Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος

Transcript

1 Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η Τζούλι και η μαμά της έχουν βγει για να αγοράσουν ένα τζιν για το σχολείο. Παρατηρούν έναν πάγκο με την εξής ταμπέλα πάνω: 40% έκπτωση των τιμών στις ετικέτες του ήδη μειωμένου εμπορεύματος. Η Τζούλι βρίσκει ένα τζιν στον πάγκο αλλά δυστυχώς έχει σκιστεί ένα κομμάτι της ετικέτας, η οποία φαίνεται έτσι: 50 μειώθηκε 25% στην τιμή Η μαμά της Τζούλι ισχυρίζεται ότι μπορούν να υπολογίσουν το 65% της αρχικής τιμής για να βρουν πόσο κοστίζει το τζιν. Ο Τζούλι λέει ότι η μαμά της κάνει λάθος. Ποιος έχει δίκιο, η Τζούλι ή η μαμά της; Εξηγήστε το συλλογισμό σας. Τι τιμή θα πληρώσουν για το τζιν; Σκεφτείτε: Τι θα συνέβαινε στην τελική τιμή αν η έκπτωση 40% γινόταν πρώτη και η έκπτωση 25% γινόταν δεύτερη; Εξηγήστε. Τι ποσοστό της αρχικής τιμής είναι η τελική τιμή; Μπορείτε να βρείτε ένα γενικό κανόνα για να βρείτε την τιμή πώλησης ενός προϊόντος που έχει δεχτεί πολλές εκπτώσεις πάνω στην αρχική του τιμή; Σε αυτό το μάθημα οι μαθητές καθορίζουν ποιος έχει δίκιο για την τιμή ενός τζιν που πουλιέται αφού έχει ήδη μειωθεί η τιμή του. Το πρόβλημα είναι συναφές και χρησιμοποιεί αρκετά διαγράμματα για να εκθέσει σημαντικές πληροφορίες.

2 Στόχοι: - Οι μαθητές θα λύσουν το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια ποικιλία στρατηγικών και αναπαραστάσεων. - Οι μαθητές θα κατανοήσουν πώς οι πολλαπλές εκπτώσεις σε ένα αντικείμενο αλλάζουν την τιμή του. - Οι μαθητές θα εξηγήσουν και θα δικαιολογήσουν τις λύσεις τους στο πρόβλημα. Χτίζοντας σε προηγούμενες γνώσεις: Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση ρητών αριθμών. Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικούς και ποσοστά και χρήση αυτών των αναπαραστάσεων σε υπολογισμούς και εφαρμογές. Για να λύσουν επιτυχώς οι μαθητές αυτή τη δραστηριότητα θα πρέπει να κατανοήσουν πώς να υπολογίζουν το ποσοστό ενός αριθμού που τους δίνεται. Επίσης χρειάζεται να καταλάβουν πως όταν γίνεται έκπτωση σε ένα αντικείμενο, το ποσό της έκπτωσης αφαιρείται από την αρχική τιμή ώστε να καταλήξουμε στην τιμή πώλησης. Υλικά: Το πρόβλημα με τα ποσοστά (συνημμένο), κομπιουτεράκι - Καθορίζουμε από πριν τις ομάδες των μαθητών έτσι ώστε να συμπληρώνουν τις ικανότητες και γνώσεις ο ένας του άλλου όταν συνεργαστούν. - Κανονίζουμε τα θρανία έτσι ώστε οι μαθητές να είναι σε ομάδες των τριών ή τεσσάρων. Τοποθετούμε τα υλικά. ΦΑΣΗ 1: ΟΡΓΑΝΩΣΗ Πώς οργανώνω το μάθημα; Πριν τη διδασκαλία της δραστηριότητας, ο δάσκαλος τη λύνει μόνος του με όσους περισσότερους τρόπους είναι δυνατόν, έτσι ώστε να είναι εξοικειωμένος με τις στρατηγικές που μπορεί να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές. Αυτό θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση του τρόπου σκέψης των μαθητών. Οργανώνοντας το περιβάλλον για τη δραστηριότητα. Ο δάσκαλος διαβάζει το πρόβλημα και οι μαθητές παρακολουθούν. Είναι σημαντικό οι μαθητές να έχουν πρόσβαση στο πρόβλημα από την αρχή. - Ο δάσκαλος εκθέτει το πρόβλημα σε έναν προτζέκτορα ή σε ένα χαρτί με διαγράμματα για να αναφέρεται σε αυτό καθώς διαβάζει το πρόβλημα. - Συζητάει τι σημαίνει ο όρος έκπτωση. Πολλοί μαθητές μπορεί να γνωρίζουν τι σημαίνει αλλά κάποιοι ίσως να μην είναι εξοικειωμένοι με τη σημασία του. Βεβαιώνεται ότι κατανοούν πως η έκπτωση αφαιρείται από την τιμή για να βρούμε την τιμή πώλησης. - Συζητάει με τους μαθητές για τον αν υπάρχουν άλλες λέξεις που τους μπερδεύουν, όπως μειωμένος. Ο δάσκαλος ελέγχει αν οι μαθητές κατάλαβαν, κάνοντας ερωτήσεις σε αρκετούς μαθητές για το τι προσπαθούμε να βρούμε λύνοντας το πρόβλημα.

3 Οργανώνοντας τις προσδοκίες που έχουμε από τους μαθητές που κάνουν τη δραστηριότητα. Ο δάσκαλος θυμίζει στους μαθητές ότι θα πρέπει: - να δικαιολογήσουν τις λύσεις τους ως προς το περιβάλλον του προβλήματος. - να εξηγήσουν το συλλογισμό τους στους άλλους. - να κατανοήσουν τις εξηγήσεις των άλλων μαθητών. - να κάνουν ερωτήσεις στο δάσκαλο και τους άλλους μαθητές για όσα δεν καταλαβαίνουν. - να χρησιμοποιούν σωστό μαθηματικό λεξιλόγιο και σύμβολα. Λέμε στους μαθητές ότι οι ομάδες θα πρέπει να μοιραστούν τις λύσεις τους με ολόκληρη την τάξη χρησιμοποιώντας το χαρτί με το διάγραμμα, τον προτζέκτορα κτλ. Η οργάνωση και ενίσχυση αυτών των προσδοκιών σε επαναλαμβανόμενη βάση θα έχει ως αποτέλεσμα να γίνει μια νόρμα στην τάξη των μαθηματικών. Τελικά οι μαθητές θα ενσωματώσουν αυτές τις προσδοκίες στις συνήθειές τους. ΦΑΣΗ 2 : ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ Ανεξάρτητος χρόνος επίλυσης του προβλήματος Ο δάσκαλος τριγυρίζει στις ομάδες καθώς οι μαθητές δουλεύουν μόνοι τους πάνω στο πρόβλημα. Αφήνει χρόνο στους μαθητές να κατανοήσουν το πρόβλημα. Είναι σημαντικό να καταλάβουν μόνοι τους το πρόβλημα και να αρχίσουν να το λύνουν με τρόπο που βγάζει νόημα στους ίδιους. Διευκολύνοντας την εξερεύνηση των ομάδων Τι κάνω αν οι μαθητές έχουν δυσκολία να ξεκινήσουν; Κάνουμε ερωτήσεις όπως: - Τι προσπαθείς να βρεις; - Τι σημαίνει αφαιρώ 40% από την τιμή ; - Πόσο κόστιζε το τζιν αρχικά; Είναι σημαντικό οι ερωτήσεις να μην προδίδουν την απάντηση, ούτε να υποδεικνύουν κάποια μέθοδο επίλυσης. Πιθανές παρανοήσεις ή λάθη: Η μαμά της Τζούλι έχει κάνει μια παρανόηση σχετικά με τα ποσοστά που είναι συνηθισμένη σε μαθητές αλλά και ενήλικες. Το να κάνεις έκπτωση σε μια ήδη μειωμένη τιμή δεν είναι το ίδιο με το να προσθέτεις απλά τις δύο εκπτώσεις και να τις αφαιρείς από την αρχική τιμή. Άλλες παρανοήσεις ή λάθη μπορεί να είναι: - να μην αφαιρέσουν την έκπτωση από την τιμή για να πάρουν την τιμή πώλησης. Θυμίζουμε στους μαθητές τι σημαίνει έκπτωση. - να μετατρέψουν λανθασμένα τα ποσοστά σε δεκαδικούς ή κλάσματα, ιδίως όταν τα εισάγουν σε κομπιουτεράκι. Μπορούμε να ρωτήσουμε τους μαθητές, Τι σημαίνει 40%; Αν σκεφτείτε ένα τετράγωνο που να αντιπροσωπεύει το 100% και

4 μετά σκιάσετε το 40% αυτού, πόσο θα είναι σκιασμένο; Πώς συγκρίνεται αυτό με αυτό που γράψατε (ή εισάγατε στο κομπιουτεράκι); Πιθανοί τρόποι επίλυσης Οι ερωτήσεις που θα γίνουν πρέπει να βασίζονται στο πού βρίσκονται οι μαθητές στην κατανόηση του προβλήματος. Είναι σημαντικό οι μαθητές να απαντούν σε σχέση με το περιβάλλον του προβλήματος και σε μαθηματική γλώσσα. Α.Πρόσθεση των δυο ποσοστών για να βρουν την έκπτωση 1. Γιατί πρόσθεσες τα δυο ποσοστά; 2. Ας δοκιμάσουμε ένα ευκολότερο πρόβλημα. Αν η πρώτη έκπτωση ήταν 50% και η δεύτερη 50%; Πόση θα ήταν η τιμή έκπτωσης; Βγάζει νόημα αυτό; Τι θα σήμαινε μια έκπτωση 100%; 3. Αν η πρώτη έκπτωση ήταν 50% και η δεύτερη 75%;Χρησιμοποιώντας τη μέθοδό σου τι θα σήμαινε αυτό; 1. Οι μαθητές πιθανώς να δηλώσουν λανθασμένα ότι αφού υπήρχε μια έκπτωση 25% και μια 40%, τότε έχουμε μια συνολική έκπτωση 65%. 2. Οι μαθητές πιθανώς θα πουν πως μια 100% έκπτωση δεν βγάζει νόημα, γιατί τότε η έκπτωση θα ήταν ίδια με την τιμή του αντικειμένου το οποίο θα ήταν πλέον δωρεάν. 3. Οι μαθητές θα πουν ότι χρησιμοποιώντας τη μέθοδό τους, η έκπτωση θα ήταν 125% και θα ήταν μεγαλύτερη από την τιμή του προϊόντος. Β. Καθορίζουν την πρώτη έκπτωση και την τιμή πώλησης και χρησιμοποιούν το αποτέλεσμα για να καθορίσουν την δεύτερη έκπτωση και την τιμή πώλησης. 1. Τι νομίζετε ότι χρειάζεται να κάνουμε πρώτα; Πώς θα βρείτε την τιμή του τζιν που θα έπρεπε να είναι στην ταμπέλα; 2. Τι σημαίνει 25% μειωμένο ; Πώς θα βρείτε την έκπτωση; 3. Γιατί πρέπει να βρούμε την έκπτωση 25% πριν βρούμε την έκπτωση 40%; Γιατί έχει σημασία; 4. Τι θα συνέβαινε στην τιμή του τζιν αν βρίσκαμε πρώτα την έκπτωση 40% και 5. Υπάρχει άλλος τρόπος να λύσουμε αυτό το πρόβλημα; 1. Οι μαθητές θα πουν ότι θα βρουν την έκπτωση 25% και θα την αφαιρέσουν από την αρχική τιμή του τζιν. 2. Ίσως το συνδέσουν με τον όρο της έκπτωσης. Εάν όχι, ρωτήστε τους τι σημαίνει γενικά η λέξη μειώνω και τι θα σήμαινε να μειωθεί η τιμή κατά ένα συγκεκριμένο ποσό.

5 3. Οι μαθητές θα πρέπει να συνειδητοποιήσουν ότι η έκπτωση 40% θα πρέπει να αφαιρεθεί από την μειωμένη τιμή. Αφού η μειωμένη τιμή είναι μικρότερη από την αρχική τιμή, η έκπτωση στη μειωμένη τιμή θα είναι μικρότερη από ότι αν κάναμε έκπτωση 40% στην αρχική τιμή. 4. Οι μαθητές ίσως αρχικά πιστεύουν ότι θα υπάρχει διαφορά στην τιμή αν αλλάξουμε θέση στα ποσοστά. Ζητάμε να μας δείξουν τι θα συμβεί αν αλλάξουν θέση τα ποσοστά. Γ. Καθορίζουν την τιμή πώλησης χωρίς να βρουν την έκπτωση. Οι μαθητές που χρησιμοποιούν αυτή τη μέθοδο συνειδητοποιούν ότι η τιμή πώλησης ενός αντικειμένου είναι ένα ποσοστό της αρχικής τιμής.(πχ. Μια έκπτωση 25% σημαίνει ότι η τιμή πώλησης θα είναι το 75% της αρχικής τιμής). 1. Γιατί χρησιμοποιείς αυτά τα ποσοστά; Τι σημαίνουν; 2. Ποιο μέρος του προβλήματος θα έκανες πρώτο; Γιατί; 3. Τι θα συνέβαινε στην τιμή του τζιν αν βρίσκαμε πρώτα την έκπτωση 40% και 4. Υπάρχει άλλος τρόπος να λύσουμε αυτό το πρόβλημα; 1. Οι μαθητές θα πουν ότι τα ποσοστά που χρησιμοποιούν είναι τα ποσοστά της νέας τιμής από την προηγούμενη τιμή. Μια έκπτωση 25% σημαίνει ότι η νέα τιμή θα είναι 75% από την προηγούμενη τιμή. 2. Οι μαθητές θα πουν ότι θα βρουν πρώτα την τιμή που λείπει από την ταμπέλα επειδή χρειάζεται να πάρουν το 60% εκείνης της τιμής για να βρουν την τελική τιμή. 3. Οι μαθητές ίσως αρχικά πιστεύουν ότι θα υπάρχει διαφορά στην τιμή αν αλλάξουμε θέση στα ποσοστά. Ζητάμε να μας δείξουν τι θα συμβεί αν αλλάξουν θέση τα ποσοστά. ΦΑΣΗ 3: ΜΟΙΡΑΖΟΜΑΙ, ΣΥΖΗΤΩ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΩ Ποιοι τρόποι επίλυσης θα μοιραστούν, με ποια σειρά και γιατί; Η σειρά με την οποία θα μοιραστούν οι λύσεις μπορεί να βοηθήσει το δάσκαλο να βεβαιωθεί ότι έχουν επιτευχθεί οι στόχοι του μαθήματος. Πιθανές λύσεις για συζήτηση Πρόσθεση των δυο ποσοστών για να βρουν την έκπτωση. Είναι ενδιαφέρον να ξεκινήσετε με μια ομάδα που ξεκίνησε λανθασμένα το πρόβλημα προσθέτοντας τα δυο ποσοστά. Αν ανησυχείτε ότι οι μαθητές μπορεί να ντροπιαστούν, μπορείτε να έχετε προετοιμαστεί νωρίτερα και να πείτε: Όταν έκανα αυτό το πρόβλημα με μια άλλη τάξη, μια από τις ομάδες βρήκε αυτή τη λύση. Ξεκινώντας με μια λύση που περιέχει λάθη ή παρανοήσεις επιτρέπεται να απευθυνθούν δημόσια αυτά τα λάθη και οι παρανοήσεις σε περίπτωση που άλλοι μαθητές ή ομάδες είχαν την ίδια παρανόηση ή λάθος.

6 Κάντε ερωτήσεις και δηλώσεις όπως: 1. Πώς βρήκατε 65% έκπτωση; 2. Εξηγείστε πώς βρήκατε την απάντησή σας. 3. Ας δοκιμάσουμε ένα ευκολότερο πρόβλημα. Αν η πρώτη έκπτωση ήταν 50% και η δεύτερη 50%; Πόση θα ήταν η τιμή έκπτωσης; Βγάζει νόημα αυτό; Τι θα σήμαινε μια έκπτωση 100%; 4. Αν η πρώτη έκπτωση ήταν 50% και η δεύτερη 75%;Χρησιμοποιώντας τη μέθοδό σου τι θα σήμαινε αυτό; 1. Οι μαθητές θα πουν ότι πρόσθεσαν το 40% και το 25% για να βρουν 65%. 2. Πιθανόν θα πουν ότι πήραν το 65% των $50 για να βρουν μια έκπτωση $32,50, και την αφαίρεσαν από τα $50 για να βρουν την τιμή πώλησης $17, Οι μαθητές θα αρχίσουν να διαφωνούν για τις απαντήσεις. Προχωρήστε στο επόμενο παράδειγμα. 4. Οι μαθητές θα πουν ότι θα έβγαζε μια έκπτωση 100%, που δεν βγάζει νόημα. Μια έκπτωση 100% θα σήμαινε ότι η έκπτωση ήταν η τιμή του αντικειμένου το οποίο θα ήταν δωρεάν. 5. Οι μαθητές θα πουν ότι χρησιμοποιώντας τη μέθοδό τους, η έκπτωση θα ήταν 125% και θα ήταν μεγαλύτερη από την τιμή του προϊόντος. Καθορίζουν την πρώτη έκπτωση και την τιμή πώλησης και χρησιμοποιούν το αποτέλεσμα για να καθορίσουν την δεύτερη έκπτωση και την τιμή πώλησης. 1. Γιατί βρήκατε την έκπτωση 25% πριν βρείτε την έκπτωση 40%; 2. Τι θα γινόταν στην τιμή του τζιν αν βρίσκαμε πρώτα την έκπτωση 40% και 3. Έλυσε κάποιος το πρόβλημα διαφορετικά; 1. Οι μαθητές θα πουν ότι η έκπτωση 40% πρέπει να αφαιρεθεί από την μειωμένη τιμή. Αφού η μειωμένη τιμή είναι μικρότερη από την αρχική τιμή, η έκπτωση της μειωμένης τιμής θα είναι μικρότερη από την έκπτωση της αρχικής τιμής κατά 40%. 2. Οι μαθητές ίσως αρχικά πιστεύουν ότι θα υπάρχει διαφορά στην τιμή αν αλλάξουμε θέση στα ποσοστά. Ζητάμε να μας δείξουν τι θα συμβεί αν αλλάξουν θέση τα ποσοστά. Καθορίζουν την τιμή πώλησης χωρίς να βρουν την έκπτωση.

7 1. Γιατί χρησιμοποιήσατε αυτά τα ποσοστά; Πώς σχετίζονται με τα ποσοστά που χρησιμοποιήθηκαν από την άλλη ομάδα; 2. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδό σας, πώς θα βρίσκατε τις εκπτώσεις; 3. Τι θα γινόταν στην τιμή του τζιν αν βρίσκαμε πρώτα την έκπτωση 40% και 4. Γιατί αυτό λειτουργεί; 1. Οι μαθητές θα πουν ότι τα ποσοστά που χρησιμοποιούν είναι τα ποσοστά της νέας τιμής από την προηγούμενη τιμή. Μια έκπτωση 25% σημαίνει ότι η νέα τιμή θα είναι 75% από την προηγούμενη τιμή. Μια έκπτωση 40% σημαίνει ότι η νέα τιμή θα είναι το 60% της προηγούμενης τιμής. 2. Οι μαθητές θα πουν ότι η πρώτη έκπτωση θα ήταν $50- $37,50=$12,50. Παρόμοια η δεύτερη έκπτωση θα ήταν $37,50- $22,50=$15,00. Ζητήστε από τους μαθητές να σας δείξουν τι θα γινόταν αν τα ποσοστά άλλαζαν. (Ο στόχος της τελευταίας ερώτησης είναι να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές ότι εξαιτίας της μεταθετικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού, η σειρά με την οποία παίρνουμε τις εκπτώσεις δεν έχει σημασία.) Αν επιτρέπει ο χρόνος μπορείτε να δείξετε, ή να βάλετε ένα μαθητή να δείξει, γιατί η σειρά με την οποία παίρνουμε την έκπτωση δεν έχει σημασία χρησιμοποιώντας μεταβλητές και μια φόρμουλα. Η τελευταία ερώτηση προς σκέψη μπορεί να συζητηθεί ή να δοθεί για το σπίτι. Άσκηση Το κόστος μιας μπλούζας στο αγαπημένο σας μαγαζί είναι $45,00. Κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων έχει μια ταμπέλα έκπτωσης 30% της αρχικής τιμής. Επιπλέον θα αφαιρεθούν άλλα 10% χρησιμοποιώντας την πιστωτική σας κάρτα. Ο υπάλληλος σας ρωτάει τι προτιμάτε: Α) Να αφαιρέσει 40% της αρχικής τιμής της μπλούζας; ή Β) Να αφαιρέσει το 30% της αρχικής τιμής της μπλούζας και μετά να αφαιρέσει 10% από το υπολοιπόμενο κόστος; Τι θα διαλέγατε; Εξηγήστε γιατί.