Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα τελικής εξέτασης. Αποτελείται από δύο µέρη. Το πρώτο περιλαµβάνει ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και βαθµολογείται µε 4 µονάδες. Κάθε ερώτηση έχει µόνο µία ορθή απάντηση και οι ορθές απαντήσεις πρέπει να µεταφερθούν στον πίνακα που σας δίνεται στην τελευταία σελίδα. Το δεύτερο µέρος περιλαµβάνει πέντε ασκήσεις / θεωρητικές ερωτήσεις, από τις οποίες πρέπει να απαντήσετε τρεις, και βαθµολογείται µε 6 µονάδες. ΠΡΟΣΟΧΗ: Σε περίπτωση απάντησης περισσότερων από τρεις ασκήσεων θα ληφθούν υπόψη οι τρεις µε τη χειρότερη βαθµολογία. ΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΩΡΕΣ ΚΑΙ 3 ΛΕΠΤΑ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ:... ΕΞΑΜΗΝΟ: ΜΕΡΟΣ Α ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΡΟΣ Β ΣΥΝΟΛΟ

2 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6

3 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση µονάδες: x& x u Έστω το σύστηµα δύο εισόδων και µίας εξόδου y T, µε: x, 3, Να υπολογίσετε την απόκριση y όταν το διάνυσµα αρχικών συνθηκών είναι x και το διάνυσµα δ εισόδου είναι u, όπου δ είναι η κρουστική συνάρτηση. Μπορούµε να αποφανθούµε για την ευστάθεια του συστήµατος µε βάση τη µορφή της απόκρισης απόκριση y; Αιτιολογήστε την απάντηση σας. Απ. Η γενική λύση των εξισώσεων κατάστασης δίνεται από το συνελικτικό ολοκλήρωµα: x Φ x Φ τ Βu τ τ. ή µε τη βοήθεια του µετασχηµατισµού Laplae εφόσον το σύστηµα είναι ΓΧΑ: { } { X } L Ι x U x L και η έξοδος δίνεται από τη σχέση: T { } T { Y } L Ι x U y x L..3 εδοµένου ότι U L{ u }, χρησιµοποιώντας την.3 έχουµε: y 4e 6e Είναι φανερό ότι η έξοδος y τείνει προς το µηδέν όσο περνά ο χρόνος όπως συµβαίνει µε κάθε ευσταθές σύστηµα όταν η είσοδος είναι η κρουστική συνάρτηση. Παρόλα αυτά δεν µπορούµε να αποφανθούµε από τη µορφή της εξόδου ότι το σύστηµα είναι ευσταθές γιατί η δεύτερη είσοδος του συστήµατος είναι µηδενική. Αν η έξοδος έχει αντίστοιχη µορφή όταν και η δεύτερη είσοδος είναι η κρουστική συνάρτηση τότε µπορούµε να πούµε ότι το σύστηµα είναι ευσταθές

4 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 4 Άσκηση µονάδες: Έστω το σύστηµα δύο εισόδων και δύο εξόδων, Cx y u x x & µε:,, C a Να υπολογιστούν οι πίνακες Κ και Ν του νόµου ανατροφοδότησης εξόδου βλέπε Σχήµα. για την αποσύζευξη εισόδων εξόδων του ανωτέρω συστήµατος µονάδες b Να υπολογιστεί το διάνυσµα εξόδου y του αποσυζευγµένου συστήµατος όταν το διάνυσµα εισόδου ω είναι: u u ω, όπου u είναι η βηµατική συνάρτηση. Το διάνυσµα αρχικών συνθηκών είναι x µονάδες Σχήµα. Απ. α Ο νόµος ανατροφοδότησης εξόδου είναι ισοδύναµος µε το νόµο ανατροφοδότησης κατάστασης µε τους περιορισµούς G N και F KC. Εποµένως υπολογίζουµε το νόµο ανατροφοδότησης κατάστασης πρώτα: Για να ελέγξουµε αν είναι αποσυξεύξιµο µε το νόµο ανατροφοδότησης κατάστασης το ανωτέρω σύστηµα σχηµατίζουµε τον πίνακα:... j ό n n j j j i j i i τα λα για αν,,..., : in. Ο πίνακας είναι οµαλός. Επιπλέον έχουµε. Εποµένως το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο και έχουµε G F όπου..... Έχουµε 3 άρα F και G.

5 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 5 Εποµένως Ν G και από τη σχέση F KC έχουµε 4 3 k k k k άρα 4 K β Η συνάρτηση µεταφοράς του αποσυζευγµένου συστήµατος είναι: H, εποµένως για µηδενικές αρχικές συνθήκες έχουµε: y L - {HΩ} L r r όπου r είναι η συνάρτηση ράµπας Άσκηση 3 µονάδες: ίνεται το κλειστό σύστηµα του Σχήµατος 3.. Να σχεδιαστεί αναλογικός ελεγκτής έτσι ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να ικανοποιεί τις εξής προδιαγραφές: a Σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον. όταν είσοδος είναι η βηµατική συνάρτηση ω,. - 4 µονάδες b Μέγιστη υπερύψωση v 8%. - 6 µονάδες Σχήµα 3. Απ. α Στη σχεδίαση µε αναλογικό ελεγκτή G K p το µόνο που µπορούµε να ρυθµίσουµε είναι το κέρδος του κλειστού συστήµατος. Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση του κλειστού συστήµατος τύπου, για είσοδο τη βηµατική συνάρτηση ω είναι e µον /Kp. Ζητώντας e µον. προκύπτει Kp 9. β Το κλειστό σύστηµα έχει συνάρτηση µεταφοράς Kp Kp G G Η 3. Σε δευτεροβάθµια συστήµατα της µορφής: * ω ζω ω Η k 3. η µέγιστη υπερύψωση overhoo µε είσοδο τη βηµατική συνάρτηση δίνεται από τη σχέση ζ ζπ e v 3.3

6 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 Ζητώντας v 8%.8 έχουµε ζπ ζ.8 e > ln.8 ζπ ζ >.56 ζπ ζ > ζ π 6.38 ζ > ζ. 4. Στο συγκεκριµένο κλειστό σύστηµα έχουµε βλέπε εξισώσεις 3. και 3. ζ εποµένως για Kp να ικανοποιείται η προδιαγραφή της υπερύψωσης χρειάζεται να ισχύει.4 από το οποίο Kp προκύπτει Kp.5. Σε αντίστοιχο αποτέλεσµα θα καταλήγαµε συµβουλευόµενοι το Σχήµα 4.3. / σελ 65 του βιβλίου γραφικές παραστάσεις της βηµατικής απόκρισης συναρτήσει του ζ - Σηµειώνεται ότι για ζ. 4 έχουµε ζ Άσκηση 4 µονάδες: a Να κατασκευάσετε το διάγραµµα oe για τη συνάρτηση µεταφοράς βρόχου GF χρησιµοποιείστε τη προτελευταία σελίδα του γραπτού για το τελικό διάγραµµα του κλειστού Σ.Α.Ε του Σχήµατος 4. και να υπολογίσετε τα περιθώρια κέρδους και φάσης για K. - 5 µονάδες Σχήµα 4. b Να υπολογίσετε τη τιµή του K ώστε το κλειστό σύστηµα να έχει σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον. όταν είσοδος είναι η βηµατική συνάρτηση ω,. - 5 µονάδες Απ. K α Αρχικά γράφουµε τη συνάρτηση µεταφοράς βρόχου G F σε µορφή oe: jω jω zi z i i z i i i Η jω K K 4. q q q k jω k jω pi jω jω pi pi δηλαδή: i i i jω K G jω F jω από την οποία προκύπτει K K/, z, p, p jω jω jω, p3. Όλοι οι πόλοι είναι απλοί και δηµιουργούν ευθείες µε κλήση - b/δεκάδα στο διάγραµµα oe του πλάτους και εισάγουν φάση -9 µοίρες στο διάγραµµα φάσης. Οµοίως το µηδενικό δηµιουργεί 6

7 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 ευθεία µε κλήση b/δεκάδα στο διάγραµµα oe του πλάτους και εισάγει φάση 9 µοίρες στο διάγραµµα φάσης. Συνδυάζοντας τις ανωτέρω ευθείες το τελικό διάγραµµα oe θα έχει µορφή παρόµοια µε αυτή του σχήµατος: oe Diagra - -4 Magniue Phae eg Frequeny ra/e Από το ανωτέρω διάγραµµα προκύπτει ότι το περιθώριο φάσης είναι περίπου 35 ο και το περιθώριο κέρδους περίπου 45b. β Το ανωτέρω κλειστό σύστηµα είναι τύπου. Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση του κλειστού συστήµατος τύπου, για είσοδο τη βηµατική συνάρτηση ω είναι e µον /K. Εδώ έχουµε Κ Β Κ/. Ζητώντας e µον. προκύπτει K Β 4 άρα K Άσκηση 5 µονάδες: a Εφαρµόζοντας τα σχετικά θεωρήµατα κατασκευάστε το Γ.Τ.Ρ. του συστήµατος που δίνεται στο Σχήµα µονάδες Σχήµα 5. 7

8 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 b Υπολογίστε µε τη βοήθεια του κριτηρίου του Rouh η όποιου άλλου κριτηρίου κρίνεται εσείς κατάλληλο το διάστηµα διακύµανσης του Κ ώστε το κλειστό σύστηµα να είναι ευσταθές. - 5 µονάδες Απ. α Με βάση τα θεωρήµατα έχουµε: Σηµεία εκκίνησης: οι πόλοι της GF >ρίζες του πολυωνύµου 45 >, - ± i. Σηµεία λήξης: τα µηδενικά της GF και n- σηµεία λήξης που αντιστοιχούν στο άπειρο, όπου n ο αριθµός των πόλων και ο αριθµός των µηδενικών > Ένα σηµείο λήξης είναι το - και το άπειρο. 3 Αριθµός των διακεκριµένων κλάδων τόπων είναι ίσος µε axn, δηλαδή. 4 Ο Γ.Τ.Ρ είναι συµµετρικός ως προς τον άξονα των πραγµατικών αριθµών Re 5 Για µεγάλες τιµές του o Γ.Τ.Ρ για K πλησιάζει ασυµπτωτικά τις ευθείες γραµµές που ρ έχουν γωνίες: θ ρ π, ρ,,..., n. Εποµένως έχουµε ασύµπτωτη µε γωνία: n θ π π 6 Οι n- ασύµπτωτες του Γ.Τ.Ρ τέµνονται στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και n pi zi i i συγκεκριµένα στο σηµείο: σ. Επειδή υπάρχει µόνο µια ασύµπτωτη εποµένως n πρακτικά δεν υπάρχει σηµείο τοµής ασυµπτώτων. 7 Ένα τµήµα του άξονα των πραγµατικών αριθµών µπορεί να ανήκει στο Γ.Τ.Ρ αν ο αριθµός των πόλων ή µηδενικών της GF που βρίσκονται στα δεξιά του τµήµατος είναι περιττός. Εποµένως το τµήµα του άξονα των πραγµατικών αριθµών από - έως και το σηµείο - ανήκει στο Γ.Τ.Ρ G F 8 Οι ρίζες τις εξίσωσης οι οποίες είναι και ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: KG F για κάποια τιµή του Κ, αποτελούν σηµεία θλάσης του Γ.Τ.Ρ > Πιθανά σηµεία G F 4 3 θλάσης 4 5-3, -. Από τα δύο αυτά σηµεία το - δεν µπορεί να είναι ρίζα της KG F για καµία τιµή του Κ. Αντίθετα το -3 είναι ρίζα της KG F για Κ. Εποµένως το -3 είναι σηµείο θλάσης. 9 Η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ στους πόλους της GF γωνία εκκίνησης δίνεται από τη σχέση: pq π arg pq zi arg pq pi i n θ όπου θp q η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ i i q στο πόλο p q και p i, z i είναι οι πόλοι και τα µηδενικά της GF αντίστοιχα. >θp -π 9 ο -9 ο -π, θp -π - 9 ο --9 ο -π 8

9 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 Η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ στα µηδενικά της GF γωνία άφιξης δίνεται από τη σχέση: zq arg zq zi arg zq pi i i q n θ όπου θz q η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ στο µηδενικό z q >θz - 9 ο 9 ο ο i Με βάση όλα τα παραπάνω η µορφή του Γ.Τ.Ρ θα είναι όπως στο κατωτέρω σχήµα:.5 Roo Lou.5 Iaginary xi Real xi β Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος G K H. G F 4 K K 5 Εφαρµόζοντας το κριτήριο Rouh βλέπε πίνακα Rouh κατωτέρω προκύπτει ότι το κλειστό σύστηµα είναι ευσταθές για K>-.5. K 5 4 K K

10 Ερωτήσεις Επανάληψης: Ιούνιος 6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Ερώτηση Α Β Γ