Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Transcript

1 Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: A b 6 Θα έχουμε: 6 4 Ο πίνακας ήρθε σε κλιμακωτή μορφή κατά γραμμές. Επομένως το αρχικό σύστημα x y μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: y 4 Το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, την οποία μπορούμε να πάρουμε με προς τα πίσω αντικατάσταση: 4 H δεύτερη εξίσωση δίνει: y Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε: x x Επομένως η μοναδική λύση του συστήματος είναι η: x, y ή x 4 Παράδειγμα Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6x 9y 6 με απαλοιφή Gauss. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 6 9 y 6 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο:

2 Ab Θα έχουμε: Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: xy Επειδή εμφανίστηκε μηδενική γραμμή, το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες λύσεις. Επίσης η μηδενική γραμμή είναι μία και αντιστοιχεί στην δεύτερη μεταβλητή (επειδή είναι η δεύτερη γραμμή), επομένως η δεύτερη μεταβλητή δηλ. η y θα είναι ελεύθερη μεταβλητή και θα χρησιμοποιηθεί για να δοθεί η σχέση που συνδέει τις άπειρες λύσεις. y Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε: x y x x y Επομένως για οποιαδήποτε τιμή y η τιμή του x δίνεται από τη σχέση: x y Το ίδιο μπορούμε να το εκφράσουμε χρησιμοποιώντας μία παράμετρο π.χ. t ως εξής: x t, y t, t ή t x, t t παίρνοντας ένα σετ παραμετρικών εξισώσεων. Παράδειγμα Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 4x 6y με απαλοιφή Gauss. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 4 6 y Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: A b 4 6 Θα έχουμε: 4 6 Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: xy Από την τελευταία γραμμή συμπεραίνουμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο

3 Παράδειγμα 4 x yz 5 Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y4z με απαλοιφή Gauss. Επίσης να x y6z 5 δειχθεί η σχέση της γενικής λύσης του με τη λύση του αντίστοιχου ομογενούς του συστήματος. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 5 4 y 6 z 5 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: 5 A b Θα έχουμε: x yz 5 Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: Άρα το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες λύσεις. Θα έχουμε ελεύθερες μεταβλητές, τις yz,, επομένως οι λύσεις μπορούν να δοθούν με τη βοήθεια παραμέτρων, έστω s, και θα είναι οι: 5s x5 s, y, z s,, s ή x,, s s x yz Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα θα είναι το με ελεύθερες μεταβλητές τις yz, Για να βρούμε τις λύσεις του θέτουμε με τη σειρά κάθε ελεύθερη μεταβλητή ίση με τη μονάδα και τις υπόλοιπες ίσες με το μηδέν και λύνουμε το σύστημα. Έτσι θα πάρουμε

4 ορισμένες λύσεις του ομογενούς συστήματος, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός δίνει το σύνολο των λύσεών του. Έτσι θέτουμε πρώτα y, z και παίρνουμε x και στη συνέχεια θέτουμε y, z και παίρνουμε x Άρα δύο λύσεις του ομογενούς συστήματος είναι οι x, y, z και x, y, z, οι οποίες σε μορφή διανύσματος γράφονται ως και Ο γραμμικός συνδυασμός τους x s,, s δίνει το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος. Για να βρούμε μία ειδική λύση του αρχικού συστήματος θέτουμε όλες τις ελεύθερες 5 μεταβλητές ίσες με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τη λύση: x 5, y, z ή x p Επομένως η γενική λύση του αρχικού συστήματος μπορεί να γραφεί ως x 5 x x xp y s,, s z Παρατηρούμε ότι αν εκτελέσουμε τις πράξεις καταλήγουμε στην ίδια απάντηση που πήραμε προηγουμένως δηλ. στην 5s x,, s s Παράδειγμα 5 5x x x4 x 7x x4 Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: με απαλοιφή Gauss. x 9x x4 x 4x 8x4 Επίσης να βρεθούν οι παραγοντοποιήσεις LU και LDU του πίνακα Α των συντελεστών του. Η απαλοιφή Gauss καθώς και ο πίνακας L να δοθούν και με τη χρήση στοιχειωδών πινάκων. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως:

5 5 x 7 x 9 x 4 8 x4 Μέσα στις παρενθέσεις φαίνονται οι πολλαπλασιαστές της απαλοιφής Gauss, οι οποίοι θα χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία του πίνακα L στις παραγοντοποιήσεις LU και LDU Επομένως το αρχικό σύστημα γράφεται και ως 5xxx x 4 x x /5 4 x x x x 4x 7 x4/ ( 5) x x4 x 8 7 x4/ ( 8) x4 47 / x4 9 Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε την λύση x, x, x, x

6 Η ανωτέρω απαλοιφή Gauss με τη χρήση στοιχειωδών πινάκων μπορεί να γραφεί ως: EEEEE( A b ) 5 4 όπου E 5 E E 5 5 E4 E Παραγοντοποίηση LU Ο άνω τριγωνικός πίνακας U προκύπτει από την διαδικασία απαλοιφής του Gauss, επομένως είναι ο U Η διαγώνιός του αποτελείται από τους οδηγούς κάθε γραμμής του μετασχηματισμένου πίνακα συντελεστών. Ο κάτω τριγωνικός πίνακας L περιέχει τους πολλαπλασιαστές του κάθε βήματος της απαλοιφής Gauss και μονάδες στη διαγώνιό του: 5 L Τα στοιχεία του L βρίσκονται επίσης με τη χρήση των αντιστρόφων των 5 στοιχειωδών πινάκων που χρησιμοποιήθηκαν στην απαλοιφή Gauss: L E E E E4 E5 όπου

7 E E E E E 5 Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι LU=A. Παραγοντοποίηση LDU Ο πίνακας L είναι ο ίδιος με τον αντίστοιχο της παραγοντοποίησης LU: 5 L Ο πίνακας D είναι διαγώνιος και περιέχει την διαγώνιο του πίνακα U της παραγοντοποίησης LU (στοιχεία οδηγών): 5 7 D 9 5 Ο νέος άνω τριγωνικός πίνακας U προκύπτει από τον πίνακα U της παραγοντοποίησης LU διαιρώντας κάθε στοιχείο του με το στοιχείο της διαγωνίου (δηλ. τον οδηγό) της ίδιας γραμμής:

8 ( 7) 5( 7) U : : : Τελικά στη διαγώνιό του περιέχει παντού μονάδες. Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι LDU=A.

9 Παράδειγμα 6 x yz 9 Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x 4yz x 6y5z α) Με απαλοιφή Gauss και b) Mε απαλοιφή Gauss Jodan Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x 9 4 y 6 5 z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: 9 A b α) Απαλοιφή Gauss Θα έχουμε διαδοχικά: Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: x yz 9 y7z 7 z Το σύστημα έχει μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται με προς τα πίσω αντικατάσταση. Από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε: z. Αντικαθιστώντας την τιμή του z στη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε y7() 7 y Τέλος, αντικαθιστώντας τις τιμές των yz, στη πρώτη εξίσωση παίρνουμε: x () 9 x Επομένως η μοναδική λύση του συστήματος είναι η: x, y, z b) Απαλοιφή Gauss Jodan Θα έχουμε διαδοχικά:

10 Επομένως το αρχικό σύστημα μετασχηματίστηκε στο ισοδύναμο σύστημα: x y z από το οποίο προκύπτει άμεσα η λύση του. Παράδειγμα 7 xx x4 x5 5 Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x4x4 x5 με απαλοιφή Gauss. x x x 6x4 4x5 7 Επίσης να δειχθεί η σχέση της γενικής λύσης του με τη λύση του αντίστοιχου ομογενούς του συστήματος. Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x x 5 4 x 6 4x 4 7 x 5 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: 5 A b

11 Θα έχουμε διαδοχικά: Μετατρέψαμε τον επαυξημένο σε κλιμακωτό κατά γραμμές. Παρατηρούμε ότι οι στις μεταβλητές x, x4, x 5 δεν αντιστοιχεί κάποιος οδηγός γραμμής, επομένως θα είναι ελεύθερες μεταβλητές και το σύστημά μας είναι αόριστο. Το αρχικό σύστημα έχει μετασχηματισθεί στο ισοδύναμο: xx x4 x5 5 x 5x x4 x5 x4x4 x5 x 4x4 x5 Επομένως οι λύσεις του μπορούν να δοθούν με τη βοήθεια παραμέτρων, έστω c, c, c και θα είναι οι: x 5c c c, x c, x 4c c, x c, x c, c, c, c 4 5 Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα θα είναι το xx x4 x5 x x x4 x5 x4x4 x5 x 4x4 x5 με ελεύθερες μεταβλητές τις x, x4, x 5 Για να βρούμε τις λύσεις του θέτουμε με τη σειρά κάθε ελεύθερη μεταβλητή ίση με τη μονάδα και τις υπόλοιπες ίσες με το μηδέν και λύνουμε το σύστημα. Έτσι θα πάρουμε ορισμένες λύσεις του ομογενούς συστήματος, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός δίνει το σύνολο των λύσεών του. Έτσι θέτουμε πρώτα x, x4, x5 και παίρνουμε x, x Έπειτα θέτουμε x, x4, x5 και παίρνουμε x, x 4 και στη συνέχεια θέτουμε x, x4, x5 και παίρνουμε x, x Άρα τρεις λύσεις του ομογενούς συστήματος είναι οι, 4 και Ο γραμμικός συνδυασμός τους x c c 4c, c, c, c δίνει το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος.

12 Για να βρούμε μία ειδική λύση του αρχικού συστήματος θέτουμε όλες τις ελεύθερες 5 μεταβλητές ίσες με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τη λύση: x p Επομένως η γενική λύση του αρχικού συστήματος μπορεί να γραφεί ως x 5 x x x xp x c c 4c, c, c, c x4 x 5

13 Παράδειγμα 8 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας του A, αν αυτός υπάρχει. Θα χρησιμοποιήσουμε την απαλοιφή Gauss Jodan πάνω στον επαυξημένο πίνακα: A Θα έχουμε διαδοχικά: Επειδή στο αριστερό τμήμα του επαυξημένου πίνακα εμφανίστηκε ο Ταυτοτικός πίνακας I, ο αρχικός πίνακας Α έχει αντίστροφο και αυτός είναι ο

14 A Παράδειγμα 9 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας του A 4 6, αν αυτός υπάρχει. Θα χρησιμοποιήσουμε την απαλοιφή Gauss Jodan πάνω στον επαυξημένο πίνακα: A 4 6 Θα έχουμε διαδοχικά: Επειδή δημιουργήθηκε μηδενική γραμμή στο αριστερό τμήμα του επαυξημένου πίνακα, μπορούμε να σταματήσουμε τη διαδικασία και να αποφανθούμε ότι ο αντίστροφος του πίνακα Α δεν υπάρχει.