Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Transcript

1 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1) + (y + ) = R έτσι ώστε να διέρχεται από το σημείο Μ(3, 4) 4. Το σημείο Α ανήκει στον κύκλο (x ) + y = 13 και έχει τετμημένη 3. Ποια μπορεί να είναι η τεταγμένη του ; 5. Για ποια τιμή του t η εξίσωση x + y 4x + ty + 13 = 0 παριστά κύκλο με ακτίνα 4; 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) + (y + 4) = Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο το σημείο (3, 1) και ακτίνα 5 β) έχει κέντρο το σημείο (, 1) και διέρχεται από το σημείο (, 3) γ) έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α (1, 3) και Β ( 3, 5) δ) διέρχεται από τα σημεία (, 1), (1, ) και (, 1) ε) διέρχεται από τα σημεία (3, 1), ( 1, 3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία y = 3x στ) έχει κέντρο το σημείο (8, 6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων ζ) έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο (5, 4) η) έχει κέντρο το σημείο ( 3, ), εφάπτεται στον άξονα y y και διέρχεται από το σημείο ( 6, ) θ) έχει κέντρο το σημείο (3, 3) και εφάπτεται των αξόνων x x και y y ι) έχει κέντρο το σημείο ( 3, 1) και εφάπτεται στην ευθεία 4x - 3y + 5 = 0 8. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y 1 = Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που σχηματίζει η ευθεία x + y 6 = 0 με τους άξονες x x και y y. 10. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α (3α, 0), Β (0, 3α) και Γ (0, 3α), α > Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε): x + y + 1 = 0 και διέρχεται από τα σημεία Α ( 1, ) και Β (3, 1). 1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(3, 1) και αποκόπτει από την ευθεία x 5y + 18 = 0 χορδή μήκους 6.

2 13. Να βρείτε το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α( 3, ), Β(4, 1) και έχει ακτίνα Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο των αξόνων εφάπτεται σ αυτούς και στην ευθεία 5x + 1y = Να βρείτε τον κύκλο που διέρχεται από το σημείο Α( 1, 5) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + 4y 35 = 0, 4x + 3y + 14 = Έστω κύκλος C : x + y 4y + 3 = 0 και το σημείο Α( 1, 0) i. Nα δείξετε ότι το σημείο Α είναι εξωτερικό του κύκλου ii. Nα βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Α 17. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που έχει κέντρο Κ(,3) και κόβει από την ευθεία ε: x + y 1 = 0 χορδή μήκους 4 μονάδες 18. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το κέντρο του κύκλου x x + y 6x = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία x + y 7 = Δίνονται τα σημεία Α (1, ), Β (, 4) και Γ (3, 1). α) Να αποδειχθεί ότι: γωνία ΒΑΓ = 90 β) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ. 0. Να προσδιοριστεί ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Α(3,1), Β(,-) και εφάπτεται στην ευθεία ε: x y +3 = 0 1. Να προσδιοριστεί ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Α(1,0), Β(0,1) και εφάπτεται στoν κύκλο x + (y 3) = 4.. Να προσδιοριστεί ο κύκλος που διέρχεται από το σημείο Α(1,) και εφάπτεται στις δυο ευθείες ε 1 : x y + 5 = 0 και ε : x y 5 = 0 3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία y = x και είναι ομόκεντρος του κύκλου x + y x + 4y + 1 = Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα 10 και εφάπτεται στην ευθεία 3x 4y 13 = 0 στο σημείο Α(7, ) 5. Δίνεται η ευθεία y = λx και ο κύκλος x + y 4x + 1 = 0. Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η ευθεία: α) να τέμνει τον κύκλο β) να εφάπτεται του κύκλου γ) να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. 6. Δίνεται ο κύκλος x + y x 1 = 0 και η ευθεία y = x 3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και στη συνέχεια να βρείτε το σημείο επαφής.

3 7. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα R του κύκλου (x 1) + (y + ) = R έτσι ώστε να εφάπτεται στην ευθεία y = 3x Να αποδείξετε ότι η ευθεία x + y = εφάπτεται στους κύκλους x + y = και x + y + 3x + 3y 8 = 0 στο ίδιο σημείο 9. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που το κέντρο του ανήκει στην ευθεία x + y = 0 και εφάπτεται στις ευθείες 4x 3y + 10 = 0, 4x 3y 30 = Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου (x ) + (y 1) = 8 που διέρχεται από το σημείο Μ(3, 4) 31. Να επαληθεύσετε ότι η ευθεία x + y 7 = 0 εφάπτεται στον κύκλο με εξίσωση x + y 4x 6y + 11 = 0 3. Θεωρούμε τον κύκλο C: x + y + 4y = 0 και το σημείο Α ( 1, 1). Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που ορίζει στον κύκλο χορδή, με μέσο το σημείο Α. 33. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των σημείων Μ (x, y) του επιπέδου που ικανοποιούν τις εξισώσεις xσυνθ yημθ = συνθ και xημθ + yσυνθ = ημθ, θ R, βρίσκονται σε κύκλο. 34. Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι C 1 : (x ) + y = 4 και C : x x + y = 0 εφάπτονται εσωτερικά. 35. Να δειχθεί ότι η εξίσωση x + y + λx = 0 παριστάνει κύκλο για κάθε λ R*. Να βρεθεί η γραμμή πάνω στην οποία βρίσκονται τα κέντρα αυτών των κύκλων. 36. Η ευθεία ε: x y 3 = 0 τέμνει τον κύκλο c: x + y αx 4αy = 0 στα σημεία Α, Β. Να βρείτε την τιμή του α R ώστε να ισχύει 0 όπου Ο η αρχή των αξόνων 37. Δίνεται η εξίσωση ε κ : (1+κ) x + (κ-1) y κ = 0, κr. 1. Να αποδείξετε ότι : α. Η ε κ παριστάνει ευθεία για κάθε κr. β. Οι ευθείες ε κ διέρχονται από σταθερό σημείο Ρ το οποίο να βρείτε. Να προσδιορίσετε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στον άξονα y y και έχει κέντρο το σημείο Ρ 38. Δίνεται ο κύκλος c: (x-1) + y = 4 α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α(ημω+1, συνω) είναι σημείο του κύκλου c β. Να υπολογίσετε την εφαπτομένη ε του c στο σημείο Α 39. Να βρείτε την μικρότερη απόσταση του σημείου Α(4,4) από τον κύκλο c : x + y x = 0.

4 40. Εστω η εξίσωση x + y + λ(x y) = 1, λr. Να αποδείξετε ότι : α. Η εξίσωση παριστάνει κύκλο c για κάθε λr. β. Ο κύκλος c διέρχεται από δυο σταθερά σημεία. 41. Δίνεται ο κύκλος C λ και η ευθεία ε λ με C λ : x + y + λx 1 = 0 και ε λ : y = λx, λr * i. Δείξτε ότι ο C λ και η ε λ έχουν δυο κοινά σημεία για κάθε λr * ii. Δείξτε ότι το μέσο Μ της χορδής που ο C λ ορίζει επι την ε λ ανήκει σε σταθερό κύκλο 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : x 3 + y x + xy 5x 3 = 0 παριστάνει ένα κύκλο και μια ευθεία εφαπτομένη σ αυτόν 43. Η εξίσωση 4x 4 α x + α β = 0, α, β R, έχει διπλή ρίζα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(α,β) 44. Θεωρούμε τον κύκλο C : x + y = 4 και η ευθεία ε: y = x + 5 i. Να δείξετε ότι ο κύκλος C και η ευθεία ε δεν έχουν κοινό σημείο ii. Από ένα σημείο Μ της ευθείας ε φέρνουμε τις εφαπτομένες στον κύκλο C και ονομάζουμε Α και Β τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι, όταν το Μ διαγράφει την ευθεία ε, η ευθεία ΑΒ διέρχεται από ένα σταθερό σημείο 45. Δίνεται κύκλος (C) : x + y = 4 και η ευθεία (ε) : 3x + 4y 0 = 0. Αν από κάθε σημείο της ευθείας (ε) φέρω εφαπτομένες προς τον κύκλο (C) να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών των επαφών. 46. Δίνεται κύκλος C : x + y = 10 και η ευθεία ε: y = λx 5. Να προσδιοριστεί ο λ R ώστε η (ε) να τέμνει τον ( C ) σε δυο σημεία Α, Β έτσι ώστε = 90 ο 47. Δίνεται ο κύκλος C : x + y = 8 και το σημείο Ρ(ημθ, 4 συνθ), θ R. i. Να δειχθεί ότι το Ρ είναι εξωτερικό του C για κάθε θ R. ii. Αν ΡΑ, ΡΒ οι εφαπτόμενες από το Ρ στον C, να βρεθεί η εξίσωση ευθείας ΑΒ iii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ 48. Δίνεται η εξίσωση x + y +x y 3 +λ(x+y ) = 0, λ R i. Να δειχθεί ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο C για κάθε λ R ii. Να δειχθεί ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερά σημεία. iii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων. 49. Δίνεται κύκλος C : x + y +λx λy = 0 και η ευθεία ε: y = x + 1. Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε i. η ε να εφάπτεται του C ii. η ε να τέμνει τον C κατά χορδή ΑΒ iii. η χορδή ΑΒ να φαίνεται από το Ο(0,0) υπό ορθή γωνία

5 50. α) Δίνεται η εξίσωση (λ +)x + 3λy 6λx +3λy + 4 = 0. (1) Για ποιο λ R η (1) είναι εξίσωση κύκλου; β) Θεωρούμε την εξίσωση x + y + (m 1)x + my - m 1 = 0. () m R. 4 Να δείξετε ότι i. Για κάθε m R η () είναι εξίσωση κύκλου. ii. Οι κύκλοι με εξίσωση την () διέρχονται από δυο σταθερά σημεία από τα οποία το ένα είναι το κέντρο του κύκλου του (α) ερωτήματος γ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον x x η κοινή χορδή των κύκλων του (β) ερωτήματος. 51. Εστω η εξίσωση x + y λx λy + λ 4 = 0, όπου λ R α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ένα σύνολο ίσων κύκλων β. Να υπολογίσετε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων γ. Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δυο σταθερές ευθείες, των οποίων να υπολογίσετε τις εξισώσεις 5. Δίνονται οι κύκλοι (x λ) + (y 3λ) = 1, όπου λ R. Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δυο σταθερές ευθείες των οποίων να υπολογίσετε τις εξισώσεις. 53. Δίνεται κύκλος c: x + y =1 και το κινητό του σημείο P(x 1, y 1 ). Ενώνουμε το Ρ με το σημείο Σ(7,0) Να αποδειχθεί ότι το μέσο Μ του τμήματος ΣΡ διαγράφει κύκλο, που να βρεθούν η ακτίνα και το κέντρο του όταν το Ρ κινείται στον c 54. Εστω η ευθεία ε: y = λx όπου λ και το σημείο Α(1,). Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε ανήκει σε κύκλο. 55. Δίνονται τα σημεία Α(1,5), Β(5,-) και Γ(-3,-3) i. Αν Μ(x, y) είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδείξετε ότι : α. 70 β. Αν ισχύει 85, τότε το σημείο Μ κινείται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ii. Να αποδείξετε ότι το σημείο Ρ(3,1) περιέχεται στον κύκλο αυτό iii. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του κύκλου που άγονται από το σημείο Τ(0,3) 56. Δίνονται οι κύκλοι C κ : x + y + Α κ x + B κ y 5 = 0, κ Ν * Εστω ότι οι κύκλοι C κ έχουν με τον κύκλο C: x + y = 5 κοινό σημείο το Μ(1,) i. Να αποδειχθεί ότι τα κέντρα των C κ είναι συνευθειακά σημεία ii. Να αποδείξετε ότι μόνο ένας κύκλος από τους C κ εφάπτεται στον C 57. Στους ημιάξονες Οχ, Οy θεωρούμε τα μεταβλητά σημεία Α, Β όπου ΟΑ+ΟΒ = c, με c >0 Να αποδείξετε ότι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ διέρχεται από δυο σταθερά σημεία 58. Θεωρούμε τα μεταβλητά σημεία Α(α,0) και Β(0, β) όπου α+β=, με α,β >0. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C διαμέτρου ΑΒ διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.

6 59. Ο κύκλος C εφάπτεται του y y και διέρχεται από το Α(x 1, y 1 ). Αν Β(x, y ) είναι το αντιδιαμετρικό του Α, να αποδείξετε ότι : (y 1 y ) = 4x 1 x 60. Εστω το σημείο Α(,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής Β του τριγώνου ΟΑΒ, έτσι ώστε η διάμεσος του ΟΔ να είναι ίση με Εστω η ευθεία ε: x + (α 1)y = α, όπου α 1 και το σημείο Α(1,). Να αποδείξετε ότι: i. Το σημείο Α δεν ανήκει στην ευθεία ii. Το συμμετρικό Α του Α ως προς την ευθεία ε ανήκει σε κύκλο 6. Για ποια τιμή του λ η ευθεία y = λx + 1 τέμνει τον κύκλο (x 3) + y = 4 σε δυο σημεία ; 63. Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κορυφές Α(, 4), Β(0, 3), Γ(4, 1) 64. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος x + y αx αy + α = 0, α 0 εφάπτεται στους άξονες. 65. Να βρείτε τον συμμετρικό του κύκλου x + y = 3 ως προς την ευθεία x + y = Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής των κύκλων (x 1) + (y ) = 4, (x ) + (y 1) = Για ποια τιμή του p ο κύκλος με εξίσωση x + y + px + y 1 = 0 διέρχεται από το σημείο Α(1, ); 68. Δίνεται το σημείο Ρ(10, 7) και ο κύκλος x + y 4x y 0 = 0. Ποια είναι η μεγαλύτερη και ποια η μικρότερη απόσταση που μπορεί να έχει ένα σημείο του κύκλου από το Ρ ; 69. Για ποιες τιμές των p, q ο κύκλος με εξίσωση x + y +px + qy 1 = 0 διέρχεται από τα σημεία Α(, ), Β(3, 1) 70. Έστω οι κύκλοι C 1 : x + y y = 0 C : x + y 4x y + 1 = 0 Να βρείτε το μήκος της διακέντρου τους και το μήκος της κοινής χορδής τους. 71. Δίνονται τα σημεία Α(, 5) και Β(3, 4). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΑ + ΜΒ = Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους άξονες και διέρχεται από το σημείο Α(, 3) 73. Ποια είναι η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(, 1) και εφάπτεται στην ευθεία y = x στην αρχή των αξόνων. 74. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(9, 1), Β(7, 9), Γ(, 1) και Δ(6, 10) είναι ομοκυκλιακά. 75. Να βρείτε για ποια τιμή του λ τα σημεία Α(, 0), Β(0, 1), Γ(4, 5) και Δ(0, λ) είναι ομοκυκλιακά.

7 76. Έστω οι κύκλοι : C 1 : x + y + 4x 1y + 14 = 0 C : x + y 14x + 6y = 0 α. Να βρείτε τα σημεία τομής Α, Β των C 1, C β. Να βρείτε το μήκος της κοινής χορδής ΑΒ των C 1, C 77. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι : C 1 : x + y 8x y + 8 = 0 C : x + y x + 6y + 6 = 0 εφάπτονται και να βρείτε το σημείο επαφής. 78. Να αποδείξετε ότι αν ο λόγος των αποστάσεων MA MB του σημείου Μ(x, y) από τα σημεία Α(-1, 3), Β(, 4) είναι σταθερός και ίσος με τότε το Μ ανήκει σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση. 79. Να βρείτε εφαπτομένη του κύκλου (x ) + (y + 1) = 13 η οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία 4x + 6y + 5 = Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου x + y + x 10y + 17 = 0 η οποία είναι κάθετη στην ευθεία x + y 5 = Να βρείτε το μήκος της χορδής που αποκόπτει η ευθεία 4x y 7 = 0 από τον κύκλο 4x + 4y 4x + 5y + 5 = 0 8. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι x + y x = 0 x + y + 6x 6y + = 0 εφάπτονται εξωτερικά. 83. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1 t)x + (1 t)y (1 + t)x ( t)y + 3 = 0 παριστάνει κύκλο για κάθε t Έστω ο κύκλος x + y 6x 4y 1 = 0 και το σημείο Α(-1, 5). Αφού επαληθεύσετε ότι το σημείο ανήκει στον κύκλο να βρείτε το αντιδιαμετρικό του 85. Έστω η εξίσωση (p q)x (q + 1)y + px + 4qy = 0 Για ποιες τιμές των p, q η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο; 86. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ οι ευθείες x + λy = λ + 3, λx y = λ 1 τέμνονται και ότι το κοινό σημείο τους είναι σημείο του κύκλου (x ) + (y 3 ) = Δύο κύκλοι διέρχονται από το Α(14, ), έχουν τα κέντρα τους στην ευθεία y = 1 x και εφάπτονται στον άξονα x x. Να βρείτε τις εξισώσεις τους καθώς και την εξίσωση της άλλης εφαπτομένης τους. 88. Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των κύκλων x + y x 6y + 9 = 0 και x + y + 6x y + 1 = Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(1, -) που εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου x + y x 15 = 0.

8 90. Έστω τα σημεία Ρ(1, ), Q( 3, 4). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει PM PQ = PM 91. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις 5x + 3y = 9, x = 3y, x = y και x + 4y + = 0 με την σειρά που δίνονται είναι εξισώσεις πλευρών εγγράψιμου τετραπλεύρου του οποίου και να προσδιορίσετε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου. 9. Έστω ο κύκλος x + y = ρ και το σημείο Ρ(α, β) εκτός του κύκλου. Από το σημείο Ρ φέρνουμε τέμνουσες προς τον κύκλο. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των χορδών που ορίζουν οι τέμνουσες ανήκουν στον κύκλο με εξίσωση x + y = αx + βy x λy Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λx y λ 0 τομής τους ανήκει σε σταθερό κύκλο. τέμνονται κάθετα και ότι το σημείο