Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου

Transcript

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έργο του καλλιτένη Άγγελου Γεωργίου

2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γράφτηκε σαν ένα ξεωριστό εγειρίδιο γιατί αφ ενός η τριγωνοµετρία αοτελεί ένα ξεωριστό κλάδο των µαθηµατικών και αφ ετέρου εειδή αοτελεί ένα µεγάλο κοµµάτι της ύλης της Β Λυκείου, το οοίο δυσκολεύει ερισσότερο αό όλα τα άλλα κάλαια τους µαθητές. Το βιβλίο εριλαµβάνει το τυολόγιο της Τριγωνοµετρίας και µνηµονικούς κανόνες αοµνηµόνευσης. Είσης ολλές ερωτήσεις κατανόησης της θεωρίας και τέλος µία ολλή καλή σειρά ασκήσεων, οι ερισσότερες των οοίων είναι των συγγραφέων καθώς και ειλεγµένες ασκήσεις αό την ελληνική και διεθνή βιβλιογραφία. Οι ασκήσεις αυτές καλό είναι να διδάσκονται αό τους καθηγητές ή να µελετώνται αό τους µαθητές αφού έουν λυθεί κάοια αλά αραδείγµατα αό το σολικό εγειρίδιο.. Α ΟΜΑ ΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Είµαστε εεισµένοι ότι θα είναι ολύτιµο βοήθηµα και ιδίως για την εανάληψη ριν τις εξετάσεις. Τελειώνοντας θέλαµε να ευαριστήσουµε την συνάδελφο Κική Σουλτανίδου για τις διορθώσεις και τις γραµµατείς Αθηνά Αλµανίδου και Νίκη Λαζαρίδου για την καλλιτενική αρουσίαση του βιβλίου. Στη διάθεσή σας για εικοινωνία στο Οι συγγραφείς

4 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

5 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΤΥΠΩΝ ΑΣΚΗΣΕΟΘΕΩΡΙΕΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΤΥΠΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5

6 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

7 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Σήµα ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας y ηµω y ρηµω ρ συνω ρσυνω ρ y ω y ω σφω yσφω y Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες. ηµ ω συν ω ηµ ω συν ω συν ω ηµ ω ηµω ω, ω κ, κ συνω συνω σφω, ω κ, κ ηµω ω. σφω µε ω κ και ω κ, κ ω, ω κ, κ συν ω σφ ω, ω κ, κ ηµ ω. Ζ. Ζ. Ζ 5. Ζ. Ζ Είναι σηµαντικό τις ερισσότερες γνώσεις τις τριγωνοµετρίας να τις βρίσκουµε άνω στον τριγωνοµετρικό κύκλο, τον οοίο βέβαια ρέει να γνωρίζουµε καλά και να τον σεδιάζουµε ρόειρα κάθε φορά ου ρειαζόµαστε κάτι άνω σ αυτόν. 7

8 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο ( ) ηµ συν ( ) συν ( ) σφ( ) σφ ηµ ( ) ηµ συν ( ) συν ( ) σφ( ) σφ ηµ ( ) ηµ συν ( ) συν ( ) σφ ( ) σφ ηµ ηµ συν συν ηµ σφ σφ Μνηµονικός κανόνας i. Αν έουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς τόξων της µορφής ± θ ή ± θ τότε θα αλλάζουµε τον τριγωνοµετρικό αριθµό ου έουµε, δηλαδή το ηµίτονο θα γίνει συνηµίτονο (και αντιστρόφως) και η ατοµένη θα γίνει συνατοµένη (και αντιστρόφως). ii. Αν έουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς τόξων της µορφής ± θ ή ± θ οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί δεν αλλάζουν. Το ηµίτονο αραµένει ηµίτονο κ.λ.. Το ρόσηµο και στις δυο εριτώσεις εξαρτάται αό το τεταρτηµόριο στο οοίο λήγει το τόξο. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί βασικών τόξων 0 συν ηµ 0 0 σφ εν ορίζεται εν ορίζεται 0 0 εν ορίζεται 0 εν ορίζεται 0 εν ορίζεται 8

9 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Το ηµίτονο τόξου θ µε έρας το σηµείο Μ(x,y) είναι η τεταγµένη του σηµείου Μ ενώ το συνηµίτονο είναι η τετµηµένη του Μ δηλαδή ηµθ y και συνθ x. Έτσι όταν θέλω το ηµ βρίσκω στο κύκλο το έρας του τόξου ου είναι το σηµείο και η τεταγµένη του ου είναι - είναι το ηµ. Έτσι ηµ -. Άλλο αράδειγµα: θέλω συν5. Βρίσκω το έρας του τόξου 5 ου είναι το σηµείο Γ και εειδή η τετµηµένη του Γ είναι έω συν5 -. Όταν θέλω ή σφ κάοιου τόξου ροκύτει αό το ότι θ x y (µε x 0) και σφθ y x (µε y 0). ( Σήµα ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Συνά θα ρειάζοµαι στις ασκήσεις το ρόσηµο ενός τριγωνοµετρικού αριθµού. Αφού το ηµ είναι η τεταγµένη του έρατος του τόξου, το συν είναι η τετµηµένη του έρατος του τόξου, η και η σφ είναι το ηλίκο αυτών θα µορώ να βρω το ρόσηµό τους άνω στο τριγωνοµετρικό κύκλο. Π.. Θέλω το ρόσηµο του συν( θ). Το τόξο θ βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο. Οι τετµηµένες των σηµείων του τριγωνοµετρικού κύκλου ου βρίσκονται στο ο τεταρτηµόριο αρατηρούµε ότι είναι αρνητικές. Έτσι το συν( θ) είναι αρνητικό. Αν θέλουµε να υολογίσουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς µεγάλων τόξων και ρέει να κάνουµε αναγωγή του τόξου στο ο τεταρτηµόριο άλι µορούµε να ρησιµοοιήσουµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο αντί να αοµνηµονεύουµε ολλούς ίνακες γεµάτους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Έστω ότι θέλουµε να βρούµε το ηµ. 8 Είναι ηµ ηµ( )ηµ( )ηµ(7 )ηµ - διότι ηµ(κθ)ηµθ και το έρας του τόξου είναι το σηµείο µε τεταγµένη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο ηµ( θ) - ηµθ γιατί θ είναι τόξο στο ο τεταρτηµόριο όου το ηµίτονο είναι αρνητικό. συν( - θ) συνθ διότι - θ είναι τόξο στο ο τεταρτηµόριο όου το συνηµίτονο είναι θετικό. ( -θ) σφθ διότι εειδή είναι τόξο της µορφής - θ η ατόµενη γίνεται συνατόµενη και - θ είναι τόξο στο ο τεταρτηµόριο όου η ατόµενη είναι θετική. σφ( - θ) σφ( - θ) σφ( - θ) - σφθ διότι το τόξο - θ είναι στο ο τεταρτηµόριο ου η συνατόµενη είναι αρνητική. Έτσι λοιόν εειδή σε µία άσκηση µορεί να εµφανιστούν αρκετοί τέτοιοι υολογισµοί ούτε η αοµνηµόνευση των ινάκων, ούτε η αοδεικτική διαδικασία ενδείκνυται για τον υολογισµό τέτοιων τριγωνοµετρικών αριθµών. 9

10 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 ο Μου δίνουν ένα τριγωνοµετρικό αριθµό και ζητούν τους υόλοιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Έστω µου δίνουν την θ. Για να βρω αό την θ το συνηµίτονο ρέει να αναζητήσω σέση ου συνδέει αυτούς τους δύο τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Η σέση είναι θ. Όταν βρω το συνθ, για να βρω το συν θ ηµθ ρέει να αναζητήσω σέση ηµθ και συνθ ου είναι ο γνωστός ως θεµελιώδης τύος ηµ θ συν θ ή αλλιώς εειδή αό την θ βρήκα το συνθ, αό την σέση θ βρίσκω ηµθ θ σφθ. Είσης συνθ αό θ µορώ να βρω σφθ αό τη σέση θ σφθ. ηµθ 0

11 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Συµλήρωσης κενού) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Συµληρώστε τις ισότητες ηµβ, συνβ, Β, σφβ ηµγ, συνγ, Γ, σφγ. ( ιάζευξης). ίνεται σηµείο Μ(x,y) του τριγωνοµετρικού κύκλου. M(x,y) φ ω O Α Ααντήστε αν είναι σωστές ή λάθος οι ισότητες.. ηµω y Σωστό ή Λάθος. συνφ x Σωστό ή Λάθος ΑΜ. Το συνηµίτονο και το ηµίτονο ενός τόξου µε έρας το σηµείο Μ(x,y) είναι τετµηµένη και η τεταγµένη του σηµείου Μ αντίστοια. Σωστό ή Λάθος y. ω ( x 0 ) Σωστό ή Λάθος x x y 5. σφω ( y 0) Σωστό ή Λάθος. ηµφ y Σωστό ή Λάθος. (Συµλήρωση κενού) Συµληρώστε το ρόσηµο των τριγωνοµετρικών αριθµών του αρακάτω ίνακα: ηµω συνω ω σφω ο τεταρτηµόριο ο τεταρτηµόριο ο τεταρτηµόριο ο τεταρτηµόριο

12 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Συµλήρωση κενού). Συµληρώστε στον αρακάτω ίνακα τους υολογισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών των τόξων ου φαίνονται στον ίνακα. Όου δεν ορίζεται κάοιος τριγωνοµετρικός αριθµός βάλτε ( - ). ηµω συνω ω σφω ω (Αντιστοίισης). Σε κάθε ένα αό τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ου γράφονται στη στήλη Ι αντιστοιεί ένα αό τα αοτελέσµατα ου γράφονται στη στήλη ΙΙ. ΣΤΗΛΗ Ι. συν (00) α) 7. ηµ(- ) β) 0. σφ γ) - ΣΤΗΛΗ ΙΙ. δ) δεν ορίζεται 5. ηµ 890 ο. συν(- 80 ο ). (Aντιστοίισης) Σε κάθε ένα τριγωνοµετρικό αριθµό της γωνίας θ οιο αό τα µήκη των τµηµάτων (ΟΠ), (ΟΡ), (ΒΣ), (ΑΤ), (ΟΒ), (ΟΑ), (ΟΤ), (ΟΣ), (ΑΝ) αντιστοιεί;

13 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7. (ολλαλής ειλογής). ) Ένα τόξο α ακτινίων (rad) σε µοίρες είναι: α ο 80 α α) µ ο 80 ; β) µ ; γ) µ α o 80 ; δ) µ ο 80 a ; ) Ο τύος ου µετατρέει ακτίνια σε µοίρες είναι: α) α µ 80 ο ; β) α µ 80 ; γ) ο µ ο 80 α ; δ) µ ; ο 80 α 8. ( ιάζευξης). Σε κάθε µία αό τις αρακάτω ισότητες συµληρώστε µε κύκλο το Σ αν είναι σωστή ή το Λ αν είναι λάθος.. ηµ Σ ή Λ. συν 0 Σ ή Λ. Σ ή Λ. σφ 5. συν. 7. ηµ 8. σφ Σ ή Λ Σ ή Λ Σ ή Λ Σ ή Λ Σ ή Λ 9. (ολλαλής ειλογής και διάταξης). Αν θ είναι τόξο οξείας γωνίας µε έρας το σηµείο Μ(x,y) τότε το συµµετρικό του ως ρος : α) άξονα xx β) άξονα yy γ) αρή των αξόνων δ) διοτόµο της ης και ης γωνίας των αξόνων είναι έρας τόξου ) θ; ) θ; ) - θ; ) θ; 5) θ; ) θ; 0. (ολλαλής ειλογής) Τα συµµετρικά σηµεία του τριγωνοµετρικού κύκλου ως ρος τον άξονα xx έουν: α) το ίδιο ηµίτονο; β)το ίδιο συνηµίτονο; γ) την ίδια ατοµένη; δ) την ίδια συνατοµένη;

14 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (αντιστοίισης ή σύζευξης). Σε κάθε ένα αό τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς έως 8 αντιστοιεί ένα αό τα αοτελέσµατα α έως η. Να κάνετε τη σωστή αντιστοιία.. ηµ( θ) α. ηµθ. συν( θ) β. συνθ. ( θ) γ. θ. σφ( - θ) δ. σφθ 5. ηµ( θ) ε. ηµθ. συν( - θ) στ. συνθ 7. ( - θ) ζ. θ 8. σφ( θ) η. σφθ. (ολλαλής ειλογής). Τα συµµετρικά σηµεία του τριγωνοµετρικού κύκλου ως ρος την αρή των αξόνων έουν : α) το ίδιο ηµίτονο; β)το ίδιο συνηµίτονο; γ) την ίδια ατοµένη; δ) την ίδια συνε- φατοµένη; ε) αντίθετα ηµίτονα; στ) αντίθετα συνηµίτονα; ζ) α,β,γ,δ; η) γ, δ, ε, στ;. Σε κάθε ένα αό τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς έως 8 αντιστοιεί ένα αό τα αοτελέσµατα α έως η. Να κάνετε τη σωστή αντιστοιία.. ηµ( - θ) α. ηµθ. συν( θ) β. συνθ. ( θ) γ. θ. σφ( θ) δ. σφθ 5. ηµ( - θ) ε. ηµθ. συν( θ) στ. συνθ 7. ( θ) ζ. - θ 8. σφ( - θ) η. σφθ. Αν Μ(x,y) είναι το έρας τόξου ΑΜ µιας οξείας γωνίας θ τότε να βρείτε : α) Το συµµετρικό Μ του σηµείου Μ ως ρος τη διοτόµο y x της ης γωνίας των αξόνων. β) Το τόξο ΑΜ είναι θ ; ή - θ; ή - θ; γ) Να συγκριθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των τόξων θ ΑΜ και ω ΑΜ.

15 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5. Σε κάθε ένα αό τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς έως 8 αντιστοιεί ένα αό τα αοτελέσµατα α έως η. Να κάνετε τη σωστή αντιστοιία.. ηµ(90 ο θ) α. ηµθ. συν(70 ο θ) β. συνθ. (90 ο θ) γ. θ. σφ(70 ο θ) δ. σφθ 5. ηµ(80 ο θ) ε. ηµθ. συν(0 ο θ) στ. συνθ 7. (80 ο θ) ζ. θ 8. σφ(0 ο θ) η. σφθ. Ααντήστε αν είναι σωστή ή λάθος κάθε µία αό τις αρακάτω ροτάσεις.. Οι αντίθετες γωνίες έουν το ίδιο συνηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Σ ή Λ;. Οι γωνίες ου έουν άθροισµα 80 ο έουν το ίδιο ηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς Σ ή Λ;. Στις γωνίες ου έουν άθροισµα 90 ο το ηµίτονο καθεµιάς ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης και η ατόµενη καθεµίας µε τη συνατόµενη της άλλης. Σ ή Λ;. Γωνίες ου διαφέρουν κατά 80 ο έουν αντίθετο ηµίτονο και συνηµίτονο και την ίδια ατόµενη και συνατόµενη. Σ ή Λ; 5. Τα τόξα θ και θ αντιστοιούν σε γωνίες ου διαφέρουν κατά 80 ο. Σ ή Λ;. Τα τόξα θ και θ αντιστοιούν σε τόξα ου έουν άθροισµα 90 ο. Σ ή Λ; 7. Τα τόξα θ και θ αντιστοιούν σε σηµεία του τριγωνοµετρικού κύκλου ου είναι συµµετρικά ως ρος την αρή των αξόνων 8. ηµ( θ) συνθ. Σ ή Λ; 9. συν Σ ή Λ; 0. Τα τόξα 5 και διαφέρουν κατά τόξο ενός ηµικυκλίου. Σ ή Λ; 5

16 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση f()ηµ έει σύνολο ορισµού Α R Μέγιστη τιµή την y και ελάιστη την y- αφού ηµ για κάθε R. Είναι εριοδική µε ερίοδο Τ Περιττή συνάρτηση διότι ηµ ( ) ηµ Η συνάρτηση f()συν έει σύνολο ορισµού Α R Μέγιστη τιµή την y και ελάιστη την y- αφού συν για κάθε R. Άρτια αφού συν ( ) συν Η συνάρτηση f() έει σύνολο ορισµού Α{ R µε κ, Ζ Περίοδο Τ. κ }. Περιττή συνάρτηση αφού ( ) και είναι γνησίως αύξουσα κατά διαστήµατα Η συνάρτηση f()σφ έει σύνολο ορισµού Α{ R µε κ, Ζ Περίοδο Τ. κ }. Περιττή συνάρτηση αφού σφ( ) σφ Οι συναρτήσεις f ( ) ρηµω και ( ) ρσυνω έουν µέγιστη τιµή g,, ω > 0 y ρ και ελάιστη τιµή y ρ και είναι γνησίως φθινουσα κατά διαστήµατα ρ είναι εριοδικές µε ερίοδο ω Τ και

17 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµx ηµθ x κ θ ή x κ θ, κ Z. συνx συνθ x κ θ ή x κ θ, κ Z. x θ x κ θ, κ Z. σφx σφθ x κ θ, κ Z. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ααντήστε αν είναι σωστή Σ ή λάθος Λ κάθε µία αό τις αρακάτω ροτάσεις. i Μία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε x Α να ισύει: f(xt)f(x-t)f(x). O ραγµατικός αριθµός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f. Σ ή Λ; ii Η ερίοδος της συνάρτησης f(x) ηµx είναι Σ ή Λ; iii Η ερίοδος της συνάρτησης f(x) συνx είναι Σ ή Λ; iv Η ερίοδος της συνάρτησης f(x) x είναι Σ ή Λ; v Η ερίοδος της συνάρτησης f(x) σφx είναι Σ ή Λ;. Οµοίως i Η συνάρτηση f(x) ηµx αρουσιάζει µέγιστη τιµή. Σ ή Λ; για x και ελάιστη τιµή για x ii Η συνάρτηση f(x) x αρουσιάζει µέγιστη τιµή για x 0 και ελάιστη για x. Σ ή Λ; iii Η συνάρτηση f(x) συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [0, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ]. Σ ή Λ; iv Η συνάρτηση f(x) σφx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (0, ). Σ ή Λ; v Η ερίοδος της συνάρτησης f(x) ρηµωx είναι Τ ω Σ ή Λ;. Κάθε ένας αό τους ίνακες Α και Β αντιστοιεί σε µία αό τις συναρτήσεις : ) f(x) ηµx ) f(x) συνx ) f(x) x ) f(x) σφx. Να κάνετε τη σωστή αντιστοιία. Α. x 0? Β. x 0? 0-0 7

18 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (αντιστοίισης). Σε κάθε µία αό τις γραφικές αραστάσεις Α, Β, Γ, αντιστοιεί µία αό τις συναρτήσεις :. f(x) ηµx. f(x) συνx. f(x) x. f(x) σφx. Να κάνετε τη σωστή αντιστοιία. Α. Β. Γ.. 5. (ολλαλής ειλογής). α) Η µέγιστη και η ελάιστη τιµή της συνάρτησης f(x) ηµx είναι αντίστοια : Α και ; Β και ; Γ και ; 5 και 5; β) Η ερίοδος της συνάρτησης f(x) ηµx είναι : Α Τ ; Β Τ ; Γ Τ ; Τ ;. ( ιάζευξης). Συµληρώστε µε κύκλο το Σ ή το Λ ανάλογα µε το αν είναι σωστή ή λάθος κάθε µία αό τις αρακάτω ροτάσεις: i ii iii Η ευθεία x είναι κατακόρυφη ασύµτωτη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) x. Σ ή Λ; Η ευθεία x είναι κατακόρυφη ασύµτωτη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) σφx. Σ ή Λ; Η ευθεία x - είναι κατακόρυφη ασύµτωτη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) x. Σ ή Λ; iv Η συνάρτηση f(x) σφx είναι γνησίως φθίνουσα κατά διαστήµατα. Σ ή Λ; v Η συνάρτηση f(x) συνx είναι άρτια συνάρτηση. Σ ή Λ; vi Η συνάρτηση f(x) x είναι εριττή. Σ ή Λ; vii Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x) ηµx έει κέντρο συµµετρίας την αρή των αξόνων ενώ η συνάρτηση f(x) συνx έει άξονα συµµετρίας τον άξονα yy. Σ ή Λ; 7. (αντιστοίισης). Σε κάθε µία αό τις εξισώσεις,,, αντιστοιεί ένας ή ερισσότεροι αό τους τύους Α, Β, Γ,, Ε, Ζ λύσεων αυτών. Να κάνετε τη σωστή αντιστοιία. i ηµx ηµθ Α. x κ θ κ Z. ii συνx συνθ Β. x κ θ κ Z. iii x θ Γ. x κ θ κ Z. iv σφx σφθ. x κ θ κ Z. Ε. x κ θ κ Z. Ζ. x κ θ κ Z. 8

19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 8. ( ιάζευξης). Ααντήστε αν είναι σωστές Σ ή λάθος Λ οι αρακάτω ισοδυναµίες:. ηµx συνθ ηµx ηµ θ. Σ ή Λ;. ηµx -συνθ ηµx συν( θ). Σ ή Λ;. συνx ηµθ συνx συν θ. Σ ή Λ;. x σφθ x θ. Σ ή Λ; 5. σφx - σφθ σφx σφ( θ). Σ ή Λ;. x - θ x ( θ). Σ ή Λ; 7. συνx - συνx συν. Σ ή Λ; 9. (ολλαλής ειλογής). Αν ηµx συνx 0 τότε: Α x κ, κ Z. Β x κ, κ Z. Γ x κ, κ Z. x κ, κ Z. 0. (ολλαλής ειλογής). Η λύση της ανίσωσης συνx είναι : Α το τόξο ΛΑΜ ; Β το τόξο ΜΒΝ ; Γ το τόξο ΝΓΚ ; E το τόξο ΜΓΛ ; το τόξο Ζ το τόξο Κ Λ ; Ν Μ ;. (ολλαλής ειλογής). Η λύση της ανίσωσης ηµx - 0 είναι Α το τόξο ΛΑΜ ; Β το τόξο ΜΒΝ ; Γ το τόξο ΝΓΚ ; E το τόξο ΜΓΛ ; το τόξο Ζ το τόξο Κ Λ ; Ν Μ ; 9

20 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται η συνάρτηση ( ) α βηµ ( γ ) f, όου α β, γ Τ και ελάιστη τιµή y 0 και µέγιστη, y συνάρτηση έει ερίοδο α) α β γ β) Να βρείτε τις τιµές του για τις οοίες αίρνει µέγιστη τιµή α) Γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση ( ) ρηµ ( ω ) Άρα f έει ερίοδο ή ή γ γ γ ηµ γ β βηµ γ, όου > 0 Είναι ( ) ( ) β αό όου ροκύτει ότι η ελάιστη τιµή της f είναι α β 0 α β α β γ, θετικοί ραγµατικοί αριθµοί. Αν η ω Τ., να δείξετε ότι: β α β α βηµ ( γ ) β α α β f ( ) β α α β και η µέγιστη α β β Συνεώς έουµε α α και β α Άρα β) Είναι f κ κ, κ Ζ ( ) ηµ ( ) ηµ ( ) ηµ ( ) ηµ ( ) ηµ ηµ ( ). Έστω η συνάρτηση ( ) κ ληµ ( ω ) διέρεται αό της αρή των αξόνων, έει ερίοδο α) τους λ ω κ,, β) τον τύο της συνάρτησης f ( ) γ) τις τιµές f ( ) και f f µε λ, ω > 0 Τ και ελάιστη τιµή y λ. Αν η γραφική αράσταση της f, να βρείτε α) Τ ω ω ω ω Ο τύος της f εαληθεύεται για 0 και 0 έτσι έουµε 0 κ ληµ 0 ή 0 λ λ λ λ Ώστε βρήκαµε ω, κ 0, Οότε ( ) y, κ οότε ( ) λ και ( ) f ηµ ηµ f ληµ f ηµ και y η οοία έει ελάιστη τιµή λ. Άρα f ηµ ηµ 0

21 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ίνεται η συνάρτηση α) την µέγιστη τιµή της f : R R και τύο f ( ) ηµ συν. Να βρείτε β) την ελάιστη τιµή της γ) την αριθµητική τιµή της f για 0,, και Είναι ηµ ηµ και συν συν οότε 5 συν 5 ηµ συν α) Άρα έει µέγιστη τιµή y β) Άρα έει ελάιστη τιµή y f ηµ ( ) ηµ συν γ) ( 0 ) f ηµ συν 0 f ηµ συν 0 ( ) f ηµ συν f. Σε µια ισίνα δηµιουργείται τενητό κύµα ου το ύψος του κύµατος σε µέτρα την κάθε ρονική στιγµή δίνεται αό τον τύο f ( t) t ηµ όου t ο ρόνος σε sec και t [ 0,80 ] α) Το µέγιστο και το ελάιστο ύψος της στάθµης του νερού κατά τη δηµιουργία της κύµανσης β) Ποια ρονική στιγµή έουµε την µέγιστη στάθµη; γ) Ποιο το ύψος του κύµατος την ρονική στιγµή t sec; δ) Κάθε όσο ρονικό διάστηµα εαναλαµβάνεται η ίδια κύµανση;. Να βρεθούν t t α) ηµ t ηµ 0 f t ηµ ( ) β) Για να έουµε µέγιστη στάθµη ρέει να ισύει: t t t t f ( t) ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ t t κ κ t κ, κ Ζ t έουµε και εειδή [ 0,80] 77 0 κ 80 κ 77 κ κ,75 Άρα κ 0,,,,, οότε t sec, ή 5sec ή ή t 7sec f ηµ ηµ ηµ ηµ cm ή 75 cm γ) ( )

22 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ω δ) Η ερίοδος της συνάρτησης είναι Τ ίδια κύµανση., συνεώς κάθε sec εαναλαµβάνεται η Π.. Την ρονική στιγµή t η κύµανση είναι y ηµ m Την ρονική στιγµή t sec είναι άλι y ηµ m.5 συν, [ 0, ] Να λύσετε την εξίσωση ηµ 0 Α τρόος ( συν ηµ )( συν ηµ ) συν ηµ 0 0 συν ηµ 0 ή συν ηµ 0 συν ηµ ή συν ηµ συν συν ή συν συν κ ±, κ Ζ ή λ ±, λ Ζ κ ή κ, κ Ζ ή λ ή λ, λ Ζ κ ή κ, κ Ζ ή λ ή λ, λ Ζ κ, κ Ζ ή κ αδύνατο ή λ αδύνατο ή λ, λ Ζ Άρα οι λύσεις είναι κ, κ Ζ ή λ, λ Ζ Όµως εειδή [ 0, ] έουµε 0 0 κ 0 κ κ Άρα κ 0 αφού κ Ζ οότε 5 Όµοια 0 0 λ 0 λ Οι ζητούµενες λύσεις και λ. Άρα λ λ Ζ οότε

23 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β τρόος ( συν ) 0 συν συν συν ηµ 0 συν 0 συν 0 συν συν ή συν συν ή συν και εειδή [ 0, ] Οι ζητούµενες λύσεις είναι και. Να λύσετε την εξίσωση 0 ( ) 0 Θέτουµε ω και έω ω ( ) ω 0 ( ) οότε ω και ω Έτσι έουµε κ, κ Ζ λ, λ Ζ.7 ηµ, (, ) Να λύσετε την εξίσωση συν 5συν 0 Η εξίσωση γράφεται ( συν ) συν 5συν 0 συν συν συν συν συν συν συν Θέτουµε συν ω και αίρνουµε ω 5ω 0 ω και ω συν αδύνατη γιατί συν, για κάθε R Έτσι έουµε Συνεώς αό ( ) Συνεώς αό ( ) και συν συν συν κ ±, κ Ζ, < < < κ < < κ < < κ < < κ < κ 0 αφού κ Ζ άρα, < < < κ < < κ < < κ < < κ < κ 0 αφού κ Ζ άρα

24 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.8 Να λύσετε την εξίσωση συν ηµ, ( 0, ] Υψώνουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο και έουµε συν συν ηµ συν συν συν συν συν 0 συν συν 0 ( συν ) 0 ή συν συν συν ή συν συν 0 κ ±, κ Ζ ή λ, λ Ζ Εειδή ( 0, ] έουµε 0 < 0 < κ 0 < κ < κ < κ κ 0 άρα x Όµοια έουµε 0 < 0 < κ 0 < κ 5 5 άρα < κ < κ κ Για λ αό 0 < 0 < λ 0 < λ 0 < λ λ οότε Εειδή υψώσαµε στο τετράγωνο µορεί να έουµε αραάνω λύση γι αυτό κάνουµε εαλήθευση συν ηµ ή 0 ισύει και συν ηµ ή ή -ου δέν ισύει άρα η λύση αορίτεται Και συν ηµ ή 0 ισύει.9 Να λύσετε την εξίσωση ηµ ηµ συν συν 0 α τρόος Αοκλείεται να είναι 0 είναι 0 συν διότι τότε αό την εξίσωση θα είαµε 0 ηµ 0 συν και ηµ 0 Γι αυτό µορούµε και να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µε το 0 οότε θέτοντας ω αίρνουµε ηµ άτοο να συν και αίρνουµε

25 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 0 και οότε, ω ω ω ω φ (όου φ τόξο για το οοίο φ µορούµε να το βρούµε σε ίνακες). Έτσι φ κ φ, κ Ζ και κ, κ Ζ β τρόος ηµ ηµσυν συν 0 ηµ ηµσυν συν συν 0 ( ) ( ) ( )( ) ηµ συν συν 0 ηµ συν συν ηµ συν συν 0 ηµ συν ή ηµ συν ή όως ροηγουµένως και κατόιν.0 )Για οιες τιµές του, η συνάρτηση ( ) f συν αίρνει την ελάιστη τιµή της; ) Ποια η ερίοδος της συνάρτησης; ) Ποια η µέγιστη τιµή της; ) Για οιες τιµές του η γραφική αράσταση τέµνει την ευθεία y )Είναι συν συν 5 συν οότε y η ελάιστη τιµή της ( ) f 5 Για y συν συν συν συν συν0 κ κ, κ Ζ Εειδή, < κ ` < κ < κ κ 0 8 Αφού κ Ζ για 0 έουµε την ελάιστη τιµή. ) Η ερίοδος της f είναι Τ ω ) Αό την σέση f ( ) 5 ου κατασκευάσαµε στο ο ερώτηµα ροκύτει ότι y 5 είναι η µέγιστη τιµή της συνάρτησης 5

26 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ) Πρέει y συν συν συν συν συν κ ή κ, κ Ζ άρα κ ή κ, κ Ζ Σόλιο: αν η έναρξη του ου ερωτήµατος ήταν ριν τη λέξη αίρνει τότε ο εριορισµός ήταν για όλα τα ερωτήµατα, θα. Βρείτε το σύνολο ορισµού των συναρτήσεων συν ) f ( ) και ) g ( ) ηµ Α R µε κ ±, κ Ζ ηµ 0 ηµ ηµ ηµ )Πρέει συν 0 συν συν συν κ ±, κ Ζ Άρα το σύνολο ορισµού της f είναι ) Πρέει Η λύση της ανίσωσης είναι το τόξο ΑΒΓ. ηλαδή 5 ή 5 κ κ, κ Ζ Τα σηµεία αυτού του τόξου 5 Α κ, κ, κ Ζ. f ηµσυν ηµ συν και ίνονται οι συναρτήσεις ( ) g ( ) ηµσυν ηµ. Να βρείτε ) Τα σηµεία στα οοία τέµνουν τους άξονες και y y οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων ) Τα κοινά σηµεία των γραφικών αραστάσεων ) Για οιες τιµές του η γραφική αράσταση της f είναι άνω αό την γραφική αράσταση της g f ) Για 0 έουµε ( 0) ηµ 0συν 0 ηµ 0 συν 0 ( 0) Άρα η γραφική αράσταση της f ( ) τέµνει τον y y στο σηµείο Β ( 0, ) f

27 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ g ηµ συν ηµ Όµοια για 0 έουµε ( 0 ) Άρα η γραφική αράσταση της g ( ) τέµνει τον y y στο σηµείο A ( 0,0) Για y 0 έουµε ( ) ( )( ) 0 ηµσυν ηµ συν 0 συν ηµ ηµ 0 ηµ συν ηµ 0 ή συν 0 ηµ ή συν ηµ ηµ ή συν συν κ, κ Ζ ή κ, κ Ζ ή κ, κ Ζ ή κ, κ Ζ Παρατηρούµε ότι ο τέµνεται αό την γραφική αράσταση της f σε άειρα σηµεία. Όµοια για y 0 έουµε ( ) 0 ηµσυν ηµ 0 ηµ συν ηµ 0 ή συν 0 ηµ ηµ 0 ή συν - κ, κ Ζ ή κ, κ Ζ ή συν συν κ Ζ κ, κ Ζ ή κ ή κ, κ Ζ ή κ, ) Πρέει ( ) ( ) f g ηµσυν ηµ συν ηµσυν ηµ συν 0 συν συν συν κ ±, κ Ζ ) Πρέει f ( ) > g( ) ηµσυν ηµ συν > ηµσυν ηµ συν > 0 συν < συν < συν Η λύση αυτής της ανίσωσης είναι τα σηµεία του τόξου ΑΒΓ. ηλαδή ή κ κ, κ Ζ ου είναι οι ζητούµενες τιµές του για τις οοίες η γραφική αράσταση της f είναι άνω αό την γραφική αράσταση της g 7

28 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ. Η γραφική αράσταση µια εριοδικής συνάρτησης f µε ερίοδο 0 διέρεται αό την αρή των αξόνων. Εοµένως f ( 005 ) 0. Σ ή Λ. Η ερίοδος της συνάρτησης ( ) Α. Β. συν f είναι Γ... Για κάθε, είναι η συνάρτηση συν > ηµ Σ ή Λ. Η συνάρτηση ( ) 5. Αν συν 5 f έει ελάιστη τιµή Α. - Β. 5 Γ... Αν ( ) Α, ώστε φ ω Α µε φ < ω τότε ηµφ < ηµω f συν τότε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f είναι,,,,, Σ ή Λ Α. [ ] Β. [ ] Γ. [ ]. [ ] 7. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε < f 9 8. Η ερίοδος της συνάρτησης ( ) Α. 5 ηµ συν 5 Β. Γ f είναι ηµ ηµ 9. Η συνάρτηση ( ) f Σ ή Λ f είναι εριττή Σ ή Λ 0. Αν η γραφική αράσταση της συνάρτησης f ( ) ασυν 5 διέρεται αό το σηµείο Α (,0) τότε η τιµή του α είναι Α. Β. Γ.. 0. Να αντιστοιίσετε σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α την µέγιστη τιµή αό την στήλη Β και την ελάιστη αό την στήλη Γ Α ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ f ( ) ηµ i) α) Β ( ) συν g ii) - β) 5 Γ ( ) ηµ h iii) γ) - φ ( ) συν iv) - δ) 8

29 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να αντιστοιίσετε σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α µε την ερίοδο της αό την στήλη Β ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α Β Γ ( ) ηµ ( ) 5συν ( ) ηµ συν φ ηµ f g h ( ) συν. Να αντιστοιίσετε σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α µε το σηµείο αό το οοίο διέρεται ου είναι στην στήλη Β Α Β ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β f ( ) 5ηµ Α ( 005, - ) ηµ συν Β, g( ) Γ ( ) h συν φ( ) ηµ Γ, 0, 0. Οι συναρτήσεις ου γράφονται στη στήλη Α διέρονται αό το σηµείο Α, 0 αντιστοιίσετε την τιµή του λ αό την στήλη Β ου ροκύτει για κάθε συνάρτηση ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β f λ συν g ( ) λ ηµ h λ 0 Α ( ) Β Γ ( ) ( ). Να 5. Η συνάρτηση f µε τύο ( ) ( κ ) y. Να βρείτε ) Την συνάρτηση f ) Την µέγιστη τιµή της f ) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) (, ) λ f συν και κ < έει ερίοδο και ελάιστη τιµή 9

30 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ f µε λ < 0 και ω > 0. ίνεται η συνάρτηση ( ) κ λσυν ( ω ) f διέρεται αό την αρή των αξόνων και έει µέγιστη τιµή y και ερίοδο ) Τα κ λ ω,, ) Την συνάρτηση f ) Την ελάιστη τιµή της f f ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0. Αν η γραφική αράσταση της Τ. Να βρείτε 7. Η θερµοκρασία µιας όλης κατά την διάρκεια ενός εικοσιτετραώρου εριγράφεται αό την συνάρτηση f ( t) t 7 5ηµ ) Ποια είναι η ελάιστη και η µέγιστη θερµοκρασία κατά την διάρκεια του -ώρου στην όλη αυτή; ) Ποιες ώρες είαµε µέγιστη θερµοκρασία και οιες ελάιστη; ) Ποια ώρα η θερµοκρασία ήταν 7 8. Το τρενάκι ενός αινιδότοου διαγράφει ορεία της ηµιτονοειδούς συνάρτησης f ( t) ηµ ( t ) αό την αφετερία Α µέρι τον τερµατισµό Τα σε λετά. Να βρείτε ) Πριν ξεκινήσει σε οιο ύψος άνω αό το έδαφος βρίσκεται; ) Το µέγιστο ύψος στο οοίο φτάνει αό το έδαφος καθώς και το ελάιστο ) Ποιες ρονικές στιγµές βρίσκεται στο ελάιστο ύψος αό το έδαφος; ) Πόσος ρόνος µεσολαβεί για να βρεθεί αό το υψηλότερο σηµείο στο αµηλότερο; Αό το ψηλότερο και άλι στο ψηλότερο; 9. Η µηνιαία κατανάλωση ρεύµατος µιας βιοµηανίας δίνεται αό τον τύο f ( t) όου t ο ρόνος σε µήνες t,,,..., t 0 0ηµ KWh ου αντιστοιεί στους µήνες του έτους. Αξία KWh0,5 ευρώ. Να βρείτε ) Ποιους µήνες είε την µεγαλύτερη κατανάλωση; ) Ποιους µήνες είε την µικρότερη κατανάλωση; ) Ποιο το κόστος κατανάλωσης τον Αύγουστο; ) Ποιο είναι το ετήσιο κόστος κατανάλωσης ηλεκτρικού της βιοµηανίας; 0. Να βρείτε το σύνολο ορισµού των συναρτήσεων ) f ( ) συν ) f ( ) συν συν. Η εξίσωση 5 0 είναι αδύνατη Σ ή Λ Α. Αν για την γωνία Α τριγώνου ΑΒΓ ισύει ηµ τότε Α 0 Σ ή Λ ηµ τότε κ, κ Ζ. Αν συν Σ ή Λ 0

31 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ηµ τότε κ, κ Ζ. Αν συν Σ ή Λ 5. Να αντιστοιίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α µε την ρίζα τους στη στήλη Β µε ΣΤΗΛΗ Α συν Α 0 συν Β ηµ 0 Γ 0 ηµ 0 ΣΤΗΛΗ Β 5 σφ, ηµ συν συν. Να λύσετε την εξίσωση Οµοίως την εξίσωση σφ 0, [ 0, ] 8. Οµοίως την εξίσωση ηµ συν, ( 0, ] 9. Οµοίως την εξίσωση συν συν 0. Οµοίως την εξίσωση ( ) ηµ ηµσυν ( ) συν 0. Οµοίως την εξίσωση ηµ 5 συν 5 0 συν συν. Οµοίως την εξίσωση 0. Να λύσετε την εξίσωση ηµ ( σφ ) σφ ηµ. ίνεται η συνάρτηση f ( ) 005 ηµ. Να λύσετε την εξίσωση f ( ) f 5. Να λύσετε την εξίσωση Να λυθεί η εξίσωση ηµ ρ ρ ρρ όου ρ οι ρίζες της εξίσωσης, ρ συνθ συν θ συνθ συνθ ( ) ( ) ( ) 0

32 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ. ηµ ( Α Β) ηµ Γ, ηµ ( Β Γ) ηµ Α, ηµ ( Α Γ) ηµ Β. συν ( Α Β) συνγ, συν ( Β Γ) συνα, συν ( Α Γ) συνβ. Α Β Γ ηµ συν, Β Γ Α ηµ συν, Α Γ ηµ Β συν. Α Β Γ συν ηµ, Β Γ Α συν ηµ, Α Γ συν Β ηµ ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ. Αό Α Β Γ ή Α Β Γ ή Α Β ηµ. Ίδια µε την () ηµ ( ) ( Γ) ή ηµ ( Α Β) ηµ Γ Α Β Γ. Αό Α Β Γ ή Α Β Γ ή ή Α Β Γ Α Β Γ συν συν ή συν ηµ. Ίδια µε την ()

33 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΑΣ ΤΟΞΩΝ Συνηµίτονο αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών Έστω δύο γωνίες α, β των οοίων οι τελικές λευρές τέµνουν τον τριγωνοµετρικό κύκλο στα σηµεία Μ, Μ αντιστοίως. (σ.) Έστω ειλέον και η γωνία α-β ου η τελική της λευρά τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο στο σηµείο Μ (σ.) Y M (συνα,ηµα) α-β Μ(συν(α-β),ηµ(α-β)) Μ (συνβ,ηµβ) α Α(,0) β α-β X 0 x Όως είναι γνωστό, τα σηµεία Μ, Μ, Α Το Μ : τετµηµένη συνα και τεταγµένη ηµα Το Μ : τετµηµένη συνβ και τεταγµένη ηµβ Το Α : τετµηµένη και τεταγµένη 0 ηµ α β, και Μ έουν συντεταγµένες : Το Μ : τετµηµένη συν ( α β ) και τεταγµένη ( ) Εειδή Μ ΟΜ ΑΟΜ α β θα είναι ( Μ Μ ) ( ΑΜ) Μ Μ ΑΜ, y Ρ, y Άρα ( ) ( ) Ο τύος ου δίνει την αόσταση των σηµείων Ρ ( ) και ( ) Είναι ( ) ( ) ( ) Ρ συνεώς έουµε : Ρ y y ( ) ( ) ( ) Μ Μ συνα συνβ ηµα ηµβ συν α συν β συνασυνβ ηµ α ηµ β ηµαηµβ συνασυνβ ηµαηµβ και ( ) ( ΑΜ ) συν( α β) ηµ ( α β) 0 συν ( α β ) συν ( α β ) ηµ ( α β ) συν ( α β ) Έτσι η σέση : ( Μ ) ( ) Μ ΑΜ γράφεται ( συνασυβ ηµαηµβ ) συν ( α β ) συνασυνβ ηµαηµβ συν ( α β ) Εοµένως συν ( α β ) συνασυνβ ηµαηµβ ή Η ισότητα αυτή, ου αοδείξαµε για τις γωνίες α, β µε γωνίες α, β. Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε το β έουµε : ( ( )) ( ) ( ) συν α β Εοµένως 0 β < α < 0 συνασυν β ηµαηµ β συνασυνβ ηµαηµβ συν ( α β ) συνασυνβ ηµαηµβ, ισύει και για οοιεσδήοτε

34 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Ηµίτονο αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών Είναι ( ) ( ) ηµ α β συν α β συν α β συν α συνβ ηµ α ηµβ ηµασυνβ συναηµβ Εοµένως ηµ ( α β ) ηµασυνβ συναηµβ Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε το β έουµε : Εοµένως ηµ ( α β ) ηµασυνβ συναηµβ Εφατοµένη αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών συν α β 0 συνα, συνβ, έουµε: Με την ροϋόθεση ότι ( ) 0 0 ηµ ( α β) ηµασυνβ ηµβσυνα ( α β ) συν( α β) συνασυνβ ηµαηµβ Εοµένως ηµασυνβ ηµβσυνα συνασυνβ συνασυνβ α β συνασυνβ ηµαηµβ αβ συνασυνβ συνασυνβ Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε το β έουµε : Εοµένως ( α β ) ( α β ) α β αβ Με ανάλογο τρόο αοδεικνύεται ότι : α β αβ σφ ( α β ) σφασφβ σφβ σφα σφ ( α β ) σφασφβ σφα σφβ

35 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΤΥΠΩΝ. Κυκλώστε το Σ για τις σωστές αό τις ροτάσεις ου ακολουθούν και Λ για τις λάθος i. ηµ ( α β ) ηµα ηµβ ii. συν ( α α ) συνα iii. ηµ ( α α ) ηµ α iv. συν ( α β ) συνασυνβ ηµαηµβ v. α ηµ ( α β ) β συν ( α β ) Σ ή Λ Σ ή Λ Σ ή Λ Σ ή Λ Σ ή Λ. Οµοίως i. ηµ 5 ηµ ηµ 5 0 Σ ή Λ ii. 05 ( 0 5 ) Σ ή Λ iii. ηµ ( α ) συν ( 5 α ) 5 Σ ή Λ 0 0 iv. ηµ Σ ή Λ v. Για να ορίζεται η ρέει κ, Ζ κ Σ ή Λ. Οµοίως συν συν ηµ ηµ Σ ή Λ ηµ 5 α συν 5 β συν 5 α ηµ 5 β συν α β i. ηµ α ηµ α Σ ή Λ ii. iii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σ ή Λ συν 5 α συν 5 α συν 75 α συν 75 α συνα iv. ( ) ( ) ( ) ( ) Σ ή Λ σφ v. ( 5 ) ( 5 ) Σ ή Λ. Κυκλώστε την σωστή αάντηση σε κάθε µία αό τις αρακάτω ερωτήσεις είναι ίση µε i. ( α β ) ( α β ) Α. ( α β ) Β. α β ii. ( α β ) σφ( α β ) Α. ηµ ( α β ) συν ( α β ) iii. ( α β ) Α. Γ. είναι ίση µε Β. Γ. α β α β σφ είναι ίση µε σφασφβ σφασφβ σφασφβ Β. Γ. σφβ σφα σφα σφβ σφβ σφα.. α σφ α β. ( ) σφα σφβ σφβσφα 5

36 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5. Να αντιστοιίσετε σε κάθε τύο της στήλης I το ανάτυγµα του αό την στήλη II ΣΤΗΛΗ Ι ΣΤΗΛΗ II ( α β ) ( α β ) ( α β ) ( α β ) ηµ συνασυνβ ηµαηµβ συν ηµασυνβ συναηµβ σφ ηµασυνβ συναηµβ ηµ συνασυνβ ηµαηµβ συν ( α β ) α β αβ ( α β ) σφασφβ σφβ σφα σφ( α β ) α β αβ ( α β ) σφασφβ σφβ σφα. Να αντιστοιίσετε σε κάθε αράσταση της στήλης I το αοτέλεσµα αό την στήλη II ΣΤΗΛΗ Ι ΣΤΗΛΗ II ηµ 70 συν συν ηµ ηµ 0 συν συν ηµ συν 0 συν00 ηµ 0 ηµ Κυκλώστε την σωστή αάντηση: Η τιµή της αράστασης ( 80 ) ( 70 ) ( 0 ) ( 0 ) Κ ηµ συν ηµ συν είναι Α. Β. Γ.. 8. Ααντήστε αν είναι σωστή ή λάθος η ισότητα: Σ ή Λ 9. Οµοίως ηµ 85 συν 5 ηµ 5 συν 85 ηµ 85 ηµ 5 συν85 συν Σ ή Λ 5 0. Οµοίως σφ0 σφ5 σφ0 σφ5 Σ ή Λ

37 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 5 ηµα, συνβ και 0 < α < < β < 5 7 α β, α β οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των τόξων, να βρεθούν Εειδή ηµ ( α β ) ηµασυνβ ηµβσυνα ηµ ( α β ) ηµασυνβ ηµβσυνα συν ( α β ) συνασυνβ ηµαηµβ συν ( α β ) συνασυνβ ηµαηµβ αρκεί να υολογίσουµε το Έουµε λοιόν: οότε συνα, ηµβ συν α ηµ α συνα, αφού συν β 89 5 ηµ α β 5 7 < α < 9 5 και ηµ β οότε 5 8 ηµβ, αφού < β < ηµ ( α β ) συν ( α β ) συν ( α β ) ηµ ( α β ) ηµ ( α β ) 77 α β α β συν ( α β ) 8 συν ( α β ) 8 ( α β ) σφ α β α β α β Εοµένως ( ) Άρα ( ), ( ) σφ, ( ) ( ) ( ) 77. Να αοδείξετε ότι : i) ii) συν α συν α συν α συν α συν 7 συν 7 συν 7 συν 7 7

38 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ συν α συν α συν α συν α i) Έουµε: συνα συν συνα ηµ ηµα συν συνα ηµ ηµα συν συνα ηµ ηµα συν συνα ηµ ηµα ηµα συνα ηµα συν συνα ηµ ηµα συν α ηµ α ( συν α ηµ α ) ii) Αν την ισότητα i) θέσουµε α έουµε ( ) συν 0 συν ( 0 ) συν ( 0 ) συν ( 0 ) συν 7 συν 7 συν7 συν 7 συν α ηµ α ηµασυνα συν α ηµ α ηµασυνα συν α ηµ α.5 Να αοδείξετε ότι : ( α β ) ηµ ( β γ ) ηµ ( γ α ) ηµ 0 συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα ( ) ( ) ( ) ηµ α β ηµ β γ ηµ γ α συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα ηµασυνβ συναηµβ ηµβσυνγ συνβηµγ ηµγσυνα ηµασυνγ συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα ( ) ( ) συνγ ηµασυνβ συναηµβ συνα ηµβσυνγ συνβηµγ συνασυνβσυνγ ( ) συνβ ηµγσυνα ηµασυνγ συνασυνβσυνγ ηµασυνβσυνγ ηµβσυνασυνγ ηµβσυνασυνγ ηµγσυνασυνβ ηµγσυνασυνβ ηµασυνβσυνγ 0 συνασυνβσυνγ συνασυνβσυνγ. Να αοδείξετε ότι : i) συν ( α β ) συν β συν ( α β ) συνασυνβ ηµ α ii) συν ( α β ) ηµ ( α β ) ( συνα ηµα )( συνβ ηµβ ) iii) ( ) ( ) ( ) 0 συναηµ β γ συνβηµ γ α συνγηµ α β 8

39 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ i) Έουµε συν ( α β ) συν β συν ( α β )συνασυνβ συν ( α β )[ συν ( α β ) συνασυνβ ] συν β συν ( α β )( συνασυνβ ηµαηµβ συνασυνβ ) συν β συν ( α β )( συνασυνβ ηµαηµβ ) συν β ( συνασυνβ ηµηµβ)( συνασυνβ ηµαηµβ ) συν β συν ασυν β ηµ αηµ β συν β συν β ( συν α ) ηµ αηµ β ( β συν β ) ηµ α ηµ ασυν β ηµ αηµ β ηµ α ηµ ii) Είναι συν ( α β ) ηµ ( α β ) συνασυνβ ηµαηµβ ηµασυνβ ηµβσυνα συνα συνβ ηµβ ηµα συνβ ηµβ συνα ηµα συνβ ηµβ ( ) ( ) ( )( ) iii) Έουµε ( β γ ) συνβηµ ( γ α ) συνγηµ ( α β ) ( ) ( ) ( ) συναηµ συνα ηµβσυνγ ηµγσυνβ συνβ ηµγσυνα ηµασυνγ συνγ ηµασυνβ ηµβσυνα συναηµβσυνγ ηµγσυνασυνβ ηµγσυνασυνβ ηµασυνβσυνγ ηµασυνβσυνγ ηµβσυνασυνγ 0.7 Αοδείξτε ότι αν α, β, γ είναι οξείες γωνίες και α β, γ 5 8,, τότε : α β γ α β γ ( ) ( α β ) γ αβ α β γ ( α β ) γ α β γ αβ α β γ ( αβ ) α β γ αβγ αβ ( α β ) γ αβ αγ βγ α β γ α β γ α β γ κ, κ Όµως είναι 0 < α <, 0 < β <, 0 < γ < Οότε 0 < α β γ <. Εοµένως ρέει κ 0 οότε α β γ Άρα ( ) ( ) Ζ 9

40 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.8 i) Να αοδείξτε ότι η αράσταση ( ) ( α β ) Ε συν α συνασυνβσυν α β συν είναι ανεξάρτητη του α ii) Αν β, β 0, υολογίστε την τιµή της αράστασης Ε 5 i) Ε συν α συνασυνβσυν ( α β ) συν ( α β ) συν α συν ( α β )[ συν ( α β ) συνασυνβ ] συν α συν ( α β )( συνασυνα ηµαηµβ συνασυνβ ) συν α συν ( α β )( συνασυνβ ηµαηµβ ) συν α ( συνασυνβ ηµαηµβ )( συνασυνβ ηµαηµβ ) συν α συν α ηµ β ( συν ασυν β ηµ αηµ β ) συν α( ηµ β ) ηµ αηµ συν α συν α συν αηµ β ηµ αηµ β ( ηµ α συν α ) ηµ β β ii) Είναι : Άρα Συνεώς ηµ β ηµ β β συν β ηµ β ηµ β ηµ β 5 Ε ηµ β 5ηµ β ηµ β ηµ β ηµ β.9 Να δείξετε ότι αν ηµ ηµ y και τότε συν ( y) συν συνy Είναι συν ( y) συνσυνy ηµηµ y συνσυνy ηµηµ y ( ) Παρατηρούµε ότι η ύψωση στο τετράγωνο των δεδοµένων θα µας δώσει το ηµηµ y 9 συνσυνy ου υάρουν στα ζητούµενα Έτσι έουµε: ηµ ηµ y ηµηµ y ( ) συν συν y συνσυνy ( ) Με ρόσθεση κατά µέλη των ισοτήτων ( ) ( ) αίρνουµε ηµηµ y συνσυνy ηµηµ y συνσυνy ου είναι η ζητούµενη. και το 0

41 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.0 Αν ηµ ( α ) συν ( α ) τότε α ( 5 ) Είναι συν ( α ) 0 διότι αν ( α ) 0 ηµ ( α ) 0 άτοο αφού ηµ συν Έτσι αό την δεδοµένη αίρνουµε ( α ) ( α ) συν θα έουµε αό τα δεδοµένα, είναι αδύνατο να είναι ταυτόρονα µηδέν. ηµ α ή ( α ) ή συν α α α ή ( ) α ή ου είναι το ζητούµενο. α 5 ή α ( 5 ) 5 ή α α ή. Αν y y Να δείξετε ότι ( )( ) y y τότε ( y ) ή y y y (το ζητούµενο µας κινεί να ή ( y) ( y ) ή y y ή ( y)( ) ή y y ή ροσθέσουµε τη µονάδα και στα δύο µέλη). Να δείξετε ότι η αράσταση ηµ ηµ ηµ Α είναι ανεξάρτητη του Α ηµ ηµ ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ ( συν ηµ ) ( συν ηµ ) ηµ συν ηµ ηµσυν συν ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ ηµ ( ηµσυν ) ηµ ( ) συν ηµ

42 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αοδείξτε ότι: αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισύει η σέση: σφ( Β) σφγ τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Έουµε: σφ σφβ σφβ σφ ( Β) σφβ σφβ σφ Άρα η δοσµένη σέση γράφεται: σφβ σφβ σφβ σφβ σφγ σφβ σφγ σφβ σφβ( σφγ ) σφβ σφβ σφγ σφβ σφβσφγ σφβ σφβσφγ σφβσφγ 0 σφ( Β Γ ) 0 σφ( Β Γ ) σφ Β Γ Α Α. συν ( Β Γ) ηµ Α ηµ ( Β Γ) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισύει η σέση Β, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Έουµε: συν( Β Γ) συν( Β Γ) ηµβ Β ηµα ηµ ( Β Γ) ηµα ηµ ( Β Γ) συνβ συν( Β Γ) συνβ ηµαηµβ ηµ ( Β Γ) ηµβ συν( Β Γ) συνβ ηµ ( Β Γ) ηµβ ηµαηµβ συν( Β Γ Β ) ηµαηµβ συν( Γ ) ηµαηµβ συνγ ηµαηµβ συν( Α Β ) ηµαηµβ συν( Α Β ) ηµαηµβ συν( Α Β ) ηµαηµβ 0 συνασυνβ ηµαηµβ ηµαηµβ 0 συνασυνβ 0 () συνβ 0 γιατί διαφορετικά δεν ορίζεται η Β, οότε αό την () έουµε: συνα 0 Α Όµως.5 i) i) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι ηµ Α ηµ Β ηµ Γ συνασυνβσυνγ. ii)αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισύει ηµ Α ηµ Β ηµ Γ να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

43 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ i) Είναι Α Β Γ Α Β Γ οότε συν ( Α Β) συν ( Γ) συνασυνβ ηµ Αηµ Β συνγ συνασυνβ συνγ ηµ Αηµ Β ( συνασυνβ συνγ) ηµ Αηµ Β συν Ασυν Β συν Γ συνασυνβσυνγ ηµ Αηµ Β ( ηµ Α)( ηµ Β) ηµ Γ συνασυνβσυνγ ηµ Αηµ Β ηµ Α ηµ Β ηµ Γ συνασυνβσυνγ. ii) Έστω ότι είναι ηµ Α ηµ Β ηµ Γ αλλά αό το (i) ερώτηµα είναι ηµ Α ηµ Β ηµ Γ συνασυνβσυνγ. Συνεώς έουµε : συνασυνβσυνγ συνασυνβσυνγ 0 συνα 0 ή συνβ 0 ή συνγ 0 Α ή Β ή Γ.. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισύει τρίγωνο είναι ισοσκελές ηµ Α ηµ ΒσυνΓ να δείξετε ότι το Στο τρίγωνο είναι Α Β Γ Β Γ Α ηµ ( Β Γ) ηµ ( Α) ηµ ( Β Γ) ηµ Α Έτσι η δεδοµένη σέση γράφεται: ( Β Γ) ηµ ΒσυνΓ ηµ ΒσυνΓ ηµ ΓσυνΒ ηµ ΒσυνΓ ηµ ηµβσυνγ ηµγσυνβ ηµβσυνγ 0 ηµβσυνγ ηµγσυνβ 0 Άρα Β Γ 0 Β Γ ( ) ηµ Β Γ 0 Β Γ 0 Β Γ 80 αδυνατο.7 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισύει τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α ηµ Α ηµ συν ( Β Γ) ( Β Γ) Β να δείξετε ότι το Η δεδοµένη σέση γράφεται ηµ ( Β Γ) ηµ ( Β Γ) ηµ Β συν ( Β Γ) συνβ ηµβσυνγ ηµγσυνβ ηµβσυνγ ηµγσυνβ ηµβ ηµβσυνγ ηµβ συνβσυνγ ηµβηµγ συνβ συνβσυνγ ηµβηµγ συνβ ηµβσυνγσυνβ ηµβσυνβσυνγ ηµ ΒηµΓ ή ( ) ( ) ηµβσυνβσυνγ ηµ ΒηµΓ 0 ηµβ συνγσυνβ ηµβηµγ 0 ηµβσυν Β Γ 0 ( Β Γ) 0 ηµ Β 0 ή συν Β αδύνατο, ή ή 0 Β 80 Β Γ 90 Β Γ αδύνατο ή Β Γ 90 αδύνατο 70 Άρα Β Γ 90 οότε Α 90 και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α

44 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.8 Σε κάθε τρίγωνο να δείξετε ότι ισύει : i) Α Β Γ Α Β Γ ii) Α Β Γ Α Β Γ σφ σφ σφ σφ σφ σφ i) Α Β Γ 80 Α Β Γ 0 Α Β 0 Γ ( ) ( 0 ) Α Β Γ Α Β Γ ΑΒ Α Β Γ ΑΒΓ Α Β Γ ΑΒΓ Α Β Γ ii) Όµοια αό Α Β Γ Α Β 90 Γ Α Β 90 Γ σφ σφ Α Β Α Β σφ σφ σφ σφ Γ Α Β Α Β Γ σφ σφ σφ σφ σφ Α Β Γ Γ Α Β Α Β Γ Α Β Γ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ.9 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι συν συν συν συν συν συν i) Α Β Γ Α Β Γ ii) ηµ Α ηµ Β ηµ Γ συν Ασυν Βσυν Γ Α Β Γ Α Β Γ οότε συν(α Β) συν( Γ) συνασυνβ ηναηµβ συνγ συνασυνβ συνγ ηµαηµβ συνεώς i) (συνασυνβ συνγ) ηµ Αηµ Β συν Ασυν Β συν Γ συνασυνβσυνγ ηµ Αηµ Β συν Ασυν Β συν Γ συνασυνβσυνγ ( συν Α)( συν Β) συν Ασυν Β συν Γ συνασυνβσυνγ συν Α συν Β συν Ασυν Β συν Α συν Β συν Γ συνασυνβσυνγ

45 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5 ii) άρα οότε Είναι Γ - Β Α ή Γ Β Α Γ Β Α συνασυνβσυνγ Γ ηµ Β ηµ Α ηµ Β Αηµ ηµ Γ- συνασυνβσυνγ ηµ Β) Α)(-ηµ (-ηµ Β Αηµ ηµ συνασυνβσυνγ Γ συν Β Ασυν συν Β Αηµ ηµ (συνασυνβ-συνγ) ηµαηµβ άρα συνασυνβ-συνγ συνγ συνασυνβ-ηµαηµβ συν(-γ) Β) συν(α Η εξίσωση ορίζεται όταν καί Ζ κ, κ Ζ λ, λ Ζ λ κ λ κ,, καί όταν ηλαδή Για τα για τα οοία ορίζεται η εξίσωση, έουµε: () ) ( ) ( ) ( ) ( Πολλαλασιάζουµε και τα δύο µέρη της εξίσωσης () µε και έουµε: οότε έουµε : 0 ή 0 Άρα 0 ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( i) ) ( 0., Ζ κ κ Να λυθεί η εξίσωση: ) ( ) (.0

46 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) 0 ± Αν, τότε λ θ, όου θ Αν, τότε µ θ, όου θ και λ Ζ και µ Ζ. Να λυθεί η εξίσωση: ηµ ηµ ( ) ηµ ( ) Η εξίσωση γράφεται: ηµ ( ηµσυν συνηµ ) ( ηµσυν συνηµ ) ηµ ( ηµ συν ) ( ηµ συν ) ηµ ( ηµ συν ηµσυν ) ( ηµ συν ηµσυν ) ηµ ( ηµσυν ) ( ηµσυν ) ηµ ( ηµ συν ηµσυν ) ( ηµσυν ηµ συν ) ηµ ( ηµ συν ηµσυν ηµσυν ηµ συν ) ηµ ( 8ηµ συν ) ηµ ηµ ( ηµ ) ηµ ηµ ( ηµ ) 0 ηµ ηµ ηµ 0 ηµ ( ηµ λοιόν: ηµ ) 0 ηµ 0 ηµ ηµ 0 η µ ± 0 ηµ ηµ ηµ κ, κ Ζ ηµ ηµ ηµ κ `, κ ` Ζ ή Έουµε

47 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 55 ) ( 75 ) 5 (, ) Είναι ( 5 ) 90 5 ) 75 ) ( 5 ) σφ( 90 5 ) 55 ) ( 5 ) σφ( 90 5 ) σφ( 5 ) οότε η εξίσωση γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σφ 75 σφ 55 σφ σφ σφ σφ 5 5, διότι είναι γνωστό ότι ασφα οότε έουµε κ, κ Ζ και εειδή (, ) είναι < κ < < κ < 9 7 < κ < < κ < άρα κ,,0, Συνεώς αό κ, κ Ζ έουµε 7,,, οι ζητούµενες λύσεις. 7

48 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Κυκλώστε τη σωστή αάντηση συν 7 α συν 7 α συν 7 α συν 7 α είναι ίση µε: ( ) ( ) ( ) ( ) Α. 0 Β. Γ. συνα. συν α. Κυκλώστε τη σωστή αάντηση είναι ίση µε: συν 0 συν συν συν Α. 0 Β. Γ.. συν 0. Κυκλώστε τη σωστή αάντηση 5 5 Α. Β. είναι ίση µε: Γ.. 5. Ααντήστε αν είναι σωστή ή λάθος η ισότητα 5 7 ηµ συν συν ηµ συν συν συν ηµ Ααντήστε αν είναι σωστή ή λάθος η ισότητα Ααντήστε αν είναι σωστή ή λάθος η ισότητα 5α α α 8α 5α α 7. Να αντιστοιίσετε την αράσταση της στήλη Α το αοτέλεσµα αό την στήλη Β ΣΤΗΛΗ Α συν 0 συν 80 ηµ 0 ηµ 80 ΣΤΗΛΗ Β ηµ συν ηµ συν - 0 8

49 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 8. Να αντιστοιίσετε την αράσταση της στήλη Α το αοτέλεσµα αό την στήλη Β 7 8 ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν σφ σφ 5 5 σφ Αν > y µε y κ, κ Ζ, τότε το κλάσµα Α. σφ ( y) Β. σφ( y ) Γ. ( y) σφσφy σφ σφy ισούται µε : σφ. κανένα αό τα αραάνω 0. Αν > y µε y κ, κ Ζ y y, τότε το κλάσµα Α. ( ) Β. ( y ) Γ. ( ) y y ισούται µε:. κανένα αό τα αραάνω. Υολογίστε τις αραστάσεις: ο ο ο ο i) συν70 συν0 ηµ 70 ηµ 0 ii) iii) iv) ο ο ο ο ηµ 50 συν0 ηµ 0 συν 50 ο ο ο ο συν75 συν 55 ηµ 75 συν 55 ο ο ο ο Υολογίστε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών 05 ο και 5 ο συνα, συνβ α β 7 α β και α β.. Αν και, (0, ) να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των ηµα, συνβ α β και α β. α β. Αν και (0, ), (, ), να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των 9

50 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5. Αοδείξτε ότι αν α, β, είναι οξείες γωνίες και σφα, σφβ τότε α β 7. Αοδείξτε ότι: α α α α 0 i) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ii) συν ( α ) συν ( 0 α ) ηµ ( 0 α ) ηµ ( 0 α ) 7. Αοδείξτε ότι: i) συνα συν ( 0 α ) συν ( 0 α ) 0 ii) συν α συν ( 0 α ) συν ( 0 α ) 8. Αοδείξτε ότι: i) ηµα ηµ ( α β ) συνβ ηµβσυν ( α β ) ii) συν ( α β ) συνβ ηµ ( α β )ηµβ συνα iii) ηµαηµ ( β γ ) ηµβηµ ( γ α ) ηµγηµ ( α β ) 0 9. Αοδείξτε ότι: i) συν ( α β ) συν ( α β ) συν α ηµ β συν α β ηµ α β ηµασυνα ii) ηµ ( α β ) ηµ ( α β ) συν α ηµ β iii) ( ) ( ) ηµβσυνβ 0. Αοδείξτε ότι: i) ( α β ) ii) ( α β ) ηµ α ηµ β ηµασυνα ηµβσυνβ ηµ α ηµ β ηµασυνα ηµβσυνβ. Αοδείξτε ότι: ( α β ) ηµ ( β γ ) ηµ ( γ α ) ηµ 0 ηµαηµβ ηµβηµγ ηµγηµα. Αοδείξτε ότι αν α β γ, τότε συν α συν β συν γ συνασυνβσυνγ. Αοδείξτε ότι η αράσταση : είναι ανεξάρτητη του α ηµ E συν ( α β ) συνα ηµασυν ( α β ) ( α β ) συνα ηµαηµ ( α β ) 50

51 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αοδείξτε ότι: i) ηµ ηµ ( α β ) συν ( α β ) συνβ ηµβ ( α β ) συν ( α β ) συνβ ηµβ ii) ( α β ) ( β γ ) ( γ α ) ( α β ) ( β γ ) ( γ α ) 5. Αοδείξτε ότι: συν ηµ ( α β ) ( α β ) συν ( α β ) α β α β γ να αοδείξτε ότι: α β γ αβγ. Αν ( )( )( ) ( ) 7. Αν α β γ i) σφα σφβ σφγ σφασφβσφγ ii) αβ βγ γα να αοδείξτε ότι: iii) α β γ 8. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έουµε σφ Α και Β i) Γ ii) ηµ Γ iii) Γ σφ να υολογιστούν συν iv) Γ 9. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έουµε Α και Β Γ ενώ αν σφ Α και σφ Β τότε σφ Γ - να δείξετε ότι α β να δείξετε ότι: συνα ηµβ ηµα συνβ και 0. Αν i) ( ) ( ) συνα ηµβ ηµα συνβ ii) ( ) ( ). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ότι: i) Β ΒΓ Β Β τότε η Β είναι η διοτόµος της γωνίας Β ii) Αν Α 90 άρουµε σηµείο τέτοιο ώστε ΑΓ Α να δείξετε. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α 90 να δείξετε ότι: ηµ ( Α Β ) ηµασυνβ 0 5

52 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α 90 να δείξετε ότι: ηµ Γ ηµασυνβ. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α 90 να δείξετε ότι: ηµγ Α συνασυνβ ηµ 5. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισύει ( Β Γ ) συνβηµ Γ να δείξετε ότι: Α 90. Αοδείξτε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισύει: συνα συνβ συνγ ηµβηµγ ηµγηµα ηµαηµβ 7. Αοδείξτε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε Α 90 αν και µόνο αν ισύει η σέση: Β Β Γ Γ 8. Αοδείξτε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισύουν οι σέσεις i) σφ ΑσφΒ σφβσφγ σφγσφα ii) σφ Α σφ Β σφ Γ 9. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι είναι: i) συν Α συν Β συν Γ συν Ασυν Βσυν Γ ii) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισύει συν Α συν Β συν Γ να αοδείξετε ότι µια τουλάιστον γωνία αυτού είναι 5 0. Αν Α, Β γωνίες τριγώνου να αοδείξετε ότι i) συν ΑσυνΒ > ηµαηµ Β ii) σφ ΑσφΒ > iii) < ΑΓ. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι είναι: β 5 ηµ Α ηµ. Αν α να δείξετε ότι: ( Β Γ ) ηµβ ηµ ( Γ Α) ηµγ ηµ ( Α Β ) 0 σφα σφβ σφα σφβ. Να λύσετε την εξίσωση : 5

53 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ηµ ( 0 ). Να λύσετε την εξίσωση: συν ( 0 ) συν ( 0 ) 5. Να λύσετε την εξίσωση: συν συν, [ 0, ]. Να λύσετε την εξίσωση: συν ( y ) συν ( y) 7. Να λύσετε την εξίσωση: συν συν ηµ, [ 0, ] 8. Να λύσετε την εξίσωση: 9συν ( α ) συν ( α ), όταν σφα 5 9. Να λύσετε την εξίσωση: συν α συν ( α ) συνασυνσυν ( α ) 50. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) σφ88 ii) ηµ ηµ 5

54 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Αν στους τύους ου δίνουν το ηµ ( α β ), συν ( α β ), ( α β ), ( α β ) αίρνουµε αντιστοίως: ηµ ( α α ) ηµασυνα ηµασυνα ηµ α ηµασυνα σφ, θέσουµε β α συν α α συνασυνα ηµαηµα συνα συν α ηµ α ( ) συν α ηµ α α α α α α α α ( α α ) σφα σφα σφ α α σφα σφα σφα ( ) σφ α σφα αό τους τύους του συνηµίτονου µορούµε να υολογίσουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α όταν ξέρουµε το συνα. Πράγµατι έουµε: συν α συν α συν συν α α συν α ηµ α συν ηµ α α οότε µε διαίρεση συν α α συν α Παρατήρηση η Οι τύοι ου ροκύτουν ονοµάζονται και τύοι του αοτετραγωνισµού και είναι ολύ ρήσιµοι στην γεωµετρία. Παρατήρηση η Όως λέµε α α ηµ α ηµασυνα έτσι ηµα ηµ συν ή συνα συν αυτό µορεί να γίνει για όλους τους αραάνω τύους. α ηµ α 5

55 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ααντήστε αν είναι σωστές ή λάθος οι αρακάτω ισότητες συν συν α) ( α ) ηµ α β) Σ ή ηµ Σ ή Λ γ) δ) Σ ή ηµ Σ ή Λ ε) ηµ 5 συν5 Σ ή Λ. Ααντήστε αν είναι σωστές ή λάθος οι αρακάτω ισότητες α) β) γ) συν α ηµ α συν συν α συν α σφ α συν α ηµ α ηµ Σ ή Λ Σ ή Λ α Σ ή Λ δ) α Σ ή Λ. Κυκλώστε την σωστή αάντηση ηµ συν ηµ είναι α) Η τιµή της αράστασης K ( )( συν ) Α) Β) ηµ Γ) συν ) 0 β) Το αοτέλεσµα της αράστασης Λ συν ( 5 α ) ηµ ( 5 α ) Α) ηµ Β) συν Γ) 90 ηµ ) Λ Λ συν 90 είναι. Σε κάθε αράσταση της στήλης Α αντιστοιεί το αοτέλεσµά της στη στήλη Β. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίηση. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ηµ 8 α) ηµ συν β) συν γ) 8 δ) 0 8 ε) 5. Ααντήστε αν είναι σωστή ή λάθος η ισότητα: συν ( 8 α ) συν ( 8 α ) συν ( 7 α ) συν ( 7 α ) συν α ηµ α 55

56 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ααντήστε αν είναι σωστές ή λάθος οι ισότητες: i. α ηµα ηµ α συνα ηµ α συν ii. συν 5 συν Αν για την γωνία Α τριγώνου ΑΒΓ ισύει η ισότητα ου αναγράφεται στη στήλη, Ι να αντιστοιίσετε το µέτρο της γωνίας σε µοίρες αό την στήλη ΙΙ ΣΤΗΛΗ Ι ηµ Α συν ηµ Α Α 0 Α Α ηµ συν συν Α ηµ Α Α Α ΣΤΗΛΗ ΙΙ α) β) γ) δ) Α 0 Α 90 Α 0 Α 5 5 ηµ Α συν Α 8. Κυκλώστε την σωστή αάντηση στην ρόταση : Β Α Όταν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισύει ηµ συν τότε το τρίγωνο είναι Α. ορθογώνιο Β. ισοσκελές Γ. ισόλευρο. αµβλυγώνιο 9. Κυκλώστε την σωστή αάντηση στην ρόταση : Όταν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισύει 5 7 ηµ Α συν συν συν συν τότε είναι Α. Α 90 Β. Α 5 Γ. Α 0. Α 0 0. Σε κάθε αράσταση ου γράφεται στη στήλη Ι αντιστοιεί το αοτέλεσµα της στη στήλη ΙΙ. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίηση ΣΤΗΛΗ Ι ηµ α συν α ηµ α συν α συν α ηµ α ΣΤΗΛΗ ΙΙ α) α β) σφα γ) α δ) σφ α 5

57 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. Να αοδείξτε ότι ( α 0 ) ( α 0 ) συν α συν α Α µέλος α 0 α 0 α 0 α 0 α 0 α 0 Β µέλος α ηµ α α α 9 α ηµ α συν α συν α α ηµ α συν α ηµ α α α α 9 συν α ηµ α ( ηµ α ) ηµ α () συν α συν α συν α ( ) ( ) ( ) ηµ α ηµ α ηµ α συν α συν α συν α Αό () και () ροκύτει η ζητούµενη ισότητα (). Να αοδείξτε ότι : συν α ηµ α ) α συν α ηµ α και ) ηµα συνα α ηµα συνα συνα ηµ α ηµ α ηµασυνα ηµ α ηµασυνα ) συνα ηµ α συν α ηµασυνα συν α ηµασυνα ( ηµα συνα ) ( συνα ηµα ) ( ) ( ) ηµα ηµα α συνα συνα α α α ηµ συν ηµ ηµα συνα ηµα συνα α α α ηµ συν συν ) αφού αό το τόξο α στο ζητούµενο, θέλουµε τόξο α ) α α α α α α ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ α α α α α α α ηµ συν συν συν συν ηµ 57

58 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.5 Να αοδείξτε ότι : 8 συν συν συν ηµ α Αό τον τύο ηµ α ηµασυνα συνα. Έτσι έουµε ηµα 8 ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ συν, συν, συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ έτσι το Α µέλος της ζητούµενης ισότητας γράφεται: 8 συν συν συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ Να αοδείξτε ότι : ηµ 0 συν0 ) και ) ηµ 0 συν 0 συν 0 ηµ 0 8 ) Η ζητούµενη µε ααλοιφή αρανοµαστών γράφεται: ή συν 0 ηµ ηµ συν συν 0 ηµ ηµ ή ηµ 0 συν 0 ηµ 0 ηµ 0 ή συν 0 συν 0 συν0 ηµ 0 ηµ 0 ηµ 0 συν 0 ή συν ( 0 0 ) ηµ 0 ή συν 70 ηµ0 ή συν 70 ηµ ή συν 70 συν 70 ου ισύει ροφανώς ) ( ) ηµ 0 ηµ 80 ηµ 0 συν0 ηµ 0 ηµ 0 ηµ 0 ηµ 0 συν0 Γράφουµε το ηµ 0 ηµ 0 συν 0 αφού 8 ηµ α συνα ηµα 58

59 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.7 ) Να αοδείξτε ότι : ηµ ηµ και ) συν α συν α 8ηµ α 8 8 ) Θα ρησιµοοιήσουµε τον τύο του αοτετραγωνισµού του ηµίτονου ηµ ηµ 8 8 ηµ 8 ηµ 8 συν ηµ α συν συν. Έτσι α συν α συν α συν α συν α συν α συνα συν α συνα ) ( ) ( ) ( ) συν α συνα συνα ηµ α 8 ηµ α ηµ α.8 Να αοδείξτε ότι : 5 συν συν συν συν Έουµε 7 συν συν συν συν συν συν συν ηµ συν συν συν συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ Συνεώς έουµε: 59

60 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.9 7 Αν σφα και 50 < 50 < α, να υολογιστούν οι αριθµοί: α συν και ηµ α Εειδή 50 < α < 50 είναι ηµα > 0 και συνα < 0 Είσης έουµε 5 < α α < 70, οότε συν 0 < Συνεώς είναι: ηµ α, οότε σφ α ηµα συν α ηµ α. σφ α Άρα Άρα συνα α συν Εοµένως έουµε: 7 α συνα 5 9 συν, 5 7 ηµ α ηµασυνα Αοδείξτε ότι: i) ηµ α ηµα ηµ α ii) iii) συν α συν α συνα α α α, για α λ α και α κ, Έουµε i) ηµ α ηµ ( α α ) ηµ ασυνα ηµασυν α ηµασυν α ηµα ηµ α ( ) ηµα ηµ α ηµα ηµ α ηµα ηµ α ηµα ηµ α ηµα ηµ α συν α συν α α συν ασυνα ηµ αηµα ii) ( ) ( ) ( ) ( ηµ ) ηµασυνασυνα ηµα α συν α συνα ηµασυναηµα συν α συνα συναηµ α συν α συνα συνα συν α συν α συνα συνα συν α συν α συνα α α α α α αα α α α α α α iii) ( ) ( ) α α α α α α α α 0

61 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αοδείξτε ότι: ηµ συν ii) ηµ συν8 5 i) ( 8 ) 5 i) Είναι 80 ηµ ηµ 80, οότε ( ) ηµ ηµ ( ) ηµ ηµ ηµ συν ηµ Η ( ) γράφεται διαδοικά: ( ) συν ηµ ηµ ( συν 8 ) ( ηµ συν 8 ) 5 ii) Η ισότητα ( ) γράφεται : ηµ συν συν συν 0 ηµ ηµ συν 8 ηµ ( συν ) ( ) ηµ ηµ γιατί 0 συν 8 συν Έουµε συν 8 ( ) συν ηµ συν ηµ συν 8( συν 8 )( συν ) ( συν ) [ 8 ( συν )]( συν ) ( 8 συν )( συν ) ( συν )( συν ) συν συν συν ( ) ( ) συν συν 5 Συνεώς 8 5 συν συν ηµ συν, οότε ηµ συν8 5 ηµ και ηµ 8 > 0 γιατί > 0

62 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αοδείξτε ότι: συν συν σφ συν συν συν συν συν συν i) ii) i) Έουµε συν συν συν συν σφ σφ συν συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ ( ) ( ) συν συν ηµ ηµ συν ηµ ( συν ηµ ) συν ηµ ii) Είναι ( συν συν ) ( συν συν ) ( συν ) ( συν ) συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν ( συν ) ( συν ) συν συν συν συν

63 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αοδείξτε ότι: α α συνα συν ηµα ηµ α σφ α ηµ α α συνα συν ηµα ηµ α ηµ α α α α συν α συν συνασυν ηµ α ηµ ηµαηµ α ηµ α α α συνασυν ηµαηµ συν α α α ηµ ηµ α α α συν συν συν α σφ α α α α ηµ ηµ συν ηµ. Αοδείξτε ότι:i) ηµ συν συν συν i) Είναι ηµ συν ηµ ηµ συν ηµσυν συν ηµ συν συν συν συν συν συν συν ηµ συν συν ηµ συν σφ σφ () συν ηµ ηµσυν ηµ σφ σφ () ii) Έουµε Όµοια σφ 8σφ8 () Προσθέτοντας κατά µέλη τις ισότητες (), () και () έουµε: σφ σφ σφ σφ σφ 8σφ8 8σφ8 σφ ii) 8σφ8 σφ

64 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.5 ηµ α συν α συν α i) Να αοδείξτε ότι ( ) ii) Να βρεθεί το µέγιστο και το ελάιστο της αράστασης [ 0 ) Α ηµ α συν α, α, καθώς και τις τιµές του α για τις οοίες η αράσταση γίνεται µέγιστη ή ελάιστη. i) Είναι [ ] ( ηµ α συν α ) ( ηµ α συν α ) ηµ ασυν α( ηµ α συν α ) ( ηµ ασυν α ) ηµ ασυν α ηµ α ( συν α ) συν α ii) Είναι συν α Α ηµ α συν α α 0, είναι 0 συν α 0 συν α συν α Αλλά για κάθε [ ) συν α Α min και Α max Άρα Α Το ελάιστο του Α αρουσιάζεται όταν το Αλλά α [ 0, ) συνεώς είναι α Το µέγιστο του Α αρουσιάζεται όταν το ή συν α 0 συν α 0 α κ κ α, κ Ζ α συν α συν α ± α κ α κ, κ Ζ Αλλά α [ 0, ) συνεώς είναι α 0 α κ α κ, κ Ζ άρα α

65 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. i)αν ηµ t, να γραφεί η αράσταση ( συν ) α ( ηµ συν ) Ε ηµ συν α ηµ ως συνάρτηση του t ii) Να βρεθούν οι τιµές του α για τις οοίες η αράσταση Ε είναι ανεξάρτητη του i) Έουµε : ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ t ηµ συν ( ηµ συν ) ( ηµσυν ) ηµ συν ηµ t ( ηµ συν ) ηµ συν ( ηµ συν ) ηµ συν ηµ t Συνεώς είναι : t t 9 Ε α t α t α t t ( α ) t 9t t 8 t 7t α 8α 7 t α α ii) Η αράσταση Ε είναι ανεξάρτητη του, όταν είναι ανεξάρτητη του t δηλαδή όταν 9 7α 0 α Για α έουµε Ε Αοδείξτε ότι: i) ηµ α συν α ii) ηµ α συν α i) Είναι: ηµ α συν α ηµ ασυν α ηµ ασυν α ηµ α συν α 0 όοτε ηµ α συν α ii) Είναι : ηµ α συν α ηµ α ηµ ασυν α συν α ηµ ασυν α ( ηµ α συν α ) ηµ ασυν α( ηµ α συν α ) ηµ α ( ηµ α ) συν α 0 οότε 5

66 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.8 Να λύσετε την εξίσωση ηµ ηµ ηµ Η εξίσωση γράφεται διαδοικά: ηµ ηµ ηµ ηµσυν ηµ ηµ ηµ( συν ) ηµ 0 ηµ συν ηµ 0 8ηµ συν συν ηµ 0 ηµ 8συν 0 ηµ 0 ή συν 8 ηµ 0 κ κ, κ Ζ συν συν κ ± κ ±, κ Ζ 8.9 Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ηµ ηµ ii) συν ηµ i) ηµ ηµ ηµ ( ηµσυν ) ή ( ) ( ) ( ) ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν συν συν ηµ 0 συν ηµ 0 συν συν 0 Άρα συν 0 ή συν 0 συν 0 συν 0 συν συν κ ±, κ Ζ συν 0 συν συν λ ± λ ±, κ Ζ ii) συν ηµ ηµ ηµ 8ηµ ηµ ηµ ± ηµ ηµ ηµ κ ή κ, κ Ζ ηµ ηµ ηµ λ ή λ,λ Ζ