POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
|
|
- Δείμος Χριστός Ζωγράφος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije često srećemo prilikom aproksimacije funkcije zadate preko skupa podataka 1, gde funkcija cilja predstavlja razliku izmed u modela aproksimanta i ulaznih podataka, izražena u nekoj normi u R n, a cilj problema je minimizovati tu razliku [?], [?], [?], [?], [?]. Metode bezuslovne optimizacije kojima se rešavaju problemi bezuslovne optimizacije imaju i širi značaj, jer se koriste kao polazna osnova za metode uslovne optimizacije. 1.1 Neophodni i dovoljni uslovi za egzistenciju lokalnog minimuma Uslovi optimalnosti koji su diskutovani u prethodnom poglavlju važe i u slučaju bezuslovne optimizacije, tj. uzimajući da je S = R n u odgovarajućim teoremama i njihovim posledicama. 1 engl. data fitting 1
2 2 Zorica Stanimirović Teorema 1.1 Neophodni uslovi prvog reda za lokalni minimum (NUPR). Neka je f C 1 realna funkcija na R n. Ako je X lokalni minimum funkcije f, tada važi f(x ) = 0. Tačke X R n koje zadovovoljavaju uslov f(x ) = 0 nazivaju se stacionarnim tačkama. Svi kandidati za lokalni minimum (maksimum) nalaze se med u stacionarnim tačkama. Sada ćemo se podsetiti pojma kvadratne forme i nekih njenih osobina koje ćemo koristiti u nastavku knjige. Definicija 1.1 Kvadratnom formom nazivamo funkciju a : R n R definisanu sa n n a(x) = a ij x i x j, X = [x 1,..., x n ] T R n. i=1 j=1 Ne gubeći na opštosti, za kvadratnu formu se pretpostavlja da je simetrična, tj. da važi a ij = a ji, za svako i, j = 1, 2,..., n. Matrica A = [a ij ] se naziva matricom kvadratne forme i takod e se pretpostavlja da je A simetrična. Definicija 1.2 Za kvadratnu formu a : R n R kažemo da je 1. pozitivno definitna, ukoliko je a(x) > 0, a pozitivno semidefinitna, ukoliko je a(x) 0, za svako X R n, X 0 2. negativno definitna, ukoliko je a(x) < 0, a negativno semidefinitna, ukoliko je a(x) 0, za svako X R n, X 0 3. nedefinitna, odnosno nije definitna, ukoliko ne važi ni 1. ni 2. Imajući u vidu definiciju matrice kvadratne forme, definiciju 1.2 možemo izraziti i na sledeći način. Definicija 1.3 Neka je A = [a ij ] matrica kvadratne forme a : R n R. Za kvadratnu formu a kažemo da je 1. pozitivno definitna, ukoliko je A > 0, a pozitivno semidefinitna, ukoliko je A 0,
3 Nelinearno programiranje 3 2. negativno definitna, ukoliko je A < 0, a negativno semidefinitna, ukoliko je A 0, 3. nedefinitna, odnosno nije definitna, ukoliko ne važi ni 1. ni 2. U opštem slučaju ispitivanje uslova X T AX > 0 i X T AX 0 nije jednostavno u praksi, te se za ispitivanje uslova pozitivne (semi)definitnosti koristi Silvesterov kriterijum 2, videti [?] i [?]. Teorema 1.2 Silvesterov kriterijum za pozitivnu semidefinitnost matrice. Simerična matrica A = [a ij ] dimenzije n je pozitivno definitna ako i samo ako su svi glavni minori matrice A pozitivni, tj. D 1 = a 11 > 0, D 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 > 0,..., D n = a a 1n a n1... a nn > 0. Primer 1.1 Data je matrica A = Kako je D 1 = 4 > 0, D 2 = = 15 > 0 i D 3 = det(a) = 26 > 0, iz Silvesterovog kriterijuma sledi da je matrica A pozitivno definitna. Teorema 1.3 Silvesterov kriterijum za negativnu semidefinitnost matrice. Simerična matrica A = [a ij ] dimenzije n je negativno definitna ako i samo ako glavni minori matrice A naizmenično menjaju znak. D 1 < 0, D 2 > 0, D 3 > 0,... Karakterizacija uslova pozitivne semidefinitnosti matrice je nešto složenija, o čemu govori sledeća teorema. 2 James Joseph Sylvester ( )
4 4 Zorica Stanimirović Teorema 1.4 Potrebni i dovoljni uslovi za pozitivnu semidefinitnost matrice. Simerična matrica A = [a ij ] dimenzije n je pozitivno semidefinitna ako i samo ako su svi minori matrice A simetrični u odosu na glavnu dijagonalu nenegativni. Primer 1.2 Za matricu A = odredimo minore koji su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu. Minori reda 1: a 11 = 1 > 0, a 22 = 1 > 0 i a 33 = 2 > 0. Minori reda 2: a 11 a 12 a 21 a 22 = 0, a 11 a 13 a 31 a 33 = 1 > 0 i a 22 a 23 a 32 a 33 = 1 > 0. a 11 a 12 a 13 Minor reda 3: a 21 a 22 a 23 = det(a) = 0. a 31 a 32 a 33 Kako su svi minori matrice A simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu nenegativni, na osnovu Silvesterovog kriterijuma matrica A je pozitivno semidefinitna. Primetimo da za veće dimenzije matrica primena Silvesterovog kriterijuma zahteva znatno više računa, jer je potrebno izračunati veliki broj minora. Recimo, za matricu dimenzije n treba ispitati ( ( n 1) + n ( 2) n n) minora. Med utim, karakterizacija definitnosti matrice se može izvesti i pomoću njenih sopstvenih vrednosti [?], [?]. Teorema 1.5 Neka su λ 1, λ 2,..., λ n sopstvene vrednosti simetricne kvadratne matrice A kvadratne forme a(x) = n n a ij x i x j, X = [x 1,..., x n ] T R n. Za kvadratnu formu kažemo da je i=1 j=1 1. pozitivno definitna, ukoliko je λ i > 0 za svako i {1, 2,.., n}, 2. pozitivno semidefinitna, ukoliko za svako i {1, 2,.., n} važi λ i 0, 3. negativno definitna, ukoliko je λ i < 0 za svako i {1, 2,.., n}, 4. negativno semidefinitna, ukoliko za svako i {1, 2,.., n} važi λ i 0,
5 Nelinearno programiranje 5 5. nedefinitna, ukoliko postoje i, j {1, 2,.., n}, takvi da su λ i i λ j različitog znaka. Teoreme koje slede odnose se na neophodne i dovoljne uslovi drugog reda za lokalni minimum. Teorema 1.6 Neophodni uslovi drugog reda za lokalni minimum (NUDR). Neka je f C 2 realna funkcija na R n. Ako je X lokalni minimum funkcije f, tada je f(x ) = 0 i Hesijan 2 f(x ) je pozitivno semidefinitna matrica. Teorema 1.7 Dovoljni uslovi drugog reda za strogi lokalni minimum (DUDR). Neka je f C 2 realna funkcija na R n. Ako je f(x ) = 0 i Hesijan 2 f(x ) je pozitivno definitna matrica, tada je X strogi lokalni minimum funkcije f. Primer 1.3 Posmatrajmo funkciju f : R 2 R definisanu sa f(x) = 1 3 x x x 1 x x2 2 x 2 + 9, X = [x 1, x 2 ] T. Uslov za stacionarnu tačku je f(x) = [x x 1 + 2x 2, 2x 1 + x 2 1] T = 0. Iz druge komponente vektora f(x) dobijamo x 2 = 1 2x 1. Uvrštavanjem dobijene veze u prvu komponentu vektora f(x), koja je takod e jednaka nuli, dobijamo x 2 1 3x = 0. Lako zaključujemo da je x 1 = 1 ili x 1 = 2, odakle sledi da postoje dve stacionarne tačke: A = [1, 1] T i B = [2, 3] T. Hesijan funkcije f u proizvoljnoj tački X R n je [ ] 2x F (X) =, 2 1 [ ] [ ] te je F (A) = i F (B) = Kako je F (B) pozitivno definitna matrica, tačka B je strogi lokalni minimum funkcije f. Kako Hesijan F (A) nije definitna matrica, tačka A nije ni minimum, ni maksimum funkcije f. Primetimo da funkcija f na svom domenu R 2 nema ni globalni minimum ni globalni maksimum, jer je f neograničena kad x 1 ±.
6 6 Zorica Stanimirović Primer 1.4 Data je funkcija f : R 2 R izrazom f(x) = x 2 1 x 2 2, X = [x 1, x 2 ] T. Grafik funkcije f je prikazan na Slici 1.1 (hiperbolički paraboloid). Prema NUPR, da bi tačka X bila kandidat za lokalni minimum ili maksimum, mora da važi f(x) = [2x 1, 2x 2 ] T = 0, odakle sledi da funkcija ima samo jednu stacionarnu tačku O = [0, 0] T. Med utim, Hesijan funkcije f je [ ] 2 0 F (X) = 0 2 i nije definitan ni za jednu tačku iz X R 2, pa ni za O = [0, 0] T. Dakle, u taǩi O nisu zadovoljeni DUDR, te ona nije ni lokalni minimum, niti lokalni maksimum. Slika 1.1: Grafik funkcije f(x) = x 2 1 x 2 2, X R 2 Važno je primetiti da je moguća izvesna neodred enost kod neophodnih i dovoljnih uslova za minimum funkcije. Naime, neodred enost može nastati u slučaju da je tačka X stacionarna ( f(x ) = 0), a Hesijan F (X ) pozitivno semidefinitna matrica. Posmatrajmo, na primer, tri jednostavne funkcije jedne promenljive f 1, f 2, f 3 : R R, definisane sa f 1 (x) = x 3, f 2 (x) = x 4 i f 3 (x) = x 4. Za tačku x = 0 važi f i (0) = f i (0)f i (0) = 0, i = 1, 2, 3, te je x stacionarna tačka za sve tri funkcije. Med utim, samo funkcija f 2 ima minimum u
7 Nelinearno programiranje 7 tački x. Za funkciju f 3, tačka x = 0 je lokalni maksimum, dok za f 1 predstavlja prevojnu tačku (videti Sliku 1.2). Da bi se ova neodred enost otklonila, potrebni su dodatni uslovi koji uključuju izvode višeg reda. Slika 1.2: Neodred enost uslova optimalnosti u tački O(0, 0) za funkcije f 1 (x) = x 3, f 2 (x) = x 4 i f 3 (x) = x Zadaci za vežbu Zadatak 1.1 Posmatrajmo funkciju f : R R definisanu sa f(x) = 3x 3 + 7x 2 15x 3. Naći sve stacionarne tačke funkcije i odrediti da li su u pitanju tačke minimuma ili maksimuma (ili ni jedno ni drugo). Ispitati karakter minimuma odnosno maksimuma, ako postoje (lokalni, globalni, strogi,...). Zadatak 1.2 Neka je funkcija f : R 2 R definisana izrazom f(x) = cx x 2 2 2x 1 x 2 2x 2, X = [x 1, x 2 ] T, gde je c R neki skalar. a) Odrediti stacionarne tačke funkcije f u zavisnosti od parametra c. b) Za koje vrednosti parametra c funkcija f može imati minimum? c) Za koje vrednosti parametra c funkcija f može imati maksimum?
8 8 Zorica Stanimirović Diskutovati karakter minimuma/maksimuma u zavisnosti od vrednosti parametra c (lokalni, globalni, strogi,...). Zadatak 1.3 Odrediti sve vrednosti parametra α tako da tačka A = [1, 0] T predstavlja (lokalni) minimum ili (lokalni) maksimum funkcije f : R 2 R definisane sa f(x) = α 3 x 1 e x 2 + 2α 2 ln(x 1 + x 2 ) (α + 2)x 1 + 8αx x 1 x 2, X = [x 1, x 2 ] T. Zadatak 1.4 Data je funkcija f : R 2 R definisana sa f(x) = (x 2 x 2 1)(x 2 2x 2 1), X = [x 1, x 2 ] T. Posmatrajmo problem min f(x), X R 2 a) Pokazati da tačka O = [0, 0] T zadovoljava NUPR i NUDR za zadatu funkciju. b) Pokazati da je tačka O = [0, 0] T lokalni minimum funkcije f duž svake prave koja prolazi kroz koordinatni početak (tj. oblika x 2 = mx 1 ). c) Pokazati da tačka O = [0, 0] T nije lokalni minimum funkcije f (uputstvo: posmatrati na primer, krive oblika x 2 = kx 2 1). Zadatak 1.5 Dat je problem min f(x), gde je f : R 2 R funkcija definisana sa f(x) = (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2 + 1, pri čemu je X = [x 1, x 2 ] T R 2. Naći sve stacionarne tačke funkcije f i odrediti da li su u pitanju tačke minimuma ili maksimuma (ili ni jedno ni drugo) Ispitati karakter minimuma odnosno maksimuma, ako postoje (lokalni, globalni, strogi,...). Zadatak 1.6 Posmatrajmo probleme a) min R 2 f 1 (X), gde je f 1 (X) = (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2 + 1, b) min R 2 f 2 (X), gde je f 2 = (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2, c) min R 2 f 3 (X), gde je f 3 (X) = (x 1 2) 2 + (x 2 3) 2,
9 Nelinearno programiranje 9 i pritom je X = [x 1, x 2 ] T R 2. U kakvom su odnosu rešenja problema: min R 2 f(x) iz Zadatka 1.5, min R 2 f 1 (X), min R 2 f 2 (X) i min R 2 f 3 (X)? Da li svi problemi imaju isto optimalno rešenje? Obrazložiti odgovor. Zadatak 1.7 Posmatrajmo kvadratnu formu f : R n R oblika f(x) = 1 2 XT QX c T X, gde je argument X = [x 1,..., x n ] T R n, Q = [q ij ] realna kvadratna matrica dimenzije n, a c = [c 1,..., c n ] T n dimenzioni vektor čije su koordinate realni brojevi. a) Napisati NUPR za zadatu funkciju. Kada postoji stacionarna tačka funkcije f? b) Koje uslove mora zadovoljiti matrica Q da bi funkcija f imala lokalni minimum? c) Pod kojim uslovima za matricu Q funkcija f ima stacionarnu tačku, ali ne i tačke lokalnog minimuma i maksimuma? Zadatak 1.8 Data je funkcija f : R n R definisana sa f(x) = Ax b 2 2, gde je A realna matrica m n, m n i b vektor dužine m. Pretpostavimo da je rang(a) = n i posmatrajmo problem min f(x). a) Napisati NUPR za zadatu funkciju. Da li je to istovremeno i dovoljan uslov? b) Odrediti optimalno rešenje problema u zatvorenoj formi. Zadatak 1.9 Ako je X tačka lokalnog minimuma funkcije f : R n R, tada je f(x ) T d 0 u pravcu proizvoljnog vektora dopustivog pravca d. Dokazati da je, u slučaju problema bezuslovne optimizacije, ovaj uslov zadovoljen samo ako je gradijent u tački X jednak nuli.
10 10 Zorica Stanimirović Zadatak 1.10 Posmatrajmo problem min R n f(x). Ako je f : R n R konveksna funkcija na R n, tada je svaka stacionarna tačka funkcije f istovremeno i tačka globalnog minimuma. Dokazati. Zadatak 1.11 Navesti primere funkcija koje imaju sledeće osobine: a) f ima tačku lokalnog minimuma, ali ne i globalnog minimuma, b) f nema ni tačku lokalnog, ni globalnog minimuma, c) f ima i tačku lokalnog i globalnog minimuma, d) f ima više tačaka globalnog minimuma. Zadatak 1.12 Navesti primer funkcije f : R 2 R koja ima sledeću osobinu: a) f je diferencijabilna na R 2 i f ima beskonačno mnogo tačaka minimuma na R 2, ali ne i tačku maksimuma; b) f je diferencijabilna na R 2 i f ima samo jednu stacionarnu tačku koja je tačka lokalnog minimum, ali ne i globalnog minimuma.
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 UVOD. Problem matematičkog programiranja u opštem slučaju može biti zapisan
POGLAVLJE 1 UVOD Problem matematičkog programiranja u opštem slučaju može biti zapisan na sledeći način. pri uslovima: min f(x) (1.1) g i (X) 0, za svako i = 1, 2,..., m, (1.2) gde su f(x), g i (X) realne
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 GRADIJENTNE METODE
POGLAVLJE 1 GRADIJENTNE METODE Posmatrajmo problem bezuslovne optimizacije min f(x), X R n gde je f : R n R zadata realna funkcija definisana na R n. Metode bezuslovne optimizacije mogu se podeliti u dve
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα1. Funkcije više promenljivih
1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 NJUTNOVA METODA
POGLAVLJE 1 NJUTNOVA METODA U prethodnom poglavlju videli smo da gradijentne metode koriste samo prvi izvod (gradijent) kao pravac duž koga se minimizuje zadata funkcija. Medutim, to nije uvek najefikasniji
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραNa grafiku bi to značilo :
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
Διαβάστε περισσότεραNorme vektora i matrica
2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα