Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Transcript

1 ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά (Γεωµετρία) Α Γυµνασίου Προτεινόµενο λογισµικό: Προτείνεται να χρησιµοποιηθεί το λογισµικό Χελωνόκοσµος Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Θέµατα Σχεδιασµός τριγώνου Άθροισµα γωνιών τριγώνου Εξωτερική γωνία τριγώνου Γωνίες ισοπλεύρου και ισοσκελούς τριγώνου. Σκεπτικό Το σενάριο αυτό σχεδιάστηκε για να γίνει η κατασκευή τριγώνου µε µια διαφορετική προσέγγιση. Η διερεύνηση για την κατασκευή αυτή θα βασιστεί σε απλές διαδικασίες στη γλώσσα Logo (µισοψηµένος µικρόκοσµος), οι οποίες όταν εκτελούνται έχουν ως αποτέλεσµα το σχεδιασµό ανοικτής τεθλασµένης γραµµής. Το πρόβληµα κατ αρχήν φαίνεται απλό και χωρίς ενδιαφέρον. Για να λυθεί όµως, δηλαδή να κλείσει µια ανοιχτή τεθλασµένη γραµµή µε τρεις πλευρές, πρέπει να γίνει συσχέτιση του µήκους των πλευρών και του µεγέθους των γωνιών πολλών διαφορετικών τριγώνων. Οι µαθητές θα κληθούν να κάνουν πειράµατα για το πότε το αποτέλεσµα της εκτέλεσής τους σχεδιάζει τρίγωνο, να ανακαλύψουν τη σχέση εξωτερικής-εσωτερικής γωνίας τριγώνου, τη σχέση ανάµεσα στις τρεις γωνίες του τριγώνου και να διορθώσουν τις διαδικασίες ώστε να σχεδιάζουν ισόπλευρο, ισοσκελές τρίγωνο. Για να γίνουν οι κατασκευές αυτές πρέπει να ανακαλυφθούν κάποιες σχέσεις ανάµεσα στις γωνίες και ο κώδικας του Χελωνόκοσµου θα βοηθήσει δυναµικά στην επίλυση του προβλήµατος. 1

2 Γνωστικά Η κατασκευή του τριγώνου θεωρείται µια αυτονόητα απλή κίνηση, η οποία µε την παλιά διαδικασία (πίνακας κιµωλία γεωµετρικά όργανα) δεν είχε παρά µόνο κάποιες σχεδιαστικές ίσως δυσκολίες. Αντίθετα µε το σενάριο αυτό οι µαθητές αντιµετωπίζουν δυσκολίες που τους οδηγούν στη γνώση καθώς δοκιµάζουν να δηµιουργήσουν το κλειστό σχήµα. Όταν π.χ. αλλάζοντας τιµές στις εξωτερικές γωνίες (γωνίες που στρίβει η χελώνα) και παρατηρώντας τα αποτελέσµατα, κάτι πολύ δύσκολο έως ακατόρθωτο στον πίνακα και στο τετράδιο. Οι µαθητές θα εργαστούν διερευνητικά εφαρµόζοντας ένα λογισµικό που τους επιτρέπει να ενεργήσουν εν µέρει και ως προγραµµατιστές, παρόλο που το πρόγραµµα θα σχεδιαστεί βασικά από τον καθηγητή. Θα δοκιµάσουν να δηµιουργήσουν το κλειστό σχήµα εκµεταλλευόµενοι την ιδιότητα της ανάδρασης που τους προσφέρει το λογισµικό του Χελωνόκοσµου, ενώ η χρήση του µεταβολέα παρέχει δυναµικότητα στο σχήµα οδηγώντας τους έτσι ευκολότερα στα επιθυµητά αποτελέσµατα. Προστιθέµενη Αξία Το σενάριο προσφέρει στους µαθητές, τη δυνατότητα της διερεύνησης και της δυναµικής εξέτασης των γεωµετρικών σχηµάτων, δυνατότητες που θα ήταν δύσκολο έως αδύνατο να παρασχεθούν από τα συµβατικά µέσα που χρησιµοποιούνται στην τάξη (πίνακας, κιµωλία, χαρτί, µολύβι). Συγκεκριµένα, ο µαθητής έχει τη δυνατότητα, µε τη βοήθεια του µεταβολέα, να παίξει µε µεταβλητές που αφορούν το µήκος των πλευρών ενός τριγώνου και το µέγεθος των γωνιών του και να συµπεράνει τη σχέση που συνδέει τις γωνίες µεταξύ τους και τις τιµές των γωνιών του ισόπλευρου τριγώνου και του ισοσκελούς. 2

3 Θεωρητικό πλαίσιο Κατά τη διδασκαλία των παραπάνω εννοιών όπως αυτή παρουσιάζεται στο συγκεκριµένο σενάριο φιλοδοξούµε να εµπλέξουµε τους µαθητές σε ενεργητικές διαδικασίες µάθησης στις οποίες το λάθος όχι µόνο είναι απενοχοποιηµένο, αλλά µπορεί να φανεί πολύ χρήσιµο στην τελική γνώση. Ο εκπαιδευτικός θα πάψει να είναι παραδοσιακός καθηγητής µετωπικής διδασκαλίας και αυθεντία της γνώσης. Καλείται να γίνει συνεργάτης και καθοδηγητής των µαθητών του. Επιδίωξη λοιπόν είναι το σενάριο να στοχεύει στην οµαδοσυνεργατική διερευνητική µάθηση. Πλαίσιο Εφαρµογής Σε ποιους απευθύνεται: To σενάριο απευθύνεται σε µαθητές Α Γυµνασίου ιάρκεια υλοποίησης: To σενάριο θα έχει διάρκεια 2 διδακτικές ώρες. Χώρος υλοποίησης: Eργαστήριο Η/Υ Προαπαιτούµενες γνώσεις και δεξιότητες: Να έχουν στοιχειώδη γνώση στο χειρισµό του λογισµικού. Να γνωρίζουν τι είναι ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο και εξωτερική γωνία τριγώνου. Απαιτούµενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία: Κατάλληλα φύλλα εργασίας τα οποία δίνονται από τον διδάσκοντα και αναλυτικές οδηγίες (προφορικές και γραπτές) για τη διευκόλυνση και καθοδήγηση των µαθητών. Είναι απαραίτητο να υπάρχει εγκατεστηµένο το λογισµικό µικρόκοσµων «Αβάκιο» στους Η/Υ που θα χρησιµοποιήσουν οι µαθητές. ιδακτικοί στόχοι: Θα διαπιστώσουν τις επιπτώσεις που έχει σε ένα τρίγωνο η διαφοροποίηση ενός στοιχείου του όπως της γωνίας ή της πλευράς του. Θα επαληθεύσουν το ότι οι γωνίες του τριγώνου έχουν άθροισµα

4 Θα ανακαλύψουν τη σχέση ανάµεσα σε µια εξωτερική γωνία τριγώνου και στις απέναντι εσωτερικές του τριγώνου. Θα διαπιστώσουν ότι οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου είναι όλες ίσες µε 60 Θα διαπιστώσουν ότι οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες µεταξύ τους. Μαθησιακοί-Κοινωνικοί στόχοι: Oι µαθητές να µάθουν Να εµπλέκονται σε διαδικασίες διατύπωσης εικασιών και διερεύνησης. Να κάνουν γενικεύσεις µετά από πολλές δοκιµές και επαναλήψεις Να συνεργάζονται για ένα κοινό στόχο. Να διατυπώνουν τα αποτελέσµατα τους τεκµηριωµένα στο σύνολο της τάξης. Να εξοικειώνονται µε τη χρήση της τεχνολογίας Η/Υ στην καθηµερινή και µαθησιακή τους πορεία. Κοινωνική Ενορχήστρωση Οι µαθητές δουλεύουν σε οµάδες των 2-3 ατόµων καθοδηγούµενοι από το φύλλο εργασίας και τον διδάσκοντα, ο ρόλος του οποίου είναι να διευκολύνει το έργο των οµάδων και να τους ενθαρρύνει. Κατά τη διάρκεια υλοποίησης του σεναρίου ο εκπαιδευτικός κινείται ανάµεσα στις οµάδες εποπτεύει και βοηθά τις οµάδες να επιλύσουν µόνες τους τα προβλήµατα που προκύπτουν. Προτρέπει τους µαθητές να εναλλάσσουν τους ρόλους τους στην οµάδα ώστε να συµµετέχουν ισότιµα στη διαδικασία της µάθησης. Ροή του Σεναρίου Α Φάση Οι µαθητές θα ξεκινήσουν µε µία απλή διαδικασία στο λογισµικό του Χελωνόκοσµου. για τρίγωνο :Α :Β :Γ :π1 :π2 :π3 4

5 µ :π1 δ 180-:Α µ :π2 δ 180-:Β µ :π3 δ 180-:Γ µ :π1 (Η εντολή αυτή βοηθάει να κλείσει το σχήµα «ακριβώς») τρίγωνο Με το που τρέχουν τη διαδικασία διαπιστώνουν ότι δεν είναι τρίγωνο, αλλά µια ανοιχτή τεθλασµένη γραµµή. Παίρνοντας αφορµή από τις εντολές του κώδικα, µπορεί να τονιστεί από τον διδάσκοντα, η διαφορά µεταξύ των µεταβλητών Α, Β και Γ, που είναι οι γωνίες του τριγώνου και των παραστάσεων!80-α, 180-Β και 180-Γ, που είναι οι γωνίες που στρίβει η χελώνα και χρησιµοποιούνται στον κώδικα. Ενεργοποιώντας την ψηφίδα του µεταβολέα και αλλάζοντας τα όρια των µεταβλητών (0 180), δίνουν διάφορες τιµές, µε σκοπό να σχηµατίσουν τρίγωνο. Έτσι µπαίνουν στη διαδικασία να πειραµατιστούν αλλάζοντας το µέγεθος κάποιων γωνιών, ώστε να συµπέσει η αρχική πλευρά µε την τελική πλευρά της τεθλασµένης και η χελώνα να είναι ακριβώς πάνω στην αρχική πλευρά, δηλαδή να κλείσει η τεθλασµένη γραµµή και να σχηµατιστεί τρίγωνο. Όποτε σχηµατίζουν τρίγωνο τους ζητάµε να σηµειώνουν σ έναν πίνακα τις τιµές που είχαν σε κάθε εντολή, αφού συµπληρώσουν τον πίνακα διατυπώνουν τα συµπεράσµατά τους για το άθροισµα των γωνιών και τις εξωτερικές γωνίες τριγώνου. Β Φάση Οι µαθητές θα ξεκινήσουν µε µία απλή διαδικασία στο λογισµικό του Χελωνόκοσµου Για ισόπλευρο :Α :Β :Γ :π µ :π δ 180-:Α µ :π δ 180-:Β 5

6 µ :π δ 180-:Γ µ :π (Η εντολή αυτή βοηθάει να κλείσει το σχήµα «ακριβώς») ισόπλευρο Ζητάµε από τους µαθητές να βρούνε τη διαφορά, εκτός από το όνοµα, του κώδικα για το τρίγωνο µε αυτόν του ισόπλευρου. Επίσης, µπορούµε να συζητήσουµε µε τα παιδιά (ως προστιθέµενη αξία) την εντολή «επανάλαβε» Μόλις σχηµατιστεί το τρίγωνο καλούµε τα παιδιά να ελέγξουν τις τιµές των µεταβλητών και να προσέξουν ότι όλες οι γωνίες του τριγώνου είναι ίσες µε 60. Τέλος θα συνεχίσουν µε µία απλή διαδικασία στο λογισµικό του Χελωνόκοσµου για ισοσκελές :Α :Β :Γ :π1 :π2 µ :π1 δ 180 -:Α µ :π1 δ 180 -:Β µ :π2 δ 180 -:Γ µ :π1 ισοσκελές Ζητάµε από τους µαθητές να εντοπίσουν τις γωνίες της βάσης και ενεργοποιώντας την ψηφίδα του µεταβολέα να συµπληρώσουν τον πίνακα για τέσσερα διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα που θα σχηµατίσουν. Στο γράφουν το συµπέρασµά τους για τις γωνίες της βάσης. Επέκταση της δραστηριότητας Η δραστηριότητα µπορεί να εφαρµοστεί µε κατάλληλες διαφοροποιήσεις στη Β Γυµνασίου στη δηµιουργία κανονικών πολυγώνων και στην κατάκτηση των ιδιοτήτων τους. 6

7 Βιβλιογραφία. Επιµορφωτικό Υλικό για την επιµόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιµόρφωσης, Τεύχος 1 :Γενικό Μέρος, Πάτρα Φεβρουάριος Επιµορφωτικό Υλικό για την επιµόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιµόρφωσης, Τεύχος 4 :Κλάδος ΠΕ 03, Πάτρα Φεβρουάριος Κυνηγός Χ. (2002), Νέες πρακτικές µε νέα εργαλεία στην τάξη: Κατάρτιση επιµορφωτών για τη δηµιουργία κοινοτήτων αξιοποίησης των νέων τεχνολογιών στο σχολείο, στο Νοητικά εργαλεία και πληροφοριακά µέσα: Παιδαγωγική αξιοποίηση της σύγχρονης τεχνολογίας για τη µετεξέλιξη της εκπαιδευτικής πρακτικής, επιµ. Χ. Κυνηγός Ε. ηµαράκη, (Καστανιώτη, Αθήνα). Κυνηγός, Χ., (2006). «Εγχειρίδιο Χρήσης του Χελωνόκοσµου», Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας. 7

8 Φύλλο εργασίας-1 Σχολείο : 1 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΟΜΑ ΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ α).. β).. γ) ΤΑΞΗ : Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : / /. Πληκτρολογήστε και τρέξτε στην κατάλληλη ψηφίδα τον παρακάτω κώδικα: για τρίγωνο :Α :Β :Γ :π1 :π2 :π3 µ :π1 δ 180-:Α µ :π2 δ 180-:Β µ :π3 δ 180-:Γ µ :π1 τρίγωνο Ενεργοποιήστε τους µεταβολείς και αφού αλλάξετε τα όριά τους για Α,Β,Γ (0-180) και για π1, π2, π3 (10-100) πειραµατιστείτε και προσπαθήστε να ανακαλύψετε ποιος είναι ο ρόλος των µεταβλητών. Οι µεταβλητές Α, Β και Γ αναφέρονται στις. του τριγώνου, οι µεταβλητές π1,π2, π3 αναφέρονται στις του τριγώνου επίσης οι 180-:Α, 180-:Β, 180-:Γ αναφέρονται στις. του τριγώνου. είτε για ποιες τιµές των µεταβλητών Α,Β,Γ κλείνει το σχήµα και συµπληρώστε τον πίνακα αφού βρείτε και άλλες τέτοιες τριάδες ώστε να συµβαίνει το ίδιο. 8

9 τρίγωνο 1 τρίγωνο 2 τρίγωνο 3 τρίγωνο 4 γωνία Α γωνία Β γωνία Γ Α+Β+Γ Τι παρατηρείτε για το άθροισµα των γωνιών τριγώνου Α+Β+Γ=. Με βάση το παραπάνω συµπληρώστε τα ακόλουθα Α + Β = Α + Γ = Β + Γ = ιατυπώστε τα συµπεράσµατά σας 9

10 Φύλλο εργασίας-2 Σχολείο : 1 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΟΜΑ ΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ α).. β).. γ) ΤΑΞΗ : Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : / /. Β Φάση Πληκτρολογήστε και τρέξτε στην κατάλληλη ψηφίδα τον παρακάτω κώδικα: για ισόπλευρο :Α :Β :Γ :π µ :π δ 180-:Α µ :π δ 180-:Β µ :π δ 180-:Γ µ :π ισόπλευρο Ενεργοποιήστε τους µεταβολείς και αφού αλλάξετε τα όριά τους για Α,Β,Γ (0-180), και για π από(10-100) από Βρείτε τις διαφορές του κώδικα «τρίγωνο» µε τον κώδικα «ισόπλευρο». Μήπως κάποια διαδικασία επαναλαµβάνεται; 10

11 Μπορείτε να φανταστείτε ποιες πρέπει να είναι οι τιµές των παραπάνω µεταβλητών ώστε να δηµιουργείται ισόπλευρο τρίγωνο; Α =. Β =. Γ =. Εφαρµόστε αυτές τις τιµές για να επιβεβαιώστε την υποψία σας. Συµπληρώστε την πρόταση : «Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι όλες ίσες µε..» Πληκτρολογήστε και τρέξτε στην κατάλληλη ψηφίδα τον παρακάτω κώδικα: για ισοσκελές :Α :Β :Γ :π1 :π2 µ :π1 δ 180 -:Α µ :π1 δ 180 -:Β µ :π2 δ 180 -:Γ µ :π1 ισοσκελές Από τον παραπάνω κώδικα συµπληρώστε ποιες νοµίζετε ότι είναι οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου. Ενεργοποιήστε τους µεταβολείς και αφού αλλάξετε τα όριά τους για Α, Β, Γ από (0-180), και για π1, π2 (10-100) δείτε για ποιες τιµές των µεταβλητών Α,Β,Γ κλείνει το σχήµα και συµπληρώστε τον πίνακα αφού βρείτε και άλλες τέτοιες τριάδες ώστε να συµβαίνει το ίδιο. τρίγωνο 1 τρίγωνο 2 τρίγωνο 3 τρίγωνο 4 Συµπληρώστε την πρόταση : γωνία Α γωνία Β γωνία Γ Παρατήρηση «Οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι.. Ευχαριστώ Πολύ 11