάθε περίπτωση να βρίσκουμε την συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα που εξετάζουμε. Στην πράξη όμως στο παράδειγμα αυτό η μοναδική δύναμη που έχει μεγάλη τιμή είναι αυτή της δύναμης της βαρύτητας λόγω της ( >> για κάθε άλλο σώμα i). Άσκηση 1 1i

4 1) Έστω τρεις αστέρες με μάζες m 1 =10 30 kg, m =8x10 30 kg και m 3 =8x10 30 kg και γνωρίζουμε τις αποστάσεις μεταξύ των μαζών m 1 και m και m και m 3, οι οποίες είναι 1 = 3 =x10 1 m. Αν η γωνία μεταξύ των μαζών m 1, m και m 3 είναι θ=45 ο, να βρεθεί η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στη μάζα m 1. m 3 y 3 13y 13 1 m 1 45 o m 45 o φ 1 13x 1 Σχήμα 3. Διάταξη τριών αστέρων στο χώρο και διάγραμμα ελεύθερου σώματος. 1x x Λύση: Οι μάζες m και m 3 ασκούν ελκτικές δυνάμεις στη μάζα m 1. Κάνουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος και για τις δυνάμεις αυτές βλέπουμε ότι έχουμε: m1m x10 6 = G = 6. 67x10 = 1. 33x10 N, ( x10 ) 30 Για να βρούμε τη δύναμη 13, πρέπει να υπολογίσουμε την απόσταση 13, κάτι που μπορούμε να κάνουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το ορθογώνιο τρίγωνο: ( x10 ) + ( x10 ) = x10 m 13 = + =. Συνεπώς προκύπτει: m1m x = G = 6. 67x10 = 6. 67x10 N 1 13 ( x10 ) Αναλύουμε την 13 στις συνιστώσες της σε άξονες x και y και βρίσκουμε: 13x 13y = = Οπότε: συν45 ημ45 ο ο = = = 4. 7x10 = 4. 7x N N και 6 5 1x = 13x + 1 = 13 = 1. 81x10 N και 1y = 13y = 4. 7x10 N Συνεπώς με Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε: 6 1y ο 1 = 1x + 1y = 1.87x10 N και εφφ = = 0. 6 φ = Σύνδεση βαρυτικής σταθεράς με επιτάχυνση της βαρύτητας Για τη δύναμη του Βάρους Β ενός σώματος πάνω στην επιφάνεια της είναι: 1x

5 mm B=mg, αλλά και B = G, οπότε προκύπτει: R m g = G. R Η σχέση αυτή ισχύει για την επιτάχυνση της Βαρύτητας στη Γη. Αν πάμε σε άλλο αστρονομικού μεγέθους σώμα τότε η επιτάχυνση α αυτού του σώματος θα είναι ανάλογη της μάζας του και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της ακτίνας του (όταν το σώμα είναι πάνω στην επιφάνεια του αστρονομικού μεγέθους σώματος). Γενικά δηλαδή για κάθε αστρονομικού μεγέθους σώμα Α θα είναι: ma α = G (3) R A Άσκηση ) Ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας g Pulsa ενός Pulsa (εξαιρετικά πυκνού αστέρα) στην επιφάνεια του αν m Pulsa =1.98x10 30 kg και R Pulsa =1km; Λύση: Θεωρούμε ένα δοκιμαστικό σώμα μάζας m στην επιφάνεια του αστέρα. Τότε η δύναμη που δέχεται λόγω του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα είναι: = mg Pulsa, Λόγω όμως του νόμου της Βαρύτητας ισχύει επίσης: mmpulsa = G. RPulsa Οπότε από τις δύο σχέσεις προκύπτει: mpulsa 11 g Pulsa = G = 9.x10 m/sec. RPulsa Αυτή η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι περίπου φορές μεγαλύτερη από αυτή της. Για την ακρίβεια ο άνθρωπος λόγω της φυσιολογίας δεν μπορεί να επιβιώσει όταν η επιτάχυνση της βαρύτητας η οποία δέχεται είναι μεγαλύτερη από μόλις μερικές φορές αυτή της. Συνεπώς θα ήταν αδύνατο να περπατήσουμε ποτέ στην επιφάνεια ενός τέτοιου αστέρα ή ακόμα και να τον πλησιάσουμε σημαντικά. Η επιτάχυνση της βαρύτητας στη Γη και σε απόσταση από αυτή Η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας στη Γη δεν είναι ακριβώς η ίδια, g=9.8m/sec, σε όλη την επιφάνεια της. Η ακριβής τιμή της ποικίλλει από 9,78 (στον ισημερινό) έως 9,835 (στους πόλους) περίπου ανάλογα με το σημείο της στο οποίο αναφερόμαστε. Υπάρχουν αρκετοί λόγοι για τους οποίους ισχύει αυτό. Ο πλέον γνωστός είναι ότι η Γη δεν είναι ακριβώς σφαιρική αλλά έχει τη μορφή μιας «πατημένης» στους πόλους σφαίρας (ελλειψοειδές εκ περιστροφής), με την ακτίνα των πόλων να είναι 1km μικρότερη από αυτή του ισημερινού. Επιπλέον, σημαντικές αποκλίσεις έχουμε γιατί η Γη

6 δεν είναι ομοιογενής (εσωτερικά υπάρχουν σημαντικές ανομοιογένειες λόγω διαφορετικών πετρωμάτων) και τέλος γιατί περιστρέφεται δημιουργώντας διαφορετική κεντρομόλο δύναμη ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος (απόσταση από τους πόλους). Ακόμα όμως και αν τη θεωρήσουμε κατά προσέγγιση σταθερή, η τιμή της δεν είναι η ίδια καθώς αρχίσουμε να απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια της. Έτσι ένας αστροναύτης που στη Γη δέχεται δύναμη Β=800Ν (έχει μάζα περίπου 81.5kg), καθώς αυξάνει το υψόμετρο του διαστημοπλοίου νοιώθει τη δύναμη αυτή να μειώνεται. Αυτό συμβαίνει γιατί ισχύει γενικά η σχέση: mm B = G, όπου όμως πλέον το είναι ίσο με: =R +h, όπου h το υψόμετρο στο οποίο βρίσκεται ο αστροναύτης και R η ακτίνα της. mm Οπότε είναι B = G. h + ( ) R Συγκεκριμένα για υψόμετρο περίπου ίσο με 4 φορές την ακτίνα της (άρα απόσταση 5 φορές από το κέντρο της), η επιτάχυνση της βαρύτητας πέφτει περίπου στο 1/5 της αρχικής της τιμής και ο αστροναύτης νοιώθει δύναμη μόλις 3Ν. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι αστροναύτες στο διαστημικό σταθμό δεν νοιώθουν σχεδόν καμία ελκτική δύναμη αν και πετούν μόλις σε 00km (<< R ). Αυτό συμβαίνει λόγω της μεγάλης ταχύτητας που έχει ο διαστημικός σταθμός σχεδόν παράλληλα προς τη Γη και όχι λόγω απόστασης. Στην πράξη έλκονται από τη Γη αλλά «πέφτουν συνεχώς προς αυτή». (N) 800Ν 3Ν (m) R 5xR Σχήμα 4. Διάταξη τριών αστέρων στο χώρο και διάγραμμα ελεύθερου σώματος. Κίνηση δορυφόρων Συγκεκριμένα για να δούμε τι γίνεται σε ένα δορυφόρο της μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε του Νόμους του Νεύτωνα για την κινητική και το νόμο της Βαρύτητας. Ας υποθέσουμε ότι ένα κανόνι τοποθετείται στην κορυφή του Έβερεστ και εκτοξεύει ένα βλήμα. Αν το βλήμα είναι βαρύ και βάλουμε λίγη πυρίτιδα στο κανόνι τότε αυτό θα φτάσει σε μικρή σχετικά απόσταση εκτελώντας όπως είδαμε παραβολική τροχιά. Αν βάλουμε νέο βλήμα (πιο ελαφρύ) ή/και αυξήσουμε την πυρίτιδα τότε το βλήμα θα φύγει με μεγαλύτερη ταχύτητα και θα πάει πιο μακριά. Αν βάλουμε αρκετά μεγάλη ποσότητα πυρίτιδας (και δεν σκάσει το κανόνι!) ή το βλήμα γίνει αρκετά μικρής μάζας

7 (χωρίς να διαλυθεί από την έκρηξη!), τότε κάποια στιγμή το βλήμα θα έχει τόσο μεγάλη ταχύτητα ώστε να έλκεται μεν φυσικά από τη Γη, αλλά η καμπυλότητα της να είναι τόση ώστε το βλήμα να μην πέφτει ποτέ στη Γη. Θα μπορούσε μάλιστα να πέφτει συνεχώς προς τη Γη και (αν αγνοήσουμε τις τριβές λόγω αέρα) να κάνει μια ολόκληρη περιστροφή γύρω από τη Γη εφόσον θα περνούσε πάνω από όλα τα βουνά χωρίς ποτέ να πέφτει σε αυτά. Μόλις θα έφτανε στο αρχικό σημείο (Έβερεστ), μετά την περιστροφή και εφόσον δεν είχε τριβές να μειώσουν την ταχύτητα του, θα συνέχιζε σαν να είχε μόλις εκτοξευθεί κάνοντας δηλαδή συνεχώς περιστροφές γύρω από τη Γη. Αυτό θα έκανε το βλήμα αυτό δορυφόρο της. Φυσικά τριβές κοντά στην ατμόσφαιρα της υπάρχουν λόγω αέρα. Σε απόσταση όμως από τη Γη αυτές πρακτικά μηδενίζονται καθώς στο διάστημα υπάρχει σχεδόν απόλυτο κενό. Έτσι και σε μικρά ακόμα ύψη (~00km) μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι τριβές είναι σχεδόν μηδενικές γιατί είμαστε μακριά από την ατμόσφαιρα της. Στην απλούστερη περίπτωση τροχιάς δορυφόρου η τροχιά είναι κυκλική. Αυτό ισχύει για τους περισσότερους τεχνητούς δορυφόρους της καθώς και στην πράξη για τους περισσότερους πλανήτες γύρω από τον Ήλιο. Για μια ομαλή κυκλική κίνηση (κίνηση με σταθερού μέτρου ταχύτητα πάνω σε u κυκλική τροχιά) με ταχύτητα u και ακτίνα το σώμα κινείται με επιτάχυνση α =. Η επιτάχυνση σε μια τέτοια κίνηση είναι τέτοια ώστε να αλλάζει μόνο την φορά του διανύσματος της ταχύτητας όχι το μέτρο του, έχει δηλαδή φορά (η επιτάχυνση) πάντα προς το κέντρο του κύκλου. Για τον δορυφόρο αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στη mm μοναδική δύναμη που ασκείται σε αυτόν, τη δύναμη της βαρύτητας B = G. Συνεπώς και επειδή ισχύει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ( = mα ), είναι: mm u mm m m mα = G m = G u = G u = G (4) Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι μπορεί κανείς να επιλέξει ανεξάρτητα την τιμή του (στην ουσία του υψόμετρου του δορυφόρου) από την ταχύτητα του για να έχει κυκλική τροχιά σε ένα δορυφόρο. Είτε δηλαδή επιλέγουμε την απόσταση του από τη Γη και βρίσκουμε την ταχύτητα του, είτε επιλέγουμε την ταχύτητα του και βρίσκουμε την ακτίνα της τροχιάς. Η μάζα του δορυφόρου δεν παίζει κανένα ρόλο. Αυτό σημαίνει ότι όλα κομμάτια μάζας του δορυφόρου κινούνται με ταχύτητα u, ακόμα και οι αστροναύτες μέσα σε αυτόν. Γνωρίζοντας την ακτίνα μπορούμε να βρούμε και την περίοδο T, τον χρόνο δηλαδή περιφοράς του δορυφόρου γύρω από τη Γη. Σε χρόνο ίσο με Τ, ο δορυφόρος περιστρέφεται μια φορά, δηλαδή εκτελεί απόσταση π. Η ταχύτητα του συνεπώς είναι: u = π T Για να βρούμε το Τ, λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς Τ και αντικαθιστούμε την ταχύτητα από τη (4): T π = T = u (4) 3/ π π 4π m G T = π Gm T = Gm ή T = Gm 3 (5)

8 Αυτό δείχνει ότι οι μεγαλύτερες τροχιές έχουν μεγαλύτερες περιόδους αλλά και μικρότερες ταχύτητες. Οι νόμοι του Keple για την κίνηση των πλανητών Οι κανόνες της κίνησης των πλανητών εξήχθησαν από τον Keple μεταξύ του 1601 και 1619, καθώς μελετούσε τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων του αστρονόμου Bahe. Με τη μέθοδο της δοκιμής και επαλήθευσης ο Keple ανακάλυψε τρεις εμπειρικούς κανόνες οι οποίοι περιέγραφαν με αρκετά καλή ακρίβεια την κίνηση των (τότε) γνωστών πλανητών, αλλά και αυτών που ανακαλύφθηκαν αργότερα. 1. Κάθε πλανήτης κινείται σε μια ελλειπτική τροχιά με τον Ήλιο στη μια εστία της έλλειψης.. Η ευθεία που ενώνει τον Ήλιο με έναν οποιοδήποτε πλανήτη σαρώνει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. 3. Τα τετράγωνα των περιόδων των πλανητών είναι ανάλογα προς τους κύβους των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών τους (Τ ~α 3 ). Ο Keple δεν ήξερε γιατί οι πλανήτες κινούνται κατά αυτόν τον τρόπο, είχε μόνο κάνει την παρατήρηση. Τρεις γενιές αργότερα ο Νεύτωνας απέδειξε ότι οι νόμοι αυτοί ήταν συνέπεια των νόμων της κίνησης και της ελκτικής βαρυτικής δύναμης. Η γεωμετρία της ελλειψοειδούς τροχιάς της κίνησης του πλανήτη φαίνεται στο σχήμα 5. Το άθροισμα της απόστασης του S από τον πλανήτη (Π) και του S από το Π είναι συνεχώς σταθερό για όλα τα σημεία της έλλειψης (όπου και αν βρίσκεται ο πλανήτης). Το σημείο που βρίσκεται πιο κοντά στον ήλιο (περί τον ήλιο) λέγεται Περιήλιο, ενώ το πιο μακρινό λέγεται Αφήλιο (μακριά από τον ήλιο). O 3 ος νόμος του Keple εκφράζεται από τη σχέση (5) Πλανήτης Περιήλιο S (Ήλιος) S (τίποτα) 0 Αφήλιο ε α ε α α α Σχήμα 5. Σχεδιάγραμμα περιστροφής πλανήτη γύρω από αστέρα (εδώ τον Ήλιο). Όπου S και S είναι οι δύο εστίες της έλλειψης, στην πρώτη βρίσκεται ο αστέρας, η δεύτερη είναι κενή, ε είναι η εκκεντρότητα (για έλλειψη έχει τιμή από 0 έως 1, με 0 να είναι καθαρός κύκλος και 1 παραβολή για τη Γη είναι ε=0.017, δηλαδή σχεδόν κύκλος) και α το μήκος του μεγάλου ημιάξονα.