ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki

2 Σχέση δύναμης - κίνησης Δύναμη σταθερή εφαρμόζεται σε σώμα Δύναμη ανάλογη της απομάκρυνσης (F-kx) εφαρμόζεται σε σώμα Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση Ταλαντώσεις πηγές κυμάνσεων Κύμα Διαταραχή που μεταφέρει ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου σε ένα άλλο χωρίς να μεταφέρει μάζα

3 Διάδοση ενέργειας Η μεταφορά ενέργειας σε ένα μέσο όπου διαδίδεται ένα κύμα γίνεται με τη βοήθεια των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των μορίων / ατόμων. Μηχανικά κύματα Διαδίδονται διαμέσου της ύλης π.χ. ο ήχος Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Διαδίδονται και στο κενό π.χ. το φως Η ταχύτητα διάδοσης στο μέσο είναι χαρακτηριστική του μέσου Καθορίζεται από την ελαστικότητά του και την αδράνεια των ατόμων / μορίων

4 Μηχανικά κύματα Κατά τη διάδοση μίας κύμανσης σε ένα μέσο τα σωμάτια της ύλης δεν εκτελούν μεταφορική κίνηση αλλά ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ισορροπίας Το είδος της ταλάντωσης που θα εκτελέσουν καθορίζεται από τη δύναμη η οποία παράγει το κύμα. Αρμονική δύναμη παράγει αρμονική ταλάντωση. Η διαταραχή διαδίδεται λόγω των δυνάμεων επαναφοράς που ασκούνται μεταξύ γειτονικών μορίων που τείνουν να τα επαναφέρουν στηθέσηισορροπίας

5 Εγκάρσια διαμήκη κύμα Εγκάρσιο κύμα Οι δονήσεις των μορίων γίνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης Διάμηκες κύμα Οι δονήσεις των μορίων γίνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης

6 Εγκάρσια διαμήκη κύμα Στα στερεά διαδίδονται και διαμήκη και εγκάρσια κύματα Η ταχύτητα διάδοσης των διαμηκών και εγκαρσίων κυμάτων είναι διαφορετική στο ίδιο μέσο Στα υγρά και τα αέρια διαδίδονται μόνο διαμήκη κύματα π.χ. ήχος

7 Εγκάρσια διαμήκη κύμα Σεισμικά κύματα Στα στερεά διαδίδονται και διαμήκη και εγκάρσια κύματα Στα υγρά και τα αέρια διαδίδονται μόνο διαμήκη κύματα Από τη μελέτη των σεισμικών κυμάτων λαμβάνουμε πληροφορίες για τη δομή των πετρωμάτων και το εσωτερικό της Γης

8 Αρχή της επαλληλίας Όταν σε ένα μέσο διαδίδονται περισσότερα κύματα τότε η ολική διαταραχή είναι άθροισμα τον επί μέρους διαταραχών Α y (α) tt 1 tt Α y (β) x x y Α (γ) y (δ) tt 3 tt 4 Α x x

9 Αρμονικά οδεύοντα* κύματα x0 x Το χέρι αναγκάζει ένα αρχικά τεντωμένο νήμα να κινηθεί (στο σημείο x0) αρμονικά y( 0) Acosωt y( 0, t) Acosωt θέση x χρονική στιγμή t Ποιά είναι η μετατόπιση του κάθε σημείου του νήματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t; *τρέχοντα

10 Αρμονικά οδεύοντα κύματα Εξίσωση κύματος Δx δύο στιγμιότυπα Α Α x0 Θέση (x) του x σημείου Α τη To κύμα οδεύει με ταχύτητα υ χρονική στιγμή t Θέση (x0) του σημείου Α τη χρονική στιγμή t Σημείο της κυματομορφής με σταθερή απομάκρυνση (σταθερή φάση) Η χρονική στιγμή t που διαφέρει από την t κατά x/υ t t + x υ ( t ) y (0, t ) A cos ω

11 Αρμονικά οδεύοντα κύματα Εξίσωση κύματος Α Α x0 x ( t ) y (x, t) y(0, t ) A cos ω y(0, t ) x A cos ω t υ t t x υ k y(x, ω υ t) A cos ω ( t kx) y (x, t) A cos ω + k κυματάριθμος (λόγος δύο ταχυτήτων) ( t kx) Διάδοση προς τ αριστερά

12 Αρμονικά οδεύοντα κύματα y k ω υ υ ω k ταχύτητα φάσης 1 (ταχύτητα με την οποία κινούνται οι επιφάνειες σταθερής φάσης) λ Α πλάτος του κύματος x y Τ t λ υ T Μήκος κύματος: απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου Περίοδος

13 Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής m s m s 1 (Hz) υ λ ν Η ταχύτητα διάδοσης ενόςκύματοςεξαρτάταιαπότομέσοστοοποίοδιαδίδεται Η συχνότητα του κύματος δεν εξαρτάται από το μέσο Το μήκος κύματος εξαρτάται από το μέσο στο οποίο διαδίδεται το κύμα

14 Αρμονικά οδεύοντα κύματα Εξίσωση κύματος 1 ω υ k λ υ T υ λ ν ω πν ν 1 T k κυματάριθμος π λ Μονάδες m -1 k ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ ( t kx) y (x, t) A cos ω ± π λ ω π T υ λν ν 1 T Μονάδες: k λ ω Τ ν m -1 m s -1 s Hz

15 Αρμονικά οδεύοντα κύματα y Εξίσωση κύματος x0 y(x, t) A cos ω ( t kx) x φάση ( ω t +ϕ) y(x, t) A cos kx Ταχύτητα φάσης: ταχύτητα διάδοσης ενός σημείου σταθερής φάσης (π.χ. μιας κορυφής) Ταχύτητα του κύματος Ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου γύρωαπότηθέσηισορροπίας αρχική φάση Φάση Φ (x, t) ωt kx + ϕ σταθ Παράγωγος ως προς το χρόνο: dφ dt dx dt 0 ω k ω υ k dx dt σημεία σταθερής φάσης 0

16 Άσκηση Ένας ψαράς παρατηρεί ότι η βάρκα του κινείται πάνω κάτω περιοδικά λόγω των κυμάτων στην επιφάνεια του νερού. Απαιτούνται 3sec ώστε η βάρκα να φτάσει από το ανώτατο στο κατώτατο σημείο, μια ολική απόσταση 0.8m. Ο ψαράς βλέπει ότι οι κορυφές των κυμάτων απέχουν 8m. α) Πόσο γρήγορα ταξιδεύουν τα κύματα; β) Πόσο είναι το πλάτος του κάθε κύματος; α) π π π ω s T π π π k m λ 8 4 π ω 3 4 m υ k π 3 s A β) m 0.8m 8m

17 Επίπεδο σφαιρικό κύμα Μέτωπο κύματος : γεωμετρικός τόπος των σημείων ίσης φάσης ισοφασική επιφάνεια Φ (x, t) ωt kx + ϕ σταθ Όλατασημείατης ισοφασικής επιφάνειας δέχονται την ίδια διαταραχή μια ορισμένη χρονική στιγμή ακτίνα Ευθεία κάθετη στο μέτωπο κύματος (για μέσο ισότροπο και ομοιογενές) ακτίνα επίπεδο κύμα δείχνει τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος σφαιρικό κύμα

18 Άσκηση Τα ηχητικά κύματα από ένα ηχείο διασκορπίζονται σχεδόν ισότροπα προς όλες τις κατευθύνσεις όταν τα μήκη κύματός των είναι μεγάλα συγκριτικά με τη διάμετρο του ηχείου. Όταν το μήκος κύματος είναι μικρό σχετικά με τη διάμετρο του ηχείου πολλή από την ηχητική ενέργεια εκπέμπεται στην προς τα μπρος διεύθυνση. Για ηχείο διαμέτρου 0cm υπολογίστε τη συχνότητα για την οποία το μήκος κύματος των ηχητικών κυμάτων στον αέρα (υ344m/s ) είναι: α) 10 φορές μεγαλύτερο από τη διάσταση του ηχείου β) ίσο προς τη διάμετρο του ηχείου γ) 1/10 της διαμέτρου του ηχείου υ 344 α) λ cm m υ λ ν ν 17Hz λ σφαιρικό κύμα υ 344 β) λ 0 cm 0. m υ λ ν ν 170Hz λ 0. 0 υ 344 β) λ cm 0. 0m υ λ ν ν 17.MHz 10 λ 0.0 επίπεδο κύμα

19 Άσκηση Αρμονικό ημιτονοειδές κύμα πλάτους Α και συχνότητας 16500Hz διαδίδεται κατά τη διεύθυνση x με σταθερή ταχύτητα 330m/s. Να γραφεί η εξίσωσή του αν για t0 και x0 είναι ya/. y( x, t) διάδοση κατά -x Acos kx ( ω t + +ϕ) ω πν s 1 k(m 1 ) ω υ π π Για t0 και x0: ya/ y(0,0) A 1 Acosϕ cosϕ ϕ 60 π y( x, t) Acos t x + y( x, t) Acos π 16500t + 50x + 3 π 3 1 6

20 Άσκηση Κύμα έχει συχνότητα ν500hz και ταχύτητα υ330m/s. α) Πόσο απέχουν δύο σημεία με διαφορά φάσης 60 ο για συγκεκριμένη χρονική στιγμή; β) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο απομακρύνσεων σ ένα ορισμένο σημείο σε στιγμές που διαφέρουν κατά 10-3 sec; α) Φάση σημείου στη θέση 1: Φάση σημείου στη θέση : ω t kx 1 +ϕ ω t kx +ϕ ΔΦ ωt kx x x ϕ λ π π 3 ( ωt kx + ϕ) k( x x ) υ ν π π 3 π π 110 π m π 3 x x 1 1 k π 3 β) Φάση σημείου τη χρονική στιγμή t 1 : ω t 1 kx + ϕ Φάση σημείου τη χρονική στιγμή t : ω t kx + ϕ 3 ( ωt kx + ϕ) ω( t t ) π 500 π ΔΦ ωt1 kx + ϕ 1 10

21 Διάδοση σε μέσο που έχει όρια Ανάκλαση σε ελεύθερο άκρο υ Παλμός διαδίδεται σε τεντωμένη χορδή με ελεύθερο άκρο (δεμένο σε δακτύλιο που κινείται χωρίς τριβές). -υ Φτάνει στο ελεύθερο άκρο Γ νόμος Newton: η χορδή ασκεί δύναμη στο δακτύλιο οδακτύλιος ασκεί ίση και αντίθετη δύναμη στη χορδή Δημιουργείται παλμός που διαδίδεται προς την αντίθετη κατεύθυνση (ανάκλαση κύματος) ανάκλωμενο και διαδιδόμενο κύμα έχουν διαφορά φάσης 0 ο στο ελεύθερο άκρο

22 Διάδοση σε μέσο που έχει όρια Ανάκλαση σε σταθερό άκρο υ -υ Παλμός διαδίδεται σε τεντωμένη χορδή με πακτωμένο άκρο (έστω στερεωμένο με ένα καρφί). Φτάνει στο σταθερό άκρο (καρφί) το οποίο δεν μπορεί να κινηθεί Γ νόμος Newton: η χορδή ασκεί δύναμη στο καρφί το καρφί ασκεί ίση και αντίθετη δύναμη στη χορδή Δημιουργείται παλμός που διαδίδεται προς την αντίθετη κατεύθυνση (ανάκλαση κύματος) Αρχή επαλληλίας ανάκλωμενο και διαδιδόμενο κύμα έχουν διαφορά φάσης 180 ο στο σταθερό άκρο

23 Στάσιμα κύματα Ημιτονοειδής διαταραχή διαδίδεται σε χορδή με πακτωμένα άκρα Το κύμα συνεχώς ανακλάται στα δύο άκρα Επαλληλία κυμάτων y ( t) y1( t) + y( t) Α Α y1( t) υ Asin ωt kx ( ) υ y ( t) Asin ωt + kx ( ) Ίδια συχνότητα Ίδιο πλάτος Ίδια ταχύτητα υω/k Διαφορά φασης 180 ο

24 Στάσιμα κύματα y1( t) Asin ω ( t kx) ( t kx) y ( t) Asin ω + A y1( t) + y ( t) Asin( ωt kx) + Asin( ωt + kx) A[ sin( ωt kx) + sin( ωt + kx) ] ( sinωt cos kx + cosωt sin kx + sinωt cos kx + cosωt sin kx) y( t) Asin kx cosωt Εξίσωση στάσιμου κύματος y( t) Asin kxcosωt Πλάτος χωρική μεταβολή Φάση εξάρτηση μόνο από το χρόνο ( A ± B) sin Acos B cos Asin B sin ±

25 Στάσιμα κύματα y( t) Asin kxcosωt αρμονική ταλάντωση Θέσεις μέγιστου πλάτους: π λ π kx m ( m + 1) x ( m + 1) x ( + 1) π 4 λ ΚΟΙΛΙΑ Θέσεις μηδενισμού του πλάτους: λ kx nπ x nπ x π λ n ΔΕΣΜΟΣ

26 Στάσιμα κύματα δεσμός λ/ Α κοιλία στάσιμο κύμα

27 Στάσιμα κύματα σε χορδή Μήκος χορδής: λ L m Συχνότητες ταλάντωσης της χορδής: Θεμελιώδης συχνότητα ν 1 υ L Ανώτερες αρμονικές ν m mν1 υ υ υ ν ν m λ L L m (m1,, ) Ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης της χορδής

28 Στάσιμα κύματα σε χορδή Μία χορδή μπορεί να πάλεται ταυτόχρονα στη θεμελιώδη συχνότητα και σε όλες τις αρμονικές της θεμελιώδης η αρμονική L Συχνότητα ν m mν 1 ν 1 ν 1 Μήκος κύματος λ L m λ L λ L 3 η αρμονική 3ν 1 λ 3 L 4 η αρμονική 4ν 1 λ L

29 Στάσιμα κύματα σε χορδή Η χροιά του ήχου που παράγεται από δονούμενη χορδή καθορίζεται από τη σχετική ένταση των αρμονικών ως προς τη θεμελιώδη συχνότητα v 1 440Hz πλάτος πλάτος t (msec) v(khz) πλάτος πλάτος t (msec) v (khz)

30 Στάσιμα κύματα σε χορδή Η χροιά του ήχου που παράγεται από δονούμενη χορδή καθορίζεται από τη σχετική ένταση των αρμονικών ως προς τη θεμελιώδη συχνότητα v 1 440Hz πλάτος πλάτος t (msec) v(khz) πλάτος πλάτος t (msec) v (khz)

31 Ταχύτητα κύματος σε χορδή ταχύτητα διάδοσης του ήχου σε χορδή υ F μ δύναμη με την οποία τείνεται ηχορδή γραμμική πυκνότητα χορδής μ M L μάζα χορδής μήκος χορδής

32 Άσκηση Η χαμηλότερη συχνότητα που μπορεί να παράγει χορδή μήκους m είναι 40Hz, όταν τείνεται με μια δύναμη 30Ν. Ποια είναι η μάζα της χορδής; Θεμελιώδης συχνότητα: 40 Hz Μήκος κύματος θεμελιώδους αρμονικής: Ταχύτητα διάδοσης: m υ λ ν sec λ L λ L 4m Γραμμική πυκνότητα: υ F F μ μ υ kgr m Μάζα χορδής: M μ M μ L L kgr 5gr