Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1

2 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu t u x,t

3 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων - Τα παραπάνω συστήματα ονομάζονται γενικευμένα μονβάθμια γιατί η μετατόπιση σε κάθε σημείο προσδιορίζεται συναρτήσει μιας γενικευμένης συντεταγμένης u(t) και μέσω μιας συνάρτησης σχήματος ψ(x). Θα αποδειχθεί ότι η εξίσωση κίνησης για τέτοια συστήματα δίδεται ως: m u c u k u p t - Τα μεγέθη m*, c*, k*, p*(t), ονομάζονται γενικευμένη μάζα, απόσβεση, δυσκαμψία και φορτίο αντίστοιχα.τα γενικευμένα αυτά μεγέθη σχετίζονται με τη γενικευμένη συντεταγμένη που επιλέγεται για την περιγραφή της κίνησης. - Η παραπάνω εξίσωση έχει την ίδια μορφή με την τυπική εξίσωση κίνησης του μονοβαθμίου συστήματος. Μέσω του συσχετισμού των μετατοπίσεων και της γενικευμένης συντεταγμένης με τη συνάρτηση σχήματος, είναι γνωστές οι μετατοπίσεις όλου του συστήματος - Η συνάρτηση σχήματος επιλέγεται και προσδιορίζει μια προσέγγιση της πραγματικής παραμόρφωσης. 3

4 . Φορείς με άκαμπτα στοιχεία - Ως παράδειγμα επιλύεται ο φορέας του σχήματος: - Η μάζα m 1 του τμήματος ΟΒ θεωρείται κατανεμημένη σε όλο το μήκος, τα υπόλοιπα τμήματα της δοκού έχουν μηδενική μάζα, ενώ στο τμήμα BC συνδέεται κυκλική πλάκα μάζας m. - Θα προσδιοριστούν η συχνότητα ταλάντωσης, ο λόγος απόσβεσης, η απόκριση του συστήματος χωρίς απόσβεση όταν αυτό υποβάλλεται σε αιφνιδίως επιβαλλόμενο φορτίο - Οι μετατοπίσεις θεωρούνται μικρές. 4

5 . Φορείς με άκαμπτα στοιχεία 1)Προσδιορισμός της συνάρτησης σχήματος: η δοκός περιστρέφεται περί το σημείο O, οπότε θεωρώντας μικρές μετατοπίσεις το παραμορφωμένο σχήμα του φορέα προκύπτει, οπώς φαίνεται στο σχήμα 5

6 . Φορείς με άκαμπτα στοιχεία )Διάγραμμα ελευθέρου σώματος και εξισώσεις ισορροπίας: Εισάγονται οι δυνάμεις ελατηρίου, αδράνειας και απόσβεσης. Οι εξισώσεις ισορροπίας θα προκύψουν εφαρμόζοντας την ισορροπία των ροπών ως προς το σημείο Ο. 6

7 . Φορείς με άκαμπτα στοιχεία I1 m 1 I m m c k 3 3 p t όπου: 1 1 I m 1, I m 8 m 18 Εκτελώντας τις πράξεις η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει ως: Όπου: * * * * m c k p t * m1 137 * c * 9k * m m, c, k, p t p t

8 . Φορείς με άκαμπτα στοιχεία 3)Προσδιορισμός φυσικής συχνότητας και λόγου απόσβεσης: k, m c m 4)Επίλυση της εξίσωσης κίνησης: 0 p t p p t p p 8 p k 9k 0 0 t 1 cos t 1 cos t 0 8

9 . Φορείς με άκαμπτα στοιχεία 5)Προσδιορισμός του διανύσματος της μετατόπισης: u x,t x t 6)Συμπεριλαμβάνοντας και την επιρροή της αξονικής δύναμης: m c k Q p t - Η θλιπτική δύναμη μειώνει τη δυσκαμψία του φορέα και συνεπώς τη φυσική συχνότητα ταλάντωσης. Οι τιμές τους μηδενίζονται για τιμή αξονικής δύναμης: Q cr k 9k 16 Κρίσιμο φορτίο λυγισμού του φορέα 9

10 3.1 Συστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία - Το παρακάτω σύστημα έχει κατανεμημένη μάζα m(x) και δυσκαμψία ΕΙ(x) και υποβάλλεται σε εδαφική κίνηση u g (t). 10

11 3.1 Σύστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία - Η συνολική μετατόπιση του φορέα γράφεται ως:, u x,t u x,t u t u x,t x u t g - Η συνάρτηση σχήματος ψ(x) πρέπει να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει: 0 0, Ως συνάρτηση σχήματος μπορεί να επιλεγεί η εξίσωση της ελαστικής γραμμής της ομοιόμορφης δοκού με δυσκαμψία ΕΙ υπό στατική μοναδιαία φόρτιση στην κορυφή κανονικοποιημένη ως προς τη μετακίνηση κορυφής, η οποία δίδεται από τη σχέση: x 3EI 3 3x 3 6 EI x 11

12 3.1 Σύστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία - Αν επιλέξουμε ως γενικευμένη συντεταγμένη τη μετακίνηση στην κορυφή, τότε ισχύει: 3 3 x 1 u x, t xu t, x x 3 - Η παραπάνω συνάρτηση ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Μπορεί να γίνει οποιαδήποτε λογική επιλογή συνάρτησης σχήματος, όπως: x x, 1 cos x x 1

13 3. Εξισώσεις κίνησης - Εφαρμόζεται η αρχή των δυνατών έργων: U K W 0 0 0,,,, g, M x t k x t dx m x u x t u x t dx u t m x u x t dx U K W - όπου: U: Ελαστική ενέργεια που οφείλεται στο έργο παραμορφώσεων Κ: Κινητική ενέργεια W: Έργο εξωτερικών δράσεων - όπου η έκφραση της καμπτικής ροπής και της καμπυλότητας δίνονται ως:,,,,, M x t EI x u x t k x t u x t 13

14 3. Εξισώσεις κίνησης - Σύμφωνα με τα παραπάνω, τα έργα των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει της γενικευμένης συντεταγμένης και της συνάρτησης σχήματος με τις παρακάτω σχέσεις: - Οι δυνατές μετατοπίσεις γράφονται ως:,,, u x t x u t u x t x u t,,, u x t x u t u x t x u t - Συνεπώς οι εκφράσεις των επιμέρους δυνατών έργων γράφονται ως: U u u EI x 0 x dx K u u m x 0 x dx W u u g t m x x dx 0 14

15 3. Εξισώσεις κίνησης - Τελικά η αρχή των δυνατών έργων δίνει τις παρακάτω εκφράσεις: - όπου m m x x dx k EI x x dx m x x dx 0 u m u k u u g t 15

16 3. Εξισώσεις κίνησης - Η εξίσωση πρέπει να ισχύει για οποιαδήποτε δυνατή μεταβολή. Συνεπώς πρέπει να ισχύει: - Διαιρώντας με τη γενικευμένη μάζα έχουμε: m u k u ug t u u ug t m - Στην παραπάνω εξίσωση μπορούμε να συμπεριλάβουμε και απόσβεση με υπόθεση ιδιομορφικού λόγου απόσβεσης ξ. 16

17 3.3 Ανάλυση της απόκρισης - Χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη μάζα και δυσκαμψία, η φυσική συχνότητα του φορέα μπορεί να προσδιοριστεί ως: m 0 0 EI x x dx k m x x dx - Η γενικευμένη συντεταγμένη u(t) μπορεί να προσδιοριστεί με τον τρόπο που έχει παρουσιαστεί για τα μονοβάθμια συστήματα και στη συνέχεια η μετατόπιση u x,t μπορεί να προσδιοριστεί σε όλο το μήκος της δοκού. 17

18 3.3 Ανάλυση της απόκρισης - Το επόμενο βήμα είναι να υπολογιστούν οι εσωτερικές δυνάμεις (καμπτικές ροπές και διατμητικές δυνάμεις) που σχετίζονται με τις μετατοπίσεις u x,t. Από την κλασική θεωρία δοκού θα προκύψει ότι: f,, s x t EI x u x t EI x x u t - Οι εν λόγω εξωτερικές δυνάμεις, οι οποίες εξαρτώνται από την παράγωγο της συνάρτησης σχήματος, θα οδηγήσουν σε εσωτερικές δυνάμεις οι οποίες θα είναι λιγότερο ακριβείς από τις μετατοπίσεις, λόγω του ότι οι παράγωγοι της (προσεγγιστικής) συνάρτησης σχήματος δίνουν λιγότερο ακριβή προσέγγιση των πραγματικών κατανομών. Μια πιο ακριβής προσέγγιση των ελαστικών δυνάμεων προκύπτει ως s, f x t m x x u t 18

19 3.4 Μέγιστη σεισμική απόκριση - Κατά την ανάλυση υπό σεισμική διέγερση μας ενδιαφέρουν οι οριακές τιμές των ελαστικών δυνάμεων που καταπονούν την κατασκευή. Οι οριακή τιμή της μετατόπισης μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το φάσμα απόκρισης μετακινήσεων ως: u max m S pd όπου S pd είναι η μετατόπιση του φάσματος σχεδιασμού για ιδιοπερίοδο Τ=π/ω και λόγο απόσβεσης ξ. Αντικαθιστώντας τη μέγιστη απόκριση u max στη σχέση της συνολικής μετατόπισης και στη σχέση των ελαστικών δυνάμεων, προκύπτουν οι παρακάτω οριακές τιμές u x x S f x x S max m, pd s max pd 19

20 3.4 Μέγιστη σεισμική απόκριση - Οι εσωτερικές δυνάμεις (καμπτικές ροπές και τέμνουσες δυνάμεις) προκύπτουν από στατική επίλυση της δοκού που υπόκειται στις δυνάμεις f max (x). Συνεπώς η Τέμνουσα δύναμη και η Καμπτική ροπή στη βάση, δίνονται ως : Qmax x fmax d m S pd m d x x - όπου max x max pd x b b max max pa max max M x x f d m S x m d Q Q 0 S, M M 0 S m m 0 0, m x x dx xm x x dx pa 0

21 3.4 Διέγερση από εξωτερική δύναμη - Στην περίπτωση που η εξωτερική διέγερση αποτελείται από δύναμη p(t) και όχι από κίνηση του εδάφους u g (t), οι εξισώσεις που προέκυψαν παραπάνω, τροποποιούνται ως:,, m u k u p t p t p x t x dx - Οι αντίστοιχες ελαστικές δυνάμεις προκύπτουν ως: 0 s 0 f,,, s x t M x t EI x u x t - Εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων έχουμε:,,,,, s, f x t u x t dx M x t k x t dx f x t έ ά, u f 0 s x t x dx u u EI x 0 x dx 0 1

22 3.4 Διέγερση από εξωτερική δύναμη - Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί ως: 0 fs x, t m x x u t x dx 0 - Θέτοντας την ποσότητα της αγκύλης ίση με μηδέν ισχύει: s, f x t m x x u t

23 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο - Ένα παράδειγμα πολυβάθμιου συστήματος που μπορεί να αντιμετωπιστεί ως γενικευμένο μονοβάθμιο σύστημα είναι το παρακάτω: 3

24 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο - Το παραπάνω κτίριο έχει Ν βαθμούς ελευθερίας. Στην παρούσα ενότητα η απόσβεση δεν λαμβάνεται υπόψη. Υποθέτουμε ότι οι κινήσεις κάθε ορόφου δίδονται από τη σχέση: j, 1,,, u t u t j N - Σε μητρωική μορφή η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως: j u t ψu t - Όπου το ψ είναι ένα υποθετικό διάνυσμα σχήματος, που αντιπροσωπεύει την παραμόρφωση του κτιρίου. - Η συνολική μετατόπιση του φορέα γράφεται ως:,, u x t u x t u t j j g 4

25 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο - Στο συγκεκριμένο «διατμητικό κτίριο» η τέμνουσα του κάθε ορόφου δίδεται από τη σχέση: - Η δυσκαμψία του κάθε ορόφου δίδεται ως: - Οι αδρανειακές δυνάμεις δίδονται ως: Q k Q k u u j j j j j j1 k j columns 1EI h 3 fij m j u j t ug t 5

26 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο - Για την εξαγωγή της εξίσωσης ισορροπίας χρησιμοποιείται η αρχή των δυνατών έργων: - όπου: U K W U: Ελαστική ενέργεια που οφείλεται στο έργο παραμορφώσεων Κ: Κινητική ενέργεια W: Έργο εξωτερικών δράσεων N N N U Q t u u K m u t u W u t m u j j j1 j j j g j j j1 j1 j1 - Οι μετακινήσεις εκφράζονται συναρτήσει της γενικευμένης συντεταγμένης: u u u ψu j j 6

27 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο - Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις των μετατοπίσεων, οι εκφράσεις του εσωτερικού και εξωτερικού έργου γράφονται ως: N N N U u u k K u u m W u u t m 1,, j j j j j g j j j1 j1 j1 - Εξισώνοντας τις εκφράσεις των έργων, προκύπτει η παρακάτω εξίσωση: m u k u ug t N N N j j, j j j1, j j j1 j1 j1 m m k k m 7

28 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο - Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις ισχύει: k m N j1 k 1 j j j N j1 m j j - Για να υπολογίσουμε τις μέγιστες μετατοπίσεις, εργαζόμαστε και πάλι ως εξής: u j max jumax m S pd j, j 1,,, N 8

29 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο - Οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις, που σχετίζονται με τις κινήσεις των ορόφων προκύπουν ως: f j max m m j j S pd, j 1,,, N - Στατική ανάλυση με τις παραπάνω δυνάμεις, δίδει την τέμνουσα δύναμη και τη ροπή ανατροπής στον i όροφο: N N Q f, M h h f i max j max i max j i j max j1 j1 - H τέμνουσα δύναμη και η ροπή ανατροπής ως προς τη βάση του κτιρίου δίδονται ως: N N bmax j0 pd, bmax j j0 pd j1 j1 Q f m S M h f m S n n j j, j j j i1 i1 m h m 9