4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ

Transcript

1 1 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 14 A Οµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 + = 1 Είναι = ( 1) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και και 1 (περιορισµοί) 1 + = = 1 1 ( ) ( 1) = ( 1)( + ) = = 0 ( + ) = 0 = 0 (απορρίπτεται) ή + = 0 = = 16, ± 4 = = 1 (απορρίπτεται ) ή

2 1.ii) Να λύσετε την εξίσωση 4 = Είναι 1 = ( 1)( + 1) Ε.Κ.Π = ( 1)( + 1) και και 1 (περιορισµοί) 4 = = ( 1)(+ 1) (+1) ( 1) = = 4 = 0 ( + 1) ( +1) = 0 ( + 1)( + 1 = 0 ) = 0 ή = 0 = 1 (απορρίπτεται) ή = = ή =

3 . Να λύσετε την εξίσωση ηµ +συν + ηµ = 0 ηµ +συν + ηµ = 0 ηµ + 1 ηµ + ηµ = 0 ηµ ηµ + ηµ 1= 0 ηµ( ηµ + 1) ( ηµ + 1) = 0 ( ηµ + 1)(ηµ 1) = 0 ηµ 1 = 0 ηµ = 1 ηµ = 1 = kπ + 6 π ή = kπ + π 6 π = kπ + 6 π ή = kπ + π, k Z 6.i) Να λύσετε την εξίσωση Περιορισµοί: επειδή = (1) Από (1) και () έχουµε = 0 0, από την εξίσωση θα είναι και ().ii) Να λύσετε την εξίσωση = 4 Περιορισµός: 0 = 4 = 16 = 18 = 6.iii) Να λύσετε την εξίσωση 1= 4 Η εξίσωση είναι αδύνατη, αφού 1 0 και 4 < 0, οπότε δεν υπάρχουν τιµές του για τις οποίες οι δύο ποσότητες να είναι ίσες.

4 4.iv) Να λύσετε την εξίσωση + = + 1 Περιορισµοί: + 0 επειδή + 0, από την εξίσωση θα είναι και = = ( + 1) + = = 0 = (απορρίπτεται) ή = 1.v) Να λύσετε την εξίσωση + = Περιορισµοί: = ( + ) = Περιορισµός: ( ) + = = 10 4 = 10 (1) (1) ( 4) = = = 0 = 1 (απορρίπτεται) ή = 6

5 .vi) Να λύσετε την εξίσωση + 0 = 10 Περιορισµοί: = 10 0 = 10 (1) Περιορισµός: επειδή 0 0, από την εξίσωση () θα είναι και (1) 0 = (10 ) 0 = = 10 = 6 = 6.vii) Να λύσετε την εξίσωση = 8 + Περιορισµοί: = 8 + = = 6 (1) Περιορισµός: επειδή 6 0, από την εξίσωση θα είναι και (1) = = 0 = 4 ή = 16

6 6.viii) Να λύσετε την εξίσωση 1+ = + 1 Περιορισµός: = = + 1 = (1) Περιορισµός: επειδή 0, από την εξίσωση θα είναι και 0 (1) 4 = 4 = 0 ( 4) = 0 = 0 ή 4 = 0 = 0 ή = 4 4.i ) Να λύσετε την ανίσωση + 1 >0 > 0 ( )( + 1) >0 και 1 (1) + 1 ( )( + 1) = 0 = ή = 1 ( τριώνυµο µε ρίζες και 1) (1) < 1 ή > 4 ii ) Να λύσετε την ανίσωση Πρέπει να είναι τότε ( + 1)( ) 0 (1) ( +1)( 1) = 0 = (1) 1 < 1 1 ή = 1 ( τριώνυµο µε ρίζες 1 και 1)

7 7 4.iii ) Να λύσετε την ανίσωση + Πρέπει να ισχύει + 0 και 1 Τότε + 0 ( ) ( + ) 0 (1) Οι ρίζες των τριωνύµων του πρώτου µέλους είναι οι, 1,, 1 Το πρόσηµο του γινόµενου ( ) ( + ) φαίνεται παρακάτω πρόσηµο Από το παραπάνω πίνακα προσήµου και λαµβάνοντας υπόψη και τους περιορισµούς έχουµε ότι (1) < 1 ή 1 <. i) Να λύσετε την ανίσωση + 1 > 4 Πρέπει να ισχύει τότε + 1 > >0 + 4( 1) > >0 ( + 7)( 1) >0 (1) ( + 7)( 1) = 0 = 7 ή = 1 τριώνυµο µε ρίζες 1 και 7 (1) 1 < < 7

8 8.ii) Να λύσετε την ανίσωση 4 + Πρέπει να ισχύει (+ ) ( 11 )( + ) 0, (1) ( 11 )( + ) = 0 = ή = (1) ή > τριώνυµο µε ρίζες και. iii) Να λύσετε την ανίσωση Πρέπει να ισχύει τότε ( 1) ( 1)( 1 ) 0, 1 (1) ( 1)( 1 ) = 0 = ή = 4 ή = 1 Το πρόσηµο του γινόµενου ( 1)( 1 ) φαίνεται παρακάτω

9 πρόσηµο Από τον παραπάνω πίνακα έχουµε ότι Η (1) ή 1 < 4. iν) Να λύσετε την ανίσωση 1 Πρέπει να ισχύει 0 και 1 0 και 1 τότε ( 1) ( ) 0 ( )( 1) ( )( 1) 0 ( )( )( 1) 0, και 1 (1) ( )( )( 1) = 0 = ή = ή = ή = 1 Το πρόσηµο του γινόµενου ( )( )( 1) φαίνεται παρακάτω 1 + πρόσηµο Από τον παραπάνω πίνακα έχουµε ότι Η (1) 1 < < ή

10 10. ν) Να λύσετε την ανίσωση 1 + Πρέπει να ισχύει 1 0 και και τότε (+ ) ( 1) 0 ( 1)(+ ) 4+ 0 ( 1)(+ ) ( 4 + )( 1)( + 1) 0, 1 και (1) ( 4 + )( 1)( + ) = 0 = 1 ή = ή = 1 ή = Το πρόσηµο του γινόµενου ( 4 + )( 1)( + ) φαίνεται παρακάτω πρόσηµο Από τον παραπάνω πίνακα έχουµε ότι Η (1) < ή 1 < 1 ή

11 11 6. Να λύσετε την ανίσωση ( ) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και και Για το τριώνυµο ( ) 1 + : α = 1, δηλαδή θετικό. Η (1) ( + 1) 0 () 0 και 1 (περιορισµοί) ( ) ( 1) ( + 1) 0 ( + 1)( + 1) 0 (1) Είναι = 1 4 = < 0, άρα είναι οµόσηµο του Το πρώτο µέλος της () είναι τριώνυµο µε ρίζες 1 και 0. Η () 1 ή 0 και λόγω των περιορισµών, 1 ή 0 < < 1 1 ή <

12 1 B Oµάδας 1.i) Να λύσετε την ανίσωση + < 1 Περιορισµοί: (1) () + < 1 + < 1 < < () Συναλήθευση των (1), (), () < 1.ii) Να λύσετε την ανίσωση > Περιορισµός: 0 (1) α) Όταν < 0 δηλαδή <. () Τότε η δοσµένη ανίσωση επαληθεύεται για κάθε που ικανοποιεί τις (1) και (), δηλαδή <, αφού το πρώτο µέλος είναι 0 και το δεύτερο < 0 β) Όταν 0 δηλαδή. () Τότε η δοσµένη ανίσωση > ( ) > < 0 Τριώνυµο µε ρίζες 4 και 7, ετερόσηµο του α = 1, άρα ο είναι εντός των ριζών, δηλαδή 4 < < 7 (4) Συναληθεύουµε τις (1), () και (4), οπότε < 7

13 1.i) Να λύσετε την εξίσωση + 10 = 0 Περιορισµός: 0 Θέτουµε = y, οπότε = Η εξίσωση γίνεται Άρα = = 4. y και y 0 y + y 10 = 0 y = (απορρίπτεται) ή y =..ii) Να λύσετε την εξίσωση Περιορισµός: = 0 Θέτουµε Η εξίσωση γίνεται Από την ισότητα = y, οπότε = ( ) = y και y 0 y + y 6 = 0 y = (απορρίπτεται) ή y =. = y έχουµε = = 8.i) Να λύσετε την εξίσωση Περιορισµός: + 4 = ή 1 Θέτουµε + = y 0, οπότε Η εξίσωση γίνεται y = y + 4 = y Περιορισµός: Επειδή y 0, θα είναι και y 0 δηλαδή y Η εξίσωση ( y ) = y y 4y+ 4= y y y+ 4= 0 y = 1 (απορρίπτεται) ή y = 4 Η ισότητα + = y + = = 0 = ή =

14 14.ii) Να λύσετε την εξίσωση 1+ 4= + 4 Περιορισµοί: Συναλήθευση 4 (1) ( 1+ 4) = ( + 4) = = 9 (A) Επειδή 1 4 0, θα είναι και () Η εξίσωση (A) = = 784 = ± 784 ± 8 = = ή 6 6 ( 1 4) = (9 ) 4( 1)( 4) = = = 0 1 ( απορρίπτεται λόγω των (1), ()) 4.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 = α Περιορισµός: Επειδή 1 0, θα είναι και α 0. Η εξίσωση 1 = α = 1 + α 4.ii) Να λύσετε την εξίσωση Επειδή = λ > 0, θα είναι και λ > 0 (1) Η εξίσωση 4 +1 = ( λ ) 4 +1 = 4 4λ + 4λ = λ 1 () α) Όταν λ = 0, η () γίνεται 0 = 1 αδύνατη λ

15 1 β) Όταν λ 0 η () γίνεται = λ 1 4λ (1) λ 1 4λ λ > 0 λ 1 λ λ > 0 λ 1 λ > 0 λ λ 1 > 0 λ ( λ + 1) > 0 λ < 0 λ. 4 Να λύσετε την εξίσωση ηµ ηµ συν ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ συν ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ (1 ηµ ) ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ + ηµ ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ + ηµ ηµ + 1= 0 Θέτουµε ηµ = y, οπότε η εξίσωση γίνεται 4 y y + y y+ 1= 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες, οι διαιρέτες 1, -1 του σταθερού όρου Η εξίσωση γίνεται (y 1)( y y + y 1) = 0 (y 1) y( y + 1) ( y + 1) = 0 (y 1)( y + 1)(y 1) = 0 y 1 = 0 ή y 1 = 0 y = 1 ή y = 1 α) για y = 1 έχουµε ηµ = 1 = κπ + π, κ Z β) για y = 1 έχουµε ηµ = 1 ηµ = ηµ 6 π = κπ + 6 π π π ή = κπ + π = κπ +, κ Z 6 6

16 16