ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΓΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΤΣΙΤΣΟΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΣΙΑΚΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 ΠΑΤΡΑ

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Συγκοινωνιακών Έργων του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών ως μέρος των υποχρεώσεων για τη λήψη του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού στην κατεύθυνση «Ευφυή Συστήματα Μεταφορών και Διαχείρισης Έργων». Εντάσσεται στο επιστημονικό πεδίο της διαχείρισης έργων προτείνοντας μια άρτια μεθοδολογία βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων για τον χρονοπρογραμματισμό έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων με αξιοποίηση εξελικτικών αλγορίθμων βελτιστοποίησης. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα τη διατριβή αυτή Αναπληρωτή Καθηγητή του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών κ. Χασιακό Αθανάσιο για την πολύτιμη βοήθεια του ως προς την εξερεύνηση της συγκεκριμένης επιστημονικής περιοχής εμβάθυνσης και για την άριστη συνεργασία, καθοδήγηση και υποστήριξή του σε όλα τα στάδια σχεδιασμού, οργάνωσης, εκτέλεσης και συγγραφής της παρούσας διατριβής. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον υποψήφιο διδάκτορα κ. Παναγιώτη Τσίκα για την πολύτιμη βοήθεια και υποστήριξή του καθώς και για το συμβουλευτικό ρόλο του κατά την εκπόνηση της παρούσας εργασίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την αμέριστη ηθική, ψυχολογική και οικονομική υποστήριξη που μου παρέχουν σε κάθε σημαντικό βήμα της ζωής μου.

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία στοχεύει στην ανάπτυξη και αξιολόγηση μιας μεθοδολογίας βέλτιστου σχεδιασμού του χρονοδιαγράμματος ενός έργου με πολλαπλά κριτήρια βελτιστοποίησης. Η βελτιστοποίηση πολλαπλών και ανταγωνιστικών στόχων, όπως είναι η ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση της διάρκειας και του συνολικού κόστους του έργου, σε συνθήκες περιορισμένης διαθεσιμότητας πόρων και με παράλληλη επιδίωξη σταθερού ρυθμού χρήσης των πόρων καθιστά τον προγραμματισμό του έργου ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πρόβλημα. Αναγνωρίζοντας την σημασία της στοιχειοθέτησης ενός βέλτιστου χρονοδιαγράμματος, προτείνεται ένα μοντέλο το οποίο συνδυάζει τους επιμέρους στόχους βελτιστοποίησης σε μια ενιαία αντικειμενική συνάρτηση γενικού κόστους. Η συνάρτηση αυτή μαζί με το άμεσο και έμμεσο κόστος εκτέλεσης του έργου, συνυπολογίζει σε μονάδες κόστους τον βαθμό απόκλισης του χρονοδιαγράμματος από κάθε έναν από τους επιθυμητούς στόχους. Συγκεκριμένα, η μέθοδος στοχεύει στην ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους που προκύπτει από την υπέρβαση διαθεσιμότητας πόρων, την υπέρβαση καθορισμένης προθεσμίας ολοκλήρωσης και την μεταβλητότητα της χρήσης πόρων μεταξύ διαδοχικών χρονικών περιόδων που αντιστοιχούν στο τελικό χρονοδιάγραμμα του έργου. Η προτεινόμενη δομή αφορά την αντιμετώπιση έργων των οποίων οι δραστηριότητες είναι δυνατό να εκτελεστούν με πολλούς εναλλακτικούς τρόπους, κάνουν χρήση ενός ή και περισσοτέρων τύπων πόρου και συνδέονται μεταξύ τους με σύνθετες σχέσεις διαδοχής. Οι επιμέρους στόχοι βελτιστοποίησης ιεραρχούνται εξαρχής με τον καθορισμό του μοναδιαίου κόστους απόκλισης από κάθε επιθυμητό στόχο, ανάλογα με τις ανάγκες και τα χαρακτηριστικά του έργου. Ο έλεγχος του μοντέλου έγινε με εφαρμογή του σε ένα πλήθος αριθμητικών παραδειγμάτων, με αξιοποίηση Γενετικών Αλγορίθμων με χρήση εμπορικού λογισμικού και Αλγόριθμου Αρμονικής Αναζήτησης που κατασκευάστηκε εξαρχής. Τα αποτελέσματα υποθετικού σεναρίου στόχων εξετάστηκαν ως προς την απόκλισή τους από τους προκαθορισμένους στόχους και έδειξαν ότι η προτεινόμενη αντικειμενική συνάρτηση οδηγεί σε ιδιαίτερα ικανοποιητικές λύσεις. Η σύγκριση μεταξύ υποψήφιων λύσεων σε κάθε περίπτωση έδειξε ότι η μέθοδος ευνοεί την εύρεση λύσεων που ικανοποιούν τους αρχικούς στόχους κατά απόλυτη αναλογία με τις τιμές κόστους των μοναδιαίων αποκλίσεων που έχουν προεπιλεχθεί για κάθε στόχο. Οι αλγόριθμοι που εφαρμόστηκαν προσέγγισαν σε σημαντικό ποσοστό τις ελάχιστες λύσεις αλλά φάνηκε ότι η απόδοσή τους και η ταχύτητα σύγκλισης εξαρτάται από τα εκάστοτε χαρακτηριστικά του προβλήματος και την επιλογή των τιμών των αντίστοιχων παραμέτρων λειτουργίας τους.

4 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... 3 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΠΟΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΡΓΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΠΟΡΩΝ (RCPSP) ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΚΛΑΣΣΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΑ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΠΟΡΩΝ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟΧΟΙ ΚΟΣΤΟΥΣ ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΤΙΖΟΜΕΝΟΙ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ ΧΡΗΣΗΣ ΠΟΡΩΝ ΠΑΡΟΥΣΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΟΧΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟΧΟΣ 1 ΟΣ : ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΣΤΟΧΟΣ 2ΟΣ : ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΣΤΟΧΟΣ 3 ΟΣ : ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΣΤΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΧΡΗΣΗΣ ΠΟΡΩΝ ΣΤΟΧΟΣ 4 ΟΣ : ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΕΡΒΑΣΕΩΝ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΠΟΡΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΟΜΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ... 61

5 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΟ EVOLVER ΓΕΝΙΚΑ ΤΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΡΥΘΜΙΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΓΕΝΙΚΑ ΤΥΠΙΚΗ ΔΟΜΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Ο ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 Η ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 1 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Ο ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Η ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Ο ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Η ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Ο ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Η ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ο ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Η ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Ο ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

6 3 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.1: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 1 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 2: ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ 1 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 3: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 4: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ: 1 Ο ΠΑΡ. / 1 Η ΠΕΡ. ΛΥΣΗ 1 Η ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 5: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 1 ΗΣ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡ. / 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 6: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ: 1 Ο ΠΑΡ. / 1 Η ΠΕΡ. ΛΥΣΗ 2 Η ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 7: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 2 ΗΣ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡ. / 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 8: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ: 1 Ο ΠΑΡ. / 1 Η ΠΕΡ. ΛΥΣΗ 3 Η ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 9: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 3 ΗΣ ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡ. / 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 10: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 11: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 1 ΗΣ ΛΥΣΗΣ :1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ / 2 Η ΠΕΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 12: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 2 ΗΣ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ / 2 Η ΠΕΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 13: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 3 ΗΣ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ / 2 Η ΠΕΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 14: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 15: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 16: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 17: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 18: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 19: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 20: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 21: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 22: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 23: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 24: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 25: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 26: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 7 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 27: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 28: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 29: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 8 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 30: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 8 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 31: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 32: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 2 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 33: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 34: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 35: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 36: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 37: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 38: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 39: ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ 2 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 40: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 41: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 42: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ : 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 43: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 3 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 44: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 45: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 46: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ

7 ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 47: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 48: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 49: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 50: ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ 3 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 51: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 52: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ : 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 53: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ : 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 54: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 4 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 55: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 56: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ : 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 57: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: : 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 58: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 59: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 61: ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ 4 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 62: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 63: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 64: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 65: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 5 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 66: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 5 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 67: ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ 5 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 68: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η & 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 69: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 70: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 71: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 72: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 73: ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΡΓΟΥ 6 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 74: ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ 6 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 75: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 76: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 77: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 78: ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ: 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 79: ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΛΥΣΗΣ: 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7. 80: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΛΥΣΗΣ: 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 8. 1: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΚΤΕΛΕΣΕΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ΕΩΣ

8 5 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑ 2. 1: ΤΥΠΙΚΟ ΚΟΜΒΙΚΟ ΔΙΚΤΥΩΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ ΕΡΓΟΥ ΚΑΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΙΑΣ ΛΥΣΗΣ [43] ΣΧΗΜΑ 6.1 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ [49] ΣΧΗΜΑ 7. 1: ΚΟΜΒΙΚΟ ΔΙΚΤΥΩΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ ΕΡΓΟΥ 1 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΧΗΜΑ 7. 2: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ: 1 Ο ΠΑΡ / 1 Η ΠΕΡ. - ΛΥΣΗ 1 Η ( ) ΣΧΗΜΑ 7. 3: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ: 1 Ο ΠΑΡ / 1 Η ΠΕΡ. - ΛΥΣΗ 2 Η ( ) ΣΧΗΜΑ 7. 4: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ: 1 Ο ΠΑΡ / 1 Η ΠΕΡ. - ΛΥΣΗ 3 Η ( ) ΣΧΗΜΑ 7. 5: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT: 1 Ο ΠΑΡ./2 Η ΠΕΡ. ΛΥΣΗ 1 Η ΣΧΗΜΑ 7. 6: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT: 1 Ο ΠΑΡ./2 Η ΠΕΡ. ΛΥΣΗ 2 Η ΣΧΗΜΑ 7. 7: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT: 1 Ο ΠΑΡ./2 Η ΠΕΡ. : ΛΥΣΗ 3 Η ΣΧΗΜΑ 7. 8: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 9: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 10: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 11: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ : 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 12: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 13: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 1 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 8 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 14: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΟΥ 1 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΧΗΜΑ 7. 15: ΚΟΜΒΙΚΟ ΔΙΚΤΥΩΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ ΕΡΓΟΥ 2 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΧΗΜΑ 7. 16: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΕΝΩΡΙΤΕΡΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ (CPM): 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑ 7. 17: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ : 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 18: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 19: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΡΙΩΝ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ : 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 20: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΡΙΩΝ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ : 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 20: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 21: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΡΙΩΝ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ : 2 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 22: ΚΟΜΒΙΚΟ ΔΙΚΤΥΩΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ ΕΡΓΟΥ 3ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΧΗΜΑ 7. 23: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΕΝΩΡΙΤΕΡΗΣ ΈΝΑΡΞΗΣ (CPM): 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑ (Α): ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ GANTT 1 ΗΣ ΚΑΙ 2 ΗΣ ΛΥΣΗΣ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ (Β): ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ GANTT 1 ΗΣ ΚΑΙ 2 ΗΣ ΛΥΣΗΣ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 25: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 26: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ: 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 27: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ : 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 28: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ : 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 29: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ : 3 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 30: ΚΟΜΒΙΚΟ ΔΙΚΤΥΩΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ ΕΡΓΟΥ 4 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΧΗΜΑ 7. 31: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΤΗΣ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ (CPM): 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑ 7. 32: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 33: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 34: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 35: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ : 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 36: ΠΙΘΑΝΗ ΛΥΣΗ ΑΠΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ HS: 4 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 37: ΚΟΜΒΙΚΟ ΔΙΚΤΥΩΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ 5 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΧΗΜΑ 7. 38: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΤΗΣ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ (ES): 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑ 7. 39: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 40: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 5 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 41: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΠΙΘΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ο - ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Η ΣΧΗΜΑ 7. 42: ΚΟΜΒΙΚΟ ΔΙΚΤΥΩΤΟ ΓΡΑΦΗΜΑ ΚΑΙ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 6 ΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ

9 ΣΧΗΜΑ 7. 43: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΤΗΣ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ (CPM): 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑ 7. 44: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - 1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 7. 45: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ:1 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑ 7. 46: ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT ΛΥΣΗΣ: 2 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 Ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑ 8. 1: ΚΑΛΥΤΕΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ΕΩΣ ΣΧΗΜΑ 8. 2: ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟ ΤΙΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑ 8. 3: ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΕΣΗΣ ΛΥΣΗΣ 10 ΕΚΤΕΛΕΣΕΩΝ ΜΕ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΛΥΣΗ ΣΧΗΜΑ 8. 4: ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ 10 ΕΚΤΕΛΕΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

10 7

11 8 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο προγραμματισμός ενός έργου αποτελεί μία από τις κρισιμότερες διεργασίες της διαχείρισης έργων και ένα από τα σπουδαιότερα και πιο μελετημένα προβλήματα της επιχειρησιακής έρευνας. Ανεξαρτήτως του μεγέθους ή της φύσης του έργου, τόσο ο σχεδιασμός όσο και ο χρονοπρογραμματισμός των εργασιών αποτελούν διεργασίες μεγάλης σημασίας με άμεσο αντίκτυπο στην ομαλή εκτέλεση και τα περιθώρια απόδοσης κέρδους του έργου. Η πολυπλοκότητα που παρουσιάζει το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού μπορεί εύκολα να γίνει αντιληπτή. Είτε πρόκειται για ένα μικρής κλίμακας έργο (όπως πχ. ο ανασχεδιασμός της συσκευασίας ενός βιομηχανικού προϊόντος), είτε για ένα μεγάλης κλίμακας κατασκευαστικό έργο (όπως πχ. η κατασκευή ενός φράγματος), το πλήθος των πιθανών τρόπων εκτέλεσης της κάθε εργασίας καθώς και των πιθανών τρόπων κατανομής των διαθέσιμων πόρων (πχ, εξοπλισμού, εργατικού δυναμικού, κεφαλαίου), σε συνδυασμό με τους ποικίλους περιορισμούς (όπως πχ. διαδοχής εργασιών, διαθεσιμότητας πόρων, προθεσμιών ολοκλήρωσης) καθιστούν το πρόβλημα ιδιαίτερα σύνθετο. Βασικός σκοπός του χρονοπρογραμματισμού είναι η κατάρτιση ενός χρονοδιαγράμματος του έργου, η εφαρμογή του οποίου θα εξασφαλίζει την εκπλήρωση ενός συνόλου στόχων κατά το βέλτιστο δυνατό τρόπο, με ταυτόχρονη ικανοποίηση ενός συνόλου περιορισμών. Ωστόσο, οι στόχοι των διαχειριστών του έργου συχνά είναι πολλαπλοί και φύσει αντικρουόμενοι. Για παράδειγμα, στη γενική περίπτωση επιδιώκεται η ολοκλήρωση του έργου στο μικρότερο δυνατό χρονικό διάστημα και με το μικρότερο δυνατό κόστος. Οι δύο αυτοί στόχοι είναι γενικώς αντικρουόμενοι, καθώς η επιτάχυνση των εργασιών προϋποθέτει ταυτόχρονη χρήση περισσότερων ή ακριβότερων πόρων, γεγονός που αυξάνει το κόστος της κάθε εργασίας και επομένως το συνολικό κόστος εκτέλεσης του έργου. Επιπλέον, ένας άλλος σημαντικός στόχος που τίθεται συνήθως είναι η διατήρηση του ρυθμού χρήσης των πόρων σε σχετικά σταθερό επίπεδο (resource leveling). Ο στόχος αυτός είναι σημαντικός επειδή η προσθήκη ή απομάκρυνση εργατικού δυναμικού ή εξοπλισμού σε οποιαδήποτε φάση εκτέλεσης του έργου επιφέρουν μεταβολές στο περιβάλλον και τις συνθήκες εργασίας και κατά συνέπεια βραχυχρόνια μείωση της παραγωγικότητας. Επίσης, το πλήθος των περιορισμών που συνοδεύουν την εκτέλεση του

12 9 έργου, όπως ενδεικτικά οι σχέσεις διαδοχής μεταξύ των εργασιών, η περιορισμένη διαθεσιμότητα των πόρων ανά διαστήματα ή και συνολικά ή η ύπαρξη προθεσμίας για την παράδοση του έργου, δυσχεραίνουν ακόμα περισσότερο την στοιχειοθέτηση ενός κατά το δυνατόν βέλτιστου χρονοδιαγράμματος. Επομένως, ο χρονοπρογραμματισμός έργου καθίσταται ένα σύνθετο πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Η δυσκολία του προβλήματος σε συνδυασμό με τη σημασία ενός «καλού» χρονοδιαγράμματος έχει υποκινήσει μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον και έχει δώσει σταθερή μορφή και μαθηματική περιγραφή σε ένα σύνολο προβλημάτων της επιχειρησιακής έρευνας. Έτσι, πέρα από το κλασσικό Πρόβλημα Προγραμματισμού Έργων με Περιορισμούς στη Διαθεσιμότητα Πόρων (Resource Constrained Project Scheduling Problem RCPSP), υπάρχουν επίσης διάφορες παραλλαγές αυτού, οι οποίες αντιπροσωπεύουν πιο ρεαλιστικά τις ειδικές απαιτήσεις των έργων της πράξης και αποτελούν διακριτά προβλήματα του πεδίου του χρονοπρογραμματισμού έργων. Ουσιαστικά πρόκειται για το ίδιο πρόβλημα με ορισμένες διαφοροποιήσεις και επεκτάσεις, όπως ενδεικτικά η θεώρηση διαφορετικής αντικειμενικής συνάρτησης (στόχου προς βελτιστοποίηση), πολλαπλών πόρων, εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών, γενικευμένων σχέσεων διαδοχής, επιπρόσθετων περιορισμών κ.α. Συνήθως κάθε ειδική περίπτωση του RCPSP, λόγω των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών της, μελετάται και αντιμετωπίζεται ως μεμονωμένο πρόβλημα στη βιβλιογραφία. Ωστόσο, ένα πραγματικό έργο μπορεί να παρουσιάζει χαρακτηριστικά δύο ή περισσοτέρων τέτοιων προβλημάτων. Επομένως προκύπτει η ανάγκη μιας ενιαίας δομής για την αναπαράσταση τέτοιων προβλημάτων (με πολλαπλούς στόχους βελτιστοποίησης και διαφορετικά ειδικά χαρακτηριστικά), η οποία θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προγραμματισμό του έργου με κάποια γενική μέθοδο βελτιστοποίησης μονού στόχου. Τα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού έργων έχουν αποτελέσει για δεκαετίες αντικείμενο εκτεταμένης έρευνας, λόγω της πολυπλοκότητας που παρουσιάζουν αλλά και της σημαντικής επίπτωσής τους σε έναν μεγάλο αριθμό επιχειρηματικών και βιομηχανικών εφαρμογών. Πλήθος μεθόδων έχουν αναπτυχθεί με στόχο τον εντοπισμό ή την προσέγγιση της βέλτιστης λύσης μέσα από ένα ευρύτατο πεδίο πιθανών λύσεων. Οι ακριβείς μέθοδοι συνήθως βασίζονται σε μοντέλα μαθηματικού προγραμματισμού (πχ. μεικτός ακέραιος γραμμικός προγραμματισμός Mixed Integer Linear Programming) και σε εξειδικευμένους αλγορίθμους Διακλάδωσης και Οριοθέτησης (Branch and Bound).

13 10 Ωστόσο, λόγω του υψηλού βαθμού πολυπλοκότητας του προβλήματος, οι ακριβείς μέθοδοι αποδεικνύονται ανεπαρκείς για μεγάλα προβλήματα της πράξης επειδή βασίζονται στην μερική ή πλήρη εξερεύνηση του χώρου των πιθανών λύσεων και συνεπώς απαιτούν εξαιρετικά υψηλό υπολογιστικό κόστος. Για την αντιστάθμιση της αδυναμίας των κλασσικών μαθηματικών μεθόδων, ένα πλήθος προσεγγιστικών ευρετικών και μεταευρετικών τεχνικών έχουν επίσης προταθεί για την αντιμετώπιση πολύπλοκων προβλημάτων βελτιστοποίησης. Απλοποιητικά, ευρετικές (heuristics) καλούνται ορισμένες τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί ώστε να βρίσκουν μια σχετικά ικανοποιητική λύση σε ένα πολύπλοκο πρόβλημα με χαμηλό υπολογιστικό κόστος, όταν οι κλασσικές μέθοδοι αδυνατούν να εντοπίσουν επακριβώς τη βέλτιστη λύση. Οι εξελικτικοί αλγόριθμοι και οι αλγόριθμοι νοημοσύνης σμήνους αποτελούν χαρακτηριστικές ομάδες ευρετικών οι οποίες έχουν μελετηθεί συστηματικά και έχουν αποδειχθεί ιδιαίτερα αποδοτικές σε πολλά προβλήματα βελτιστοποίησης. Η παρούσα εργασία επιχειρεί να προσεγγίσει το σύνθετο πρόβλημα βέλτιστου χρονοπρογραμματισμού έργου υπό περιορισμό διαθεσιμότητας πόρων και θεώρηση πολλαπλών εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (Multi-Mode RCPSP). Ειδικότερα παρουσιάζεται και αξιολογείται ένα ενιαίο μοντέλο αναπαράστασης του προβλήματος, το οποίο ενσωματώνει πολλαπλούς στόχους βελτιστοποίησης (όπως ελαχιστοποίηση άμεσου και έμμεσου κόστους, ελαχιστοποίηση διάρκειας, εξισορρόπηση πόρων, τήρηση προθεσμιών) σε μία ενιαία γραμμική αντικειμενική συνάρτηση γενικευμένου κόστους προς ελαχιστοποίηση. Κάθε επιμέρους στόχος περιγράφεται μέσω μιας συνάρτησης κόστους η οποία είναι ανάλογη της απόκλισης από μία επιθυμητή τιμή. Το άθροισμα όλων των επιμέρους τιμών κόστους συνιστά την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος. Με τον τρόπο αυτό το πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων ανάγεται σε ελαχιστοποίηση ενός ενιαίου κόστους. Η αξιολόγηση της αποτελεσματικότητάς του μοντέλου γίνεται μέσω εφαρμογής του σε ένα σύνολο αριθμητικών παραδειγμάτων. Η επιλογή της κατάλληλης βελτιστοποίησης για τα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού αποτελεί ένα δεύτερο ζήτημα στο οποίο εστιάζει η παρούσα εργασία. Ειδικότερα, εξετάζεται η αποτελεσματικότητα δύο εξελικτικών μεθόδων βελτιστοποίησης, των Γενετικών Αλγορίθμων και της Αρμονικής Αναζήτησης. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι έχουν εφαρμοστεί στη βιβλιογραφία με πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα σε ένα πλήθος διαφορετικών προβλημάτων

14 11 βελτιστοποίησης, συμπεριλαμβανομένων και προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού έργων. Ωστόσο, η Αρμονική Αναζήτηση δεν έχει μελετηθεί σε σημαντικό πλήθος εργασιών παρότι τα αποτελέσματά της είναι ενθαρρυντικά. Για το λόγο αυτό επιλέγεται η μελέτη και συγκριτική αξιολόγηση των δύο μεθόδων σε προβλήματα χρονοπρογραμματισμού. Συγκεκριμένα, κάθε αριθμητικό παράδειγμα επιλύεται αρχικά με χρήση ενός σύγχρονου λογισμικού λήψης αποφάσεων του εμπορίου (Evolver 7 Palisade, The Decision Tools Suite) που εφαρμόζει τη μέθοδο των Γενετικών Αλγορίθμων. Στη συνέχεια ένας αριθμός εκ των παραδειγμάτων επιλύεται με εφαρμογή της μεθόδου Αρμονικής Αναζήτησης (Harmony Search - HS), η οποία υλοποιείται σε αλγόριθμο στο προγραμματιστικό περιβάλλον του λογισμικού Matlab. Στο τέλος των επιλύσεων, οι μέθοδοι συγκρίνονται ως προς την αποτελεσματικότητα τους με βάση την ποιότητα των λύσεων που παράγουν. Συνοπτικά, μέσω της εργασίας αυτής επιδιώκεται η αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων καθώς και η αποτελεσματικότητα της μεθόδου των Γενετικών Αλγορίθμων και της μεθόδου Αρμονικής Αναζήτησης για την αντιμετώπιση προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού έργων. Η αξιολόγηση του μοντέλου βασίζεται στο βαθμό επίτευξης των αρχικών στόχων κάθε περίπτωσης μετά τη βελτιστοποίηση, με ποιοτική και ποσοτική αξιολόγηση των λύσεων που προκύπτουν. Η αξιολόγηση και σύγκριση των μεθόδων Γενετικού Αλγορίθμου και Αρμονικής Αναζήτησης γίνεται με σύγκριση των λύσεων που προκύπτουν από την εκτέλεση κάθε αλγορίθμου μεταξύ τους αλλά και με τις ήδη γνωστές λύσεις που έχουν προσδιοριστεί από προηγούμενη ερευνητική προσπάθεια. Το υπόλοιπο της παρούσας εργασίας δομείται ως εξής: Στο 2 ο Κεφάλαιο περιγράφεται το κλασσικό πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων και αναφέρονται μερικές από τις βασικότερες προεκτάσεις του. Στο 3 ο Κεφάλαιο γίνεται μια περιεκτική επισκόπηση της βιβλιογραφίας γύρω από το πρόβλημα αυτό και τις μεθόδους αντιμετώπισης που έχουν μελετηθεί. Στο 4 ο Κεφάλαιο περιγράφεται συνοπτικά ο στόχος της παρούσας εργασίας. Στο 5 ο Κεφάλαιο καταγράφεται το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος προς επίλυση και περιγράφεται το προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων. Στο 6 ο Κεφάλαιο παρουσιάζονται οι μέθοδοι βελτιστοποίησης που θα εφαρμοστούν και περιγράφεται η διαδικασία εφαρμογής

15 12 τους. Στο 7 ο Κεφάλαιο επιλύονται ορισμένα χαρακτηριστικά αριθμητικά παραδείγματα και παρουσιάζεται και αξιολογείται η ευρεθείσα λύση σε κάθε ένα από αυτά. Στο 8 ο Κεφάλαιο συγκεντρώνονται τα αποτελέσματα εφαρμογής των δύο αλγορίθμων βελτιστοποίησης και συγκρίνονται σε επίπεδο βαθμού προσέγγισης της βέλτιστης λύσης και ταχύτητας σύγκλισης. Τέλος στο 9 ο Κεφάλαιο συνοψίζονται τα συμπεράσματα που εξάγονται από την παρούσα εργασία και προτείνονται πιθανές κατευθύνσεις για μελλοντική έρευνα.

16 13 2. ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΠΟΡΩΝ 2.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο σχεδιασμός και χρονοπρογραμματισμός έργων είναι διαδικασίες μεγάλης σημασίας στον τομέα της διαχείρισης έργων. Η παρουσία περιορισμών όπως η μικρή διαθεσιμότητα πόρων και οι προτεραιότητες των εργασιών καθιστούν την κατασκευή του χρονοδιαγράμματος μια δύσκολη διαδικασία. Η δυσκολία αυτή σε συνδυασμό με τη σημασία ενός «καλού» χρονοδιαγράμματος έργου έχει παρακινήσει μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον ως προς την ανεύρεση μεθόδων βέλτιστου χρονοπρογραμματισμού. Έτσι το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού έργου έχει αποκτήσει μια κλασσική μορφή στη βιβλιογραφία, η οποία συνοδεύεται από ειδικές περιπτώσεις, γενικεύσεις και παραλλαγές. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το κλασσικό πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων καθώς και μερικές από τις βασικότερες προεκτάσεις του. Δίνονται τα μαθηματικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή του και εξηγείται η δυσκολία του και η ανάγκη αντιμετώπισής του. Τέλος καθορίζεται η μορφή του προβλήματος που θα αντιμετωπιστεί στην παρούσα εργασία και διασαφηνίζονται οι παραδοχές και οι περιορισμοί του ΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΡΓΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΠΟΡΩΝ (RCPSP) Στη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών, το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού έργου με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων έχει αποκτήσει μια σταθερή δομή στη βιβλιογραφία της διαχείρισης έργων. Συνοπτικά, το πρόβλημα στην κλασσική του μορφή ορίζεται ως εξής: Έστω ένα έργο αποτελούμενο από πεπερασμένο σύνολο εργασιών καθορισμένης διάρκειας και απαιτήσεων σε πόρους, οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με καθορισμένες σχέσεις διαδοχής. Οι πόροι που θεωρούνται στο πρόβλημα έχουν περιορισμένη διαθεσιμότητα ανά χρονική περίοδο ή και συνολικά στη διάρκεια του έργου. Το πρόβλημα που τίθεται είναι ο προγραμματισμός των εργασιών, δηλαδή ο καθορισμός του χρόνου έναρξης κάθε δραστηριότητας, ώστε να επιτυγχάνεται η ελάχιστη δυνατή συνολική

17 14 διάρκεια του έργου και να τηρούνται οι περιορισμοί διαδοχής των εργασιών και οι περιορισμοί διαθεσιμότητας πόρων. Πιο συγκεκριμένα, το κλασσικού προβλήματος RCPSP εκφράζεται σε μαθηματική μορφή ως εξής: Έστω ένα έργο αποτελούμενο από ένα σύνολο δραστηριοτήτων και ένα σύνολο ανανεώσιμων πόρων με προκαθορισμένες διαθεσιμότητες ανά χρονική περίοδο όπου. Κάθε εργασία χαρακτηρίζεται από μία προκαθορισμένη διάρκεια και από ένα σετ απαιτήσεων σε πόρους ανά χρονική περίοδο, όπου ο δείκτης αντιστοιχεί στην εργασία και ο δείκτης αντιστοιχεί στον πόρο για τον οποίο η ζήτηση είναι ίση με. Η δομή του έργου αναπαρίσταται μέσω ενός μη-μυκλικού κομβικού δικτυωτού γραφήματος 0 οι κόμβοι του οποίου παριστάνουν τις εργασίες του έργου και τα βέλη που συνδέουν τους κόμβους υποδεικνύουν τις σχέσεις διαδοχής μεταξύ των εργασιών. Σχήμα 2. 1: Τυπικό κομβικό δικτυωτό γράφημα έργου και απεικόνιση μιας λύσης [43] Ο χρονοπρογραμματισμός του έργου περιλαμβάνει τον καθορισμό του χρόνου έναρξης της κάθε δραστηριότητας, δηλαδή τον καθορισμό ενός διανύσματος. Ο χρόνος ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας προκύπτει ως άθροισμα του χρόνου έναρξης και της αντίστοιχης διάρκειας, δηλαδή. Η Αρχή και το Τέλος του έργου παριστάνονται από δύο πλασματικές εργασίες τις και αντίστοιχα, με

18 15 μηδενική διάρκεια και μηδενικές απαιτήσεις σε πόρους, δηλαδή και για κάθε. Ο χρόνος έναρξης του έργου καθορίζεται από τον διαχειριστή και αποτελεί το χρόνο έναρξης της πλασματικής εργασίας. Συνήθως θεωρείται ίσος με 0. Σύμφωνα με τα παραπάνω, το κλασσικό πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού RCPSP μεταφράζεται σε συνδυαστικό πρόβλημα βελτιστοποίησης ως εξής: Αντικειμενική Συνάρτηση : (Σχ. 2.1). Υπό τους περιορισμούς: (Σχ. 2.2). για κάθε ζεύγος συνδεδεμένων εργασιών (Σχ. 2.3)., για κάθε και για κάθε (Σχ. 2.4). Η (Σχ. 2.1) είναι η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος και δηλώνει ότι στόχος της επίλυσης είναι η ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου, δηλαδή του χρόνου λήξης της πλασματικής εργασίας Η (Σχ. 2.2) δηλώνει την τήρηση των περιορισμών διαδοχής των εργασιών για κάθε ζεύγος άμεσα συνδεδεμένων εργασιών, όπου είναι η αμέσως προηγούμενη και είναι η αμέσως επόμενη εργασία. Σημειώνεται ότι η σχέση αυτή αφορά την περίπτωση όπου οι σχέσεις διαδοχής μεταξύ όλων των συνδεδεμένων εργασιών στο κομβικό δικτυωτό γράφημα είναι της μορφής Τέλους-Αρχής (Finish-to-Start FS) χωρίς χρονικό διάκενο. Αυτό σημαίνει ότι η δραστηριότητα δεν επιτρέπεται να ξεκινήσει πριν ολοκληρωθούν όλες οι αμέσως προηγούμενες δραστηριότητες, με τις οποίες σχηματίζει ζεύγος. H (Σχ. 2.3) αφορά την διατήρηση του συνόλου των χρησιμοποιούμενων πόρων ανά μονάδα χρόνου κάτω από τα όρια της αντίστοιχης διαθεσιμότητας για κάθε χρονική περίοδο και για κάθε τύπο πόρου. Σημειώνεται ότι στην ίδια σχέση, το σύνολο περιλαμβάνει τις εργασίες που βρίσκονται σε εξέλιξη

19 16 τη χρονική στιγμή. Η (Σχ. 2.4) ορίζει ότι ο χρόνος έναρξης του έργου ή αλλιώς της πλασματικής δραστηριότητας είναι ο χρόνος Στην περίπτωση του κλασσικού RCPSP, όλα τα δεδομένα του έργου είναι ντετερμινιστικά και προκαθορισμένα. Επομένως, οι τιμές της διαθεσιμότητας κάθε πόρου, καθώς και οι τιμές των απαιτήσεων σε πόρους και των διαρκειών των εργασιών παραμένουν σταθερές σε όλη τη διάρκεια του έργου. Όλες οι τιμές των παραμέτρων του προβλήματος θεωρούνται μη αρνητικές και ακέραιες. Επίσης, οι εργασίες δεν επιτρέπεται να διακόπτονται εφόσον έχει ξεκινήσει η εκτέλεσή τους. Ο περιορισμός της διαθεσιμότητας των πόρων σε κάθε χρονική περίοδο που συνοδεύει το κλασσικό RCPSP οδηγεί γενικά σε αύξηση της συνολικής διάρκειας του έργου σε σύγκριση με την αντίστοιχη διάρκεια που προκύπτει με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής (Critical Path Method CPM). Αυτό εξηγείται ως εξής: Βάσει της τελευταίας, είναι δυνατό να παραχθεί το χρονοδιάγραμμα του έργου με την ελάχιστη δυνατή διάρκεια, θεωρείται όμως ότι οι απαιτούμενοι πόροι είναι διαθέσιμοι χωρίς περιορισμούς, κάτι που στη γενική περίπτωση δεν ισχύει σε πραγματικά προβλήματα. Συνεπώς, λόγω των περιορισμένων πόρων, ορισμένες εργασίες προγραμματίζονται σε αργότερους χρόνους από τους ενωρίτερους δυνατούς, ώστε πόροι που χρειάζονται να είναι διαθέσιμοι. Έτσι αυξάνεται η συνολική διάρκεια του έργου ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΚΛΑΣΣΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γενικά Παρότι η μοντελοποίηση του προβλήματος που δίνεται παραπάνω είναι ιδιαίτερα ισχυρή, δεν μπορεί να καλύψει όλες τις περιπτώσεις προβλημάτων που συναντώνται στην πράξη. Για το λόγο αυτό, το κλασσικό πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων (RCPSP) αποτέλεσε σημείο εκκίνησης για την τεκμηρίωση πολλών γενικότερων προβλημάτων λήψης αποφάσεων της διαχείρισης έργων. Κατά συνέπεια, πολλές προεκτάσεις του βασικού προβλήματος έχουν μελετηθεί και καθιερωθεί ως ξεχωριστά προβλήματα. Οι προεκτάσεις του κλασσικού προβλήματος συνήθως περιλαμβάνουν διαφοροποιήσεις που αφορούν τα χαρακτηριστικά των εργασιών και τις σχέσεις διαδοχής μεταξύ τους, τα χαρακτηριστικά του δικτύου, τα χαρακτηριστικά των θεωρούμενων πόρων, τους διαφορετικούς στόχους βελτιστοποίησης κ.α.. Μια λεπτομερής

20 17 επισκόπηση των βασικότερων επεκτάσεων και γενικεύσεων του προβλήματος RCPSP που έχουν παρουσιαστεί και μελετηθεί στη βιβλιογραφία δίνεται από τους Hartmann και Briskorn (2010) [26]. Η πολυπλοκότητα του προβλήματος κατασκευής του βέλτιστου χρονοδιαγράμματος υπό περιορισμό διαθεσιμότητας πόρων κατατάσσει το πρόβλημα στην κατηγορία των NPhard προβλημάτων. Ειδικότερα, το πρόβλημα γίνεται ακόμα πιο σύνθετο όσο περισσότερες παράμετροι εισάγονται στο βασικό μοντέλο της προηγούμενης ενότητας. Προκειμένου να καλυφθούν διαφορετικές ανάγκες κάθε φορά, ανάλογα και με τη φύση του έργου που εξετάζεται, οι μελετητές προσαρμόζουν το περιγραφικό μοντέλο του προβλήματος εισάγοντας πρόσθετες μεταβλητές και περιορισμούς ή μεταβάλλοντας την αντικειμενική συνάρτηση. Ορισμένες από τις διαφοροποιήσεις και προσαρμογές της κλασσικής μορφής του προβλήματος περιγράφονται στη συνέχεια Διαφοροποιήσεις Δραστηριοτήτων Ορισμένες από τις συχνότερες διαφοροποιήσεις στο κλασσικό πρόβλημα προγραμματισμού έργων RCPSP οφείλονται σε ειδικά χαρακτηριστικά των δραστηριοτήτων του έργου, τα οποία λαμβάνονται υπόψη στο μοντέλο του προβλήματος. Μεταξύ άλλων, συνήθως αναφέρονται τα εξής: Δυνατότητα προσωρινής διακοπής των εργασιών μετά την έναρξή τους (preemptive scheduling). Αυτό σημαίνει ότι μια εργασία δεν είναι απαραίτητο να εκτελεστεί στο σύνολό της αφού ξεκινήσει, αλλά αντίθετα μπορεί να σταματήσει για κάποιο χρονικό διάστημα και να συνεχιστεί σε μεταγενέστερο χρόνο. Συνήθως η διακοπή επιτρέπεται σε διακριτές (ακέραιες) χρονικές περιόδους. Επίσης, μπορεί να υιοθετείται και ένα σενάριο «ημερολογίου», το οποίο καθορίζει τις χρονικές περιόδους κατά τις οποίες επιτρέπεται ή όχι η εκτέλεση μιας εργασίας. Η συγκεκριμένη περίπτωση μπορεί να συνδυάζεται και με χρονικές μεταβολές στις διαθεσιμότητες των πόρων. Θεώρηση απαιτούμενου χρόνου προετοιμασίας των εργασιών πριν την έναρξή τους (setup times). Η θεώρηση αυτή συμπεριλαμβάνει στο μοντέλο του προβλήματος το χρόνο που μπορεί να απαιτείται για την προετοιμασία ή τη μεταφορά των πόρων που θα χρησιμοποιηθούν (π.χ. των μηχανημάτων ή των υλικών δόμησης) για την εκτέλεση της εργασίας. Οι χρόνοι αυτοί είναι δυνατό να σχετίζονται: α) μόνο με τις δραστηριότητες και τους πόρους που χρησιμοποιούνται, β) με τις δραστηριότητες που

21 18 έχουν προηγηθεί και κάνουν χρήση των ίδιων πόρων ή γ) με τις αμέσως προηγούμενες δραστηριότητες και τους πόρους που χρησιμοποιούν. Δυνατότητα πολλαπλών εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών (Multi-mode RCPSP). Στην περίπτωση αυτή κάθε εργασία είναι δυνατό να εκτελεστεί από ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων, κάθε ένας από τους οποίους χαρακτηρίζεται από ένα διαφορετικό σετ τιμών διάρκειας και απαίτησης σε πόρους. Επομένως, το στάδιο του χρονοπρογραμματισμού περιλαμβάνει την επιλογή του εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης και τον καθορισμό του χρόνου έναρξης κάθε εργασίας σύμφωνα με κάποιον καθορισμένο στόχο βελτιστοποίησης (πχ. ελαχιστοποίηση της διάρκειας στο κλασσικό RCPSP). Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης έχουν αξιοποιηθεί για την εισαγωγή μιας παραμέτρου ποιότητας των εργασιών, όπου κάθε εναλλακτικός τρόπος συνοδεύεται από έναν παράγοντα ποιότητας. Στην περίπτωση αυτή, ο στόχος βελτιστοποίησης θα περιλαμβάνει με κάποιο τρόπο την μεγιστοποίηση της ποιότητας ή τη διατήρησή της πάνω από ένα ελάχιστο αποδεκτό όριο. Θεώρηση γενικευμένων σχέσεων διαδοχής των εργασιών. Στην κλασσική μορφή του προβλήματος που περιγράφεται παραπάνω, οι σχέσεις διαδοχής των εργασιών είναι σχέσεις Τέλους-Αρχής (Finish-to-Start - FS). Αυτό σημαίνει ότι η εργασία που ακολουθεί μπορεί να ξεκινήσει αμέσως μετά την ολοκλήρωση της εργασίας που προηγείται. Στη γενική περίπτωση, είναι δυνατόν δύο εργασίες να συνδέονται μεταξύ τους με σχέσεις Αρχής-Αρχής (Start-to-Start), Τέλους-Τέλους (Finish-to-Finish) ή σπανιότερα Αρχής-Τέλους (Start-to-Finish). Στην περίπτωση σχέσεων τύπου Αρχής- Αρχής, η έναρξη της επόμενης εργασίας εξαρτάται από την έναρξη της προηγούμενης και αντίστοιχα στην περίπτωση σχέσεων της μορφής Τέλους-Τέλους, η ολοκλήρωση της επόμενης εργασίας εξαρτάται από την ολοκλήρωση της προηγούμενης. Η περίπτωση Αρχής-Τέλους, η οποία συνδέει την αρχή της προηγούμενης με το τέλος της επόμενης εργασίας, είναι πιο σπάνια και συναντάται πάντα με χρονικό διάκενο. Θεώρηση ελάχιστων ή/και μέγιστων χρονικών διάκενων (minimal/maximal time lags). Τα μέγιστα ή ελάχιστα χρονικά διάκενα συμπληρώνουν τους περιορισμούς που επιβάλουν οι σχέσεις διαδοχής των εργασιών. Στην περίπτωση που συμπεριλαμβάνεται ελάχιστο χρονικό διάκενο μεταξύ δύο εργασιών που συνδέονται για παράδειγμα με σχέση Τέλους-Αρχής, η εργασία που ακολουθεί μπορεί να ξεκινήσει το νωρίτερο μετά την παρέλευση ενός ελάχιστου καθορισμένου χρονικού διάκενου από την ολοκλήρωση

22 19 της εργασίας που προηγείται (χρονική υστέρηση). Κατά τον ίδιο τρόπο εφαρμόζεται και στις περίπτωση διαφορετικού τύπου σχέσεων διαδοχής. Αντίστοιχα η επιβολή μέγιστου χρονικού διακένου προσδιορίζει το μέγιστο χρονικό διάστημα μετά από την αρχή ή το τέλος της προηγούμενης εργασίας, μέσα στο οποίο η επόμενη εργασία θα πρέπει να ξεκινήσει ή να ολοκληρωθεί, ανάλογα και με τη μορφή της σχέσης διαδοχής. Σημειώνεται ότι η θεώρηση χρονικών διακένων μεταξύ των εργασιών αποτελεί γενίκευση της κλασσικής περίπτωσης, στην οποία θεωρείται μηδενικό διάκενο. Θεώρηση καθορισμένων ημερομηνιών εκκίνησης ή ολοκλήρωσης δραστηριοτήτων. Ο περιορισμός αυτός επιφέρει παρόμοιο αποτέλεσμα με τη θεώρηση χρονικών διάκενων, όπως περιγράφεται παραπάνω. Ύπαρξη χρονικών «παραθύρων» εργασίας ή χρονικών «διακοπτών» (time switch constraints). Η περίπτωση αυτή αφορά την απαίτηση εκτέλεσης των δραστηριοτήτων μόνο εντός συγκεκριμένων χρονικών διαστημάτων, επιβάλλοντας διακοπή όλων των εργασιών στα διαστήματα που θεωρούνται ανενεργά. Η θεώρηση αυτή εξυπηρετεί την κατασκευή χρονοδιαγραμμάτων σε πραγματικές συνθήκες όπου συμπεριλαμβάνεται ο χρόνος διακοπής εργασιών πχ. σε περιπτώσεις αργιών ή σαββατοκύριακου Διαφοροποιήσεις πόρων Σημαντικές τροποποιήσεις του κλασσικού προβλήματος χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων (RCPSP) προκύπτουν με θεώρηση πόρων διαφορετικών χαρακτηριστικών. Ειδικότερα, στη βιβλιογραφία χρησιμοποιούνται συνήθως οι εξής τύποι πόρων: Ανανεώσιμοι πόροι: Οι πόροι των οποίων η διαθεσιμότητα περιορίζεται μόνο ανά χρονική περίοδο, όπως είναι για παράδειγμα τα μηχανήματα ή το ανθρώπινο δυναμικό. Αυτός ο τύπος πόρων λαμβάνεται υπόψη στην κλασσική μορφή του προβλήματος. Μη-ανανεώσιμοι πόροι: Οι πόροι των οποίων η διαθεσιμότητα περιορίζεται στο σύνολο της διάρκειας του έργου και επομένως μπορούν να καταναλωθούν με οποιονδήποτε ρυθμό αλλά χωρίς να εξαντληθούν μέχρι την ολοκλήρωση του έργου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί το συνολικό κόστος του έργου όταν υπάρχει αντίστοιχος προϋπολογισμός.

23 20 Διπλά περιορισμένοι πόροι: Οι πόροι που συνδυάζουν και τις δύο προηγούμενες κατηγορίες, δηλαδή η διαθεσιμότητα τους περιορίζεται και ανά χρονική περίοδο και στο σύνολο της διάρκειας του έργου. Στην κατηγορία αυτή ανήκει το κεφάλαιο του έργου όταν διατίθεται σε δόσεις ανά χρονική περίοδο και είναι προκαθορισμένο βάσει προϋπολογισμού. Λιγότερο συνηθισμένοι τύποι πόρων αφορούν περιπτώσεις όπου οι πόροι είναι διαθέσιμοι σε συγκεκριμένες ποσότητες (πχ. σε απόθεμα) οι οποίες αυξομειώνονται σε συνάρτηση με την εκτέλεση των δραστηριοτήτων του έργου. Επιπλέον, έχουν μελετηθεί περιπτώσεις πόρων που η διαθεσιμότητά τους μεταβάλλεται σαν συνάρτηση του χρόνου Διαφοροποιήσεις αντικειμενικής συνάρτησης Ένα κρίσιμο σημείο διαφοροποίησης των προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού έργων είναι ο στόχος που επιδιώκεται να βελτιστοποιηθεί από τους διαχειριστές του έργου ή αλλιώς η θεωρούμενη αντικειμενική συνάρτηση. Όπως αναφέρθηκε, στο κλασσικό RCPSP ζητούμενο του χρονοπρογραμματισμού είναι η ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας του έργου (makespan) υπό την τήρηση όλων των περιορισμών. Ωστόσο, πολύ συχνά οι μελετητές στοχεύουν σε βελτιστοποίηση και άλλων παραμέτρων ή ακόμα και σε ταυτόχρονη βελτιστοποίηση πολλών στόχων. Στη συνέχεια αναφέρονται συνοπτικά οι στόχοι προς βελτιστοποίηση που τίθενται συχνότερα στη βιβλιογραφία του χρονοπρογραμματισμού έργων. Οι στόχοι αυτοί μπορούν να ταξινομηθούν σε κατηγορίες με βάση το είδος του μεγέθους που βελτιστοποιείται. Ειδικότερα, αναφέρονται ενδεικτικά οι εξής: Στόχοι χρόνου Ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας του έργου (κλασσικό RCPSP). Ελαχιστοποίηση της συνολικής (σταθμισμένης ή μη) καθυστέρησης, βραδύτητας ή πρόωρης έναρξης του συνόλου ή ορισμένων εργασιών, βάσει προκαθορισμένων ημερομηνιών. Η έννοια της στάθμισης έχει να κάνει με τη χρήση συντελεστών βαρύτητας ανάλογα με την ξεχωριστή σημασία που μπορεί να έχει η καθυστέρηση/ πρόωρη ολοκλήρωση μιας συγκεκριμένης εργασίας.

24 21 Ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των (σταθμισμένων ή μη) χρόνων λήξης των εργασιών. Ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των διαρκειών των εργασιών. Ελαχιστοποίηση συναρτήσεων μορφής penalty για όσες εργασίες εκτελούνται εκτός των προκαθορισμένων χρονικών παραθύρων. Μεγιστοποίηση του αθροίσματος των ελεύθερων περιθωρίων των εργασιών. Το ελεύθερο περιθώριο κάθε εργασίας είναι το χρονικό διάστημα για το οποίο μια πιθανή καθυστέρηση της εργασίας δεν επηρεάζει τις επόμενες εργασίες ούτε τη συνολική διάρκεια του έργου. Αυτός ο στόχος συνήθως σχετίζεται με την επιδίωξη ενός ισχυρού χρονοπρογράμματος, το οποίο δε θα μπορεί να επηρεαστεί εύκολα από πιθανές απρόβλεπτες καθυστερήσεις των εργασιών Στόχοι κόστους Ελαχιστοποίηση του συνολικού άμεσου ή / και έμμεσου κόστους του έργου. Διευκρινίζεται ότι το άμεσο κόστος αφορά το κόστος που προκύπτει από την εκτέλεση κάθε εργασίας και περιλαμβάνει το κόστος των πόρων που χρησιμοποιούνται. Το έμμεσο κόστος αφορά τα πάγια κόστη που του έργου, τα οποία είναι άμεσα εξαρτώμενα από τη συνολική διάρκεια του έργου. Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους συμπεριλαμβανομένου και του κόστους καθυστέρησης (υπέρβασης προθεσμιών) ή του μπόνους ταχύτερης ολοκλήρωσης του έργου (ως αρνητικό κόστος). Ελαχιστοποίηση άλλων συναρτήσεων κόστους, όπως για παράδειγμα το επιπλέον κόστος λόγω μείωσης της διάρκειας των εργασιών κ.α. Μεγιστοποίηση της καθαρής παρούσας αξίας σε περιπτώσεις που στη διάρκεια του έργου προβλέπονται πολλές επιμέρους εισπράξεις και πληρωμές. Οι πληρωμές αφορούν την εκτέλεση των δραστηριοτήτων και τη χρήση των αντίστοιχων πόρων, ενώ οι εισπράξεις μπορεί να εξαρτώνται από την ολοκλήρωση καθορισμένων εργασιών ή τμημάτων του έργου. Επίσης, όλες οι προηγούμενες συναρτήσεις κόστους μπορούν να συμπεριληφθούν σε ένα μοντέλο του προβλήματος σε όρους παρούσας αξίας.

25 Στόχοι σχετιζόμενοι με τους πόρους Ποικίλοι στόχοι βελτιστοποίησης που σχετίζονται με τους ανανεώσιμους και μη ανανεώσιμους πόρους συναντώνται στη βιβλιογραφία. Ενδεικτικά αναφέρονται οι εξής: Ελαχιστοποίηση του κόστους απόκτησης / ενοικίασης των ανανεώσιμων πόρων. Στην περίπτωση αυτή ορίζεται το πρόβλημα επένδυσης πόρων (Resource Investment Problem) ή το αντίστοιχο πρόβλημα ενοικίασης πόρων. Ελαχιστοποίηση των μεταβολών χρήσης πόρων (Resource Leveling Problem). Στην περίπτωση αυτή επιδιώκεται η χρήση των πόρων να γίνεται κατά το δυνατόν με σταθερό ρυθμό σε όλη τη διάρκεια του έργου, δηλαδή να μην υπάρχουν αλλαγές στη χρήση των πόρων από περίοδο σε περίοδο. Συνήθως ο στόχος αυτός μεταφράζεται σε ελαχιστοποίηση της μέγιστης μεταβολής ή του αθροίσματος των μεταβολών χρήσης των πόρων ή του αθροίσματος των τετραγώνων της χρήσης πόρων ανά περίοδο. Επίσης, σε άλλες εργασίες προτείνεται και η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των ροπών του ιστογράμματος χρήσης πόρων ως προς τον άξονα του χρόνου. Ελαχιστοποίηση του πλήθους των πόρων που χρησιμοποιούνται επιπλέον ενός μέγιστου καθορισμένου ορίου ή των αποκλίσεων της πραγματικής χρήσης πόρων από ένα επιθυμητό προφίλ χρήσης. Επίσης, ελαχιστοποίηση του πλήθους και του μεγέθους των κενών στο ιστόγραμμα χρήσης πόρων Συνδυασμός στόχων Στη συνήθη περίπτωση, οι διάφορες εκδοχές του προβλήματος θεωρούν έναν στόχο ως αντικειμενική συνάρτηση (πχ. ελαχιστοποίηση διάρκειας) εισάγοντας στο μοντέλο τις υπόλοιπες παραμέτρους του χρονοπρογραμματισμού ως περιορισμούς, καθορίζοντας «κατώφλια» τιμών (μέγιστων ή ελάχιστων) για κάθε μια από αυτές, με την απαίτηση να μην ξεπεραστούν (πχ. κόστος ή χρήση πόρων). Ωστόσο, πολύ συχνά η επίλυση του προβλήματος προσανατολίζεται προς την ταυτόχρονη επίτευξη περισσότερων του ενός στόχων, στρέφεται δηλαδή προς λύσεις που βελτιστοποιούν πολλαπλούς στόχους ταυτόχρονα. Στη βιβλιογραφία η επίλυση του προβλήματος με θεώρηση πολλαπλών στόχων επιτυγχάνεται με διάφορες τεχνικές. Συνηθέστερα, οι διάφοροι στόχοι συνδυάζονται γραμμικά σε μια σταθμισμένη αντικειμενική συνάρτηση η οποία προϋποθέτει τον καθορισμό συντελεστών βαρύτητας σε

26 23 κάθε επιμέρους στόχο, με βάση τη σημασία του κάθε στόχου κατά την αναζήτηση της λύσης. Μια άλλη προσέγγιση του προβλήματος βελτιστοποίησης με πολλαπλούς στόχους είναι η εύρεση των βέλτιστων κατά Pareto λύσεων και η κατασκευή του αντίστοιχου «μετώπου», βάσει της θεωρίας των μη κυριαρχούμενων λύσεων κατά Pareto. Σύμφωνα με τα παραπάνω, το πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων μπορεί να λάβει ποικίλες μορφές και πολλές διαστάσεις, ανάλογα με τη φύση του έργου που τίθεται υπό μελέτη και τους ποικίλους στόχους των διαχειριστών και προγραμματιστών του. Στην επόμενη ενότητα γίνεται μια συνοπτική ανασκόπηση της βιβλιογραφίας σχετικά με την προσέγγιση του συγκεκριμένου προβλήματος και αναφέρονται οι πιο βασικές μέθοδοι που αξιοποιούνται για την επίλυσή του.

27 24 3. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων, θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών και με πολλαπλούς στόχους βελτιστοποίησης (Multi-objective Multi-mode Resource Constrained Project Scheduling Problem) είναι ένα ιδιαίτερα σύνθετο συνδυαστικό πρόβλημα βελτιστοποίησης της διαχείρισης έργων και της επιχειρησιακής έρευνας, με πλήθος ειδικών περιπτώσεων και χαρακτηριστικών. Λόγω της πολυπλοκότητάς του αλλά και του ιδιαίτερα σημαντικού ρόλου του σε πολλούς τομείς όπως οι κατασκευές, οι διάφορες μορφές του προβλήματος έχουν αποτελέσει αντικείμενο εκτεταμένης έρευνας από μεγάλο αριθμό ερευνητών τις τελευταίες δεκαετίες. Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρονται συνοπτικά οι βασικότερες κατευθύνσεις αντιμετώπισής του που παρουσιάζονται στη βιβλιογραφία ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η βιβλιογραφία γύρω από την αποτελεσματική αντιμετώπιση του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού έργων στην κλασσική ή στην γενικευμένη μορφή του περιλαμβάνει ένα πλήθος από αναλυτικές και προσεγγιστικές μεθόδους. Οι αναλυτικές ή ακριβείς μέθοδοι που έχουν προταθεί περιλαμβάνουν συνήθως μεθόδους απαρίθμησης (enumeration), μαθηματικά μοντέλα μικτού ακέραιου γραμμικού και μη-γραμμικού προγραμματισμού, όπως ενδεικτικά στις εργασίες των Damay et al. [16], Klansek & Psunder [39], δυναμικό προγραμματισμό καθώς και αλγορίθμους Διακλάδωσης και Οριοθέτησης (Branch and Bound), όπως ενδεικτικά στις εργασίες των Brucker et al.[8], Demeulemeester et al. [17], Mingozzi et al. [51], Stinson et al. [64] και Heilmann [29]. Οι αλγόριθμοι αυτοί βασίζονται στη μερική ή ολική απαρίθμηση των πιθανών λύσεων του προβλήματος και για το λόγο αυτό αδυνατούν να εντοπίσουν τη βέλτιστη λύση σε αποδεκτό χρόνο σε περιπτώσεις μεγάλων προβλημάτων της πράξης. Για το λόγο αυτό, οι προσπάθειες των ερευνητών επικεντρώθηκαν σε προσεγγιστικές μεθόδους επίλυσης, οι οποίες καλούνται ευρετικές ή μεταευρετικές. Πρόκειται ουσιαστικά για αλγορίθμους που εκτελούν διεργασίες αναζήτησης ή κατασκευής λύσεων (συνήθως επαναληπτικές) σύμφωνα με κάποια εξελικτική λογική, στοχεύοντας στην επίλυση ενός προβλήματος ή τη λήψη μιας απόφασης για την οποία μεν δεν υπάρχει βεβαιότητα ότι θα

28 25 είναι η βέλτιστη αλλά θα είναι κατά βάση επαρκής σαν άμεσος στόχος. Συνεπώς προσφέρονται και έχουν εφαρμοστεί ευρέως σε ένα πλήθος συνδυαστικών προβλημάτων για τα οποία δεν υπάρχουν ακριβείς μέθοδοι επίλυσης, προσεγγίζοντας έτσι σε αποδεκτό χρόνο μια ικανοποιητική λύση για το υπό μελέτη πρόβλημα της πράξης. Ένας μεγάλος αριθμός διαφορετικών ευρετικών και μεταευρετικών αλγορίθμων για την αντιμετώπιση του προβλήματος αντιστάθμισης χρόνου-κόστους έχει παρουσιαστεί στη βιβλιογραφία της επιχειρησιακής έρευνας. Μεταξύ των εργασιών που αντιμετωπίζουν το πρόβλημα εμφανίζονται συχνότερα οι εξής: Γενετικοί Αλγόριθμοι (Genetic Algorithms - GA) Αλγόριθμοι Προσομοιωμένης Ανόπτησης (Simulated Annealing -SA) Αλγόριθμοι Αποικίας Μυρμηγκιών (Ant Colony Optimization -ACO) Αλγόριθμοι Απαγορευμένης Έρευνας (Tabu Search - TS) Αλγόριθμοι Σμήνους Σωματιδίων (Particle Swarm Optimization - PSO) Αλγόριθμοι Αρμονικής Αναζήτησης (Harmony Search - HS) Νευρωνικά Δίκτυα (Neural Networks - NN) Συνδυασμοί και παραλλαγές των παραπάνω αλγορίθμων (υβριδικοί αλγόριθμοι) καθώς και μεταβολές στις ειδικές διεργασίες τους, προκειμένου να προσαρμόζονται στο υπό μελέτη πρόβλημα, συναντώνται επίσης στη βιβλιογραφία. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι (ΓΑ) είναι μια ιδιαίτερα δημοφιλής μέθοδος και έχει αξιοποιηθεί από ένα μεγάλο πλήθος ερευνητών για την προσέγγιση της βέλτιστης λύσης στο πρόβλημα αντιστάθμισης χρόνου-κόστους κατά τον προγραμματισμό έργων. Οι ΓΑ ανήκουν στην κατηγορία των εξελικτικών αλγορίθμων και η εφαρμογή τους βασίζεται στη θεωρία της εξέλιξης των ειδών. Ένας ΓΑ εκτελεί διεργασίες διασταύρωσης και μετάλλαξης οδηγώντας σε εξέλιξη έναν πληθυσμό πιθανών λύσεων του προβλήματος. Οι νέοι απόγονοι εντάσσονται στον πληθυσμό αντικαθιστώντας «χειρότερους» προγόνους, με βάση την τιμή μιας αντικειμενικής συνάρτησης. Οι εργασίες των Li et al. [45], Leu et al. [44], Heng et al. [30], Li και Love [46], Zamani [73], Bartschi Wall [5] είναι μερικές μόνο από τις ερευνητικές προσπάθειες αξιοποίησης των Γενετικών Αλγορίθμων στο πρόβλημα αντιστάθμισης χρόνου-κόστους τεχνικών έργων. Οι εργασίες των Hartmann [25] και Alcaraz [3] et al. είναι επίσης ενδεικτικές της βελτιστοποίησης με μεταευρετικές τεχνικές

29 26 βασισμένες σε γενετικούς αλγορίθμους για την επίλυση του MRCPSP με τη διάρκεια του έργου ως αντικειμενική συνάρτηση προς ελαχιστοποίηση. Οι τελευταίοι χρησιμοποίησαν μια λίστα προτεραιότητας εργασιών (activity list) και μια λίστα επιλογής εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης για κάθε εργασία για την κωδικοποίηση κάθε χρωμοσώματος. Για να ξεπεράσουν ορισμένα εμπόδια στην εργασία των Alcaraz et al. [3], οι Lova et al. [47] πρότειναν μία νέα κανονικοποιημένη αντικειμενική συνάρτηση στον υβριδικό γενετικό αλγόριθμο που πρότειναν (MM-HGA) για την επίλυση του ίδιου προβλήματος. Οι Αλγόριθμοι Αποικίας Μυρμηγκιών (ACO) και Σμήνους Σωματιδίων (PSO) έχουν επίσης εφαρμοστεί αρκετά στο πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού έργων παρουσιάζοντας ιδιαίτερα ενθαρρυντικά αποτελέσματα. Οι αλγόριθμοι αυτοί ανήκουν στην κατηγορία της αλγορίθμων νοημοσύνης σμήνους (swarm intelligence). H βασική ιδέα των ACO μιμείται τον τρόπο με τον οποίο τα μυρμήγκια εντοπίζουν τη μικρότερη διαδρομή μέχρι την τροφή τους ενώ η αντίστοιχη της μεθόδου PSO μιμείται τον τρόπο με τον οποίο τα πουλιά βρίσκουν τον δρόμο τους στο ταξίδι αποδήμησής τους. Οι εργασίες των Merkle et al. [49], Myszkowski et al. [52], Blum & Sampels [7], Xiong & Kuang [71] είναι μερικές μόνο από τις εφαρμογές των αλγορίθμων Αποικίας Μυρμηγκιών σε προβλήματα βελτιστοποίησης χρονοπρογραμματισμού. Επίσης οι Kalhor et al. [37] εφάρμοσαν αλγόριθμο Αποικίας Μυρμηγκιών μη-κυριαρχούμενης αρχειοθέτησης για την επίλυση ενός στοχαστικού προβλήματος βελτιστοποίησης χρόνου-κόστους, θεωρώντας τη συνολική διάρκεια και το συνολικό κόστος ως τους δύο στόχους ελαχιστοποίησης. Αντίστοιχα, ενδεικτικές εργασίες που περιλαμβάνουν εφαρμογή αλγορίθμων PSO είναι αυτές των Zhan et al [74], Jarboui et al. [34], Koulinas et al [41], Chen & Zhao [12], Kumar et al. [42]. Η τεχνική της Προσομοιωμένης Ανόπτησης (SA) είναι επίσης αρκετά δημοφιλής για το πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων και πολλαπλούς στόχους βελτιστοποίησης. Η μέθοδος αυτή δεν διατηρεί πληθυσμό λύσεων αλλά εφαρμόζει διεργασίες εξέλιξης σε μια υπάρχουσα λύση. Οι μεταβολές που επιφέρει η μέθοδος στην τρέχουσα λύση με στόχο την βελτίωσή της εξαρτώνται από έναν παράγοντα χρόνου, ο οποίος οδηγεί σε σημαντικές αλλαγές κατά τις πρώτες επαναλήψεις του αλγορίθμου και σε μικρές αλλαγές προς το τέλος της βελτιστοποίησης. Επιτυγχάνεται έτσι ευρεία εξερεύνηση του πεδίου λύσεων στα αρχικά στάδια και τοπική εξερεύνηση της βελτιωμένης λύσης προς το τέλος. Η μέθοδος Pareto Simulated Annealing είναι ιδιαίτερα

30 27 γνωστή για το πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων. Εφαρμογές της μεθόδου παρουσιάζονται στις εργασίες των Bouffard και Ferland, Song et al., Jozefowska et al., Suresh & Mohanasundaram κ.α. Η μέθοδος της Αρμονικής Αναζήτησης (HS) δεν προτείνεται τόσο συχνά στη βιβλιογραφία όσο οι υπόλοιπες για την αντιμετώπιση του προβλήματος βέλτιστου χρονοπρογραμματισμού έργων. Η βασική ιδέα σχετικά με τη λειτουργία της προέρχεται από το χώρο της μουσικής. Συγκεκριμένα, η μέθοδος βελτιώνει έναν πληθυσμό λύσεων με τρόπο παρόμοιο με αυτόν κατά τον οποίο τα όργανα μιας ορχήστρας συντονίζονται για την παραγωγή αρμονικής μελωδίας. Η παραγωγή μιας νέας λύσης βασίζεται εν μέρει στην πληροφορία που συγκεντρώνει ο πληθυσμός (αρμονική μνήμη) και στην προσαρμογή αυτής για την κατασκευή μιας νέας, πιθανά βελτιωμένης λύσης. Ενδεικτικά, οι εργασίες των Zong Woo Geem [21,22], Zammori et al., Guo et al. εφαρμόζουν τη μέθοδο στο πρόβλημα του χρονοπρογραμμτισμού έργου και σε συγγενή προβλήματα βελτιστοποίησης ενώ στην εργασία των Manjarres et al [49]. συγκεντρώνεται ένα πλήθος εφαρμογών και επιστημονικών εργασιών με αξιοποίηση της μεθόδου Αρμονικής Αναζήτησης. Μια πρόσφατη επισκόπηση των ευρετικών που έχουν προταθεί για το Multi-mode RCPSP παρουσιάζεται από τους Peteghem και Vanhoucke [66]. Στόχος της επίλυσης είναι η επιλογή ενός τρόπου εκτέλεσης και ενός χρόνου έναρξης για κάθε δραστηριότητα, ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί διαδοχής των εργασιών και διαθεσιμότητας των πόρων και να επιτυγχάνεται η ελάχιστη ολική διάρκεια του έργου. Ανάμεσα στις μεταευρετικές στρατηγικές που εφαρμόζονται περιλαμβάνονται οι εξής: Γενετικοί Αλγόριθμοι (GAs), Αναζήτηση Διασποράς (SS), Προσομοιωμένη Ανόπτηση (SA), Βελτιστοποίηση Σμήνους Σωματιδίων (PSO), Αλγόριθμοι Αποικίας Μυρμηγκιών (ACO), Διαφορικοί Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (DEA) και άλλοι. Επιπλέον, προτείνεται ένα νέο σετ αριθμητικών εφαρμογών αναφοράς, πέραν του ευρέως χρησιμοποιηθέντος σετ της βιβλιοθήκης PSPLIB, για τον έλεγχο των προτεινόμενων μεθόδων επίλυσης του προβλήματος Στην εργασία των Elbeltagi et al. [19] παρουσιάζεται επίσης μια συγκριτική επισκόπηση ανάμεσα σε πέντε εξελικτικούς αλγορίθμους βελτιστοποίησης, με εφαρμογή τους σε συνεχή και διακριτά προβλήματα βελτιστοποίησης Ειδικότερα μελετάται η εφαρμογή των εξής: Γενετικοί Αλγόριθμοι, Μιμητικοί Αλγόριθμοι, Αλγόριθμοι Σμήνους Σωματιδίων, Αλγόριθμοι Αποικίας Μυρμηγκιών και Αλγόριθμοι Μετακίνησης Βατράχων μέσω Αλμάτων (Shuffled Frog Leaping). Τα χαρακτηριστικά κάθε μεθόδου, οι παράμετροι

31 28 που χρησιμοποιούν καθώς και τα αποτελέσματα της εφαρμογής τους σε τρία προβλήματα βελτιστοποίησης παρουσιάζονται και αξιολογούνται. Σε ότι αφορά το διακριτό πρόβλημα αντιστάθμισης χρόνου-κόστους ως προς τον προγραμματισμό κατασκευαστικού έργου 18 εργασιών, στόχος της επίλυσης είναι η επιλογή του κατάλληλου τρόπου και χρόνου εκτέλεσης κάθε εργασίας ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός της συνολικής διάρκειας του έργου και ταυτόχρονα να επιτυγχάνεται το μικρότερο δυνατό συνολικό κόστος. Ο αλγόριθμος Σμήνους Σωματιδίων έδωσε τα καλύτερα αποτελέσματα σε όρους ποσοστού επιτυχημένων εκτελέσεων (εύρεση της βέλτιστης γνωστής λύσης) σε συγκριτικά μικρό υπολογιστικό χρόνο, με τον Μιμητικό Αλγόριθμο και τον Αλγόριθμο Αποικίας Μυρμηγκιών να ακολουθούν. Οι Kolisch και Hartmann στις εργασίες τους [25,40] παρουσιάζουν μια άρτια επισκόπηση των διάφορων ευρετικών μεθόδων που έχουν προταθεί για την αντιμετώπιση του RCPSP. Ειδικότερα στην [40], αναφέρονται αναλυτικά σε βασικές δομές και τεχνικές κατασκευής εφικτών λύσεων για το πρόβλημα RSPSP με στόχο την ελαχιστοποίηση της διάρκειας. Περιγράφουν τα σχήματα παραγωγής χρονοδιαγραμμάτων (schedule generation schemes), δηλαδή το σειριακό και το παράλληλο, όπως και τον τρόπο με τον οποίο τα τελευταία ενσωματώνονται στις μεθόδους επίλυσης, οι οποίες βασίζονται σε κανόνες προτεραιότητας των εργασιών. Μερικές από τις ευρετικές μεθόδους αυτές (Single Pass Methods, Multi-Pass Methods, Sampling Methods) παρουσιάζονται και αξιολογούνται, όπως επίσης και ένα σύνολο μεταευρετικών αλγορίθμων όπως της Προσομοιωμένης Ανόπτησης, της Απαγορευμένης Έρευνας, των Γενετικών Αλγορίθμων. Επίσης αναφέρονται διάφορες τεχνικές αναπαράστασης του χρονοδιαγράμματος για τις ανάγκες τις επίλυσης, όπως αυτές της Λίστας Προτεραιότητας Δραστηριοτήτων (Activity list) ή του Τυχαίου Κλειδιού (Random Key) κ.α., καθώς και τεχνικές αποκωδικοποίησής του για την παραγωγή ενός ακριβούς χρονοπρογράμματος. Μια διαφορετική από τις προηγούμενες ερευνητική προσέγγιση του προβλήματος RCPSP καταγράφεται επίσης στην εργασία των Koulinas et al. [41]. Οι τελευταίοι ανέπτυξαν έναν υπερευρετικό αλγόριθμο (hyperheuristic) βασισμένο στη βελτιστοποίηση με τη μέθοδο Σμήνους Σωματιδίων (PSO). Ως υπερευρετικός ορίζεται ένας ευρετικός αλγόριθμος ανωτέρου επιπέδου ο οποίος ελέγχει την εφαρμογή άλλων ευρετικών αλγορίθμων χαμηλότερου επιπέδου που εφαρμόζονται στο πεδίο αναζήτησης λύσεων του προβλήματος. Η βασική ιδέα πίσω από την ανάπτυξη αυτού του τύπου αλγορίθμων είναι η

32 29 δυνατότητα μιας πιο γενικής αντιμετώπισης των διαφόρων προβλημάτων βελτιστοποίησης, χωρίς να απαιτείται κάποια μέθοδος προσαρμοσμένη σε κάθε τύπο προβλήματος. Αυτό σημαίνει ότι ο υπερευρετικός αλγόριθμος δεν απαιτείται να «γνωρίζει» πώς λειτουργούν οι ευρετικές χαμηλού επιπέδου ούτε ποια είναι η φύση του εξεταζόμενου προβλήματος, παρά μόνο την αντικειμενική συνάρτηση και τις τιμές της. Στόχος της επίλυσής των Koulinas et al. [41] είναι ο κατάλληλος χρονοπρογραμματισμός των εργασιών ώστε να επιτυγχάνεται η ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας του έργου, με ταυτόχρονη τήρηση των περιορισμών διαθεσιμότητας πόρων και διαδοχής των εργασιών. Η αναπαράσταση των λύσεων βασίζεται στη μέθοδο του Τυχαίου Κλειδιού (Random key). Η κατασκευή των πραγματικών χρονοδιαγραμμάτων γίνεται με χρήση του σειριακού σχήματος παραγωγής χρονοδιαγράμματος (SSGS) βάσει της λίστας προτεραιότητας δραστηριοτήτων που καθορίζεται από τις ευρετικές χαμηλού επιπέδου του αλγορίθμου. Επίσης εφαρμόζεται και ο τελεστής της διπλής επιβεβαίωσης (double justification) για την τοπική βελτίωση όλων των λύσεων. Ο έλεγχος του προτεινόμενου αλγορίθμου έγινε σε ένα σύνολο προβλημάτων αναφοράς της βιβλιοθήκης PSPLIB. Η προσέγγισή τους αφορά την κλασσική μορφή του προβλήματος RCPSP, χωρίς θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης δραστηριοτήτων και με μοναδικό στόχο την ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου, χωρίς να επιδιώκεται ελαχιστοποίηση του κόστους ή βελτιστοποίηση ως προς άλλο κριτήριο. Οι Zheng και Wang [75] διερεύνησαν και πρότειναν έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης με πολλαπλούς πράκτορες (ΜΑΟΑ Multi-Agent Optimization Algorithm) για την επίλυση του κλασσικού RCPSP με στόχο την ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας. Το σύστημα πολλαπλών πρακτόρων (multi-agent system) είναι ένα ενεργό ερευνητικό πεδίο της τεχνητής νοημοσύνης και των έμπειρων συστημάτων. Η ανάπτυξη του MAOA βασίστηκε στην υιοθέτηση των βασικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των πρακτόρων και των μηχανισμών διαχείρισης πληθυσμού του πεδίου της Νοημοσύνης Σμήνους. Συγκεκριμένα η εξέλιξη των πρακτόρων επιτυγχάνεται με χρήση των τεσσάρων βασικών στοιχείων του αλγορίθμου, που είναι η κοινωνική συμπεριφορά, η αυτόνομη συμπεριφορά, ή αυτομάθηση και η προσαρμογή στο περιβάλλον. Η κοινωνική συμπεριφορά περιλαμβάνει την καθολική και την τοπική. Μέσω της καθολικής, ο αρχηγός κάθε ομάδας πρακτόρων καθοδηγείται από τον καθολικά βέλτιστο αρχηγό, ενώ μέσω της τοπικής συμπεριφοράς ο κάθε πράκτορας καθοδηγείται από τον αρχηγό της ομάδας του.

33 30 Μέσω της αυτόνομης συμπεριφοράς κάθε πράκτορας εξερευνά την «γειτονιά» του ενώ μέσω της αυτομάθησης, ο καθολικά βέλτιστος πράκτορας εκτελεί μια εκτεταμένη αναζήτηση για την περεταίρω εξερεύνηση μιας υποσχόμενης περιοχής. Ταυτόχρονα, μερικοί πράκτορες εκτελούν μετανάστευση σε άλλες ομάδες για την δυναμική προσαρμογή στο περιβάλλον και την διακίνηση των πληροφοριών. Ο αλγόριθμος εφαρμόζεται σε ένα σύνολο αριθμητικών παραδειγμάτων αναφοράς ενώ εκτελείται και μια διερεύνηση σχετικά με τις βέλτιστες τιμές των βασικών παραμέτρων του για την αποτελεσματικότερη εφαρμογή του ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ Το πρόβλημα Χρονοπρογραμματισμού Έργων με Περιορισμούς Διαθεσιμότητας Πόρων (RCPSP) είναι στην πράξη ένα πρόβλημα πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης, καθώς οι διαχειριστές των έργων συνήθως επιδιώκουν την ικανοποίηση πολλών ανταγωνιστικών στόχων (όπως ελάχιστη διάρκεια και ελάχιστο κόστος). Η αντιμετώπιση του προβλήματος με θεώρηση πολλαπλών στόχων βελτιστοποίησης έχει καταγραφεί σε όχι ιδιαίτερα μεγάλο αριθμό εργασιών εξαιτίας της πολυπλοκότητας που παρουσιάζει. Η ειδική προσέγγισή του όσον αφορά την πολλαπλότητα των κριτηρίων βελτιστοποίησης γενικά μπορεί να κατηγοριοποιηθεί με βάση το πώς λαμβάνεται η απόφαση από τον προγραμματιστή του έργου σε σχέση με την πορεία της διαδικασίας βελτιστοποίησης (Hwang και Masud [33] και Horn [32]): Η απόφαση λαμβάνεται πριν την αναζήτηση λύσεων: Οι πληροφορίες σχετικά με τους στόχους βελτιστοποίησης δίνονται από τον διαχειριστή ως δεδομένα τα οποία εντάσσονται σε ένα πρόβλημα απλής βελτιστοποίησης. Δηλαδή θεωρείται μία μόνο αντικειμενική συνάρτηση η οποία συνήθως είναι μια γραμμική συνάρτηση των επιμέρους στόχων με αντίστοιχους συντελεστές βαρύτητας. Η αναζήτηση λύσεων προηγείται της απόφασης: Ένα σύνολο από πιθανές λύσεις (ιδανικά ένα μέτωπο Pareto ή μια προσέγγιση αυτού) παράγεται και ο διαχειριστής στη συνέχεια αποφασίζει και επιλέγει την καταλληλότερη από αυτές για την περίπτωση που εξετάζεται Η απόφαση λαμβάνεται κατά τη διάρκεια της αναζήτησης λύσεων: Η βελτιστοποίηση χωρίζεται σε βήματα, στο τέλος καθενός εκ των οποίων ένας αριθμός εναλλακτικών λύσεων αξιολογείται και βάσει αυτού δρομολογείται το επόμενο βήμα της διαδικασίας.

34 31 Η μοντελοποίηση που παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία εντάσσεται στην πρώτη κατηγορία. Όπως αναφέρουν οι Ballestin και Blanco [4], ο Slowinski [61] ήταν ο πρώτος ερευνητής που τοποθέτησε το RCPSP σε ένα πλαίσιο πολλαπλών στόχων βελτιστοποίησης. Συγκεκριμένα ασχολήθηκε με τον πολυκριτηριακό γραμμικό προγραμματισμό στο RCPSP πολλαπλών στόχων με δραστηριότητες που δύνανται να διακόπτονται, πολλαπλούς εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης για κάθε μία από αυτές και θεώρηση ανανεώσιμων, μη-ανανεώσιμων και διπλά περιορισμένων πόρων. Η προσέγγισή του ανήκει στην πρώτη από τις προαναφερθείσες κατηγορίες προσεγγίσεων καθώς προτείνει εφαρμογή παραμετρικού γραμμικού προγραμματισμού. Ο ίδιος συγγραφέας σε συνεργασία με άλλους δημοσίευσε αρκετά άρθρα για το ίδιο πρόβλημα και τις παραλλαγές του, εργαζόμενοι στην περίπτωση μη-διάσπασης των δραστηριοτήτων [62,63]. Οι διαδικασίες που παρουσιάζονται σε αυτές τις περιπτώσεις ανήκουν στην τρίτη κατηγορία των παραπάνω. Στην [63] παρουσιάζεται ένα μοντέλο λήψεως αποφάσεων. Οι στόχοι που θεωρούνται είναι ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου, η ομαλότητα του ιστογράμματος κατανομής πόρων, η μέση σταθμισμένη καθυστέρηση, το πλήθος των καθυστερημένων δραστηριοτήτων, η συνολική χρήση πόρων, η σταθμισμένη χρήση πόρων και η καθαρή παρούσα αξία. Η διεργασία χρησιμοποιεί παράλληλους κανόνες προτεραιότητας των δραστηριοτήτων και μεθόδους Προσομοιωμένης Ανόπτησης και Διακλάδωσης και Οριοθέτησης. Μια θεωρητική και πρακτική προσέγγιση του προβλήματος προγραμματισμού έργων υπό περιορισμό πόρων με πολλαπλούς στόχους παρουσιάζεται από τους Ballestin και Blanco [4]. Στην εργασία τους παρουσιάζονται και αποδεικνύονται ένα σύνολο θεμελιωδών αρχών ως βάση για τη σωστή ανάπτυξη αλγοριθμικών προσεγγίσεων αντιμετώπισης τόσο της γενικής όσο και των διαφόρων ειδικών περιπτώσεων του προβλήματος. Καταγράφονται ορισμένες χρήσιμες αρχές σχετικά με τα χαρακτηριστικά των βέλτιστων λύσεων κάθε περίπτωσης, ανάλογα με τον τύπο αντικειμενικής συνάρτησης που θεωρείται. Βάσει των παραπάνω, παρουσιάζεται και αξιολογείται ένα σύνολο προτεινόμενων αλγορίθμων και τεχνικών και σχολιάζεται η αποτελεσματικότητά τους ως προς την παραγωγή βέλτιστων κατά Pareto λύσεων (παραγωγή μετώπου Pareto). Οι τεχνικές αυτές βασίζονται σε εξελικτικές διαδικασίες που εφαρμόζονται σε έναν πληθυσμό (μετάλλαξη, διασταύρωση, αντιγραφή) καθώς και σε μεθόδους τοπικής αναζήτησης.

35 32 Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται στη μέθοδο Προσομοιωμένης Ανόπτησης κατά Pareto (Pareto Simulated Annealing) η οποία έχει εφαρμοστεί συχνότερα στη βιβλιογραφία του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού πολλαπλών στόχων με ενθαρρυντικά αποτελέσματα και δανείζεται στοιχεία από τις μεθόδους των Γενετικών Αλγορίθμων και της Προσομοιωμένης Ανόπτησης. Στην εργασία τους γίνεται επίσης μια σύντομη αξιολόγηση των μέτρων που χρησιμοποιούνται για τη συγκριτική αξιολόγηση των διαφόρων μεθόδων βελτιστοποίησης, με προτίμηση στην μέση απόκλιση από τη βέλτιστη γνωστή λύση αναφοράς με θεώρηση κοινού μέγιστου αριθμού επαναλήψεων. Οι Gomes et al. [24] ασχολήθηκαν με το πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων με διπλό στόχο βελτιστοποίησης. Συγκεκριμένα η μελέτη τους στοχεύει στην ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας και του συνολικού σταθμισμένου χρόνου έναρξης των εργασιών. Ο δεύτερος στόχος αντιπροσωπεύει την αξία μιας μεγαλύτερης επένδυσης για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων στο νωρίτερο δυνατό χρόνο, που αποτελεί ένα πολυσυζητημένο θέμα του πεδίου της διαχείρισης έργων. Η μελέτη τους στοχεύει στην αξιολόγηση πέντε διαφορετικών μεταευρετικών αλγορίθμων που βασίζονται σε γνωστές τεχνικές τοπικής αναζήτησης που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία για βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων (Multi-Objective Greedy Randomized Adaptive Search Procedure - GRASP, Variable Neighborhood Search - VNS και Pareto Iterated Local Search PILS). Σκοπός των αλγορίθμων είναι να παράγουν ένα σύνολο μη-κυριαρχούμενων βέλτιστων λύσεων κατά Pareto (Pareto optimal/ Pareto Dominance), οι οποίες έχουν κριθεί βέλτιστες για το σύνολο των κριτηρίων που λαμβάνονται υπόψη. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε επιμέρους αντικειμενική συνάρτηση (μέγεθος προς βελτιστοποίηση) έχει προσδιοριστεί μια λύση για την οποία δεν ήταν δυνατό να βρεθεί άλλη με «καλύτερη» τιμή και συγχρόνως όχι «χειρότερη» για τις λοιπές επιμέρους αντικειμενικές συναρτήσεις. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων για την αξιολόγηση των αλγορίθμων βασίζεται σε τέσσερα μέτρα αξιολόγησης της αποτελεσματικότητας της πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης, τα οποία προτείνονται στη βιβλιογραφία, για τα οποία εκτελείται επίσης στατιστική ανάλυση προκειμένου να διαπιστωθεί αν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφοροποίηση της επίδοσης των αλγορίθμων. Ωστόσο, η μελέτη περιλαμβάνει δύο μόνο κριτήρια βελτιστοποίησης ενώ η προσθήκη επιπλέον κριτηρίων απαιτεί σύνθετες διαφοροποιήσεις στους αλγορίθμους και καθιστά το πρόβλημα ιδιαίτερα σύνθετο.

36 33 Οι Jaskowski και Sobotka [35] ασχολήθηκαν επίσης με την αντιμετώπιση του προβλήματος με θεώρηση πολλαπλών στόχων βελτιστοποίησης. Αναγνωρίζοντας την αναγκαιότητα ικανοποιητικών λύσεων σε σύντομο χρόνο, εξετάζουν την εφαρμογή εξελικτικής μεθόδου βελτιστοποίησης βασισμένης στη λογική των Γενετικών Αλγορίθμων. Στόχος ήταν η ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση διάρκειας και κόστους με επιλογή κατάλληλου εργολάβου για κάθε ομάδα εργασιών (θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών), η οποία συμπεριλαμβάνει τον παράγοντα της ποιότητας του τελικού αποτελέσματος. Η βελτιστοποίηση εκτελείται παράλληλα για κάθε έναν από τους δύο στόχους (ελάχιστο κόστος και ελάχιστη διάρκεια). Προσδιορίζεται ο τρόπος εκτέλεσης κάθε εργασίας (ή ο εργολάβος που αναλαμβάνει) με στόχο την μικρότερη διάρκεια του έργου με εφαρμογή ευρετικών αλγορίθμων και στη συνέχεια εφαρμόζεται ένας γενετικός αλγόριθμος για την κατανομή των πόρων με στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστους. Στη συνέχεια οι μη-κυριαρχούμενες λύσεις προσδιορίζονται με χρήση μιας βελτίωσης της συνάρτησης Tchebycheff. Ωστόσο, η μεθοδολογία αυτή δεν καταφέρνει να αξιολογήσει ταυτόχρονα τους δύο στόχους του προβλήματος. Στην εργασία των Ghoddousi et al. [23] εξετάζεται ένα μοντέλο βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων που προσαρμόζεται σε έναν συνδυασμό του κλασσικού RCPSP με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (MRCPSP) με το διακριτό πρόβλημα εξισορρόπησης χρόνου-κόστους (Discrete Time-Cost Trade-off Problem DTCTP) καθώς και το Πρόβλημα Κατανομής και Εξισορρόπησης Πόρων (Resource Leveling Problem RLP). Συγκεκριμένα περιγράφεται ένα κλασσικό μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος στο οποίο εντάσσονται οι στόχοι βελτιστοποίησης των τριών προβλημάτων. Η βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων επιχειρείται με εφαρμογή ενός Γενετικού Αλγορίθμου βασισμένου στην αναζήτηση μη-κυριαρχούμενων λύσεων κατά Pareto (NSGA II), ο οποίος στοχεύει στην ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους του έργου (άμεσο και έμμεσο), της συνολικής διάρκειας και της διακύμανσης της ροπής του ιστογράμματος κατανομής πόρων ως προς τον άξονα του χρόνου συγχρόνως. Κάθε πιθανή λύση κωδικοποιείται ως μια λίστα προτεραιότητας των εργασιών μαζί με ένα αντίστοιχο πίνακα με τον επιλεχθέντα τρόπο εκτέλεσης της κάθε εργασίας. Ο χρονοπρογραμματισμός του έργου γίνεται στη συνέχεια με χρήση του σειριακού προγραμματιστικού σχήματος (SSGS) το οποίο θα σχηματίσει μια λύση που θα ικανοποιεί τους περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων βάσει της λίστας προτεραιότητας των εργασιών και των διαρκειών που αντιστοιχούν στους καθορισμένους τρόπους εκτέλεσης. Ωστόσο, ο παραπάνω τρόπος

37 34 χρονοπρογραμματισμού προσαρμόζεται κατά βάση σε προβλήματα με απλές σχέσεις διαδοχής της μορφής Τέλους-Αρχής (Finish to Start) και μάλιστα με θεώρηση μηδενικού χρονικού διάκενου. Επίσης η αντιμετώπιση του προβλήματος με τη μέθοδο των μηκυριαρχούμενων λύσεων κατά Pareto παρέχει ένα σύνολο λύσεων με τα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν σε διάφορες αναλογίες, αφήνοντας στον διαχειριστή του έργου την αρμοδιότητα να αποφασίσει για τη λύση που θα επιλεχθεί. Έτσι το επιπλέον κόστος που μπορεί να προκύψει λόγω υπέρβασης της προσυμφωνημένης προθεσμίας παράδοσης του έργου ή μια πιθανή υπέρβαση του προϋπολογισμού θα πρέπει να ληφθούν υπόψη εκ των υστέρων. Τα τελευταία χρόνια οι ερευνητές τείνουν να αναπτύσσουν τα μοντέλα τους ώστε να αντιμετωπίζουν πιο ρεαλιστικές συνθήκες, εισάγοντας στο πρόβλημα επιπλέον περιορισμούς και παραμέτρους.. Οι Vanhoucke et al. [67] επέκτειναν το διακριτό πρόβλημα αντιστάθμισης χρόνου-κόστους DTCTP συμπεριλαμβάνοντας χρονικούς περιορισμούς τύπου «διακόπτη» (time-switch constraints), οι οποίοι επιβάλλουν καθορισμένους χρόνους έναρξης των δραστηριοτήτων του έργου και αναγκάζει τις δραστηριότητες να είναι εν εξελίξει ή όχι σε καθορισμένα χρονικά διαστήματα. Σε νέα τους εργασία οι ίδιοι ερευνητές πρότειναν ένα βελτιωμένο αλγόριθμο Διακλάδωσης και Οριοθέτησης, ο οποίος ήταν αποτελεσματικότερος από προηγούμενο που είχαν παρουσιάσει. Επίσης, οι Wuliang και Chengen [70] παρουσίασαν ένα νέο μοντέλο του DTCTP με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των εργασιών και περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων, προσθέτοντας περιορισμούς των ανανεώσιμων πόρων του γενικού προβλήματος και ένας βελτιωμένος γενετικός αλγόριθμος αναπτύχθηκε για την αντιμετώπισή του. Στην εργασία τους, προκαθορίζοντας το κόστος χρήσης των πόρων, οι ανανεώσιμοι πόροι συσχετίστηκαν με το συνολικό κόστος του έργου (άμεσο και έμμεσο). Μια επιπλέον προσθήκη στο κλασσικό πρόβλημα εξισορρόπησης χρόνου-κόστους είναι η θεώρηση αβεβαιοτήτων στα κόστη και τους χρόνους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, όπως παρουσιάζεται στις εργασίες των Eshtehardian et al. [20] και Kalhor et al. [37]. Οι συγγραφείς πρότειναν μια προσέγγιση που ενσωματώνει την ασαφή δομή των αβεβαιοτήτων στο συνολικό άμεσο κόστος και χρησιμοποίησαν έναν Γενετικό Αλγόριθμο για την εύρεση μιας λύσης στο ασαφές μοντέλο χρόνου-κόστους με πολλαπλούς στόχους.

38 35 Οι Leu και Yang [44] ανέπτυξαν ένα μοντέλο πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης για τον χρονοπρογραμματισμό κατασκευαστικών έργων βασισμένο στη χρήση ενός γενετικού αλγορίθμου ο οποίος ενσωματώνει εξισορρόπηση χρόνου-κόστους, κατανομή πόρων υπό περιορισμούς διαθεσιμότητας και μη περιορισμένα μοντέλα εξισορρόπησης πόρων. Το μοντέλο εφαρμόστηκε σε δύο φάσεις. Στη Φάση Ι μη κυριαρχούμενες λύσεις προσδιορίστηκαν με αντικειμενικές συναρτήσεις χρόνου και κόστους υπό τους περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων και στη Φάση ΙΙ εφαρμόζεται εξομάλυνση της χρήσης πόρων και προσδιορίζονται οι χρόνοι έναρξης των εργασιών. Ωστόσο, παρότι θεωρούνται πολλαπλοί στόχοι βελτιστοποίησης στο μοντέλο, αυτό δε συμβαίνει ταυτόχρονα σε ένα πολυδιάστατο χώρο αναζήτησης λύσεων. Το γεγονός αυτό εμπόδισε τον εντοπισμό «καλών» λύσεων σε όρους εξομάλυνσης πόρων κατά την επιλογή της Φάσης Ι ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ ΧΡΗΣΗΣ ΠΟΡΩΝ Παρά τον μεγάλο αριθμό ερευνητικών εργασιών σχετικά με το RCPSP, είναι περιορισμένες οι εργασίες που λαμβάνουν υπόψη την επίδραση της χρήσης των ανανεώσιμων πόρων στο χρονοπρογραμματισμό του έργου. Σε πραγματικά προβλήματα κατασκευαστικών έργων εμπλέκονται πολλοί και διαφορετικοί τύποι ανανεώσιμων πόρων (συμπεριλαμβανομένων του εργατικού δυναμικού, μηχανημάτων, εξοπλισμού κλπ.) και οι στρατηγικές διαχείρισης πόρων όπως η εξισορρόπηση πόρων (RLP) επιδρούν σημαντικά στη συνολική διάρκεια και κόστος του έργου [23]. Η εξισορρόπηση πόρων είναι μια διαδικασία εξομάλυνσης της χρήσης πόρων στη διάρκεια του έργου, επιλύοντας προβλήματα υπερανάθεσης και ελαχιστοποιεί τις μεταβολές χρήσης πόρων ως προς το χρόνο. Έτσι προκύπτει ένα χρονοδιάγραμμα το οποίο εξασφαλίζει την κατά το δυνατό εξάλειψη των αιχμών στη χρήση των πόρων και συνεπώς την αποφυγή μείωσης της παραγωγικότητας ή αύξησης του κόστους παραγωγής που συνδέεται με αυτές. Μια από τις πρώτες προσπάθειες μείωσης του επιπέδου διακύμανσης της χρήσης πόρων συναντάται στην εργασία των Burgess και Killebrew [9], στην οποία η ελαχιστοποίηση της διακύμανσης της χρήσης πόρων ανά μονάδα χρόνου ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων της χρήσης σε ένα διάγραμμα κατανομής πόρων. Αργότερα και άλλοι ερευνητές όπως οι Karaa & Nasr, Easa και Harris, ασχολήθηκαν με την μαθηματική διατύπωση του ίδιου προβλήματος.

39 36 Ειδικότερα, ο Harris ανέπτυξε μια ευρετική μέθοδο γνωστή ως Μέθοδος Ελάχιστης Ροπής (Minimum Μoment Μethod) η οποία επιδιώκει να μετατρέψει το κανονικό ιστόγραμμα χρήσης πόρων ενός έργου σε ένα αντίστοιχο ορθογώνιου σχήματος, ελαχιστοποιώντας τη ροπή της χρήσης πόρων ως προς τον άξονα του χρόνου. Η μέθοδος αυτή αποτέλεσε και τη βάση για την ανάπτυξη στη συνέχεια, από τον ίδιο ερευνητή, μιας ευρετικής διεργασίας που είναι γνωστή ως «Μέθοδος PACK». Η τεχνική αυτή χρησιμοποιήθηκε για τον προγραμματισμό των εργασιών σε συγκεκριμένες μέρες εντός ενός εύρους διαθέσιμων ημερών, χτίζοντας το αντίστοιχο ιστόγραμμα χρήσης πόρων βήμα προς βήμα, με στόχο η τελική ροπή του διαγράμματος να έχει την ελάχιστη δυνατή τιμή και το ιστόγραμμα να απέχει όσο γίνεται λιγότερο από το ορθογώνιο σχήμα. Ωστόσο, η μέθοδος θεωρεί δεδομένες και σταθερές τις διάρκειες και τις απαιτήσεις πόρων της κάθε εργασίας χωρίς να μπορεί να θεωρήσει εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των εργασιών. Ο εκτελούμενος χρονοπρογραμματισμός βασίζεται στην θεωρία της κρίσιμης διαδρομής (CPM), επομένως δεν θεωρεί κανένα περιορισμό στη χρήση πόρων και δεν επιφέρει καμία μεταβολή στις εργασίες που εντάσσονται στην κρίσιμη διαδρομή, παρά μόνο σε όσες έχουν μη μηδενικό ολικό περιθώριο (μη-κρίσιμες). Αργότερα η μέθοδος προγραμματίστηκε σε υπολογιστή από τους Martinez και Ioannou (1993) και επεκτάθηκε από τον Hiyassat (2000, 2001) ώστε να μπορεί να συνυπολογίσει την περίπτωση εξισορρόπησης πολλαπλών πόρων. Βασιζόμενοι στην μέθοδο ελάχιστης ροπής, οι Christodoulou et al. [13,14] πρότειναν μια μέθοδο εξισορρόπησης πόρων με μεγιστοποίηση της εντροπίας του έργου. Συγκεκριμένα οι ερευνητές εισάγουν την έννοια της εντροπίας από τη φυσική, χρησιμοποιώντας τη σαν μέτρο της ομαλότητας της μετάβασης ενός συστήματος από μια κατάσταση σε μια άλλη. Σχηματίζουν έτσι μια συνάρτηση εντροπίας ενός χρονοδιαγράμματος έργου η οποία εξαρτάται από την ανά μονάδα χρόνου χρήση του πόρου σε σχέση με το σύνολο των απαιτούμενων πόρων καθ όλη τη διάρκεια του έργου. Η τιμή της συνολικής εντροπίας του έργου μεγιστοποιείται όταν η κατανομή των πόρων είναι οριζόντια και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων είναι ορθογώνιο. Ωστόσο, όμοια με τη μέθοδο ελάχιστης ροπής, η μέθοδος μεγιστοποίησης της εντροπίας είναι σχεδιασμένη ώστε να εκτελεί μετακινήσεις των μη κρίσιμων δραστηριοτήτων στα περιθώριά τους ώστε να επιτύχει το βέλτιστο ιστόγραμμα, διατηρώντας σταθερή τη διάρκεια του έργου. Λόγω της φύσης της προτεινόμενης συνάρτησης εντροπίας, μια μεταβολή στη διάρκεια του έργου επιφέρει μεταβολές και στις τιμές της εντροπίας, γεγονός που δυσχεραίνει τη

40 37 σύγκριση διαγραμμάτων διαφορετικής συνολικής διάρκειας. Συγκεκριμένα, ένα ομοιόμορφο ιστόγραμμα χρήσης πόρων που αντιστοιχεί σε έργο μεγαλύτερης συνολικής διάρκειας συνοδεύεται από μεγαλύτερη τιμή εντροπίας σε σχέση με ένα εξίσου ομοιόμορφο ιστόγραμμα ίδιου εμβαδού αλλά μικρότερης συνολικής διάρκειας. Επομένως, η χρήση της εντροπίας ως κριτηρίου ομαλότητας του ιστογράμματος πόρων είναι αποτελεσματική μόνο όταν η διάρκεια του έργου παραμένει σταθερή. Οι Neumann και Zimmermann [53] δημοσίευσαν μια μελέτη στην οποία εισάγονται ευρετικές διαδικασίες για την επίλυση του RLP χωρίς και με περιορισμούς χρήσης πόρων. Διάφοροι τύποι αντικειμενικών συναρτήσεων συζητούνται σε αυτήν την μελέτη, μεταξύ των οποίων η ελαχιστοποίηση του μέγιστου κόστους πόρων ανά περίοδο, η ελαχιστοποίηση των αποκλίσεων από ένα επιθυμητό ή ομοιόμορφο ιστόγραμμα χρήσης πόρων και η ελαχιστοποίηση της διακύμανσης των καμπύλων χρήσης πόρων συναρτήσει του χρόνου. Ο Hegazy [27] χρησιμοποίησε έναν γενετικό αλγόριθμο για την προσέγγιση σχεδόν βέλτιστων λύσεων όπου έλαβε υπόψη την εξισορρόπηση πόρων και το πρόβλημα κατανομής πόρων ταυτόχρονα. Η μέθοδος ελαχιστοποιούσε τη συνολική διάρκεια του έργου και τις αντίστοιχες ροπές της χρήσης πόρων θεωρώντας περιορισμούς διαθεσιμότητας αλλά χωρίς να συμπεριλαμβάνει ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους. Οι Senouci και Eldin [60] παρουσίασαν επίσης ένα μοντέλο επαυξημένου Λαγκραντζιανού Γενετικού Αλγορίθμου για την εξισορρόπηση πόρων. Στο μοντέλο τους η εξισορρόπηση πόρων και ο προγραμματισμός σύμφωνα με τους περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων γίνονται ταυτόχρονα και λαμβάνονται υπόψη όλες οι σχέσεις διαδοχής των εργασιών, πολλαπλές στρατηγικές ομάδων εργασίας, ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους και εξισορρόπηση κόστους χρόνου. Ωστόσο το μοντέλο δεν θεωρεί την κατανομή των πόρων στις διάφορες δραστηριότητες και δεν συμπεριλαμβάνονται διαφορετικοί τρόποι εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Οι Roca et al. [57] επέκτειναν το μοντέλο εξισορρόπησης πόρων με χρήση Γενετικού Αλγορίθμου βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων που λαμβάνει υπόψη την ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας και την εξομάλυνση κάθε χρήσης πόρου στο χρόνο. Η μέθοδος παράγει μη-κυριαρχούμενες λύσεις και δεν στοχεύει στην ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους.

41 38 Δύο σενάρια χρόνου-κόστους, εξομάλυνσης πόρων και κατανομής τους ενσωματώθηκαν σε ένα στοχαστικό μοντέλο πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης από τους Zahraie και Tavakolan [72], το οποίο ελαχιστοποιεί τη συνολική διάρκεια του έργου, το κόστος και τις ροπές της χρήσης πόρων ως προς το χρόνο. Στη μελέτη αυτή η θεωρία ασαφειών (fuzzy theory) εφαρμόστηκε επίσης για την αναπαράσταση διαφορετικών επιλογών για κάθε δραστηριότητα. Παρότι έχει αναφερθεί ότι το μοντέλο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε προβλήματα περιορισμένων πόρων, ωστόσο κατά τη διάρκεια της διαδικασίας επίλυσης το μοντέλο δεν έλαβε υπόψη τους περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων ΠΑΡΟΥΣΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Η παρούσα εργασία αποτελεί συνέχεια της ερευνητικής προσπάθειας που περιγράφεται στις εργασίες των Chassiakos & Kaiafa [10], και Καϊάφα [78], με στόχο την ανάπτυξη ενός αποτελεσματικού μοντέλου περιγραφής του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων, θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και πολλαπλών στόχων βελτιστοποίησης (Multi-objective Multi-mode Resource Constrained Project Scheduling Problem). Επιδιώκεται η αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας μιας προτεινόμενης γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης κόστους, η οποία συμπεριλαμβάνει τους επιμέρους στόχους βελτιστοποίησης, δηλαδή τη συνολική διάρκεια, το συνολικό άμεσο και έμμεσο κόστος, την κατανομή πόρων υπό τους περιορισμούς διαθεσιμότητας και την εξομάλυνση της χρήσης πόρων, σε μονάδες κόστους. Έτσι, οι πολλαπλοί στόχοι βελτιστοποίησης ανάγονται στην ελαχιστοποίηση ενός συνολικού κόστους. Στην εργασία των Chassiakos & Kaiafa [10], το προτεινόμενο μοντέλο χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός συνόλου αριθμητικών εφαρμογών με χρήση Γενετικού Αλγορίθμου. Η αποτελεσματικότητα του μοντέλου αξιολογείται με σύγκριση των στόχων που τίθενται σε κάθε περίπτωση και του αντίστοιχου χρονοπρογράμματος που προκύπτει μετά την βελτιστοποίηση. Στην παρούσα εργασία η βελτιστοποίηση εκτελείται με χρήση λογισμικού λήψης αποφάσεων που εφαρμόζει Γενετικούς Αλγορίθμους καθώς και με εφαρμογή μιας άλλης εξελικτικής μεθόδου, της Αρμονικής Αναζήτησης. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν συγκρίνονται με τα αντίστοιχα της προηγούμενης εργασίας και αξιολογείται εκ νέου η αποτελεσματικότητα του προτεινόμενου μοντέλου καθώς και των μεθόδων που εφαρμόζονται.

42 39 4. ΣΤΟΧΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ο χρονοπρογραμματισμός ενός μεγάλου και σύνθετου έργου της πράξης όπως ένα δομικό έργο του πεδίου του πολιτικού μηχανικού είναι μια εργασία ιδιαίτερα περίπλοκη. Τόσο ο σχεδιασμός όσο και ο χρονοπρογραμματισμός των δραστηριοτήτων ενός τέτοιου έργου επιδρούν σημαντικά στην οικονομική αποδοτικότητά του έργου από την πλευρά του κατασκευαστή αλλά και της κοινωνίας. Για το λόγο αυτόν οι διεργασίες αυτές προϋποθέτουν από τον μελετητή μηχανικό ή τον διαχειριστή του έργου εξειδικευμένες γνώσεις και σημαντική εμπειρία. Η δυσκολία διαχείρισης του προβλήματος αυτού προέρχεται αφενός από το πλήθος των μεταβλητών και των ποικίλων τύπων περιορισμών και αφετέρου από τη γενική επιδίωξη πολλαπλών και συνήθως αλληλοαναιρούμενων στόχων. Στην πράξη, κάθε δραστηριότητα ενός έργου είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί με περισσότερους από έναν τρόπους. Ο τρόπος εκτέλεσης μιας δραστηριότητας καθορίζει το είδος και το πλήθος των πόρων που θα δεσμευτούν για την εκτέλεσή της αλλά και τη συνολική διάρκειά της. Όπως είναι λογικό, η επιτάχυνση εκτέλεσης μιας δραστηριότητας προϋποθέτει τη χρήση περισσότερων πόρων και επομένως συνοδεύεται από μεγαλύτερο κόστος. Το κέρδος μιας τέτοιας συντόμευσης είναι ο χρόνος που εξοικονομείται αλλά συγχρόνως το κόστος εκτέλεσης του έργου αυξάνεται. Συνεπώς, η επιλογή του τρόπου εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας θα πρέπει να βασιστεί σε μια συλλογιστική αντιστάθμισης συνολικού κόστους και διάρκειας του έργου. Επιπλέον, τόσο ο τρόπος όσο και ο χρόνος εκτέλεσης της κάθε εργασίας θα πρέπει να επιλεχθεί έτσι ώστε οι πόροι που θα δεσμεύονται ανά χρονική περίοδο (πχ. εργαζόμενοι ή μηχανήματα) για την εκτέλεση των τρεχουσών εργασιών να μην υπερβαίνουν την αντίστοιχη διαθεσιμότητα. Εξίσου σημαντικός στόχος ενός καλού χρονοπρογράμματος είναι η ομοιόμορφη κατανομή των χρησιμοποιούμενων πόρων ως προς το χρόνο. Με άλλα λόγια, οι συχνές μεταβολές του πλήθους των πόρων που απασχολούνται πχ. σε ένα εργοτάξιο δεν είναι επιθυμητές. Ο λόγος είναι ότι τέτοιες αλλαγές συνήθως προκαλούν μεταβολές στο περιβάλλον εργασίας οι οποίες επιφέρουν παροδική πτώση της παραγωγικότητας, μέχρι οι εργαζόμενοι να προσαρμοστούν στο νέο περιβάλλον. Επίσης, στην περίπτωση του εργατικού δυναμικού, η εναλλαγή εργασίας αργίας σε ένα έργο βλάπτει το ηθικό των εργαζομένων και δημιουργεί απογοήτευση, γεγονότα που επίσης οδηγούν σε μειωμένη παραγωγικότητα.

43 40 Η μέχρι σήμερα αντιμετώπιση του προβλήματος εξομάλυνσης πόρων από τη βιβλιογραφία βασίζεται στην προσπάθεια ελαχιστοποίησης είτε της διακύμανσης της χρήσης πόρων είτε της αθροιστικής ροπής του ιστογράμματος χρήσης πόρων. Ωστόσο, οι δύο αυτές προσεγγίσεις, παρότι στοχεύουν σε ένα ομοιόμορφο (επίπεδο) ιστόγραμμα χρήσης πόρων, δεν καταφέρνουν να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα με επιτυχία. Μπορεί να επιτυγχάνουν την εξάλειψη των σημαντικών αιχμών αλλά αδυνατούν να διαχειριστούν μικρές και συχνές μεταβολές της χρήσης στο ιστόγραμμα χρήσης πόρων. Κατά συνέπεια, επιτρέπουν λύσεις που μπορεί να απαιτούν συχνές αλλά μικρές αυξομειώσεις, κάτι που γενικά δεν είναι επιθυμητό. Ο χρονοπρογραμματισμός έργων με πολλαπλούς στόχους βελτιστοποίησης εξακολουθεί να είναι μια σημαντική πρόκληση στο πεδίο της επιχειρησιακής έρευνας. Το γεγονός ότι οι επιθυμητοί στόχοι είναι αλληλοαναιρούμενοι δυσχεραίνει περισσότερο την ήδη περίπλοκη διαδικασία αναζήτησης βέλτιστων λύσεων. Η αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού συνήθως γίνεται είτε με προσδιορισμό των μη κυριαρχούμενων κατά Pareto βέλτιστων λύσεων είτε με ενοποίηση όλων των επιμέρους στόχων του προβλήματος σε μια σταθμισμένη αντικειμενική συνάρτηση. Η βελτιστοποίηση κατά Pareto συγκεντρώνει ένα σύνολο εκ των «καλύτερων» λύσεων, σε όλο το εύρος τιμών των αντικειμενικών συναρτήσεων. Κάθε τέτοια λύση στην πραγματικότητα αποτελεί μια πολύ ικανοποιητική αντιστάθμιση των επιμέρους στόχων, για την οποία η τιμή ενός εκ των κριτηρίων βελτιστοποίησης δεν δύναται να βελτιωθεί περισσότερο χωρίς να χειροτερέψει τουλάχιστον μία από τις τιμές των λοιπών κριτηρίων. Στην πράξη, ο μελετητής, έχοντας στη διάθεσή του το «μέτωπο» Pareto, επιλέγει τη λύση που θεωρεί ότι αντισταθμίζει με τον καλύτερο τρόπο τους στόχους του προβλήματος και προσαρμόζεται καλύτερα στις συνθήκες του έργου. Ωστόσο, στην περίπτωση που έχουμε περισσότερους από δύο στόχους, τόσο η απεικόνιση των λύσεων σε ένα κοινό πολυδιάστατο γράφημα όσο και η επιλογή της «καλύτερης» ανάμεσά τους δυσκολεύουν σε σημαντικό βαθμό. Για το λόγο αυτό, η παρούσα ερευνητική προσπάθεια προτείνει την εφαρμογή ενός μοντέλου πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης για το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού έργων υπό περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων, το οποίο ενσωματώνει σε μια ενιαία αντικειμενική συνάρτηση τους επιμέρους στόχους βελτιστοποίησης του έργου. Ανάμεσά τους, επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους και της συνολικής διάρκειας

44 41 του έργου καθώς και η ελαχιστοποίηση των μεταβολών στη χρήση των πόρων. Μάλιστα, σε αντίθεση με τον σταθμισμένο γραμμικό συνδυασμό των μεγεθών προς βελτιστοποίηση, ο οποίος προϋποθέτει και την εύρεση των κατάλληλων τιμών για τους συντελεστές βαρύτητας κάθε όρου, το προτεινόμενο μοντέλο μεταφράζει κάθε επιμέρους στόχο σε μία συνάρτηση κόστους. Έτσι ο μελετητής, μπορεί να αποδίδει ένα κόστος σε κάθε ένα από τα κριτήρια βελτιστοποίησης, το οποίο είναι δυνατό να παριστάνει κάποιο πραγματικό κόστος (πχ. κόστος για τη χρήση πόρων επιπλέον της διαθεσιμότητας το οποίο μπορεί να μεταφραστεί σε κόστος πρόσληψης εποχικών εργατών ή ενοικίαση μηχανημάτων). Με τον τρόπο αυτό, το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης ενός ενιαίου κόστους. Η επίλυση του παραπάνω συνδυαστικού προβλήματος βελτιστοποίησης βασίζεται κυρίως σε προσεγγιστικές μεθόδους, καθώς η πολυπλοκότητα του προβλήματος αυξάνει σημαντικά με την αύξηση του μεγέθους του έργου και οι όποιες ακριβείς μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού αδυνατούν να εντοπίσουν τη βέλτιστη λύση σε αποδεκτό χρόνο. Στη βιβλιογραφία προτείνονται πλήθος ευρετικών και μεταευρετικών μεθόδων οι οποίες βασίζονται κατά βάση σε εξελικτικούς αλγορίθμους και αλγορίθμους νοημοσύνης σμήνους. Η παρούσα εργασία επιχειρεί να επιλύσει ένα σύνολο αριθμητικών εφαρμογών με χρήση του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης και εφαρμογή δύο διαφορετικών αλγορίθμων, Γενετικού Αλγορίθμου και Αλγορίθμου Αρμονικής Αναζήτησης. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικοί σε τέτοιου είδους προβλήματα και έχουν χρησιμοποιηθεί από πολλούς ερευνητές. Αντίθετα, η Αρμονική Αναζήτηση είναι μια μέθοδος που δεν έχει εφαρμοστεί σε πολλές εργασίες στο συγκεκριμένο πρόβλημα αλλά παρουσιάζει ιδιαίτερα ικανοποιητικά αποτελέσματα σε εργασίες που έχει εφαρμοστεί. Επιχειρείται έτσι και μια συγκριτική αξιολόγηση των δύο μεθόδων. Στόχος είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τη λειτουργικότητα ή μη του προτεινόμενου μοντέλου ως προς τη συγχώνευση πολλαπλών κριτηρίων βελτιστοποίησης και την καταλληλότητα των δύο εφαρμοζόμενων μεθόδων στην επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος.

45 42 5. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ 5.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην ενότητα αυτή θα οριστεί επακριβώς το πρόβλημα που θα μελετηθεί στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας και θα περιγραφεί αναλυτικά το προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων. Θα καταγραφούν όλες οι σχέσεις περιγραφής της ενιαίας αντικειμενικής συνάρτησης και θα αναφερθούν οι υποθέσεις και παραδοχές που συνοδεύουν το μοντέλο ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η συνοπτική περιγραφή της κλασσικής μορφής του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού έργων υπό περιορισμούς πόρων και των διάφορων παραλλαγών του που δίνεται στο 2 ο Κεφάλαιο ορίζει το γενικότερο πλαίσιο μελέτης στο οποίο τοποθετείται η παρούσα εργασία. Στην ενότητα αυτή καθορίζεται επακριβώς η εκδοχή του προβλήματος που τίθεται υπό μελέτη, σχηματίζεται το μαθηματικό μοντέλο περιγραφής του προβλήματος και καταγράφονται οι υποθέσεις, παραδοχές και περιορισμοί που λαμβάνονται υπόψη. Η παρούσα ερευνητική προσπάθεια επικεντρώνεται στην αντιμετώπιση μιας γενίκευσης του κλασσικού προβλήματος χρονοπρογραμματισμού έργων με περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων (RCPSP), η οποία συμπεριλαμβάνει θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών και πολλαπλούς στόχους βελτιστοποίησης (Multi- Objective Multi-Mode Resource Constrained Project Scheduling Problem MMRCPSP). Στόχος της επίλυσης είναι η επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης και ο καθορισμός του αντίστοιχου χρόνου έναρξης κάθε δραστηριότητας, ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί του προβλήματος και να επιτυγχάνονται στο μέγιστο δυνατό βαθμό ένα σύνολο πολλαπλών και γενικώς ανταγωνιστικών στόχων. Ειδικότερα, η επίλυση του προβλήματος έγκειται στην κατασκευή ενός χρονοπρογράμματος του έργου το οποίο θα συντελεί στην ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους αλλά και της συνολικής διάρκειας του έργου και ταυτόχρονα θα διασφαλίζει τις ελάχιστες δυνατές μεταβολές στο ρυθμό χρήσης των πόρων. Οι περιορισμοί που υπεισέρχονται στην επίλυση του προβλήματος αφορούν την μη υπέρβαση της διαθεσιμότητας των πόρων σε καμία χρονική περίοδο, την ικανοποίηση των σχέσεων

46 43 διαδοχής μεταξύ των εργασιών και την ολοκλήρωση του έργου εντός συγκεκριμένης προθεσμίας. Μια ακριβέστερη, μαθηματική περιγραφή του προβλήματος δίνεται στη συνέχεια. Έστω ένα έργο αποτελούμενο από δραστηριότητες το οποίο παριστάνεται μέσω ενός κομβικού δικτυωτού γραφήματος (AoN Network). Στο γράφημα αυτό οι κόμβοι αναπαριστούν τις δραστηριότητες του έργου και τα βέλη καθορίζουν την προτεραιότητα μεταξύ των δραστηριοτήτων, δηλαδή αντιστοιχούν στις σχέσεις διαδοχής τους. Η αρχή και το τέλος του έργου παριστάνονται από δύο πλασματικές εργασίες, τις και αντίστοιχα, οι οποίες χαρακτηρίζονται από μηδενική διάρκεια και μηδενικές απαιτήσεις σε πόρους. Η εκτέλεση των δραστηριοτήτων προϋποθέτει τη χρήση ανανεώσιμων πόρων, οι οποίοι ανά πάσα χρονική περίοδο είναι διαθέσιμοι σε ποσότητα, όπου. Κάθε δραστηριότητα μπορεί να εκτελεστεί από ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων όπου. Κάθε εναλλακτικός τρόπος που μπορεί να επιλεχθεί για την εκτέλεση της δραστηριότητας καθορίζει τη διάρκεια καθώς και τις ανά χρονική περίοδο απαιτήσεις της δραστηριότητας σε ανανεώσιμους πόρους, για Κάθε τύπος πόρου συνοδεύεται από ένα κόστος χρήσης ανά μονάδα πόρου και ανά χρονική περίοδο. Επίσης ορίζεται ως η προθεσμία ολοκλήρωσης του έργου. Κάθε εργασία συνοδεύεται από ένα σύνολο σχέσεων αλληλεξάρτησης με όλες τις αμέσως προηγούμενες αυτής εργασίες, δηλαδή αυτές με τις οποίες συνδέεται με βέλη στο κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου. Αν συμβολίσουμε με την εργασία που προηγείται και με την εργασία που έπεται, κάθε σχέση διαδοχής μπορεί να πάρει μία από τις παρακάτω μορφές : Σχέση Τέλους-Αρχής (FS) : Η εργασία μπορεί να ξεκινήσει αμέσως μετά το τέλος της εργασίας Σχέση Τέλους-Αρχής με ελάχιστο χρονικό διάκενο (FS + d) : H εργασία μπορεί να αρχίσει μετά την πάροδο χρονικών μονάδων από το τέλος της εργασίας. Σχέση Αρχής-Αρχής (SS) : Η εργασία μπορεί να αρχίσει αμέσως μετά την εκκίνηση της εργασίας

47 44 Σχέση Αρχής-Αρχής με ελάχιστο χρονικό διάκενο (SS + d) : Η εργασία μπορεί να αρχίσει μετά την πάροδο χρονικών μονάδων από την εκκίνηση της εργασίας Σχέση Τέλους-Τέλους (FF) : Η εργασία μπορεί να ολοκληρωθεί αμέσως μετά την ολοκλήρωση της εργασίας Σχέση Τέλους-Τέλους με ελάχιστο χρονικό διάκενο (FF + d) : Η εργασία μπορεί να ολοκληρωθεί μετά την πάροδο χρονικών μονάδων από την ολοκλήρωση της εργασίας. Σημειώνεται ότι το χρονικό διάκενο μπορεί να έχει θετική τιμή, οπότε έχουμε χρονική υστέρηση, ή μπορεί να έχει αρνητική τιμή, οπότε έχουμε χρονική προπόρευση. Κατά αυτό τον τρόπο είναι πιθανό μια σχέση αλληλεξάρτησης να μπορεί να εκφραστεί με περισσότερους από έναν τρόπους. Η σχέση της μορφής Αρχής-Τέλους, η οποία συναντάται μόνο με χρήση χρονικού διάκενου, είναι πιο σπάνια και δεν λαμβάνεται υπόψη στο πρόβλημα. Κάθε μία από τις παραπάνω σχέσεις επιβάλει και έναν διαφορετικό περιορισμό κατά τον καθορισμό των χρόνων έναρξης των εργασιών, όπως θα δούμε παρακάτω. Επομένως, σε αντιστοιχία με τα παραπάνω, το πρόβλημα που εξετάζουμε συνοδεύεται από ένα σύνολο από ζεύγη δραστηριοτήτων,, όπου είναι δραστηριότητες που συνδέονται μεταξύ τους με έναν από τους παραπάνω τύπους σχέσεων διαδοχής, ο οποίος είναι επίσης καθορισμένος. Θεωρείται ότι η εργασία προηγείται της. Εάν επιπλέον συμβολίσουμε με τον χρόνο έναρξης της δραστηριότητας και τον αντίστοιχο χρόνο ολοκλήρωσης, το πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων που επιχειρείται να επιλυθεί ορίζεται ως εξής: Ζητείται ο προσδιορισμός των διανυσμάτων και, όπου είναι ο αύξων αριθμός του εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης της εργασίας και ο χρόνος έναρξης της εργασίας, ώστε να ισχύουν : (Σχ. 5.1).

48 45 (Σχ. 5.2). (Σχ. 5.3). Υπό τους περιορισμούς: (Σχ. 5.4). (Σχ. 5.5). (Σχ. 5.6). (Σχ. 5.7). (Σχ. 5.8). Επίσης απαιτείται η τήρηση των περιορισμών που σχετίζονται με τις σχέσεις διαδοχής, δηλαδή για κάθε ζεύγος και αναλόγως του είδος της σχέσης διαδοχής που ισχύει μεταξύ τους, θα πρέπει να ισχύουν : (Σχ. 5.9). Για σχέση FS:

49 46 Για σχέση FS + d: Για σχέση FS d: Για σχέση SS: Για σχέση SS + d: Για σχέση FF: Για σχέση FF + d: Οι σχέσεις (Σχ. 5.1) και (Σχ. 5.2) αποτελούν τους ξεχωριστούς στόχους βελτιστοποίησης του προβλήματος. Η (Σχ. 5.1) αφορά την ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας του έργου. Η (Σχ. 5.2) αφορά την ελαχιστοποίηση του συνολικού άμεσου κόστους του έργου, δηλαδή του κόστους χρήσης των πόρων για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων. Η (Σχ. 5.3) αφορά την ελαχιστοποίηση των μεταβολών στη χρήση πόρων κατά τη διάρκεια του έργου. Σχετίζεται με την επιδίωξη ενός κατά το δυνατόν επίπεδου ιστογράμματος χρήσης πόρων. Επομένως, η μεταβλητότητα χρήσης των πόρων στην παρούσα εργασία παριστάνεται από το άθροισμα των απόλυτων μεταβολών της συνολικής χρήσης πόρων μεταξύ διαδοχικών χρονικών περιόδων για όλη τη διάρκεια του έργου. Άλλες προσεγγίσεις του συγκεκριμένου στόχου που συναντώνται συχνότερα στη βιβλιογραφία στοχεύουν στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των ροπών κάθε στήλης του ιστογράμματος χρήσης πόρων ως προς τον άξονα του χρόνου (minimum moment method) ή στην ελαχιστοποίηση του τετραγώνου των αποκλίσεων των τιμών χρήσης πόρου από τη μέση τιμή τους. Η επιλογή αυτή ερμηνεύεται στην επόμενη ενότητα, όπου θα περιγραφεί το μοντέλο που θα χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος. Οι σχέσεις (5.4 έως 5.9) εκφράζουν τους περιορισμούς του προβλήματος. Η (Σχ. 5.4) καθορίζει ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας ισούται με το άθροισμα του χρόνου έναρξης και της διάρκειας της δραστηριότητας που αντιστοιχεί στον τρόπο εκτέλεσης που έχει επιλεχθεί. Η σχέση αυτή επομένως καθορίζει ταυτόχρονα ότι δεν επιτρέπεται παύση των εργασιών κατά την εκτέλεσή τους.

50 47 Η (Σχ. 5.5) ορίζει τη βοηθητική συνάρτηση του χρόνου, η οποία για κάθε εργασία παίρνει τιμή ίση με 1 αν η εργασία βρίσκεται σε εξέλιξη τη χρονική περίοδο t και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Η (Σχ. 5.6) επιβάλει την μη υπέρβαση της διαθεσιμότητας για όλους τους πόρους και για όλες τις χρονικές περιόδους. Η (Σχ. 5.7) αφορά την μη υπέρβαση ενός καθορισμένου χρόνου ολοκλήρωσης του έργου, επιβάλει δηλαδή την διατήρηση της συνολικής διάρκειας κάτω από ένα προκαθορισμένο όριο. Οι (Σχ. 5.8) σχετίζονται με τις πλασματικές δραστηριότητες αρχής και τέλους και ορίζουν ότι το έργο αρχίζει σε χρόνο Τέλος, οι σχέσεις (Σχ. 5.9) αφορούν την διατήρηση της διαδοχής των εργασιών κατά τον χρονοπρογραμματισμό τους. Το μέγεθος του προβλήματος και οι πιθανές λύσεις, όπως μπορεί εύκολα να αντιληφθεί κανείς, αυξάνονται εκθετικά όσο αυξάνονται το πλήθος και οι εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών. Επιπλέον, το πλήθος των στόχων αλλά και το πλήθος των περιορισμών δυσχεραίνουν ακόμα περισσότερο την εύρεση βέλτιστης ή ακόμα και απλώς μιας εφικτής λύσης στο πρόβλημα. Η προσέγγιση της παρούσας εργασίας αποσκοπεί στην μοντελοποίηση του παραπάνω προβλήματος με χρήση μιας ενιαίας αντικειμενικής συνάρτησης. Η συνάρτηση αυτή ενσωματώνει τους πολλαπλούς στόχους και περιορισμούς του προβλήματος, ώστε η επίλυσή του να μπορεί εύκολα να αντιμετωπιστεί από γενικότερες μεθόδους βελτιστοποίησης, οι οποίες εφαρμόζονται σε προβλήματα με ένα μόνο κριτήριο. Το προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης παρουσιάζεται λεπτομερώς στην επόμενη ενότητα ΤΟ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Στην προηγούμενη ενότητα περιγράφηκε λεπτομερώς το πρόβλημα που πρόκειται να αντιμετωπιστεί στο πλαίσιο της παρούσας ερευνητικής προσπάθειας και καταγράφηκαν οι μαθηματικές σχέσεις που το περιγράφουν. Πρόκειται για ένα πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων τα οποία γενικώς είναι αλληλοαναιρούμενα Η δυσκολία του προβλήματος εντοπίζεται κατά ένα μεγάλο μέρος στον τρόπο αποτελεσματικού συνδυασμού αυτών των κριτηρίων. Για την αντιμετώπιση αυτής της δυσκολίας, προτείνεται η χρήση ενός μοντέλου βελτιστοποίησης το οποίο συνδυάζει τους επιμέρους στόχους σε μία ενιαία αντικειμενική συνάρτηση, απλοποιώντας σημαντικά την πορεία της βελτιστοποίησης.

51 48 Κεντρική ιδέα του προτεινόμενου μοντέλου είναι η συγχώνευση όλων των στόχων βελτιστοποίησης του προβλήματος ((Σχ. 5.1) έως (Σχ. 5.3)) σε μία ενιαία αντικειμενική συνάρτηση. Για το σκοπό αυτό, κάθε επιμέρους στόχος του προβλήματος εκφράζεται ως μια συνάρτηση κόστους, οι τιμές της οποίας αυξάνονται με την αύξηση της απόκλισης της προτεινόμενης λύσης από την ιδανική τιμή του αντίστοιχου στόχου. Ανάλογα με τη σημασία του εκάστοτε στόχου, ο προγραμματιστής του έργου ορίζει το κόστος της μοναδιαίας απόκλισης από την επιθυμητή τιμή για τον συγκεκριμένο στόχο. Το κόστος αυτό μπορεί να αντιστοιχεί σε κάποιο πραγματικό επιπλέον κόστος, το οποίο οφείλεται στην απόκλιση της λύσης από τον συγκεκριμένο στόχο, όπως εξηγείται και παρακάτω. Με τον τρόπο αυτό, όλα τα κριτήρια βελτιστοποίησης ανάγονται σε επιμέρους συναρτήσεις κόστους. Παρομοίως, ορισμένοι από τους περιορισμούς, όπως η μη υπέρβαση των διαθέσιμων πόρων ή της προθεσμίας ολοκλήρωσης, μπορούν επίσης να εκφραστούν ως συναρτήσεις κόστους, μέσω επιβολής ποινής ανά μονάδα υπέρβασης του αντίστοιχου ορίου. Με τον τρόπο αυτό, ο περιορισμός μετατρέπεται αυτόματα σε στόχο προς βελτιστοποίηση (soft constraint), γεγονός που συνεπάγεται ότι ένα πιθανό χρονοδιάγραμμα το οποίο παραβιάζει τον περιορισμό αυτόν θα είναι αποδεκτό, αλλά θα οδηγεί σε αύξηση του ενιαίου κόστους του έργου. Η μετατροπή αυτή ορισμένων εκ των περιορισμών σε κριτήρια βελτιστοποίησης ανταποκρίνεται καλύτερα στα δεδομένα των πραγματικών προβλημάτων, καθώς σε πολλές περιπτώσεις πολλά από τα δεδομένα του προβλήματος, όπως πχ. ο περιορισμός της διαθεσιμότητας πόρων είναι εν δυνάμει μεταβλητά. Για παράδειγμα, σε ορισμένες περιπτώσεις συμφέρει περισσότερο να ευρεθεί κάποιος τρόπος ώστε να αυξηθεί η διαθεσιμότητα ενός τύπου πόρων για ένα χρονικό διάστημα, παρά να καθυστερήσουν λόγω έλλειψης διαθεσιμότητας οι αντίστοιχες εργασίες και κατά συνέπεια το σύνολο του έργου. Με άλλα λόγια, μια λύση που υπό τις παρούσες συνθήκες θα ήταν μη αποδεκτή λόγω παραβίασης της διαθεσιμότητας των πόρων, τίθεται υπό αξιολόγηση με τον τρόπο αυτόν και βοηθά τον διαχειριστή στη λήψη της βέλτιστης απόφασης. Συνεπώς, η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης για το πρόβλημα προσανατολίζεται στην ελαχιστοποίηση μιας αθροιστικής συνάρτησης κόστους, η οποία συμπεριλαμβάνει όλους τους στόχους αλλά και τους περιορισμούς του προβλήματος. Η πορεία σχηματισμού της ενιαίας αντικειμενικής συνάρτησης κόστους περιγράφεται παρακάτω.

52 49 Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος προκύπτει ως άθροισμα ενός συνόλου συναρτήσεων κόστους. Κάθε μία από τις επιμέρους συναρτήσεις αντιστοιχεί σε έναν από τους στόχους ή τους περιορισμούς του προβλήματος. Οι συναρτησιακές σχέσεις που θα εκφραστούν στη συνέχεια υιοθετούν τα σύμβολα του μαθηματικού μοντέλου του προβλήματος που περιγράφονται στην ενότητα Στόχος 1 ος : Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους εκτέλεσης του έργου Ο στόχος αυτός αφορά την διατήρηση στο χαμηλότερο δυνατό επίπεδο του συνολικού άμεσου κόστους του έργου (Σχ. 5.2). Ως άμεσο κόστος θεωρείται το κόστος που συνδέεται με την εκτέλεση των δραστηριοτήτων και περιλαμβάνει κατά βάση το κόστος απόκτησης / χρήσης των απαιτούμενων πόρων. Το κόστος εκτέλεσης μιας δραστηριότητας ισούται με το κόστος χρήσης των πόρων που απαιτούνται για την εκτέλεσή της. Επομένως, το συνολικό άμεσο κόστος του έργου προκύπτει ως άθροισμα του κόστους εκτέλεσης όλων των δραστηριοτήτων του έργου. Η συνάρτηση που υπολογίζει το συνολικό άμεσο κόστος του έργου είναι η εξής: Άμεσο Κόστος: (Σχ. 5.10). Στην σχέση αυτή, υπενθυμίζεται ότι είναι το κόστος του πόρου ανά μονάδα και ανά χρονική περίοδο χρήσης, είναι το πλήθος των μονάδων πόρου που απαιτεί η εργασία όταν εκτελείται με τον εναλλακτικό τρόπο και είναι η αντίστοιχη διάρκεια της εργασίας όταν εκτελείται με τον εναλλακτικό τρόπο Στόχος 2ος : Ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας του έργου Αναζητείται ο κατάλληλος συνδυασμός τρόπων εκτέλεσης και χρονικού προγραμματισμού των δραστηριοτήτων ώστε να προκύπτει η κατά το δυνατόν μικρότερη διάρκεια του έργου (Σχ. 5.1). Η επίδραση της διάρκειας του έργου εισάγεται στο μοντέλο μέσω μιας συνάρτησης έμμεσου κόστους. Το έμμεσο κόστος του έργου, το οποίο γενικά

53 50 αποτελεί και πραγματικό κόστος (όπως πχ. διατήρησης εργοταξίου) είναι ανάλογο της συνολικής διάρκειας και περιγράφεται ως εξής: Έμμεσο Κόστος: (Σχ. 5.11). Στη σχέση αυτή, είναι το πάγιο κόστος ανά χρονική περίοδο εκτέλεσης του έργου (πχ. / ημέρα) και είναι η συνολική διάρκεια του έργου, δηλαδή σύμφωνα με το μαθηματικό μοντέλο της προηγούμενης ενότητας. Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση, το έμμεσο κόστος του έργου αυξάνεται όσο αυξάνεται και η συνολική διάρκεια. Άμεση σχέση με την ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας του έργου έχει και η επιδίωξη ολοκλήρωσής του εντός συγκεκριμένης προθεσμίας. Σε ορισμένες περιπτώσεις πραγματικών έργων, ο κατασκευαστής οφείλει να αποζημιώσει τον κύριο του έργου σε περίπτωση καθυστέρησης πέραν της προσυμφωνημένης προθεσμίας και το ποσό της αποζημίωσης είναι ανάλογο της καθυστέρησης. Αντίστοιχα, σε άλλες περιπτώσεις, η ολοκλήρωση του έργου νωρίτερα της προθεσμίας συνεπάγεται επιπλέον κέρδος για τον κατασκευαστή (μπόνους ταχείας ολοκλήρωσης). Στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας δε λαμβάνεται υπόψη η περίπτωση του μπόνους ταχύτερης ολοκλήρωσης αλλά μόνο η περίπτωση αποζημίωσης λόγω καθυστερημένης ολοκλήρωσης. Επομένως, ο περιορισμός της (Σχ. 5.7) εισάγεται στο μοντέλο βελτιστοποίησης ως επιμέρους στόχος, μέσω μιας συνάρτησης κόστους που οφείλεται στην καθυστερημένη παράδοση του έργου. Η συνάρτηση αυτή παίρνει της εξής μορφή: Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος: (Σχ. 5.12). Στην σχέση αυτή, ως συμβολίζεται η συνολική διάρκεια του έργου, ως συμβολίζεται ο προκαθορισμένος χρόνος ολοκλήρωσης (προθεσμία) και ως συμβολίζεται το κόστος επιβάρυνσης ανά μονάδα χρόνου υπέρβασης. Όπως φαίνεται από

54 51 τη σχέση, στην περίπτωση που το έργο ολοκληρωθεί εντός της προθεσμίας, το κόστος αυτό είναι μηδενικό. Αν θέλαμε να ενσωματώσουμε την περίπτωση μπόνους ταχείας ολοκλήρωσης, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε στην περίπτωση έναν όρο αρνητικού κόστους, όπου θα ήταν ίσο με τo ύψος του μπόνους ανά χρονική περίοδο επιτάχυνσης του έργου ή απλώς έναν όρο εάν το μπόνους ήταν σταθερό Στόχος 3 ος : Ελαχιστοποίηση των μεταβολών στο ιστόγραμμα χρήσης πόρων Είναι γενικώς επιθυμητό να διατηρούνται στο ελάχιστο οι μεταβολές στη χρήση των πόρων σε όλη τη διάρκεια του έργου. Ιδανικό θα ήταν το ιστόγραμμα χρήσης πόρων να έχει ορθογώνιο σχήμα και η χρήση των πόρων να διατηρείται σταθερή από την αρχή ως το τέλος του έργου. Ωστόσο, κάτι τέτοιο σπανίως είναι ρεαλιστικό, καθώς οι διαφορές στο είδος των εργασιών που συνθέτουν ένα τυπικό έργο επιφέρουν υποχρεωτικά αλλαγές στο χώρο, τα υλικά, τον εξοπλισμό και τους εργαζομένους που χρειάζονται. Σε μία προσπάθεια διατήρησης της χρήσης κάθε πόρου σε περίπου σταθερά επίπεδα, προτείνεται μια συνάρτηση κόστους ανάλογη του πλήθους των απόλυτων μεταβολών στη χρήση πόρων μεταξύ διαδοχικών χρονικών περιόδων σε όλη τη διάρκεια εκτέλεσης του έργου. Με άλλα λόγια, κάθε μονάδα αύξησης ή μείωσης της συνολικής απαίτησης ενός πόρου μεταξύ διαδοχικών χρονικών περιόδων (πχ, από την πρώτη στη δεύτερη ημέρα, από την δεύτερη στην τρίτη κλπ.) οδηγεί στην αύξηση του κόστους μεταβολής πόρων, το οποίο υπολογίζεται για το σύνολο του έργου ως εξής: Κόστος Μεταβολής Πόρων: (Σχ. 5.13). Η διαφορά που εισάγεται εντός συμβόλου απολύτων τιμών αντιστοιχεί στη μεταβολή της συνολικής χρήσης πόρων μεταξύ διαδοχικών χρονικών περιόδων και. Υπενθυμίζεται ότι είναι η απαίτηση της εργασίας σε πόρους τύπου όταν αυτή

55 52 εκτελείται με τον εναλλακτικό τρόπο και είναι η συνάρτηση της (Σχ. 5.5) η οποία παίρνει τιμή 1 αν η εργασία είναι σε εξέλιξη τη χρονική στιγμή και 0 στην αντίθετη περίπτωση. Ο δεύτερος όρος του γινομένου είναι η σταθερά, η οποία παριστάνει το προκαθορισμένο κόστος που αναλογεί σε μεταβολή του πόρου (αύξηση ή μείωση) κατά μία μονάδα Στόχος 4 ος : Ελαχιστοποίηση υπερβάσεων διαθεσιμότητας πόρων Ο περιορισμός της διαθεσιμότητας πόρων που περιγράφεται κατά τον ορισμό του προβλήματος με τη (Σχ. 5.6) μετατρέπεται επίσης σε μία συνάρτηση κόστους προς ελαχιστοποίηση, συνεπώς η παραβίαση του περιορισμού διαθεσιμότητας οδηγεί σε επιβάρυνση της αντικειμενικής συνάρτησης (soft constrain). Η θεώρηση μιας συνάρτησης κόστους που αντιστοιχεί σε υπέρβαση της διαθεσιμότητας πόρων εισάγει στο μοντέλο ένα πιθανώς πραγματικό κόστος που χρειάζεται να δαπανηθεί για την απόκτηση επιπλέον πόρων για ένα χρονικό διάστημα (πχ. κόστος πρόσληψης εποχικού προσωπικού ή κόστος ενοικίασης επιπλέον μηχανημάτων). Με την θεώρηση μιας ρεαλιστικής τιμής για το κόστος απόκτησης επιπλέον πόρων, μια πιθανή λύση που απαιτεί πόρους περισσότερους από τους διαθέσιμους θα τεθεί υπό αξιολόγηση μαζί με τις υπόλοιπες και δεν θα αποκλειστεί ως μη εφικτή από τον αλγόριθμο αναζήτησης λύσεων. Έτσι, η αξιολόγησή της βάσει του ενιαίου κόστους μπορεί να την αναδείξει ως πιο συμφέρουσα από άλλη, η οποία μπορεί μεν να υπακούει στους περιορισμούς διαθεσιμότητας πόρων αλλά χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερο συνολικό κόστος λόγω πχ. μεταβλητότητας πόρων ή αυξημένης διάρκειας έργου. Η σχέση που ορίζει το επιμέρους κόστος λόγω υπέρβασης της διαθεσιμότητας πόρων είναι η εξής: Κόστος Υπέρβασης Πόρων: (Σχ. 5.14).

56 53 Στην εξίσωση αυτή, είναι η απαίτηση της εργασίας σε πόρους τύπου όταν η εργασία εκτελείται με τον εναλλακτικό τρόπο, είναι η συνάρτηση που ορίζεται από τη (Σχ. 5.5), είναι η διαθεσιμότητα του πόρου ανά χρονική περίοδο και είναι το μοναδιαίο κόστος απόκτησης / χρήσης του πόρου. Η παραπάνω συνάρτηση αποδίδει το συνολικό επιπλέον κόστος που θα επιβαρύνει το έργο για την χρήση πόρων επιπλέον της αντίστοιχης διαθεσιμότητας, υπολογισμένο για όλους τους τύπους πόρων. Συγκεκριμένα, η παραπάνω συνάρτηση λειτουργεί ως εξής: Υπολογίζει το σύνολο των απαιτήσεων για κάθε πόρο σε κάθε χρονική περίοδο και αν το σύνολο αυτό υπερβαίνει την αντίστοιχη διαθεσιμότητα της περιόδου, υπολογίζει το πλήθος των επιπρόσθετων πόρων που απαιτούνται για τη συγκεκριμένη περίοδο. Στη συνέχεια αθροίζεται το σύνολο των απαιτούμενων πόρων σε όλη τη διάρκεια του έργου και το άθροισμα πολλαπλασιάζεται με το αντίστοιχο κόστος απόκτησης πόρου. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλους τους τύπους πόρων και υπολογίζεται ένα συνολικό κόστος υπέρβασης πόρων. Επομένως, η τελική αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος είναι εξής: (Σχ. 5.15). Ελαχιστοποίηση : Με την παραπάνω μοντελοποίηση, το πρόβλημα πολλαπλών στόχων μετατρέπεται σε πρόβλημα βελτιστοποίησης ενός μόνο στόχου. Το μοντέλο αυτό αποτελεί το αντικείμενο διερεύνησης της παρούσας εργασίας και χρησιμοποιείται στη συνέχεια για τον χρονοπρογραμματισμό ενός συνόλου μικρών προβλημάτων έργων. Η χρήση του μοντέλου προϋποθέτει την επιλογή των κατάλληλων τιμών για τα επιμέρους κόστη που υπεισέρχονται στις παραπάνω σχέσεις. Ο καθορισμός των τιμών αυτών, που αποτελούν και τις βασικές παραμέτρους του προβλήματος, γίνεται πριν την εκκίνηση της βελτιστοποίησης και καθορίζει τη βαρύτητα που επιθυμεί να αποδώσει ο προγραμματιστής του έργου στον εκάστοτε στόχο. Είναι λογικό ότι μεγάλες τιμές των επιμέρους τιμών μοναδιαίου κόστους που συνδέονται με έναν από τους παραπάνω στόχους αποδίδουν στον αντίστοιχο στόχο μεγάλη βαρύτητα και κατά συνέπεια η αναζήτηση των λύσεων κατευθύνεται προς την ελαχιστοποίηση αυτού σε βάρος των υπολοίπων. Για παράδειγμα, αν τεθεί αρκετά μεγαλύτερο από το, είναι πιθανότερο οι αλγόριθμοι

57 54 αναζήτησης της βέλτιστης λύσης να προσανατολιστούν σε λύσεις με λίγες υπερβάσεις του πόρου σε σύγκριση με τις παρατηρούμενες μεταβολές στη χρήση του πόρου. Με άλλα λόγια, είναι πιθανότερο να εντοπιστούν λύσεις με μικρότερο σε σύγκριση με το καθώς με τον τρόπο αυτό η συνάρτηση θα λάβει μικρότερη τιμή ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Η εφαρμογή του μοντέλου που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα συνοδεύεται από περιορισμούς και παραδοχές που έχουν τεθεί ήδη από τον ορισμό του προβλήματος. Οι περιορισμοί αυτοί καταγράφονται συνοπτικά στην παρούσα ενότητα. Περιορισμοί Σχέσεων διαδοχής εργασιών: Εφικτές θεωρούνται οι λύσεις του προβλήματος για τις οποίες οι προτεραιότητες των εργασιών δεν παραβιάζονται. Αναλόγως του τύπου της κάθε σχέσης, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισμοί των (Σχ. 5.9). Κάθε εργασία εκτελείται με έναν μόνο εναλλακτικό τρόπο από ένα σύνολο πιθανών τρόπων εκτέλεσης, ο οποίος καθορίζει τη διάρκεια και τις απαιτήσεις της εργασίας σε πόρους (για κάθε που λαμβάνονται υπόψη κατά τον προγραμματισμό Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν τμηματικά. Αυτό σημαίνει ότι δεν επιτρέπεται διακοπή των εργασιών μετά την εκκίνησή τους. Οι εργασίες καταναλώνουν πόρους με σταθερό ρυθμό ίσο με για όλη τη διάρκειά τους. Επίσης όλοι οι πόροι θεωρείται ότι έχουν την ίδια ακριβώς παραγωγικότητα. Οι εργασίες θεωρείται ότι μπορούν να ξεκινήσουν μόνο σε ακέραιες τιμές χρόνου (χρονικές περιόδους). Επίσης οι διάρκειες των εργασιών, οι απαιτήσεις σε πόρους και όλες οι τιμές των παραμέτρων θεωρείται ότι παίρνουν μόνο ακέραιες τιμές. Έχουμε επομένως την περίπτωση του διακριτού προβλήματος αντιστάθμισης χρόνου-κόστους-πόρων. Το έργο θεωρείται ότι ξεκινάει πάντα τη χρονική περίοδο (πχ. ημέρα ή εβδομάδα κλπ.). Επομένως, αν μια εργασία έχει διάρκεια πχ. 4 μονάδες και αρχίζει τη χρονική στιγμή 0, θα έχει χρόνο λήξης ίσο με 4 αλλά αυτό θα σημαίνει

58 55 ότι η εργασία αυτή εκτελείται κατά τις χρονικές περιόδους 0, 1, 2 και 3. Επομένως, ο χρόνος λήξης δηλώνει τη χρονική περίοδο στην οποία η εκτέλεση της εργασίας θα έχει ολοκληρωθεί.

59 56 6. ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Το μοντέλο βελτιστοποίησης που προτείνεται στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας εφαρμόζεται και αξιολογείται σε ένα σύνολο αριθμητικών προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού έργων, τα οποία στο εξής θα αναφέρονται ως «Παραδείγματα». Κάθε Παράδειγμα επιλύεται με ένα σύνολο διαφορετικών συνδυασμών τιμών των παραμέτρων του μοντέλου (περιπτώσεις). Στόχος είναι να ελεγχθεί η ποιότητα των λύσεων που προκύπτουν σε σχέση με τους προκαθορισμένους στόχους και να διαπιστωθεί η ικανότητα του προτεινόμενου μοντέλου να διακρίνει τις κατά περίπτωση βέλτιστες λύσεις. Κάθε περίπτωση επίλυσης ενός Παραδείγματος συνίσταται στον καθορισμό των τιμών των επιμέρους παραμέτρων του μοντέλου και στην επιλογή της μεθόδου βελτιστοποίησης που θα εφαρμοστεί. Ο καθορισμός των βασικών παραμέτρων του μοντέλου σχετίζεται με το είδος και τη βαρύτητα που αντιστοιχίζεται σε κάθε στόχο από τον προγραμματιστή του έργου. Με άλλα λόγια, οι τιμές που θα ορίσει ο προγραμματιστής στα επιμέρους κόστη σχετίζονται με τη σημασία που αποδίδει σε κάθε επιμέρους στόχο συγκριτικά με τους υπόλοιπους. Για όλες τις περιπτώσεις όλων των Παραδειγμάτων που εξετάζονται, η επίλυση γίνεται με δύο διαφορετικές μεθόδους: Με εφαρμογή Γενετικών Αλγορίθμων με χρήση του λογισμικού Evolver 7, το οποίο λειτουργεί ως πρόσθετο στο λογισμικό Microsoft Excel Με εφαρμογή Αλγορίθμου Αρμονικής Αναζήτησης, ο οποίος προγραμματίζεται από την αρχή σε περιβάλλον του λογισμικού Matlab Τα αποτελέσματα των επιλύσεων χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας του προτεινόμενου μοντέλου αλλά και για την σύγκριση και αξιολόγηση των δύο μεθόδων βελτιστοποίησης που εφαρμόζονται. Στις επόμενες δύο ενότητες περιγράφονται συνοπτικά οι δύο βασικές μέθοδοι βελτιστοποίησης και καταγράφεται η διαδικασία εφαρμογής τους στα αριθμητικά προβλήματα.

60 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ Εισαγωγή Η πρώτη μέθοδος που εφαρμόζεται για τη βελτιστοποίηση των προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού της παρούσας εργασίας είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι. Η βιβλιογραφία του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού έργων είναι πλούσια σε εργασίες που αξιοποιούν γενετικούς Αλγορίθμους για βέλτιστο χρονοπρογραμματισμό και τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικά. Στο πλαίσιο της παρούσας, η εφαρμογή της μεθόδου των Γενετικών Αλγορίθμων γίνεται με χρήση του λογισμικού Evolver 7. Στη ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν οι βασικές αρχές λειτουργίας της μεθόδου των Γενετικών Αλγορίθμων και στη συνέχεια θα περιγραφεί ο τρόπος λειτουργίας του λογισμικού αυτού και η διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυση των αριθμητικών παραδειγμάτων Γενετικοί Αλγόριθμοι Η εξελικτική λογική Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι (GΑ) αποτελούν μια κατηγορία αλγορίθμων οι οποίοι, βασιζόμενοι στην θεωρία της βιολογικής εξέλιξης των ειδών, στοχεύουν την εύρεση λύσεων σε δύσκολα προβλήματα και σε προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Μέσω διαδοχής των γενεών, οι πληθυσμοί των βιολογικών ειδών εξελίσσονται σύμφωνα με τις αρχές της φυσικής επιλογής και της επιβίωσης του ικανότερου που εκφράστηκαν με σαφήνεια στο βιβλίο του C. Darwin «Η καταγωγή των ειδών» ( The Origin of Species ). Μιμούμενοι αυτή τη συμπεριφορά, οι Γενετικοί Αλγόριθμοι είναι προορισμένοι ώστε να «εξελίξουν» λύσεις ενός προβλήματος μέσα σε έναν πληθυσμό πιθανών λύσεων εφαρμόζοντας καθορισμένες διεργασίες και μέσα από τη διαδοχή των γενεών να αναδείξουν τις «καλές» λύσεις σε πραγματικά προβλήματα βελτιστοποίησης. Οι πρώτοι γενετικοί αλγόριθμοι αναπτύχθηκαν από τον John Holland στις αρχές της δεκαετίας του 1970, στο Πανεπιστήμιο του Michigan, με τον καθορισμό των θεμελιωδών αρχών λειτουργίας τους. Από τότε μεγάλο πλήθος ερευνητών μελέτησαν, επέκτειναν και βελτίωσαν τις βασικές διαδικασίες των γενετικών αλγορίθμων και εφάρμοσαν τη μέθοδο σε προβλήματα διαφόρων ειδών.

61 58 Στην πράξη, οι γενετικοί αλγόριθμοι επιχειρούν να αναπαράγουν σε ένα σύνολο τυχαίων πιθανών λύσεων ενός προβλήματος τις βασικές διεργασίες που είναι απαραίτητες για την φυσική εξέλιξη των πληθυσμών. Στη φύση, τα άτομα ενός πληθυσμού ανταγωνίζονται μεταξύ τους για πόρους όπως η τροφή, το νερό και το καταφύγιο. Επίσης, τα μέλη του ίδιου είδους συχνά ανταγωνίζονται για να προσελκύσουν ταίρι. Τα άτομα του πληθυσμού που θεωρούνται περισσότερο επιτυχή στις διαδικασίες της επιβίωσης και της προσέλκυσης συντρόφου, θα παράγουν συγκριτικά μεγαλύτερο αριθμό απογόνων. Άτομα με λιγότερες επιδόσεις στις παραπάνω διεργασίες θα παράγουν λιγότερους ή και καθόλου απογόνους. Αυτό σημαίνει ότι τα γονίδια των ικανότερων (fittest), ή ισχυρά προσαρμοσμένων στο περιβάλλον ατόμων θα διαμοιράζονται σε έναν αυξανόμενο αριθμό ατόμων του πληθυσμού κατά τη διαδοχή των γενεών. Ο συνδυασμός καλών χαρακτηριστικών από διαφορετικούς προγόνους μπορεί μερικές φορές να παράγει εξαιρετικούς απογόνους, με ικανότητα μεγαλύτερη από αυτή και των δύο γονέων. Με αυτόν τον τρόπο, τα είδη εξελίσσονται ώστε να προσαρμόζονται όλο και καλύτερα στο περιβάλλον τους. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι εφαρμόζουν μια ευθεία αναλογία της παραπάνω βιολογικής συμπεριφοράς. Διαχειρίζονται έναν πληθυσμό ατόμων, κάθε ένα από τα οποία είναι μια πιθανή λύση σε ένα δεδομένο πρόβλημα. Κάθε άτομο χαρακτηρίζεται από μια τιμή ικανότητας (fitness score) ανάλογα με το πόσο καλή είναι η αντίστοιχη λύση για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Για παράδειγμα, η ικανότητα μιας λύσης στο πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού έργων που εξετάζουμε είναι η τιμή του ενιαίου κόστους της (Σχ. 5.15), το οποίο θέλουμε να ελαχιστοποιείται. Τα άτομα με υψηλά επίπεδα ικανότητας επιλέγονται με μεγαλύτερη πιθανότητα για να «αναπαραχθούν», μέσω «διασταύρωσης» με άλλα άτομα του πληθυσμού. Η διαδικασία αυτή παράγει «απογόνους» που μοιράζονται χαρακτηριστικά που προέρχονται από καθέναν από τους δύο «γονείς». Ένας ολόκληρος καινούριος πληθυσμός πιθανών λύσεων παράγεται μέσω επιλογής των «καλύτερων» ατόμων του τρέχοντος πληθυσμού και διασταύρωσης μεταξύ τους. Αυτή η νέα γενιά περιλαμβάνει μεγαλύτερη αναλογία των χαρακτηριστικών που είχαν τα «καλύτερα» μέλη της προηγούμενης γενιάς. Με τον τρόπο αυτό, μετά από πολλές γενιές, τα καλά χαρακτηριστικά διαμοιράζονται στον πληθυσμό, αναμειγνύονται και αντικαθίστανται από άλλα καλύτερα. Ευνοώντας την αναπαραγωγή των ικανότερων ατόμων εξερευνώνται οι πιο υποσχόμενες περιοχές του χώρου αναζήτησης λύσεων. Αν ο

62 59 Γενετικός Αλγόριθμος σχεδιαστεί σωστά, ο πληθυσμός θα συγκλίνει σε κάποια βέλτιστη λύση για το πρόβλημα. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι, όπως και γενικότερα οι εξελικτικές μέθοδοι, δεν μπορούν να εγγυηθούν ότι θα εντοπίσουν την βέλτιστη λύση σε κάθε πρόβλημα, αλλά είναι γενικά αποδοτικοί στην εύρεση «αποδεκτά καλών» λύσεων σε προβλήματα «αποδεκτά γρήγορα». Επομένως, η μέθοδος είναι προσεγγιστική και έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα υποσχόμενη ως προς την εύρεση ικανοποιητικών λύσεων σε πραγματικά προβλήματα, για τα οποία δεν υπάρχει καμία εξειδικευμένη μέθοδος επίλυσης Οι βασικές αρχές της μεθόδου Πριν την εκτέλεση ενός Γενετικού Αλγορίθμου, είναι απαραίτητο να σχηματιστεί μια κατάλληλη κωδικοποίηση για το πρόβλημα που επιχειρείται να επιλυθεί καθώς και να διατυπωθεί μια αντικειμενική συνάρτηση που να αξιολογεί την ποιότητα κάθε κωδικοποιημένης λύσης. Η αξιολόγηση θα διευκολύνει την επιλογή αυτών που θα αναπαραχθούν για την παραγωγή απογόνων και θα καθορίσει και την εισαγωγή ή μη των απογόνων στο νέο πληθυσμό. Η κωδικοποίηση του προβλήματος περιλαμβάνει την αναπαράσταση μιας πιθανής λύσης από ένα σύνολο μεταβλητών. Οι μεταβλητές αυτές, οι οποίες καλούνται γονίδια συνδέονται μεταξύ τους ώστε να σχηματίσουν ακολουθίες τιμών, γνωστές ως χρωμοσώματα. Πολλοί ερευνητές θεωρούν ότι ιδανικό είναι οι τιμές των μεταβλητών να εκφράζονται σε δυαδική μορφή. Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος αποτελεί ένα μέτρο ποιότητας για την αξιολόγηση των λύσεων του υπό μελέτη προβλήματος. Με δεδομένο ένα οποιοδήποτε χρωμόσωμα, η αντικειμενική συνάρτηση θα πρέπει να υπολογίζει μια αριθμητική τιμή της «ικανότητας» της λύσης που αντιπροσωπεύει το συγκεκριμένο χρωμόσωμα. Σε ορισμένα προβλήματα, η αντικειμενική συνάρτηση αφορά ένα εντελώς συγκεκριμένο φυσικό μέγεθος του προβλήματος (μήκος, χρόνος, κόστος κλπ.) ενώ σε άλλα, ιδιαίτερα στα συνδυαστικά προβλήματα πολλαπλών στόχων βελτιστοποίησης, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να είναι ένας συνδυασμός μεγεθών. Κατά τη φάση της αναπαραγωγής του Γενετικού Αλγορίθμου, άτομα του πληθυσμού επιλέγονται και συνδυάζονται, παράγοντας τους απογόνους που θα συνθέσουν τον

63 60 πληθυσμό της επόμενης γενιάς. Οι γονείς επιλέγονται τυχαία από τον πληθυσμό, χρησιμοποιώντας όμως κάποιο σχήμα που ευνοεί την επιλογή ικανότερων ατόμων, δηλαδή ατόμων με συγκριτικά «καλές» τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης. Τα «καλά» άτομα πιθανότατα θα επιλεχθούν πολλές φορές για αναπαραγωγή ενώ άλλα λιγότερο «καλά» θα επιλεχθούν σπάνια ή και καθόλου. Έχοντας επιλέξει ένα ζευγάρι γονέων, τα χρωμοσώματά τους ανασυνδυάζονται, χρησιμοποιώντας γενικώς τις διαδικασίες της Διασταύρωσης και Μετάλλαξης. Η βασική μορφή των διαδικασιών αυτών είναι η εξής: Διασταύρωση: Τα χρωμοσώματα των δύο γονέων διασπώνται σε τυχαία επιλεγόμενο σημείο, δημιουργώντας δύο τμήματα «κεφαλής» και δύο τμήματα «ουράς». Στη συνέχεια τα τμήματα ουράς ανταλλάσουν θέσεις ώστε να σχηματιστούν δύο πλήρη νέα χρωμοσώματα. Οι δύο απόγονοι κληρονομούν κάποια χαρακτηριστικά από κάθε γονέα. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως «διασταύρωση μονού σημείου». Η διασταύρωση δεν εφαρμόζεται συνήθως σε όλα τα ζευγάρια των ατόμων που επιλέχθηκαν για αναπαραγωγή. Μια τυχαία διαδικασία επιλογής καθορίζει αν θα εφαρμοστεί διασταύρωση ή όχι με πιθανότητα εφαρμογής που συνήθως κυμαίνεται από 0,6 έως 1,0. Εάν η διασταύρωση δεν εφαρμοστεί, οι απόγονοι παράγονται απλώς με αντιγραφή των χρωμοσωμάτων των δύο γονέων. Αυτή η διαδικασία δίνει σε κάθε άτομο τη δυνατότητα να περάσει τα γονίδιά του στην επόμενη γενιά χωρίς μεταβολές λόγω διασταύρωσης. Μετάλλαξη: Κάθε άτομο που παράγεται μετά τη διασταύρωση υφίσταται μετάλλαξη. Η διεργασία αυτή διαφοροποιεί τυχαία με πολύ μικρή πιθανότητα (τυπικά 0,001) κάθε γονίδιο του χρωμοσώματος. Η παραδοσιακή οπτική είναι ότι η διεργασία της διασταύρωσης είναι η πιο σημαντική από τις δύο τεχνικές για την γρήγορη εξερεύνηση του χώρου των λύσεων. Η μετάλλαξη παρέχει ένα μικρό ποσοστό τυχαίας αναζήτησης και εξασφαλίζει ότι κανένα σημείο του χώρου αναζήτησης λύσεων δεν θα έχει μηδενική πιθανότητα να εξεταστεί. Εάν ο Γενετικός Αλγόριθμος έχει εφαρμοστεί σωστά, ο πληθυσμός θα εξελιχθεί από γενιά σε γενιά ώστε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του καλύτερου και του μέσου ατόμου κάθε πληθυσμού να προσεγγίζουν την καθολικά βέλτιστη. Ως σύγκλιση αναφέρεται η προοδευτική προσέγγιση του πληθυσμού προς την ομοιομορφία. Ένα

64 61 γονίδιο λέγεται ότι έχει συγκλίνει όταν 95% του πληθυσμού των χρωμοσωμάτων έχει για το γονίδιο αυτό την ίδια τιμή Δομή Γενετικού Αλγορίθμου Σύμφωνα με τα παραπάνω, η βασική λειτουργική δομή του τυπικού Γενετικού Αλγορίθμου κωδικοποιείται σε βήματα ως εξής: ΑΡΧΗ Γενετικού Αλγορίθμου 1. Δημιουργία τυχαίου αρχικού πληθυσμού πιθανών λύσεων (χρωμοσωμάτων) 2. Υπολογισμός τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης κάθε χρωμοσώματος 3. Όσο μια συνθήκη τερματισμού δεν ικανοποιείται επαναλαμβάνονται: 3.1. Για αριθμό επαναλήψεων ίσο με το ½ του μεγέθους του πληθυσμού επαναλαμβάνονται: Αναπαραγωγικός κύκλος: Επιλογή δύο ατόμων της προηγούμενης γενιάς για αναπαραγωγή. (Προτιμούνται άτομα με καλύτερες τιμές αντικειμενικής συνάρτησης) Αναπαραγωγή των δύο ατόμων για τη δημιουργία απογόνων μέσω των διαδικασιών: Α) Διασταύρωσης Β) Μετάλλαξης Υπολογισμός αντικειμενικής συνάρτησης των απογόνων Απόφαση για εισαγωγή ή όχι των απογόνων στον νέο πληθυσμό 3.2. Έλεγχος σύγκλισης πληθυσμού ή άλλης συνθήκης τερματισμού 4. Επιστροφή αποτελέσματος: Το χρωμόσωμα του πληθυσμού της τελευταίας γενιάς με την «καλύτερη» τιμή αντικειμενικής συνάρτησης (ελάχιστη ή μέγιστη) ΤΕΛΟΣ

65 Βελτιστοποίηση με το Evolver Γενικά Το Evolver 7 λειτουργεί σαν πρόσθετο εργαλείο (add-in) στο περιβάλλον λειτουργίας του Microsoft Excel. Είναι ένα εργαλείο προγραμματισμένο ώστε να εφαρμόζει Γενετικούς Αλγορίθμους για την αναζήτηση και τον εντοπισμό βέλτιστων λύσεων σε ντετερμινιστικά προβλήματα, δηλαδή σε προβλήματα όπου τα δεδομένα και οι μεταβλητές δεν εμπεριέχουν αβεβαιότητες που θα πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά την επίλυση. Η λειτουργία του προϋποθέτει την προετοιμασία ενός φύλλου εργασίας Excel στο οποίο χτίζεται ένα μοντέλο του προβλήματος με τις μεταβλητές εισόδου και την αντικειμενική συνάρτηση να αντιστοιχίζονται σε καθορισμένα κελιά. Η χρήση του λογισμικού στο πλαίσιο της εργασίας αποσκοπεί αφενός στην αξιοποίηση των Γενετικών Αλγορίθμων που αποτελούν μια από τις πιο δημοφιλείς εξελικτικές μεθόδους βελτιστοποίησης που έχουν εφαρμοστεί στη βιβλιογραφία για το χρονοπρογραμματισμό έργων, αφετέρου όμως επιδιώκει να περιγράψει την απαιτούμενη διαδικασία και να ελέγξει την αποτελεσματικότητα του εργαλείου στην αντιμετώπιση ενός πραγματικού προβλήματος βελτιστοποίησης που συναντάται σε πολλούς τομείς του βιομηχανικού και επιχειρησιακού τομέα Το φύλλο εργασίας Πρώτο βήμα απαραίτητο για τη χρήση του λογισμικού είναι η κατασκευή του μοντέλου του προβλήματος σε ένα φύλλο εργασίας. Ο σχεδιασμός του θα πρέπει να γίνει έτσι ώστε δίνοντας τιμές σε κάθε μία από τις μεταβλητές του προβλήματος να υπολογίζεται αυτόματα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτηση και να ελέγχεται η ικανοποίηση των περιορισμών. Στην Εικόνα 5.1: δίνεται μια μορφή του φύλλου εργασίας που κατασκευάστηκε για το πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού που μελετάται στο πλαίσιο της εργασίας. Τα βασικά δομικά μέρη του μοντέλου είναι τα εξής: Πίνακας Δεδομένων Προβλήματος : Περιλαμβάνει τη λίστα των εργασιών του έργου με τις ονομασίες και τους κωδικούς αναφοράς τους. Για κάθε εργασία καταγράφεται η

66 63 λίστα με τις αμέσως προηγούμενες αυτής εργασίες όπως επίσης η κανονική διάρκεια και η κανονική απαίτηση της εργασίας σε πόρους. Εικόνα 5.1: Φύλλο Εργασίας με το μοντέλο του προβλήματος Πίνακας Σχέσεων Διαδοχής: Περιλαμβάνει όλα τα ζεύγη τιμών Προηγούμενης Επόμενης εργασίας. Επίσης, για κάθε ζεύγος ορίζεται ένας δείκτης που αντιστοιχεί στο είδος της σχέσης καθώς και η τιμή της χρονικής προπόρευσης ή υστέρησης, αν υπάρχει. Με τον ορισμό ενός χρονοπρογράμματος, ο Πίνακας αυτός χρησιμοποιείται για τον έλεγχο ικανοποίησης των σχέσεων διαδοχής, με εφαρμογή των (Σχ. 5.9). Σε περίπτωση που κάποια σχέση δεν επαληθεύεται, η αντικειμενική συνάρτηση επιβαρύνεται με ένα δυσανάλογα μεγάλο κόστος ποινής, που συνεπάγεται αποκλεισμό της λύσης από την επόμενη γενιά. Πίνακας εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών: Αφορά τον καθορισμό των πολλαπλών τρόπων επίλυσης των συγκεκριμένων προβλημάτων της παρούσας εργασίας. Περιλαμβάνει το πλήθος των πόρων που επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί σε κάθε εργασία και βάσει αυτού υπολογίζει την αντίστοιχη διάρκεια ώστε το γινόμενο πόρων επί διάρκεια

67 64 να παραμένει σταθερό. Υπενθυμίζεται ότι η παραδοχή αυτή γίνεται για τα προβλήματα που εξετάζονται στο πλαίσιο της εργασίας αυτής. Εναλλακτικά, για κάθε εναλλακτικό τρόπο εκτέλεσης ορίζεται μία τιμή διάρκειας και οι τιμές απαιτήσεων σε πόρους. Πίνακας χρόνου έναρξης και λήξης: Περιλαμβάνει τους χρόνους έναρξης και λήξης των εργασιών. Οι χρόνοι έναρξης αποτελούν ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος και μέρος της αναζητούμενης λύσης. Ο χρόνος λήξης κάθε εργασίας υπολογίζεται ως άθροισμα του αντίστοιχου χρόνου έναρξης και της διάρκειας της εργασίας. Πίνακας Παραμέτρων Βελτιστοποίησης: Περιλαμβάνει τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου βελτιστοποίησης που προτείνεται στο πλαίσιο της εργασίας, όπως ορίζονται από το χρήστη για κάθε επίλυση. Οι τιμές αυτές καθορίζουν και τους εκάστοτε στόχους της επίλυσης. Πίνακας κατανομής πόρων: Περιλαμβάνει την κατανομή πόρων των εργασιών σε κάθε χρονική περίοδο, ανάλογα με το χρόνο έναρξης και το πλήθος των πόρων που χρησιμοποιείται. Περιλαμβάνει επίσης, για κάθε χρονική περίοδο, το άθροισμα των πόρων που χρησιμοποιούνται, το πλήθος των πόρων που υπερβαίνουν την αντίστοιχη διαθεσιμότητα και το πλήθος των μεταβολών πόρων μεταξύ διαδοχικών χρονικών περιόδων. Τα μεγέθη αυτά χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης. Πίνακας Αποτελεσμάτων: Περιλαμβάνει τα επιμέρους κόστη που προκύπτουν από το εκάστοτε χρονοπρόγραμμα με βάση τις (Σχ. 5.10) έως (Σχ. 5.14) καθώς και το άθροισμα αυτών, δηλαδή την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος (Σχ. 5.15) Ρυθμίσεις Παραμέτρων Προκειμένου το λογισμικό να ξεκινήσει την επίλυση του προβλήματος, είναι απαραίτητη η ρύθμιση ορισμένων παραμέτρων της βελτιστοποίησης. Συγκεκριμένα, ορίζεται στην καρτέλα «Ρυθμίσεις» του λογισμικού, το μέγεθος προς βελτιστοποίηση (το κελί υπολογισμού της αντικειμενικής συνάρτησης), το είδος της βελτιστοποίησης (ελαχιστοποίηση), οι ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος (χρόνοι έναρξης των εργασιών και πλήθος πόρων κάθε εργασίας) μαζί με τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει κάθε μεταβλητή καθώς και το είδος των τιμών (ακέραιες). Σε ότι αφορά

68 65 το εύρος τιμών των μεταβλητών που αντιστοιχούν στους χρόνους έναρξης των εργασιών, ορίστηκε διαφορετικά για κάθε πρόβλημα. Πρέπει να σημειωθεί ότι κατά τον ορισμό του προβλήματος και του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης, οι περιορισμοί διαθεσιμότητας πόρων και μέγιστης χρονικής διάρκειας του προβλήματος μετατράπηκαν σε στόχους προς βελτιστοποίηση. Αυτό σημαίνει ότι πιθανές λύσεις που παραβιάζουν τους περιορισμούς αυτούς θεωρούνται αποδεκτές και απλώς αξιολογούνται με βάση την (Σχ. 5.15). Ωστόσο, στην περίπτωση παραβίασης των περιορισμών σχέσεων διαδοχής, οι λύσεις δεν θεωρούνται εφικτές και αποκλείονται. Στο Evolver, οι περιορισμοί μπορούν να εισαχθούν στις ρυθμίσεις του λογισμικού ώστε οι μη εφικτές λύσεις να αποκλείονται αυτόματα. Ωστόσο, προκειμένου η εκτέλεση να μην καθυστερεί, προτιμήθηκε στην περίπτωση παραβίασης να προστίθεται στην αντικειμενική συνάρτηση μια δυσανάλογα μεγάλη ποινή (τάξεων μεγέθους ανώτερη των εφικτών τιμών) ώστε οι λύσεις να αποκλείονται μετά την αξιολόγηση. Οι παράμετροι του αλγορίθμου που είναι απαραίτητο να ρυθμιστούν για την εκκίνηση της βελτιστοποίησης είναι το μέγεθος του πληθυσμού, η πιθανότητα διασταύρωσης, η πιθανότητα μετάλλαξης και το κριτήριο τερματισμού ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Εισαγωγή Η δεύτερη μέθοδος επίλυσης εφαρμόζει τη μέθοδο Αρμονικής Αναζήτησης (Harmony Search HS). Η βιβλιογραφία της μεθόδου για την επίλυση προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού δεν είναι τόσο πλούσια όσο η αντίστοιχη των Γενετικών Αλγορίθμων, ωστόσο οι εργασίες που έχουν εφαρμόσει τη μέθοδο αναφέρουν αξιόλογα αποτελέσματα. Η εφαρμογή της στο πλαίσιο της παρούσας γίνεται με σύνταξη κώδικα στο προγραμματιστικό περιβάλλον του λογισμικού Matlab. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία των Αλγορίθμων Αρμονικής Αναζήτησης και περιγράφεται ο αλγόριθμος που κατασκευάστηκε για την προσαρμογή της μεθόδου στο υπό μελέτη πρόβλημα, μαζί με τη ρύθμιση των απαιτούμενων παραμέτρων για την εκτέλεση του αλγορίθμου.

69 Αρμονική Αναζήτηση Γενικά Η Αρμονική Αναζήτηση (Harmony Search HS) είναι μία σχετικά νέα μεταευρετική μέθοδος που έχει δείξει υποσχόμενα αποτελέσματα στο πεδίο της συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Η λειτουργία της μεθόδου βασίζεται στη μίμηση του τρόπου με τον οποίο μια ορχήστρα συνθέτει την πιο αρμονική μελωδία, όπως αυτή αξιολογείται με αισθητικά κριτήρια. H αναλογία αυτή μεταξύ της διαδικασίας αυτοσχεδιασμού μιας ορχήστρας με την επίλυση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης περιγράφεται ως εξής: Κάθε μουσικός αντιστοιχεί σε μία ανεξάρτητη μεταβλητή απόφασης του προβλήματος προς επίλυση και το εύρος του αντίστοιχου μουσικού οργάνου αντιστοιχεί στο εύρος δυνατών τιμών της μεταβλητής αυτής. Η μουσική αρμονία που συντίθεται σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή αντιστοιχεί στο διάνυσμα μιας πιθανής λύσης του προβλήματος σε έναν συγκεκριμένο κύκλο επανάληψης του αλγορίθμου. Τέλος, το αισθητικό κριτήριο του κοινού αντιστοιχεί στην θεωρούμενη αντικειμενική συνάρτηση. Ακριβώς όπως οι μουσικοί βελτιώνουν τη μελωδία σταδιακά, ο αλγόριθμος αρμονικής αναζήτησης βελτιώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του διανύσματος λύσης του προβλήματος μετά από κάθε κύκλο επανάληψης Τυπική Δομή Αλγορίθμου Η τυπική δομή του βασικού αλγορίθμου αρμονικής αναζήτησης περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα [22]: 1) Σχηματισμός προβλήματος 2) Ρύθμιση παραμέτρων αλγορίθμου 3) Επιλογή αρχικού τυχαίου πληθυσμού (αρμονικής μνήμης) 4) Αρμονικός Αυτοσχεδιασμός I. Τυχαία επιλογή II. III. Θεώρηση μνήμης Προσαρμογή Τόνου 5) Ανανέωση αρμονικής μνήμης

70 67 6) Έλεγχος κριτηρίων τερματισμού 7) Τελικός ρυθμός (βέλτιστη αρμονία) Η μέθοδος της αρμονικής αναζήτησης στοχεύει στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης. Επομένως, το υπό μελέτη πρόβλημα είναι απαραίτητο να εκφραστεί σε αντίστοιχη μορφή, ώστε να αποτελείται από μια αντικειμενική συνάρτηση προς ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίηση και αν υπάρχουν ένα σύνολο περιορισμών. Επομένως το πρόβλημα εκφράζεται στη μορφή: (Σχ. 6.1) Βελτιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση ή Μεγιστοποίηση) Υπό τους περιορισμούς: (Σχ. 6.2) Ο αλγόριθμος HS αναζητά σε μία περιοχή λύσεων το βέλτιστο διάνυσμα με βάση την (Σχ. 6.1). Αν το πρόβλημα έχει περιορισμούς ισότητας ή ανισότητας, αυτές μπορούν να πάρουν τη μορφή των σχέσεων (Σχ. 6.2) (πρώτη ή δεύτερη αντίστοιχα). Το σετ των υποψήφιων τιμών των μεταβλητών του προβλήματος ορίζεται από την τρίτη σχέση των (Σχ. 6.2) (πρώτο μέρος αν είναι διακριτές ή δεύτερο μέρος αν είναι συνεχείς). Ο αλγόριθμος κατά βάση θεωρεί μόνο την αντικειμενική συνάρτηση. Ωστόσο, αν ένα διάνυσμα λύσεων παραβιάζει κάποιον από τους περιορισμούς ο αλγόριθμος είτε εγκαταλείπει τη λύση είτε την αξιολογεί προσθέτοντας μία προκαθορισμένη ποινή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Μετά τον σχηματισμό του προβλήματος ορίζονται οι κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγορίθμου. Ανάμεσά τους περιλαμβάνονται το μέγεθος της αρμονικής μνήμης (HMS), ο βαθμός θεώρησης μνήμης (HMCR), ο βαθμός προσαρμογής τόνου (PAR), ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων (MI) και το εύρος προσαρμογής (FW ή ΒW).

71 68 Το μέγεθος της αρμονικής μνήμης είναι ο αριθμός των διανυσμάτων λύσεων που ο αλγόριθμος θεωρεί σε κάθε κύκλο επανάληψης, ο οποίος ισοδυναμεί με το μέγεθος του πληθυσμού στους Γενετικούς Αλγορίθμους. Ο βαθμός θεώρησης μνήμης είναι η πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιλέξει τυχαία μια τιμή από τη μνήμη. Επομένως, είναι η πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιλέξει τυχαία μια τιμή από ένα συνολικό εύρος τιμών. Ο βαθμός προσαρμογής τόνου είναι η πιθανότητα ο αλγόριθμος να προσαρμόσει την τιμή που επιλέχθηκε από τη μνήμη. Αντίστοιχα είναι η πιθανότητα η τιμή να διατηρηθεί ως έχει. MI είναι ο αριθμός επαναλήψεων του αλγορίθμου, ο οποίος παράγει μια νέα αρμονία σε κάθε επανάληψη. To εύρος προσαρμογής (FW) αφορά κυρίως τις συνεχείς μεταβλητές και σχετίζεται με το ποσό μεταβολής της τιμής μιας μεταβλητής κατά την προσαρμογή τόνου. Στις ακέραιες μεταβλητές συνήθως είναι σταθερό και έχει τιμή ίση με 1. Αρχικά οι τιμές των παραμέτρων παρέμεναν σταθερές καθ όλη τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγορίθμου. Ωστόσο, κάποιοι ερευνητές πρότειναν μεταβαλλόμενες τιμές των παραμέτρων. Οι Mahdavi et al [48]. πρότειναν η παράμετρος PAR να αυξάνεται γραμμικά και η FW να μειώνεται εκθετικά με τον αριθμό των επαναλήψεων, ως εξής: (Σχ. 6.3) (Σχ. 6.4) Στις παραπάνω σχέσεις είναι η τρέχουσα επανάληψη. Ωστόσο υπάρχουν διάφορες θεωρίες στη βιβλιογραφία σχετικά με τις καταλληλότερες τιμές των παραμέτρων ενώ έχουν προταθεί και τεχνικές που επιτρέπουν στον αλγόριθμο να επιλέγει αυτόματα τις καλύτερες τιμές σε κάθε επανάληψη. Μετά τον καθορισμό των τιμών των παραμέτρων, σχηματίζεται ο πίνακας αρμονικής μνήμης. Ένα σύνολο HMS τυχαίων αρμονιών (διανυσμάτων λύσεων) παράγεται και αποθηκεύεται μαζί με την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μία από αυτές. Είναι δυνατό σε πολλές περιπτώσεις να παράγεται μεγαλύτερος αριθμός αρμονιών από τον

72 69 HMS (πχ. 2πλάσιος ή 3πλάσιος) και οι HMS καλύτερες από αυτές να επιλέγονται ως αρχικός πληθυσμός της μεθόδου. Επομένως, η αρμονική μνήμη (HM) μπορεί να θεωρηθεί ως ένας πίνακας ως εξής: (Σχ. 6.5) Στη συνέχεια ο αλγόριθμος σε κάθε κύκλο επανάληψης παράγει μια νέα αρμονία (Αρμονικός Αυτοσχεδιασμός) επιλέγοντας για κάθε μεταβλητή μια τιμή από τη μνήμη, η οποία μπορεί να προσαρμοστεί ή να διατηρηθεί ως έχει, ή επιλέγοντας μια τυχαία τιμή από το εύρος τιμών της αντίστοιχης μεταβλητής. Η διαδικασία αυτή περιγράφεται παρακάτω: Τυχαία επιλογή: Ο αλγόριθμος καθορίζει την τιμή μιας μεταβλητής της νέας αρμονίας επιλέγοντας τυχαία μια τιμή από το συνολικό εύρος τιμών της μεταβλητής ( για διακριτά προβλήματα) με πιθανότητα, όπως ακριβώς συμβαίνει κατά τον αρχικό σχηματισμό της αρμονικής μνήμης. Θεώρηση Μνήμης: O αλγόριθμος καθορίζει την τιμή μιας μεταβλητής της νέας αρμονίας επιλέγοντας τυχαία μία τιμή που εμφανίζεται στην αρμονική μνήμη για την μεταβλητή αυτή, δηλαδή, με πιθανότητα HMCR. Ο δείκτης, η αρμονία δηλαδή της μνήμης από την οποία θα επιλεχθεί η τιμή για τη νέα αρμονία, μπορεί να προσδιοριστεί με χρήση της ομοιόμορφης κατανομής U(0,1): (Σχ. 6.6) Ωστόσο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και άλλη κατανομή. Για παράδειγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί η. Στην περίπτωση αυτή ο αλγόριθμος θα τείνει να επιλέγει χαμηλότερες τιμές του συχνότερα. Αν οι αντικειμενικές συναρτήσεις ταξινομούνται κατά, ο αλγόριθμος συμπεριφέρεται παρόμοια με την μέθοδο Σμήνους Σωματιδίων. Προσαρμογή Τόνου: Αφού επιλεχθεί κάποια τιμή για τη μεταβλητή από τη μνήμη σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία θεώρησης μνήμης, η τιμή αυτή μπορεί να επιλεχθεί

73 70 να προσαρμοστεί ελάχιστα (γειτονική λύση) με πρόσθεση ή αφαίρεση μιας ποσότητας (συνήθως 1 σε διακριτά προβλήματα) με πιθανότητα. Αν η νέα αρμονία παραβιάζει κάποιον περιορισμό, ο αλγόριθμος την εγκαταλείπει ή την κρατάει προσθέτοντας στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ένα ποσό ποινής. Στη συνέχεια, αν η νέα αρμονία είναι καλύτερη σε όρους αντικειμενικής συνάρτησης από την χειρότερη αρμονία της μνήμης, η νέα αρμονία εισάγεται στη μνήμη με αντικατάσταση της χειρότερης. Ωστόσο, για την διατήρηση της ποικιλομορφίας της μνήμης, άλλες αρμονίες (σε όρους ελάχιστης ομοιότητας) μπορούν να θεωρηθούν. Επίσης, ένας μέγιστος αριθμός πανομοιότυπων αρμονιών μπορεί να επιτραπεί να εισέρχεται στην αρμονική μνήμη. Αν η νέα αρμονία είναι η καλύτερη ανάμεσα στις αρμονίες της μνήμης, μια επιπλέον διεργασία τυχαίων τοπικών μεταβολών μπορεί να εφαρμοστεί. Κάθε μεταβλητή της νέας αρμονίας μπορεί να προσαρμοστεί ελάχιστα καθώς είναι πιθανό να προκύψει μια ακόμα καλύτερη αρμονία. Σχήμα 6.1 Διάγραμμα Ροής Αλγορίθμου Αρμονικής Αναζήτησης [49]

74 71 Όταν τα κριτήρια τερματισμού ικανοποιηθούν (για παράδειγμα ολοκληρωθούν MI επαναλήψεις), η εκτέλεση του αλγορίθμου τερματίζεται. Ο αλγόριθμος επιστρέφει ως λύση του προβλήματος την βέλτιστη αρμονία που υπάρχει στον πίνακα αρμονικής μνήμης στο τέλος των επαναλήψεων. Η παραπάνω διαδικασία παριστάνεται αντιπροσωπευτικά στο διάγραμμα ροής του Σχήματος Κατασκευή Αλγορίθμου Για την επίλυση των προβλημάτων της παρούσας εργασίας κατασκευάστηκε σε προγραμματιστικό περιβάλλον Matlab ένας αλγόριθμος που υλοποιεί τη μέθοδο της Αρμονικής Αναζήτησης όπως περιγράφηκε παραπάνω. Η λειτουργία του αλγορίθμου περιγράφεται συνοπτικά στην ενότητα αυτή και στη συνέχεια παρατίθεται το αντίστοιχο διάγραμμα ροής. Αρχικά εισάγονται στο πρόγραμμα τα δεδομένα του προβλήματος προς επίλυση. Για το σκοπό αυτό, για κάθε περίπτωση κατασκευάστηκε αρχείο δεδομένων όπου ορίζονται το πλήθος των εργασιών του προβλήματος, οι τιμές διάρκειας και χρήσης πόρων της κανονικής εκτέλεσης των εργασιών καθώς και οι σχέσεις διαδοχής μεταξύ των εργασιών. Οι σχέσεις διαδοχής ορίζονται ως ζεύγη προηγούμενης επόμενης εργασίας, μαζί με το είδος της σχέσης και το χρονικό διάκενο (προπόρευση ή υστέρηση). Επίσης, στο ίδιο αρχείο ορίζονται για κάθε περίπτωση οι τιμές των παραμέτρων του μοντέλου βελτιστοποίησης, δηλαδή οι τιμές των που εισέρχονται στις σχέσεις (Σχ. 5.10) έως (Σχ. 5.15) και ορίζουν τα κόστη του προβλήματος. Για την επιλογή των χρόνων έναρξης των εργασιών καθορίζεται το εύρος του διαστήματος αναζήτησης τιμών σαν πολλαπλάσιο της αντίστοιχης διάρκειας της εργασίας. Ορίζεται δηλαδή ένας συντελεστής έτσι ώστε ο χρόνος έναρξης κάθε εργασίας να μπορεί να πάρει τιμή στο διάστημα, όπου είναι η διάρκεια της εργασίας όταν εκτελείται με τον εναλλακτικό τρόπο. Επίσης για λόγους ευχέρειας του αλγορίθμου ορίζεται και ένα ελάχιστο εύρος για το διάστημα αυτό στην περίπτωση που η διάρκεια της εργασίας είναι πολύ μικρή (πχ. 10 ημέρες). Στα προβλήματα όπου θεωρούνται εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών ορίζονται επιπλέον η μέγιστη και ελάχιστη χρήση πόρων κάθε εργασίας, προκειμένου να καθοριστούν τα ζεύγη εναλλακτικών τιμών διάρκειας χρήσης πόρων των εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Τέλος, στο ίδιο αρχείο δεδομένων

75 72 καθορίζονται οι παράμετροι λειτουργίας του αλγορίθμου αρμονικής αναζήτησης, δηλαδή οι τιμές των,. Στη συνέχεια κατασκευάζεται ο αρχικός πίνακας αρμονικής μνήμης. Στην περίπτωση των προβλημάτων θεώρησης εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης, η τυπική αρμονία αποτελείται από μια ακολουθία αριθμών που αντιστοιχούν στον τρόπο εκτέλεσης και στον χρόνο έναρξης κάθε εργασίας ενώ στα προβλήματα χωρίς θεώρηση εναλλακτικών τρόπων, η αρμονία αποτελείται μόνο από τους χρόνους έναρξης των εργασιών. Η αρχική αρμονική μνήμη κατασκευάζεται με τυχαίο τρόπο και χρήση της ομοιόμορφης κατανομής για την παραγωγή των τυχαίων τιμών. Στην περίπτωση όπου δεν θεωρούνται εναλλακτικοί τρόποι, κάθε αρμονία αποτελείται μόνο από τους χρόνους έναρξης των δραστηριοτήτων και σχηματίζει ένα πιθανό χρονοδιάγραμμα. Για την αποφυγή εισαγωγής στην αρμονική μνήμη μη εφικτών χρονοδιαγραμμάτων (που δεν ικανοποιούν τους περιορισμούς σχέσεων διαδοχής) κάθε πιθανή αρμονία του πίνακα κατασκευάζεται ως εξής: Ορίζονται οι χρόνοι έναρξης των εργασιών που έχουν προηγούμενη την πλασματική εργασία «Αρχή» ίσοι με μηδέν. Στη συνέχεια, για κάθε εργασία για την οποία όλες οι αμέσως προηγούμενες έχουν ήδη προγραμματιστεί, επιλέγεται τυχαία ένας χρόνος έναρξης από το διάστημα μεταξύ του ενωρίτερου επιτρεπτού χρόνου εκκίνησης της εργασίας που προέκυψε αφού ελέγχτηκαν όλες οι σχέσεις διαδοχής (κάτω όριο διαστήματος) και ενός άνω ορίου που απέχει από το κάτω όριο απόσταση πολλαπλάσια της κανονικής διάρκειας εκτέλεσης της εργασίας (συντελεστής ). Με τον τρόπο αυτόν προγραμματίζονται όλες οι εργασίες του προβλήματος και προκύπτει ένα χρονοδιάγραμμα το οποίο πιθανότατα δεν είναι «βέλτιστο» αλλά ικανοποιεί τους περιορισμούς των σχέσεων διαδοχής των εργασιών. Υπενθυμίζεται ότι μόνο ο περιορισμός των σχέσεων διαδοχής αντιμετωπίζεται στο πρόβλημα ως απόλυτος περιορισμός, καθώς το μοντέλο βελτιστοποίησης που προτείνεται παραπάνω (Κεφ. 5.3) αντιμετωπίζει τους περιορισμούς χρονοδιαγράμματος και διαθεσιμότητας πόρων ως στόχους προς βελτιστοποίηση (ελαχιστοποίηση της απόκλισης από επιθυμητές τιμές). Στην περίπτωση που θεωρούνται και εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης, κάθε αρμονία καθορίζει τον τρόπο αλλά και τον χρόνο εκτέλεσης κάθε εργασίας. Η αρχική αρμονική μνήμη στην περίπτωση αυτή καθορίζεται ως εξής: Για κάθε εργασία επιλέγεται τυχαία ένας εναλλακτικός τρόπος εκτέλεσης μεταξύ των δυνατών εναλλακτικών. Στη συνέχεια, οι

76 73 χρόνοι έναρξης των εργασιών ορίζονται ως οι ενωρίτεροι χρόνοι έναρξης βάσει της μεθόδου της κρίσιμης διαδρομής. Επειδή στα προβλήματα θεώρησης εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών οι πιθανοί συνδυασμοί που σχηματίζουν τον αρχικό πληθυσμό είναι πολλοί, τα αντίστοιχα χρονοδιαγράμματα που προκύπτουν με βάση την ενωρίτερη έναρξη είναι επίσης πολλά και διαφορετικά μεταξύ τους ενώ ταυτόχρονα ικανοποιούν τους περιορισμούς των σχέσεων διαδοχής. Η διαδικασία αυτή δεν είναι δυνατό να εφαρμοστεί στην περίπτωση σταθερών τρόπων εκτέλεσης καθώς τότε το χρονοδιάγραμμα της ενωρίτερης έναρξης είναι μοναδικό και ο πίνακας αρμονικής μνήμης θα αποτελούνταν μόνο από πανομοιότυπες αρμονίες. Σημειώνεται ότι η παραπάνω διαδικασία ακολουθείται για την αποφυγή εισαγωγής στην αρμονική μνήμη μη εφικτών λύσεων. Αφού ολοκληρωθεί η κατασκευή της αρχικής αρμονικής μνήμης, όλες οι αρμονίες αξιολογούνται με βάση την αντικειμενική συνάρτηση της (Σχ. 5.15). Στη συνέχεια ο αλγόριθμος επαναλαμβάνει κύκλους αρμονικού αυτοσχεδιασμού, όπως περιγράφονται στην προηγούμενη ενότητα. Σε κάθε κύκλο ο αλγόριθμος κατασκευάζει μια νέα αρμονία. Κάθε τιμή της αρμονίας προκύπτει μέσα από τις διεργασίες τυχαίας επιλογής, θεώρησης μνήμης και προσαρμογής τόνου με τις πιθανότητες που ορίζουν οι αντίστοιχοι συντελεστές και με χρήση ομοιόμορφης κατανομής για την παραγωγή τυχαίων αριθμών που θα καθορίσουν την απόφαση σε κάθε σημείο του αλγορίθμου. Σημειώνεται ότι στη φάση επιλογής από τη μνήμη, ο αλγόριθμος ενσωματώνει ένα στοιχείο ελιτισμού, επιλέγοντας με μία πιθανότητα % την τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής της καλύτερης λύσης της αρμονικής μνήμης κατά την τρέχουσα επανάληψη αντί τυχαίας επιλογής από οποιαδήποτε λύση της μνήμης. Η τιμή αυτής της πιθανότητας εισάγεται ως δεδομένο μέσω του αρχικού αρχείου δεδομένων της εκτέλεσης. Μετά τον σχηματισμό της νέας αρμονίας, αυτή αξιολογείται με προσδιορισμό της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης και ελέγχεται η τήρηση των περιορισμών. Σε περίπτωση παραβίασης, ο αλγόριθμος προσθέτει στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μία δυσανάλογα μεγάλη τιμή ώστε να εκμηδενιστεί η πιθανότητα εισαγωγής της νέας αρμονίας στην αρμονική μνήμη. Στη συνέχεια εντοπίζεται η «χειρότερη» λύση της αρμονικής μνήμης, δηλαδή αυτήν με την μεγαλύτερη τιμή της. Αν η νέα αρμονία έχει μικρότερη τιμή της από αυτή, τότε η νέα αρμονία αντικαθιστά την χειρότερη αρμονία της μνήμης. Σε αντίθετη περίπτωση, η

77 74 νέα αρμονία εγκαταλείπεται και ο αλγόριθμος συνεχίζει με τον επόμενο αρμονικό αυτοσχεδιασμό. Ο αλγόριθμος περιλαμβάνει επίσης τη δυνατότητα να μην επιτραπεί η εισαγωγή μιας νέας αρμονίας στον πίνακα αρμονικής μνήμης σε περίπτωση που αυτή ήδη υπάρχει σ αυτόν με στόχο να διατηρηθεί η ποικιλομορφία στον πίνακα. Η δυνατότητα αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί μόνο για ένα πλήθος ή για το σύνολο των επαναλήψεων του αλγορίθμου, ενώ αν είναι επιθυμητό μπορεί να μην αξιοποιηθεί καθόλου (κλασσικός αλγόριθμος). Η επιλογή αυτή ορίζεται επίσης στο αρχείο δεδομένων του προβλήματος. Ο αλγόριθμος τερματίζεται μετά την ολοκλήρωση προκαθορισμένου αριθμού επαναλήψεων. Η λύση με τη μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που περιλαμβάνει ο πίνακας αρμονικής μνήμης είναι η λύση της συγκεκριμένης εκτέλεσης του αλγορίθμου.

78 75 7. ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 7.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται ένα σύνολο αριθμητικών προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού έργων με διάφορα χαρακτηριστικά τα οποία επιλύονται με εφαρμογή του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης και με χρήση Γενετικών Αλγορίθμων και Αρμονικής Αναζήτησης. Για την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας του μοντέλου ως προς την ταυτόχρονη θεώρηση πολλών στόχων προς βελτιστοποίηση, κάθε παράδειγμα επιλύεται για ένα σύνολο διαφορετικών συνδυασμών των στόχων, οι οποίες στο εξής θα αναφέρονται ως Περιπτώσεις. Η επίλυση κάθε περίπτωσης συνδυάζει διαφορετικές τιμές των παραμέτρων εισόδου του μοντέλου. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η ευρεθείσα λύση συγκρίνεται με άλλες προηγούμενα γνωστές λύσεις, με καλύτερα ή χειρότερα χαρακτηριστικά. Σημειώνεται, ότι τα προβλήματα αυτά έχουν ληφθεί από την εργασία [78]. Στην παρούσα επίλυση διερευνάται η δυνατότητα του μοντέλου να παράγει καλύτερες λύσεις και μελετάται η επίδραση της χρησιμοποιούμενης μεθόδου βελτιστοποίησης στα αποτελέσματα του προβλήματος ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Κάθε Παράδειγμα που εξετάζεται παρακάτω αντιπροσωπεύει ένα έργο η δομή του οποίου περιγράφεται με ένα κομβικό δικτυωτό γράφημα (ΑοΝ). Στο γράφημα αυτό οι κόμβοι παριστάνουν τις δραστηριότητες του έργου και τα βέλη που συνδέουν τους κόμβους υποδεικνύουν την προτεραιότητα των δραστηριοτήτων. Κάθε δραστηριότητα χαρακτηρίζεται από μία κανονική διάρκεια και μια κανονική απαίτηση για κάθε ανανεώσιμο πόρο. Το πρόβλημα που μελετάμε αφορά τη βελτιστοποίηση του χρονοπρογραμματισμού σε περιπτώσεις έργων όπου οι δραστηριότητες μπορούν να εκτελεστούν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, που αποτελεί γενίκευση του κλασσικού προβλήματος. Η επιλογή του τρόπου εκτέλεσης καθορίζει τη διάρκεια και τις απαιτήσεις σε πόρους της αντίστοιχης εργασίας. Ο καθορισμός του τρόπου εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας (επιλογή ανάμεσα στους πιθανούς εναλλακτικούς τρόπους για κάθε δραστηριότητα) και του αντίστοιχου χρόνου επίλυσης παράγουν μια πιθανή λύση του προβλήματος.

79 76 Στα παραδείγματα που εξετάζουμε εδώ, ο καθορισμός των εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας δεν αποτελεί ξεχωριστό δεδομένο του προβλήματος αλλά σχηματίζεται με βάση τις τιμές της κανονικής διάρκειας και της κανονικής απαίτησης σε πόρους της κάθε εργασίας. Στις περιπτώσεις προβλημάτων όπου οι δραστηριότητες εκτελούνται με χρήση ενός μόνο ανανεώσιμου πόρου (πχ. εργάτες) θεωρούμε ότι η χρήση των πόρων κατά τη διάρκεια εκτέλεσης της δραστηριότητας είναι ομοιόμορφη. Έτσι η συνολική απαίτηση κάθε εργασίας σε πόρους αποτελεί χαρακτηριστικό της εργασίας και είναι ίση με το γινόμενο της ανά χρονική περίοδο απαίτησης σε πόρο επί τη συνολική διάρκεια της εργασίας. Σύμφωνα με τη θεώρηση αυτή, μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε δραστηριότητα μπορεί μεν να εκτελεστεί με λιγότερους ή περισσότερους πόρους από αυτούς που χρειάζεται υπό κανονικές συνθήκες, αλλά με αντίστοιχη αύξηση ή μείωση της διάρκειάς της, θεωρώντας ότι το γινόμενο διάρκειας επί απαίτηση σε πόρο είναι σταθερό. Για παράδειγμα, αν μια εργασία χρειάζεται 3 εργάτες για να εκτελεστεί σε 4 ημέρες, δηλαδή απαιτεί συνολικά εργατοημέρες, μπορεί να εκτελεστεί σε 2 ημέρες με 6 εργάτες, σε 6 ημέρες με 2 εργάτες ή αντίστοιχα σε 3 ημέρες με 4 εργάτες. Η θεώρηση αυτή γίνεται στο πλαίσιο της εργασίας για τη παραγωγή ρεαλιστικών εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων για τα προβλήματα που εξετάζουμε, χωρίς να προστίθεται επιπλέον κόστος για την εκτέλεση της εργασίας (αφού χρησιμοποιείται ίδιος αριθμός πορο-ημερών). Φυσικά το αποτέλεσμα της επίλυσης και η λειτουργία του μοντέλου δεν επηρεάζονται όταν οι εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των δραστηριοτήτων καθορίζονται εξαρχής ως δεδομένα του προβλήματος (ζεύγη τιμών διάρκειας-πόρων) και δεν ακολουθούν την παραπάνω λογική. Ορίζοντας ένα εύρος τιμών χρήσης πόρου (μέγιστη ελάχιστη πιθανή χρήση) για κάθε εργασία, παράγεται αυτομάτως ένα σύνολο πιθανών εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Επομένως, η λύση στα παρακάτω προβλήματα καθορίζει το πλήθος των πόρων και τον χρόνο έναρξης κάθε εργασίας. Η διάρκειά της καθορίζεται με βάση το πλήθος πόρων που επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί. Σημειώνεται ότι στην περίπτωση που η διάρκεια της δραστηριότητας προκύπτει δεκαδικός αριθμός, γίνεται στρογγυλοποίηση πάντα προς τον μεγαλύτερο ακέραιο. Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι επιλύσεις των παραδειγμάτων της παρούσας εργασίας θα έχουν κοινό άμεσο κόστος για κάθε πρόβλημα, το οποίο εξαρτάται αποκλειστικά από τη χρήση πόρων. Επομένως το άμεσο κόστος δεν θα διαφοροποιεί τις πιθανές λύσεις

80 77 μεταξύ τους και η αξιολόγησή τους θα βασιστεί στους υπόλοιπους στόχους βελτιστοποίησης του μοντέλου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ο Στο παράδειγμα αυτό θεωρούμε ένα απλό έργο αποτελούμενο από 5 δραστηριότητες με τη δομή που παρουσιάζεται από παρακάτω κομβικό δικτυωτό γράφημα (0). Οι δραστηριότητες συνδέονται μεταξύ τους με απλές σχέσης διαδοχής της μορφής Τέλους- Αρχής (FS) χωρίς χρονικό διάκενο. Η εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται με τη χρήση ενός πόρου, ο οποίος αντιπροσωπεύει το συνεργείο των εργατών. Η κρίσιμη διαδρομή του έργου αυτού, όπως φαίνεται και από τον Πίνακα 7.1 είναι η Α Δ και η διάρκεια του έργου ίση με 11 ημέρες. Σχήμα 7. 1: Κομβικό δικτυωτό γράφημα έργου 1 ου Παραδείγματος Πίνακας 7.1: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού 1 ου Παραδείγματος Α/Α ΟΝΟΜΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ/ΝΕΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΠΟΡΟΣ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ ΒΡΑΔΥΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ dj (ΗΜΕΡΕΣ) rj (ΕΡΓΑΤΕΣ) dj * rj ES EF LS LF TF FF CP 0 Start Α Start * 2 Β Start Γ Α Δ Α * 5 Ε Β,Γ END Ε, Δ Με στόχο τον έλεγχο και την αξιολόγηση του μοντέλου βελτιστοποίησης που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 5.3, θα επιλυθούν για το πρόβλημα αυτό ένα σύνολο εννέα διαφορετικών περιπτώσεων. Κάθε περίπτωση περιγράφεται από διαφορετικές τιμές των παραμέτρων εισόδου του μοντέλου και η αναλογία αυτών εκφράζει την σχετική σημασία κάθε στόχου κατά την αναζήτηση λύσεων. Σημειώνεται ότι οι λύσεις που παρουσιάζονται

81 78 σε κάθε περίπτωση είναι οι βέλτιστες που έχουν προσδιοριστεί ανεξαρτήτως αλγορίθμου καθώς στόχος της παρούσας ενότητας είναι η αξιολόγηση του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης. Η αξιολόγηση των λύσεων γίνεται με βάση τον βαθμό επίτευξης των στόχων που τίθενται εκ των προτέρων από τον διαχειριστή του έργου. Η αξιολόγηση των αλγορίθμων γίνεται σε επόμενη ενότητα Περίπτωση 1 η Στην περίπτωση αυτή κατά τη διερεύνηση της αποτελεσματικότητας του μοντέλου θα αποδοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στον περιορισμό διαθεσιμότητας πόρων, αγνοώντας την επίδραση της μεταβλητότητας στη χρήση πόρων και της υπέρβασης χρονοδιαγράμματος. Η επίλυση θα συμπεριλάβει το άμεσο και έμμεσο κόστος του έργου καθώς και για το κόστος υπέρβασης πόρων ενώ τα υπόλοιπα κόστη θα θεωρηθούν μηδενικά. Κάθε εργασία θεωρείται ότι μπορεί να εκτελεστεί με ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Η επιλογή εναλλακτικού τρόπου ουσιαστικά ισοδυναμεί με επιλογή συνδυασμού τιμών διάρκειας-απαιτήσεων σε πόρους για κάθε εργασία. Οι πιθανοί εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης κάθε εργασίας παράγονται με τον τρόπο που έχει περιγραφεί στην ενότητα 7.2. Στην παρούσα περίπτωση, το εύρος των απαιτούμενων πόρων για κάθε εργασία καθορίζεται από την τιμή 1 έως το 200% της απαίτησης σε πόρους της εργασίας που αντιστοιχούν στην κανονική διάρκεια εκτέλεσης της εργασίας. Η μέγιστη και ελάχιστη χρήση για κάθε εργασία καταγράφεται στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 7. 2: Μέγιστη και Ελάχιστη χρήση πόρων 1 ου Παραδείγματος Εργασία Ελάχιστος αρ. πόρων Μέγιστος αρ. πόρων Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι:

82 79 Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 5 εργάτες/ημέρα Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατόν σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Χωρίς προθεσμία ολοκλήρωσης του έργου Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα και κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης. Οι υπόλοιπες συναρτήσεις κόστους δεν λαμβάνονται υπόψη Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Η εφαρμογή των αλγορίθμων βελτιστοποίησης για την περίπτωση αυτή οδήγησε στον εντοπισμό τριών λύσεων με την ίδια, ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Τα χαρακτηριστικά των λύσεων αυτών παρουσιάζονται με τη μορφή πινάκων και διαγραμμάτων στη συνέχεια. Πίνακας 7. 3: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 0 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 1000 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 5 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 0 ( / Ημέρα Υπέρβασης)

83 80 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 2: Κατανομή πόρων: 1 ο Παρ / 1 η Περ. - Λύση 1 η ( ) ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 3: Κατανομή πόρων: 1 ο Παρ / 1 η Περ. - Λύση 2 η ( ) ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 4: Κατανομή πόρων: 1 ο Παρ / 1 η Περ. - Λύση 3 η ( )

84 81 Πίνακας 7. 4: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού: 1 ο Παρ. / 1 η Περ. Λύση 1 η Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Πίνακας 7. 5: Αξιολόγηση 1 ης Λύσης : 1 ο Παρ. / 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 5900 Διάρκεια 13 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1300 Σύνολο Πόρων 59 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 4,54 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 5 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,91 Αντικειμενική Συνάρτηση 7200 Τυπική Απόκλιση 0,776 Πίνακας 7. 6: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού: 1 ο Παρ. / 1 η Περ. Λύση 2 η Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Πίνακας 7. 7: Αξιολόγηση 2 ης Λύσης : 1 ο Παρ. / 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 5900 Διάρκεια 13 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1300 Σύνολο Πόρων 59 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 4,54 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 5 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,91 Αντικειμενική Συνάρτηση 7200 Τυπική Απόκλιση 0,887

85 82 Πίνακας 7. 8: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού: 1 ο Παρ. / 1 η Περ. Λύση 3 η Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Πίνακας 7. 9: Αξιολόγηση 3 ης Λύσης: 1 ο Παρ. / 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 5900 Διάρκεια 13 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1300 Σύνολο Πόρων 59 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 4,54 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 5 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,91 Αντικειμενική Συνάρτηση 7200 Τυπική Απόκλιση 0,887 Παρατηρούμε ότι οι λύσεις αυτές έχουν μικρές διαφοροποιήσεις μεταξύ τους που σχετίζονται κατά βάση με την κατανομή των πόρων. Με βάση την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, οι τρεις αυτές λύσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους και ικανοποιούν εξίσου τους αρχικούς στόχους της βελτιστοποίησης. Πράγματι, σε καμία από αυτές δεν συμβαίνει υπέρβαση του ορίου διαθεσιμότητας πόρων (5 εργάτες/ημέρα) ενώ όλες έχουν την ίδια ακριβώς συνολική διάρκεια έργου (ίση με 13 ημέρες). Παρότι από άποψη κατανομής πόρων η 1η Λύση είναι ελαφρώς καλύτερη, επειδή η εξομάλυνση πόρων δεν ελήφθη υπόψη στην βελτιστοποίηση (αφού ), η αντικειμενική συνάρτηση μένει ανεπηρέαστη. Σημειώνεται ότι η συνάρτηση έμμεσου κόστους συγκρατεί σε χαμηλά επίπεδα τη διάρκεια του έργου Περίπτωση 2 η Στην περίπτωση αυτή θα αποδοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στην ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας του έργου, αγνοώντας την επίδραση της μεταβλητότητας στη χρήση πόρων και της υπέρβασης χρονοδιαγράμματος. Η επίλυση θα συμπεριλάβει το άμεσο και

86 83 έμμεσο κόστος του έργου καθώς και για το κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ενώ τα υπόλοιπα κόστη θα θεωρηθούν μηδενικά. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της διάρκειας του έργου κάτω από το όριο των 11 ημερών Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατό σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Απεριόριστη Διαθεσιμότητα Πόρων Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα και κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ίσο με 1000 ανά ημέρα υπέρβασης. Οι υπόλοιπες συναρτήσεις κόστους δεν λαμβάνονται υπόψη. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Πίνακας 7. 10: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 0 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 11 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 1000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Όμοια με την προηγούμενη περίπτωση, η εφαρμογή των αλγορίθμων οδήγησε στον εντοπισμό τριών λύσεων με την ίδια τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, οι οποίες ικανοποιούν εξίσου τους στόχους της βελτιστοποίησης που ορίστηκαν για την περίπτωση αυτή. Κοινό χαρακτηριστικό τους είναι ότι συμπιέζουν την διάρκεια του έργου στην τιμή

87 84 των 6 ημερών και καθώς δεν εμπλέκονται άλλοι στόχοι στο μοντέλο, έχουν κοινή τιμή αντικειμενικής συνάρτησης, προερχόμενη μόνο από το άμεσο και έμμεσο κόστος. Η συμπίεση της διάρκειας οφείλεται στο έμμεσο κόστος. Για το λόγο αυτό επιτυγχάνεται διάρκεια πολύ μικρότερη του καθορισμένου άνω ορίου των 11 ημερών. Σημειώνεται ότι οι λύσεις αυτές παρουσιάζουν βελτίωση σε σχέση με τις προηγούμενα γνωστές λύσεις που παρουσιάζονται στην εργασία [78] όπου Σχήμα 7. 5: Κατανομή Πόρων Διάγραμμα Gantt: 1 ο Παρ./2 η Περ. Λύση 1 η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 6: Κατανομή Πόρων Διάγραμμα Gantt: 1 ο Παρ./2 η Περ. Λύση 2 η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή

88 85 Σχήμα 7. 7: Κατανομή Πόρων Διάγραμμα Gantt: 1 ο Παρ./2 η Περ. : Λύση 3 η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Πίνακας 7. 11: Χρονοδιάγραμμα και Αξιολόγηση 1 ης Λύσης :1 ο Παράδειγμα / 2 η Περ. Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ ΑΚ 5900 ΔΙΑΡΚΕΙΑ 6 ΕΚ 600 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 59 ΚΜΠ 0 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 9,83 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 13 ΚΥΧΡ 0 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,76 f 6500 ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 2,229 Πίνακας 7. 12: Χρονοδιάγραμμα και Αξιολόγηση 2 ης Λύσης : 1 ο Παράδειγμα / 2 η Περ. Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ ΑΚ 5900 ΔΙΑΡΚΕΙΑ 6 ΕΚ 600 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 59 ΚΜΠ 0 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 9,83 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 12 ΚΥΧΡ 0 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,82 f 6500 ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 1,169

89 86 Πίνακας 7. 13: Χρονοδιάγραμμα και Αξιολόγηση 3 ης Λύσης : 1 ο Παράδειγμα / 2 η Περ. Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ ΑΚ 5900 ΔΙΑΡΚΕΙΑ 6 ΕΚ 600 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 59 ΚΜΠ 0 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 9,83 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 12 ΚΥΧΡ 0 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,82 f 6500 ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 2, Περίπτωση 3 η Στην περίπτωση αυτή θα αποδοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στην εξομάλυνση της κατανομής πόρων με τη θεώρηση απεριόριστων πόρων και χωρίς προθεσμία ολοκλήρωσης. Η επίλυση θα συμπεριλάβει το άμεσο και έμμεσο κόστος του έργου καθώς και το κόστος μεταβολής πόρων ενώ τα υπόλοιπα κόστη θα θεωρηθούν μηδενικά. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων (ελαχιστοποίηση μεταβολών) Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατό σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Απεριόριστη Διαθεσιμότητα Πόρων Χωρίς προθεσμία ολοκλήρωσης Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα και κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 1000 ανά μονάδα μεταβολής πόρου. Οι υπόλοιπες

90 87 συναρτήσεις κόστους δεν λαμβάνονται υπόψη. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Πίνακας 7. 14: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 1000 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 0 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων παρουσιάζεται στον παρακάτω Πίνακας Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα Πίνακας 7. 15: Χρονοδιάγραμμα Λύσης : 1 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Σχήμα 7. 8: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 1 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή

91 88 Όπως παρατηρούμε η λύση που προκύπτει ικανοποιεί απόλυτα τον αρχικό στόχο εξομάλυνσης της χρήσης πόρων, καθώς προκύπτει απόλυτα ομοιόμορφο, ορθογώνιο διάγραμμα χρήσης πόρων. Επειδή όμως στην αντικειμενική συνάρτηση εισέρχεται και το έμμεσο κόστος, η λύση οδηγεί ταυτόχρονα σε πολύ μικρή διάρκεια του έργου, καθώς δεν υπάρχει περιορισμός πόρων. Σημειώνεται ότι η λύση αυτή είναι βελτιωμένη σε σχέση με την προηγούμενη γνωστή λύση για το πρόβλημα αυτό [78]. Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 7. 16: Αξιολόγηση Λύσης : 1 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 6300 Διάρκεια 7 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 700 Σύνολο Πόρων 63 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 9 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 9 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 1 Αντικειμενική Συνάρτηση 7000 Τυπική Απόκλιση 0, Περίπτωση 4 η Στην περίπτωση αυτή δίνεται έμφαση στον περιορισμό διαθεσιμότητας πόρων παράλληλα με την επιδίωξη ενός ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων, ενώ δεν θα καθοριστεί προθεσμία ολοκλήρωσης του έργου. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 3 εργάτες/ημέρα Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατό σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Χωρίς προθεσμία ολοκλήρωσης Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής

92 89 Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα και κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης. Επίσης ορίζεται κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 300 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Πίνακας 7. 17: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 4 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 1000 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 3 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 0 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακας Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα Πίνακας 7. 18: Χρονοδιάγραμμα Λύσης : 1 ο Παράδειγμα - 4 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Όπως φαίνεται από το Σχήμα 7. 9 η λύση που προέκυψε ικανοποιεί τους αρχικούς στόχους, καθώς η μέγιστη ημερήσια χρήση πόρων περιορίζεται κάτω από το όριο διαθεσιμότητας των 3 εργατών ανά ημέρα ενώ το αντίστοιχο διάγραμμα προκύπτει απόλυτα ομοιόμορφο. Ωστόσο, η διάρκεια του έργου αυξάνεται προκειμένου να εξυπηρετηθούν οι δύο προηγούμενοι στόχοι, κάτι που όμως δεν επηρεάζει σημαντικά την

93 90 αντικειμενική συνάρτηση στην παρούσα περίπτωση (μόνο στην τιμή του έμμεσου κόστους). Σχήμα 7. 9: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 1 ο Παράδειγμα 4 η Περίπτωση Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Πίνακας 7. 19: Αξιολόγηση Λύσης : 1 ο Παράδειγμα 4 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 6000 Διάρκεια 20 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 2000 Σύνολο Πόρων 60 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 3 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 3 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 1 Αντικειμενική Συνάρτηση 8000 Τυπική Απόκλιση 0 Σημειώνεται ότι η παραπάνω λύση παρουσιάζει βελτιωμένα χαρακτηριστικά σε σχέση με την προηγούμενα γνωστή λύση για την περίπτωση αυτή του προβλήματος από την εργασία [78] (όπου ) Περίπτωση 5 η Στην περίπτωση αυτή δίνεται έμφαση στον περιορισμό της διάρκειας του έργου παράλληλα με την επιδίωξη ενός ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων, ενώ θεωρούνται απεριόριστοι πόροι. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων

94 91 και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της συνολικής διάρκειας του έργου κάτω από το όριο των 10 ημερών Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων (ελαχιστοποίηση μεταβολών) Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατό σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Θεώρηση απεριόριστων πόρων Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα και κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης. Επίσης ορίζεται κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 300 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Πίνακας 7. 20: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 5 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 10 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 1000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω πίνακα. Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα

95 92 Πίνακας 7. 21: Χρονοδιάγραμμα Λύσης : 1 ο Παράδειγμα 5 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Η λύση αυτή όπως παρατηρείται έχει διάρκεια του έργου ίση με 7 ημέρες, μικρότερη του ορίου των 10 ημερών και παρουσιάζει στο ιστόγραμμα χρήσης πόρων σχετικά οριζόντιο, παρουσιάζοντας μεταβολή μίας μόνο μονάδας σε μία ημέρα. Πιθανώς, αν είχε τεθεί μεγαλύτερη τιμή του μοναδιαίου κόστους μεταβολής πόρων, το μοντέλο να κατέληγε σε λύση με εντελώς οριζόντιο ιστόγραμμα χρήσης πόρων με μικρή αύξηση κάποιου άλλου κόστους, όπως στη λύση της 3 ης Περίπτωσης. Σχήμα 7. 10: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 1 ο Παράδειγμα 5 η Περίπτωση ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Συγκρίνοντας με τη λύση της 3 ης Περίπτωσης, στην οποία έχουμε ίδια διάρκεια και εντελώς επίπεδο διάγραμμα, θα έλεγε κανείς ότι η παρούσα λύση είναι κατώτερη. Ωστόσο,

96 93 παρατηρούμε ότι λόγω στρογγυλοποίησης προς τα πάνω των διαρκειών των δραστηριοτήτων στη λύση της 3 ης Περίπτωσης, το έργο καταλήγει να κάνει μεγαλύτερη συνολική χρήση πόρων από ότι στην παρούσα λύση. Με άλλα λόγια, το άμεσο κόστος της λύσης εκείνης είναι μεγαλύτερο κατά 400 ευρώ, ποσό το οποίο υπερβαίνει τα 300 ευρώ που εδώ χρεώνεται η μεταβολή των πόρων, όπως φαίνεται στον Πίνακας Με τον τρόπο αυτό το μοντέλο ξεχωρίζει στην περίπτωση αυτή την παραπάνω λύση ως «καλύτερη» καθώς καταλήγει σε μικρότερη τιμή της κατά 100 ευρώ. Πίνακας 7. 22: Αξιολόγηση Λύσης : 1 ο Παράδειγμα 5 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 5900 Διάρκεια 7 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 700 Σύνολο Πόρων 59 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 300 Μέση Χρήση Πόρων 8,43 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 9 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,94 Αντικειμενική Συνάρτηση 6900 Τυπική Απόκλιση 0, Περίπτωση 6 η Στην περίπτωση αυτή δίνεται έμφαση στον περιορισμό της διάρκειας του έργου παράλληλα με την επιδίωξη ενός ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων, ενώ θεωρείται και περιορισμός διαθεσιμότητας πόρων. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της συνολικής διάρκειας του έργου κάτω από το όριο των 11 ημερών Διατήρηση της συνολικής ημερήσιας χρήσης πόρων κάτω από το όριο των 4 εργατών / ημέρα Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων (ελαχιστοποίηση μεταβολών) Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατό σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε

97 94 άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα, κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης (ημέρα) και κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης. Επίσης ορίζεται κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 300 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Πίνακας 7. 23: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 6 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 1000 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 4 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 11 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 1000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακα Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα Πίνακας 7. 24: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 1 ο Παράδειγμα 6 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Η λύση που προέκυψε στην περίπτωση αυτή χαρακτηρίζεται από απόλυτα ομοιόμορφο ιστόγραμμα χρήσης πόρων ενώ δεν εμφανίζεται υπέρβαση του ορίου ημερήσιας διαθεσιμότητας πόρων (4 εργάτες/ημέρα) σε όλη τη διάρκεια του έργου. Οι δύο στόχοι επομένως ικανοποιούνται απόλυτα. Όσον αφορά τη συνολική διάρκεια ωστόσο, παρατηρείται υπέρβαση της καθορισμένης μέγιστης διάρκειας κατά 4 ημέρες.

98 95 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 11: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης : 1 ο Παράδειγμα 6 η Περίπτωση Πίνακας 7. 25: Αξιολόγηση Λύσης: 1 ο Παράδειγμα - 6 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 6000 Διάρκεια 15 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1500 Σύνολο Πόρων 60 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 4,00 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 4 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 4000 Μέση/Μέγιστη χρήση 1,00 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0, Περίπτωση 7 η Στην περίπτωση αυτή δίνεται και πάλι έμφαση στον περιορισμό της διάρκειας του έργου παράλληλα με την επιδίωξη ενός ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων, ενώ θεωρείται και περιορισμός διαθεσιμότητας πόρων - όπως και στην 6 η περίπτωση - με μια διαφοροποίηση όμως στις τιμές των συντελεστών. Συγκεκριμένα, θα τριπλασιαστεί το κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση, ώστε η αναζήτηση λύσης να κατευθυνθεί προς την ικανοποίηση του στόχου αυτού κατά προτεραιότητα. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της συνολικής διάρκειας του έργου κάτω από το όριο των 11 ημερών

99 96 Διατήρηση της συνολικής ημερήσιας χρήσης πόρων κάτω από το όριο των 4 εργατών / ημέρα Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων (ελαχιστοποίηση μεταβολών) Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατό σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα, κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ίσο με 3000 ανά μονάδα υπέρβασης (ημέρα) και κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης. Επίσης ορίζεται κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 300 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Πίνακας 7. 26: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 7 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 1000 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 4 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 11 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 3000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Στην περίπτωση αυτή, η εφαρμογή των δύο αλγορίθμων οδήγησε σε δύο λύσεις με όμοια χαρακτηριστικά. Συγκεκριμένα, προσδιορίστηκε η λύση της προηγούμενης περίπτωσης καθώς και μία ελάχιστα διαφορετική με την ίδια όμως τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Παρακάτω παρουσιάζεται η δεύτερη λύση που προσδιορίζεται από τους αλγορίθμους η οποία χαρακτηρίζεται από την ίδια τιμή της.

100 97 Πίνακας 7. 27: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 1 ο Παράδειγμα 7 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ Σχήμα 7. 12: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 1 ο Παράδειγμα 7 η Περίπτωση Παρατηρώντας τη λύση που προέκυψε και συγκρίνοντας με τη λύση της 6 ης περίπτωσης, διαπιστώνουμε ότι έχουν ακριβώς τα ίδια χαρακτηριστικά (Πίνακας και Πίνακας 7. 28), επομένως δεν επιτυγχάνεται μείωση της διάρκειας του έργου με αύξηση του μοναδιαίου κόστους υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Για το λόγο αυτό, στην επόμενη περίπτωση δοκιμάζουμε ακόμα μεγαλύτερη αύξηση του συντελεστή. Πίνακας 7. 28: Αξιολόγηση Λύσης: 1 ο Παράδειγμα 7 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 6000 Διάρκεια 15 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1500 Σύνολο Πόρων 60 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 4 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 4 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) Μέση/Μέγιστη χρήση 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0,00

101 Περίπτωση 8 η Στην περίπτωση αυτή δίνεται έμφαση στον περιορισμό της διάρκειας του έργου παράλληλα με την επιδίωξη ενός ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων και την μη υπέρβαση του περιορισμού διαθεσιμότητας πόρων, όπως και στις περιπτώσεις 6 και 7, με ακόμη μεγαλύτερη έμφαση στον περιορισμό της διάρκειας σε σχέση με τους άλλους στόχους. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της συνολικής διάρκειας του έργου κάτω από το όριο των 11 ημερών κατά προτεραιότητα Διατήρηση της συνολικής ημερήσιας χρήσης πόρων κάτω από το όριο των 4 εργατών / ημέρα Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων (ελαχιστοποίηση μεταβολών) Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατό σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα, κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ίσο με 6000 ανά μονάδα υπέρβασης (ημέρα) και κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης. Επίσης ορίζεται κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 300 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακα Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα

102 99 Πίνακας 7. 29: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 1 ο Παράδειγμα - 8 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 1000 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 4 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 11 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 6000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Πίνακας 7. 30: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 1 ο Παράδειγμα - 8 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Α Δ Α Ε Β,Γ Πέρας Ε, Δ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 13: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 1 ο Παράδειγμα - 8 η Περίπτωση Η λύση που προέκυψε στην περίπτωση αυτή οδηγεί σε απόλυτη ικανοποίηση του βασικού στόχου της συνολικής διάρκειας, η οποία δεν ξεπερνά την επιθυμητή τιμή (11 ημέρες). Ωστόσο, αυτό γίνεται σε βάρος της διαθεσιμότητας πόρων, καθώς απαιτούνται 15 πόροι πλέον της διαθεσιμότητας καθ όλη τα διάρκεια του έργου. Επίσης παρατηρείται

103 100 μικρή μεταβολή στο ρυθμό χρήσης πόρων κατά τις δύο τελευταίες ημέρες του έργου. Ωστόσο, στο υπόλοιπο του έργου το ιστόγραμμα χρήσης πόρων είναι οριζόντιο, γεγονός που δείχνει ικανοποίηση του στόχου περιορισμού της μεταβλητότητας σε σημαντικό βαθμό. Πίνακας 7. 31: Αξιολόγηση Λύσης: 1 ο Παράδειγμα 8 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) 5900 Διάρκεια 11 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1100 Σύνολο Πόρων 59 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 600 Μέση Χρήση Πόρων 5,36 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) Μέγιστη Χρήση Πόρων 7 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,77 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0, Συγκέντρωση Αποτελεσμάτων 1 ου Παραδείγματος Τα αποτελέσματα της επίλυσης των παραπάνω 8 περιπτώσεων του 1 ου Παραδείγματος συγκεντρώνονται διαγραμματικά στο παρακάτω Σχήμα Ειδικότερα, στην πρώτη αριστερά στήλη παρουσιάζεται το χρονοδιάγραμμα της ενωρίτερης έναρξης (ES) με βάση τις κανονικές διάρκειες των εργασιών και την μέθοδο CPM. Στις επόμενες στήλες παρουσιάζονται οι λύσεις που εντοπίστηκαν σε κάθε περίπτωση (1 η έως 8 η ) που παρουσιάζονται παραπάνω. Για κάθε λύση αναφέρεται η συνολική διάρκεια του έργου, το πλήθος των μεταβολών των πόρων μεταξύ διαδοχικών ημερών και η μέγιστη χρήση πόρων που παρατηρείται στη διάρκεια του έργου. Κάτω από κάθε διάγραμμα σημειώνονται επιγραμματικά οι στόχοι που τίθενται στην αρχή της επίλυσης, με βάση τους οποίους αποδίδονται οι κατάλληλες τιμές στα μοναδιαία κόστη του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης (παράμετροι μοντέλου). Όπως σχολιάστηκε και παραπάνω για κάθε περίπτωση του προβλήματος ξεχωριστά, παρατηρούμε ότι η λογική του μοντέλου βελτιστοποίησης είναι αποτελεσματική σύμφωνα με τις λύσεις που προκύπτουν για το συγκεκριμένο μικρό παράδειγμα έργου. Ειδικότερα, βλέπουμε ότι στις τρείς πρώτες περιπτώσεις (1.1 έως 1.3) που είναι σχετικά απλές καθώς επικεντρώνονται στην ικανοποίηση ενός μόνο στόχου, οι λύσεις που προκύπτουν με βάση την προτεινόμενη αντικειμενική συνάρτηση ικανοποιούν τους στόχους αυτούς. Στην 1.4, όπου συνδυάζεται η μεταβλητότητα πόρων και ο περιορισμός διαθεσιμότητας, βλέπουμε ότι επιτυγχάνονται μηδενικές μεταβολές ενώ η διαθεσιμότητα πόρων δεν παραβιάζεται, όπως ήταν επιθυμητό. Ωστόσο αυξάνεται σημαντικά η διάρκεια του έργου.

104 101 Σχήμα 7. 14: Διαγραμματική απεικόνιση των αποτελεσμάτων του 1 ου Παραδείγματος Ομοίως, στην 5 η περίπτωση, όπου στόχος είναι η ελαχιστοποίηση της μεταβλητότητας χρήσης πόρων και η διατήρηση της διάρκειας κάτω από την τιμή των 10 ημερών, παρατηρείται ότι οι στόχοι επιτυγχάνονται σε σημαντικό βαθμό καθώς η προκύπτει διάρκεια ίση με 7 ημέρες με μόνο μία μεταβολή στη χρήση πόρων. Τέλος, οι τρεις τελευταίες περιπτώσεις αφορούν βελτιστοποίηση τριών στόχων. Παρατηρείται ότι αρχικά (1.6 και 1.7) επιτυγχάνονται σε σημαντικό βαθμό οι δύο στόχοι ομοιομορφίας και διαθεσιμότητας πόρων σε βάρος της διάρκειας του έργου. Στην 1.8 ωστόσο, η αύξηση του μοναδιαίου κόστους υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ( ) οδηγεί σε λύση με μικρότερη απόκλιση από την επιθυμητή διάρκεια έργου αλλά με επιδείνωση των δύο άλλων στόχων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 ο Στο παράδειγμα αυτό θεωρούμε ένα έργο αποτελούμενο από 10 δραστηριότητες με τη δομή που παρουσιάζεται από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του Σχήμα Οι δραστηριότητες συνδέονται μεταξύ τους μόνο με σχέσης διαδοχής της μορφής Τέλους- Αρχής (FS) χωρίς χρονικό διάκενο. Η εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται με τη χρήση ενός πόρου, ο οποίος αντιπροσωπεύει το συνεργείο των εργατών.

105 102 Β (2,3) Δ (2,5) Η (4,4) Θ (5,4) ΑΡΧΗ Α (3,4) Ε (2,4) Ι (4,3) ΠΕΡΑΣ Γ (5,2) Ζ (5,6) Κ (5,4) ΕΡΓΑΣΙΑ (ΔΙΑΡΚΕΙΑ, ΠΟΡΟΣ) Σχήμα 7. 15: Κομβικό δικτυωτό γράφημα έργου 2 ου Παραδείγματος Στον Πίνακας περιλαμβάνονται τα δεδομένα κανονικής εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας και τα μεγέθη χρονικού προγραμματισμού που προκύπτουν σύμφωνα με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής (CPM), αν οι εργασίες εκτελεστούν με την κανονική τους διάρκεια και την κανονική τους απαίτηση σε εργάτες. Η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η Α-Γ-Ζ-K και η ελάχιστη διάρκειά του είναι 18 ημέρες. Το ιστόγραμμα χρήσης πόρων και το αντίστοιχο διάγραμμα Gantt του έργου στην περίπτωση Ενωρίτερης Έναρξης των εργασιών σύμφωνα με τη μέθοδο κρίσιμης διαδρομής παρουσιάζονται παρακάτω. Πίνακας 7. 32: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού 2 ου Παραδείγματος Α/Α ΟΝΟΜΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ/ΝΕΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΠΟΡΟΣ ΣΥΝΟΛΟ ΠΟΡΩΝ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ ΒΡΑΔΥΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ dj (ΗΜΕΡΕΣ) rj (ΕΡΓΑΤΕΣ) dj * rj ES EF LS LF TF FF CP 0 Start * 1 Α Start * 2 Β Α Γ Α * 4 Δ Β Ε Β,Γ Ζ Γ * 7 Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ * 1000 END Θ,Ι,Κ * Στη συνέχεια επιλύονται τρεις διαφορετικές περιπτώσεις του προβλήματος, με εφαρμογή του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης. Σε κάθε μία ορίζονται διαφορετικές τιμές παραμέτρων βελτιστοποίησης και επομένως διαφορετική ιεράρχηση στόχων.

106 103 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Σχήμα 7. 16: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt ενωρίτερης έναρξης (CPM): 2 ο Παράδειγμα Περίπτωση 1 η Στην πρώτη περίπτωση, θεωρείται ότι οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται κανονικά χωρίς να λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης. Αυτό σημαίνει ότι η διάρκεια και η απαίτηση σε πόρους κάθε εργασίας έχουν τις καθορισμένες τιμές του Πίνακας Στην αρχική αυτή διερεύνηση, θα γίνει θεώρηση απεριόριστων πόρων και η επίλυση θα προσανατολιστεί στην εξομάλυνση του διαγράμματος χρήσης πόρων χωρίς όμως υπέρβαση της διάρκειας του έργου που προκύπτει από τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής. Επομένως, στόχος της επίλυσης είναι ο προσδιορισμός του χρονοπρογράμματος, δηλαδή ο καθορισμός των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Μη υπέρβαση της διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 18 ημερών Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης δραστηριοτήτων χωρίς δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης

107 104 Απεριόριστη διαθεσιμότητας πόρων (εργατών) Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής Επομένως, οι παράμετροι εισόδου στο μοντέλο βελτιστοποίησης, παίρνουν τις τιμές του Πίνακας Η απαίτηση μη υπέρβασης της διάρκειας του έργου βάσει CPM οδηγεί στον ορισμό υψηλού κόστους υπέρβασης χρονοδιαγράμματος σύγκριση με το αντίστοιχο κόστος μεταβολής πόρων / ημέρα σε μονάδα μεταβολής, προκειμένου να δοθεί μεγαλύτερο βάρος στην αναζήτηση λύσεων που δε θα υπερβαίνουν το όριο ημέρες. Πίνακας 7. 33: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 2 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 18 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 2000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η λύση με τη χαμηλότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τις τιμές των παραμέτρων που ορίστηκαν παρουσιάζεται στον ακόλουθο Πίνακας Υπενθυμίζεται ότι εφόσον στην περίπτωση αυτή δεν λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών, η λύση αποτελείται μόνο από τους χρόνους εκκίνησης των εργασιών. Πίνακας 7. 34: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 2 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Α Γ Α Δ Β Ε Β,Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Πέρας Θ,Ι,Κ

108 105 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 17: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης : 2 ο Παράδειγμα 1 η Περίπτωση Το χρονοπρόγραμμα της παραπάνω λύσης παρουσιάζεται εποπτικά στο διάγραμμα κατανομής πόρων - Gantt του Σχήμα Ο Πίνακας συγκεντρώνει τις τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους καθώς και το άθροισμά τους που αποτελεί και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προς ελαχιστοποίηση, με βάση το προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης Πίνακας 7. 35: Αξιολόγηση Λύσης: 2 ο Παράδειγμα 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 18 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1800 Σύνολο Πόρων 144 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 3600 Μέση Χρήση Πόρων 8 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 11 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,73 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 2,744 Η λύση που προσδιορίστηκε ως βέλτιστη από τους αλγορίθμους βελτιστοποίησης για την περίπτωση αυτή με βάση την ελαχιστοποίηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης συμπίπτει με τις προηγούμενα γνωστές λύσεις που παρουσιάζονται στην εργασία [78]. Όπως παρατηρούμε, η λύση δεν υπερβαίνει το μέγιστο όριο διάρκειας των

109 ημερών που τέθηκε και το διάγραμμα χρήσης πόρων εμφανίζει σημαντικές βελτιώσεις σε σχέση με το χρονοδιάγραμμα της ενωρίτερης έναρξης, καθώς τείνει να σχηματίσει δύο επίπεδα σχεδόν σταθερής χρήσης πόρων, αποφεύγοντας τις αιχμές που εμφανίζει το αντίστοιχο διάγραμμα του Σχήμα Περίπτωση 2 η Στην δεύτερη περίπτωση θεωρείται και πάλι ότι οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται με τις κανονικές τιμές διάρκειας και πόρων χωρίς να λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης. Στην περίπτωση αυτή θα τεθεί περιορισμός στη διαθεσιμότητα των πόρων και μάλιστα θα δοθεί και σημαντική βαρύτητα στον στόχο της μη υπέρβασης της διαθεσιμότητας. Δευτερευόντως θα διατηρηθεί ο στόχος της μη υπέρβασης της διάρκειας που προκύπτει με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής (18 ημέρες) όπως και ο στόχος ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 8 πόρους / ημέρα Μη υπέρβαση της διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 18 ημερών Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης δραστηριοτήτων χωρίς δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με ανά μονάδα υπέρβασης, κόστος υπέρβασης ίσο με 3000 ανά ημέρα υπέρβασης και κόστος μεταβολής πόρων 1000 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακας Η αναλογία των τιμών αυτών αντιστοιχεί και στην προτεραιότητα του κάθε στόχου έναντι των υπόλοιπων κατά την αναζήτηση λύσεων από τους αλγορίθμους.

110 107 Πίνακας 7. 36: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 2 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 1000 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 8 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 18 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 3000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η λύση με τη χαμηλότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τις τιμές των παραμέτρων που ορίστηκαν παρουσιάζεται στον ακόλουθο Πίνακας Υπενθυμίζεται ότι εφόσον στην περίπτωση αυτή δεν λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών, η λύση αποτελείται μόνο από τους χρόνους εκκίνησης των εργασιών. Πίνακας 7. 37: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 2 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Α Γ Α Δ Β Ε Β,Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Πέρας Θ,Ι,Κ Το ιστόγραμμα χρήσης πόρων και το διάγραμμα Gantt κατανομής πόρων παρουσιάζονται παρακάτω στο Σχήμα Μελετώντας τα παρακάτω διαγράμματα διαπιστώνουμε ότι η λύση που εντοπίστηκε ανταποκρίνεται ικανοποιητικά στους αρχικούς στόχους της επίλυσης. Αρχικά, η μέγιστη ημερήσια χρήση πόρων μειώθηκε σε σύγκριση με την προηγούμενη περίπτωση και με την περίπτωση της ενωρίτερης έναρξης και περιορίστηκε σε τιμές κάτω από το όριο διαθεσιμότητας των 8 εργατών. Σαν συνέπεια, το

111 108 έργο επιμηκύνεται και η διάρκεια του γίνεται ίση με 24 ημέρες, ξεπερνώντας το όριο των 18 ημερών που τέθηκε σαν αρχικός στόχος. Αυτό εξηγείται λόγω της μεγάλης διαφοράς των τιμών και που ορίστηκαν στην αρχή, η οποία αποδίδει μεγαλύτερη βαρύτητα στη μη υπέρβαση της διαθεσιμότητας πόρων σε βάρος των άλλων δύο στόχων, δηλαδή της μεταβλητότητας πόρων και της υπέρβασης του χρονοδιαγράμματος. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 18: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 2 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο Πίνακας Πίνακας 7. 38: Αξιολόγηση Λύσης: 2 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 24 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 2400 Σύνολο Πόρων 144 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) Μέση Χρήση Πόρων 6 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 8 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) Μέση/Μέγιστη χρήση 0,75 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 1,668

112 109 Σημειώνεται ότι η παραπάνω λύση προσεγγίζει σε μεγάλο βαθμό την προηγούμενη γνωστή λύση που έχει βρεθεί εμπειρικά και παρουσιάζεται στην εργασία [78]. Στη συνέχεια, για λόγους σύγκρισης και αξιολόγησης του μοντέλου παρατίθενται μερικές πιθανές λύσεις της παρούσας περίπτωσης. Λύση 1 η : Βέλτιστη ευρεθείσα με τους αλγορίθμους GΑ και HS ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 24 ΕΚ 2400 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 144 ΚΜΠ ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 6,00 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 8 ΚΥΧΡ ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,75 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 1,668 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Λύση 2 η : Βέλτιστη εμπειρική ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 23 ΕΚ 2300 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 144 ΚΜΠ ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 6,26 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 8 ΚΥΧΡ ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,78 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 1,630 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 19: Σύγκριση τριών πιθανών λύσεων : 2 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση

113 110 Λύση 3 η : Άλλη λύση από την εκτέλεση των αλγορίθμων ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 25 ΕΚ 2500 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 144 ΚΜΠ ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 5,76 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 8 ΚΥΧΡ ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,72 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 1,508 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 20: Σύγκριση τριών πιθανών λύσεων : 2 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Παρατηρώντας τις λύσεις αυτές αρχικά διαπιστώνουμε ότι η καλύτερη ανάμεσά τους (η δεύτερη) επιτυγχάνει τη μικρότερη διάρκεια όλων και ξεχωρίζει των υπολοίπων ακόμα και αν υστερεί συγκριτικά ως προς την ομαλότητα της κατανομής πόρων στη διάρκεια του έργου. Αυτό συμβαίνει γιατί στην περίπτωση αυτή έχει δοθεί μεγαλύτερη βαρύτητα στον στόχο συγκράτησης της διάρκειας στο ελάχιστο δυνατό (ο οποίος ελέγχεται και από δύο συναρτήσεις τις και σε σύγκριση με τον στόχο εξομάλυνσης πόρων ( Περίπτωση 3 η Στην τρίτη περίπτωση επιλέγεται η διατήρηση των στόχων της δεύτερης περίπτωσης με τη διαφορά ότι κάθε εργασία θεωρείται ότι μπορεί να εκτελεστεί με ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Η επιλογή εναλλακτικού τρόπου ουσιαστικά ισοδυναμεί με επιλογή συνδυασμού τιμών διάρκειας-απαιτήσεων σε πόρους για κάθε εργασία. Οι πιθανοί εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης κάθε εργασίας παράγονται με τον τρόπο που έχει περιγραφεί στην ενότητα 7.2. Στην παρούσα περίπτωση, το εύρος των απαιτούμενων πόρων για κάθε εργασία καθορίζεται από την τιμή 1 έως το 200% της απαίτησης σε πόρους της εργασίας που αντιστοιχούν στην κανονική διάρκεια εκτέλεσης της εργασίας. Η μέγιστη και ελάχιστη χρήση για κάθε εργασία καταγράφεται στον ακόλουθο πίνακα.

114 111 Πίνακας 7. 39: Μέγιστη και Ελάχιστη χρήση πόρων 2 ου Παραδείγματος Εργασία Ελάχιστος αρ. πόρων Μέγιστος αρ. πόρων Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 8 Μη υπέρβαση της διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 18 ημερών Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /πορο-ημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα, κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με ανά μονάδα υπέρβασης, κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ίσο με 3000 ανά ημέρα υπέρβασης και κόστος μεταβολής πόρων 1000 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα (). Η αναλογία των τιμών αυτών αντιστοιχεί και στην προτεραιότητα του κάθε στόχου έναντι των υπόλοιπων κατά την αναζήτηση λύσεων από τους αλγορίθμους.

115 112 Πίνακας 7. 40: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 2 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 1000 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 8 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 18 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 3000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακας Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στo Σχήμα Πίνακας 7. 41: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 2 ο Παράδειγμα 3 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Α Γ Α Δ Β Ε Β,Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Πέρας Θ,Ι,Κ Παρατηρώντας την παραπάνω λύση διαπιστώνουμε ότι η κατανομή πόρων στην περίπτωση αυτή είναι πολύ πιο ομαλή, με μεταβολή σε ένα μόνο σημείο του έργου με σταθερή χρήση πόρων ανά περίοδο πριν και μετά την μεταβολή (5 η μέρα). Η συνολική χρήση πόρων ανά ημέρα διατηρείται κάτω από το όριο διαθεσιμότητας των 8 πόρων επιτυγχάνοντας τον αντίστοιχο στόχο ενώ σε σύγκριση με τις δύο προηγούμενες περιπτώσεις που μελετήσαμε, η διάρκεια του έργου εμφανίζεται μειωμένη, ξεπερνώντας μόνο κατά δύο ημέρες την επιθυμητή προθεσμία.

116 113 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 21: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 2 ο Παράδειγμα 3 η Περίπτωση Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Η χρήση των πόρων στην περίπτωση αυτή είναι πολύ πιο ομοιόμορφη σε σύγκριση με τις προηγούμενες περιπτώσεις καθώς ο λόγος μέσης προς μέγιστη χρήση εμφανίζεται ιδιαίτερα υψηλός ενώ η τυπική απόκλιση των τιμών ημερήσιας χρήσης είναι επίσης μειωμένη. Πίνακας 7. 42: Αξιολόγηση Λύσης : 2 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 20 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 2000 Σύνολο Πόρων 150 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 2000 Μέση Χρήση Πόρων 7,5 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 8 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 6000 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,94 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0,889 Η παραπάνω λύση προσδιορίστηκε σε αποδεκτό χρόνο μόνο από τον αλγόριθμο Αρμονικής Αναζήτησης ενώ με το λογισμικό Evolver η καλύτερη λύση που

117 114 προσδιορίστηκε είχε τιμή της. Και οι δύο αυτές λύσεις δεν είναι οι απολύτως βέλτιστες για την περίπτωση αυτή καθώς μια πιο βελτιωμένη λύση έχει προσδιοριστεί και παρουσιαστεί στην εργασία [78]. Για λόγους αξιολόγησης του μοντέλου στη συνέχεια παρουσιάζονται και συγκρίνονται ορισμένες πιθανές λύσεις της περίπτωσης αυτής. Η βέλτιστη των τριών με βάση την αντικειμενική συνάρτηση που θεωρούμε είναι η δεύτερη, η οποία έχει προσδιοριστεί εμπειρικά. Το πλεονέκτημά της είναι η μικρότερη διάρκεια του έργου η οποία μειώνει σημαντικά το αντίστοιχο κόστος (συναρτήσεις και ) παρόλο που το παρουσιάζει ελαφρώς μεγαλύτερη μεταβλητότητα στη χρήση πόρων. Αυτό οφείλεται στις διαφορές των παραμέτρων εισόδου που καθορίζουν τη βαρύτητα κάθε στόχου. Σημειώνεται επίσης ότι οι λύσεις 1 η και 3 η που προέκυψαν από την εκτέλεση των αλγορίθμων της παρούσας εργασίας εμφανίζουν βελτιωμένα χαρακτηριστικά από τις προηγούμενα γνωστές λύσεις που παρουσιάζονται στην εργασία [78], καθώς καταλήγουν σε μικρότερη διάρκεια έργου.

118 115 Λύση 1 η Βέλτιστη HS ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 20 ΕΚ 2000 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 150 ΚΜΠ 2000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 7,50 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 8 ΚΥΧΡ 6000 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,94 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 0,889 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Λύση 2 η Εμπειρική ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 19 ΕΚ 1900 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 144 ΚΜΠ 4000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 7,58 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 8 ΚΥΧΡ 3000 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,95 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 0,692 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Λύση 3 η Βέλτιστη GA ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 21 ΕΚ 2100 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 149 ΚΜΠ 5000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 7,10 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 8 ΚΥΧΡ 9000 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,89 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 1,261 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 22: Σύγκριση τριών πιθανών λύσεων : 2 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση

119 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 ο Στο παράδειγμα αυτό θεωρούμε ένα έργο αποτελούμενο από 11 δραστηριότητες με τη δομή που παρουσιάζεται από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του Σχήμα Οι δραστηριότητες συνδέονται μεταξύ τους μόνο με σχέσης διαδοχής της μορφής Τέλους- Αρχής (FS) χωρίς χρονικό διάκενο. Η εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται με τη χρήση ενός πόρου, ο οποίος αντιπροσωπεύει το συνεργείο των εργατών. Β (4,2) Δ (6,3) Η (3,5) Κ (2,2) ΑΡΧΗ Α (4,3) Ε (2,3) Θ (2,4) ΠΕΡΑΣ Γ (2,5) Λ (5,2) Ζ (5,4) Ι (5,4) ΕΡΓΑΣΙΑ (ΔΙΑΡΚΕΙΑ, ΕΡΓΑΤΕΣ) Σχήμα 7. 23: Κομβικό Δικτυωτό Γράφημα έργου 3ου Παραδείγματος Στον Πίνακας περιλαμβάνονται τα δεδομένα κάθε δραστηριότητας και τα μεγέθη χρονικού προγραμματισμού που προκύπτουν σύμφωνα με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής (CPM), αν οι εργασίες εκτελεστούν με την κανονική τους διάρκεια και την κανονική τους απαίτηση σε πόρους. Πίνακας 7. 43: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού 3 ου Παραδείγματος Α/Α ΟΝΟΜΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. dj rj dj * rj ΕΝΩΡΙΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ ΒΡΑΔΥΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ (ΗΜΕΡΕΣ) (ΕΡΓΑΤΕΣ) (ΕΡΓ*ΗΜ) ES EF LS LF TF FF CP 0 Αρχή * 1 Α Αρχή * 2 Β Α Γ Α * 4 Δ Β Ε Γ Ζ Γ * 7 Η Δ Θ Ε Ι Ζ * 10 Κ Η Λ Ι * 1000 Πέρας Θ,Κ,Λ * Σύμφωνα με τα παραπάνω, η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η Α-Γ-Ζ-Ι-Λ και η ελάχιστη διάρκειά του είναι 21 ημέρες. Το ιστόγραμμα χρήσης πόρων και το αντίστοιχο διάγραμμα Gantt του έργου στην περίπτωση Ενωρίτερης Έναρξης των εργασιών σύμφωνα με τη μέθοδο κρίσιμης διαδρομής παρουσιάζονται στο Σχήμα Στη συνέχεια επιλύονται τρεις διαφορετικές περιπτώσεις του προβλήματος, με εφαρμογή του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης.

120 117 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Σχήμα 7. 24: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Ενωρίτερης Έναρξης (CPM): 3 ο Παράδειγμα Περίπτωση 1 η Στην πρώτη περίπτωση, θεωρείται ότι οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται κανονικά χωρίς να λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης. Στόχος της επίλυσης είναι ο προσδιορισμός του χρονοπρογράμματος, δηλαδή ο καθορισμός των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Μη υπέρβαση της διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 21 ημερών Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης δραστηριοτήτων χωρίς δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης Απεριόριστη διαθεσιμότητας πόρου (εργατών) Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής

121 118 Επομένως, οι παράμετροι εισόδου στο μοντέλο βελτιστοποίησης παίρνουν τις τιμές του Πίνακα Η απαίτηση μη υπέρβασης της διάρκειας του έργου βάσει CPM οδηγεί στον ορισμό υψηλού κόστους υπέρβασης χρονοδιαγράμματος σε σύγκριση με το αντίστοιχο κόστος μεταβολής πόρων, προκειμένου να δοθεί μεγαλύτερο βάρος στην αναζήτηση λύσεων που δε θα υπερβαίνουν το όριο. Πίνακας 7. 44: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 3 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 21 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 2000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η λύση με τη χαμηλότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τις τιμές των παραμέτρων που ορίστηκαν παρουσιάζεται στον ακόλουθο Πίνακα Συγκεκριμένα εντοπίστηκαν δύο πιθανές λύσεις με την ίδια τιμή της. Υπενθυμίζεται ότι εφόσον στην περίπτωση αυτή δεν λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών, η λύση αποτελείται μόνο από τους χρόνους εκκίνησης των εργασιών. Πίνακας 7. 45: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 3 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση 1 Λύση 2 No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Πέρας Θ,Κ,Λ

122 119 Τα χρονοπρογράμματα των παραπάνω λύσεων παρουσιάζονται εποπτικά με τα διαγράμματα κατανομής πόρων Gantt του Σχήμα Σημειώνεται ότι και οι δύο λύσεις είναι παρόμοιες και έχουν ακριβώς το ίδιο ιστόγραμμα χρήσης πόρων. Οι δύο λύσεις διαφέρουν μόνο στην εκτέλεση των εργασιών Δ και Ε. Και οι δύο λύσεις θεωρούνται βέλτιστες με βάση το προτεινόμενο μοντέλο και όπως βλέπουμε ικανοποιούν τους στόχους και τους περιορισμούς που τέθηκαν πριν την επίλυση. Η διάρκεια του έργου προκύπτει ίση με 21 ημέρες, ικανοποιώντας τον αρχικό στόχο της μη υπέρβασης της διάρκειας που προκύπτει με βάση τη μέθοδο κρίσιμης διαδρομής. Επίσης, το ιστόγραμμα χρήσης πόρων παρουσιάζει αισθητή εξομάλυνση σε σύγκριση με αυτό του Σχήμα της ενωρίτερης έναρξης. Παρατηρούμε ότι ορισμένες από τις μη κρίσιμες εργασίες μετακινήθηκαν επάνω στο διάγραμμα Gantt της ενωρίτερης έναρξης, διατηρώντας τα χαρακτηριστικά τους, προκειμένου να μειωθούν οι μεταβολές στο ιστόγραμμα χρήσης πόρων. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα (α): Κατανομή Πόρων και διαγράμματα Gantt 1 ης και 2 ης Λύσης: 3 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση

123 120 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα (β): Κατανομή Πόρων και διαγράμματα Gantt 1 ης και 2 ης Λύσης: 3 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Στον παρακάτω πίνακα καταγράφονται τα επιμέρους κόστη που συνθέτουν την αντικειμενική συνάρτηση για τις Λύσεις 1 και 2 (ταυτίζονται). Επίσης καταγράφονται ορισμένα κριτήρια αξιολόγησης της ποιότητας της επίλυσης ως προς την κατανομή και χρήση των πόρων. Πίνακας 7. 46: Αξιολόγηση Λύσης: 3 ο Παράδειγμα 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 21 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 2100 Σύνολο Πόρων 131 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 2100 Μέση Χρήση Πόρων 6,24 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 8 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,78 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 1, Περίπτωση 2 η Στην δεύτερη περίπτωση θεωρείται και πάλι ότι οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται με τις κανονικές τιμές διάρκειας και πόρων χωρίς να λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης. Στην περίπτωση αυτή θα τεθεί περιορισμός στη διαθεσιμότητα των πόρων, στον οποίο μάλιστα θα δοθεί και σημαντική βαρύτητα. Δευτερευόντως θα διατηρηθεί ο στόχος της μη υπέρβασης της διάρκειας που προκύπτει με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής (21 ημέρες) όπως και ο στόχος ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 6 πόρους/ημέρα Μη υπέρβαση της διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 21 ημερών

124 121 Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης δραστηριοτήτων χωρίς δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με ανά μονάδα υπέρβασης, κόστος υπέρβασης ίσο με 3000 ανά ημέρα υπέρβασης και κόστος μεταβολής πόρων 1000 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα Η αναλογία των τιμών αυτών αντιστοιχεί και στην προτεραιότητα του κάθε στόχου έναντι των υπόλοιπων κατά την αναζήτηση λύσεων από τους αλγορίθμους. Πίνακας 7. 47: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 3 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 1000 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 6 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 21 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 3000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η λύση με τη χαμηλότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τις τιμές των παραμέτρων που ορίστηκαν παρουσιάζεται στον ακόλουθο Πίνακα 7.48.Υπενθυμίζεται ότι εφόσον στην περίπτωση αυτή δεν λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών, η λύση αποτελείται μόνο από τους χρόνους εκκίνησης των εργασιών. Το ιστόγραμμα χρήσης πόρων και το διάγραμμα Gantt κατανομής πόρων για το χρονοπρογραμματισμό του Πίνακα παρουσιάζονται παρακάτω στο Σχήμα Μελετώντας τα παραπάνω σχήματα παρατηρείται ότι ο στόχος της συγκράτησης της συνολικής ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές χαμηλότερες του ορίου εργατών ανά ημέρα και μάλιστα με επιβολή σημαντικού επιπλέον κόστους σε περίπτωση υπέρβασης οδήγησε στην επιλογή λύσης όπου δεν γίνεται υπέρβαση του ορίου.

125 122 Πίνακας 7. 48: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 3 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Πέρας Θ,Κ,Λ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 27: Κατανομή Πόρων και διάγραμμα Gantt: 3 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση

126 123 Συγκεκριμένα, οι εργασίες μετακινήθηκαν προς τα δεξιά στο διάγραμμα Gantt, εκτελέστηκαν δηλαδή αργότερα σε σύγκριση με τις προηγούμενες περιπτώσεις, προκειμένου να αποφευχθεί η υπέρβαση του ημερήσιου ορίου πόρων. Έτσι η διάρκεια του έργου αυξάνεται στις 28 ημέρες με την αντίστοιχη αύξηση κόστους, που όμως είναι συγκριτικά μικρότερο από το κόστος μιας πιθανής υπέρβασης των διαθέσιμων πόρων. Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα Πίνακας 7. 49: Αξιολόγηση Λύσης: 3 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 28 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 2100 Σύνολο Πόρων 131 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 9000 Μέση Χρήση Πόρων 4,68 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 6 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) Μέση/Μέγιστη χρήση 0,78 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0,98 Σημειώνεται ότι η παραπάνω βέλτιστη ευρεθείσα λύση παρουσιάζει βελτιωμένα χαρακτηριστικά από τις έως τώρα γνωστές λύσεις που δίνονται στην εργασία [78] σύμφωνα με το μοντέλο βελτιστοποίησης που εφαρμόζουμε. Για λόγους αξιολόγησης της αποτελεσματικότητας του μοντέλου, γίνεται σύγκριση της παραπάνω λύσης με τις προηγούμενες λύσεις. Η διαφοροποίηση των λύσεων αυτών αφορά αποκλειστικά την κατανομή των πόρων. Οι δύο προηγούμενες λύσεις χαρακτηρίζονται από Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) και αντίστοιχα ενώ η λύση που δίνεται παραπάνω χαρακτηρίζεται από ΚΜΠ ίσο με 9000.

127 124 Προηγούμενες Λύσεις : (α) (β) Σχήμα 7. 28: Αξιολόγηση Πιθανών Λύσεων: 3 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση (γ) Περίπτωση 3 η Στην τρίτη περίπτωση επιλέγεται η διατήρηση των στόχων της δεύτερης περίπτωσης με τη διαφορά ότι κάθε εργασία θεωρείται ότι μπορεί να εκτελεστεί με ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Η επιλογή εναλλακτικού τρόπου ουσιαστικά ισοδυναμεί με επιλογή συνδυασμού τιμών διάρκειας-απαιτήσεων σε πόρους για κάθε εργασία. Οι πιθανοί εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης κάθε εργασίας παράγονται με τον τρόπο που έχει περιγραφεί στην ενότητα 7.2 Στην παρούσα περίπτωση, το εύρος των απαιτούμενων πόρων για κάθε εργασία καθορίζεται από την τιμή 1 έως το 200% της απαίτησης σε πόρους της εργασίας που αντιστοιχούν στην κανονική διάρκεια εκτέλεσης της εργασίας. Η μέγιστη και ελάχιστη χρήση για κάθε εργασία καταγράφεται στον ακόλουθο πίνακα.

128 125 Πίνακας 7. 50: Μέγιστη και Ελάχιστη χρήση πόρων 3 ου Παραδείγματος Εργασία Ελάχιστος Μέγιστος No αρ. πόρων αρ. πόρων Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 6 Μη υπέρβαση της ελάχιστης διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM) Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με ανά μονάδα υπέρβασης, κόστος υπέρβασης ίσο με 4000 ανά ημέρα υπέρβασης και κόστος μεταβολής πόρων 1000 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα Η αναλογία των τιμών αυτών αντιστοιχεί και στην προτεραιότητα του κάθε στόχου έναντι των υπόλοιπων κατά την αναζήτηση λύσεων από τους αλγορίθμους.

129 126 Πίνακας 7. 51: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 3 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 1000 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 6 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 21 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 4000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακα Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα Πίνακας 7. 52: Χρονοδιάγραμμα Λύσης : 3 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Πέρας Θ,Κ,Λ Παρατηρείται ότι η λύση που βρέθηκε στην περίπτωση αυτή οδηγεί σε ένα σχεδόν ιδανικό ιστόγραμμα χρήσης πόρων το οποίο είναι οριζόντιο στο σύνολο σχεδόν του έργου πλην της τελευταίας ημέρας, καταλήγοντας σε μικρό κόστος μεταβολής πόρων ίσο με Η δυνατότητα επιλογής μεταξύ εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών, οι οποίοι όμως περιλαμβάνουν το ίδιο συνολικό έργο για κάθε εργασία, κατέστησε εφικτή μια πολύ βελτιωμένη λύση σε σχέση με τις προηγούμενες περιπτώσεις.

130 127 Η διάρκεια του έργου προκύπτει ίση με 23 ημέρες, ξεπερνώντας μόλις κατά 2 ημέρες το άνω όριο που είχε τεθεί εξαρχής ενώ σε καμία ημέρα δεν απαιτείται συνολική χρήση πόρων μεγαλύτερη από την αντίστοιχη διαθεσιμότητα των πόρων. Το γεγονός αυτό οδηγεί σε μηδενικό κόστος υπέρβασης πόρων, το οποίο θα ήταν ιδιαίτερα μεγάλο ακόμη και για υπέρβαση μιας μονάδας, επειδή είχε τη μεγαλύτερη βαρύτητα μεταξύ των επιμέρους στόχων. Σημειώνεται ότι η λύση αυτή έχει την ίδια ακριβώς τιμή της με τη λύση που παρουσιάζεται στην εργασία [78]. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 29: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt λύσης : 3 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Σημειώνεται ότι η παραπάνω λύση είναι ιδιαίτερα δύσκολο να προσδιοριστεί εμπειρικά και ακόμη και οι μέθοδοι βελτιστοποίησης που εφαρμόστηκαν στο πλαίσιο της παρούσας δεν κατάφεραν να την προσδιορίσουν σε αποδεκτό χρόνο. Για λόγους αξιολόγησης του μοντέλου, παραθέτουμε τις δύο καλύτερες λύσεις που προέκυψαν από κάθε μέθοδο σε αποδεκτό όριο χρόνου (10 λεπτών ή

131 128 επαναλήψεων) καθώς και τη λύση που προσδιορίζεται εμπειρικά στην εργασία [78] στο παρακάτω Σχήμα Πίνακας 7. 53: Αξιολόγηση Λύσης : 3 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 23 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 2300 Σύνολο Πόρων 136 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 2000 Μέση Χρήση Πόρων 5,91 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 6 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 8000 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,99 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0,417 Λύση 1 η : Evolver - ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 24 ΕΚ 2400 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 133 ΚΜΠ 5000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 5,54 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 6 ΚΥΧΡ ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,92 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 0,588 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 30: Σύγκριση πιθανών λύσεων : 3 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση

132 129 Λύση 2 η : Harmony Search - ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 23 ΕΚ 2300 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 135 ΚΜΠ 6000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 5,87 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 6 ΚΥΧΡ 8000 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,98 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 0,458 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Λύση 3 η : Εργασία [78] ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 23 ΕΚ 2300 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 136 ΚΜΠ 2000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 5,91 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 6 ΚΥΧΡ 8000 ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,99 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 0,288 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 31: Σύγκριση πιθανών λύσεων : 3 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Παρατηρώντας τις δύο ελαφρώς «χειρότερες» σύμφωνα με το μοντέλο λύσεις της ίδιας περίπτωσης μπορούμε να διακρίνουμε τις διαφορές: Η 1 η Λύση χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερη τιμή της επειδή παρουσιάζει αυξημένη διάρκεια κατά 1 ημέρα καθώς και μεγαλύτερη μεταβλητότητα στη χρήση πόρων σε σύγκριση με την παραπάνω βέλτιστη ευρεθείσα. Η 2 η Λύση που προέκυψε με εφαρμογή του αλγορίθμου αρμονικής αναζήτησης είναι πολύ πιο κοντά στη βέλτιστη ευρεθείσα με τιμή της και

133 130 υστερεί σε σύγκριση με αυτή επειδή εμφανίζει ελαφρώς μεγαλύτερη μεταβλητότητα στη χρήση πόρων (τις ημέρες 9 και 18). Επίσης, για λόγους σύγκρισης παραθέτουμε τη λύση που έχει προσδιοριστεί στην εργασία [78], η οποία έχει ακριβώς την ίδια τιμή της και σύμφωνα με το μοντέλο μας είναι εξίσου «καλή» λύση. Η διαφορά της με τη λύση που παρουσιάζεται παραπάνω όσον αφορά το ιστόγραμμα χρήσης πόρων είναι ότι η εδώ η μεταβολή εμφανίζεται στην αρχή του έργου ενώ στην παραπάνω λύση η μεταβολή γίνεται στο τέλος, κάτι που γενικώς είναι περισσότερο επιθυμητό καθώς έτσι η μεταβολή δεν επηρεάζει σημαντικά την παραγωγικότητα του έργου. Ωστόσο, η προτεινόμενη αντικειμενική συνάρτηση δεν διακρίνει διαφορά μεταξύ των δύο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 ο Στο παράδειγμα αυτό θεωρούμε ένα έργο αποτελούμενο από 7 δραστηριότητες με τη δομή που παρουσιάζεται από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του Σχήμα Οι δραστηριότητες στην περίπτωση αυτή συνδέονται μεταξύ τους με σύνθετες σχέσης διαδοχής. Περιλαμβάνονται δηλαδή εκτός των σχέσεων της μορφής Τέλους-Αρχής (FS), σχέσεις της μορφής Αρχής-Αρχής (SS) και Τέλους-Τέλους (FF) με χρονικό διάκενο (υστέρηση ή προπόρευση). Η εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται με τη χρήση ενός πόρου, ο οποίος αντιπροσωπεύει το συνεργείο των εργατών. Σχήμα 7. 32: Κομβικό Δικτυωτό Γράφημα έργου 4 ου Παραδείγματος Τα δεδομένα των δραστηριοτήτων του έργου καταγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί (Πίνακας 7. 54). Για κάθε εργασία, αναφέρεται η διάρκεια και η απαίτησή της σε πόρους υπό κανονικές συνθήκες εκτέλεσης καθώς και οι τύποι σχέσεων διαδοχής με τις οποίες συνδέεται με κάθε μία από τις αμέσως προηγούμενες δραστηριότητες.

134 131 Καταγράφονται επίσης οι ενωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι εκτέλεσης των δραστηριοτήτων σύμφωνα με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής. Πίνακας 7. 54: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού 4 ου Παραδείγματος Α/Α ΟΝΟΜΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΤΥΠΟΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΙΑΔΟΧΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΠΟΡΟΣ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ ΒΡΑΔΥΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ dj (ΗΜΕΡΕΣ) rj (ΕΡΓΑΤΕΣ) dj * rj ES EF LS LF TF CP 0 Αρχή * 1 Α Αρχή FS Β Αρχή FS * 3 Γ Αρχή FS Δ Α FS Ε Α FF Ζ Β,Γ,Δ FS / FS+1 / SS * 7 Η Γ SS ΠΕΡΑΣ E,Z,H * Στο Σχήμα απεικονίζεται το διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων που αντιστοιχεί στην ενωρίτερη έναρξη των δραστηριοτήτων του έργου (ES) με βάσει τα χρονικά μεγέθη του παραπάνω Πίνακα 7.54 μαζί με το αντίστοιχο ιστόγραμμα χρήσης πόρων. Η κρίσιμη διαδρομή του έργου, δηλαδή η διαδρομή με τη μεγαλύτερη διάρκεια σύμφωνα με τις κανονικές διάρκειες των εργασιών είναι η Β Ζ και η διάρκεια του έργου ίση με 12 ημέρες. Στη συνέχεια επιλύονται τρεις διαφορετικές περιπτώσεις του προβλήματος, θέτοντας διαφορετικούς στόχους κάθε φορά και κάνοντας χρήση του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης.

135 132 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Σύνολο Υπέρβαση Σχήμα 7. 33: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt της ενωρίτερης έναρξης (CPM): 4 ο Παράδειγμα Περίπτωση 1 η Στην πρώτη περίπτωση, θεωρείται ότι οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται κανονικά χωρίς να λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης. Αυτό σημαίνει ότι η διάρκεια και η απαίτηση σε πόρους κάθε εργασίας έχουν τις καθορισμένες τιμές του Πίνακα Στην αρχική αυτή διερεύνηση, θα γίνει θεώρηση απεριόριστων πόρων και η επίλυση θα προσανατολιστεί στην εξομάλυνση του διαγράμματος χρήσης πόρων χωρίς όμως υπέρβαση της διάρκειας του έργου που προκύπτει από τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής. Επομένως, στόχος της επίλυσης είναι ο προσδιορισμός του χρονοπρογράμματος, δηλαδή ο καθορισμός των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Μη υπέρβαση της διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 12 ημερών Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης δραστηριοτήτων χωρίς δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης Απεριόριστη διαθεσιμότητα πόρου (εργατών) Περιορισμοί σύνθετων σχέσεων διαδοχής Επομένως, οι παράμετροι εισόδου στο μοντέλο βελτιστοποίησης, παίρνουν τις τιμές του Πίνακα Η απαίτηση μη υπέρβασης της διάρκειας του έργου βάσει CPM οδηγεί στον ορισμό υψηλού κόστους υπέρβασης χρονοδιαγράμματος σε σύγκριση με το αντίστοιχο κόστος μεταβολής πόρων, προκειμένου να δοθεί μεγαλύτερο βάρος στην αναζήτηση λύσεων που δε θα υπερβαίνουν το όριο.

136 133 Πίνακας 7. 55: Τιμές Παραμέτρων Μοντέλου: 4 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 12 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 2000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η λύση με τη χαμηλότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τις τιμές των παραμέτρων που ορίστηκαν παρουσιάζεται στον ακόλουθο Πίνακα 7.56.Υπενθυμίζεται ότι εφόσον στην περίπτωση αυτή δεν λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών, η λύση αποτελείται μόνο από τους χρόνους εκκίνησης των εργασιών. Παρατηρώντας τα αποτελέσματα (Σχήμα και Πίνακας 7. 56) διαπιστώνουμε ότι η λύση που εντοπίστηκε ως βέλτιστη ικανοποιεί σε σημαντικό βαθμό τους στόχους που τέθηκαν στην αρχή. Αρχικά, η διάρκεια του έργου διατηρεί την τιμή των 12 ημερών, όπως προσδιορίζεται σύμφωνα με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής. Οι εργασίες επομένως μετακινούνται στο περιθώριό τους προκειμένου να επιτευχθεί εξομάλυνση της χρήσης πόρων. Επιπλέον, οι σχέσεις διαδοχής ικανοποιούνται σε κάθε περίπτωση, όπως μπορεί να διαπιστώσει κανείς από το διάγραμμα Gantt του Σχήμα Πίνακας 7. 56: Χρονοδιάγραμμα Λύσης : 4 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Τύπος Σχέσης Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. Διαδοχής dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή FS Β Αρχή FS Γ Αρχή FS Δ Α FS Ε Α FF Ζ Β,Γ,Δ FS / FS+1 / SS Η Γ SS Πέρας E,Z,H

137 134 Το χρονοπρόγραμμα της παραπάνω λύσης παρουσιάζεται εποπτικά στο Σχήμα Επίσης, ο Πίνακας συγκεντρώνει τις τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και το άθροισμά τους που αποτελεί και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προς ελαχιστοποίηση με βάση το προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 34: Κατανομή Πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 4 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Πίνακας 7. 57: Αξιολόγηση Λύσης: : 4 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 12 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1200 Σύνολο Πόρων 107 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 3000 Μέση Χρήση Πόρων 8,92 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 14 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,64 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 2, Περίπτωση 2 η Στην δεύτερη περίπτωση θεωρείται και πάλι ότι οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται με τις κανονικές τιμές διάρκειας και πόρων χωρίς να λαμβάνονται υπόψη

138 135 εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης. Στην περίπτωση αυτή θα τεθεί περιορισμός στη διαθεσιμότητα των πόρων και μάλιστα θα δοθεί σημαντική βαρύτητα στον στόχο της μη υπέρβασης της διαθεσιμότητας. Δευτερευόντως θα διατηρηθεί ο στόχος της μη υπέρβασης της διάρκειας που προκύπτει με τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής (12 ημέρες) όπως και ο στόχος ομαλού ιστογράμματος χρήσης πόρων. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 7 Μη υπέρβαση της ελάχιστης διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 12 ημερών Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης δραστηριοτήτων χωρίς δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης Περιορισμοί σύνθετων σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με ανά μονάδα υπέρβασης, κόστος υπέρβασης ίσο με 4000 ανά ημέρα υπέρβασης και κόστος μεταβολής πόρων 1000 ανά μονάδα μεταβολής. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα Η αναλογία των τιμών αυτών αντιστοιχεί και στην προτεραιότητα του κάθε στόχου έναντι των υπόλοιπων κατά την αναζήτηση λύσεων από τους αλγορίθμους. Πίνακας 7. 58: Τιμές Παραμέτρων Μοντέλου: 4 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 1000 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 7 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 12 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 4000 ( / Ημέρα Υπέρβασης)

139 136 Η λύση με τη χαμηλότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τις τιμές των παραμέτρων που ορίστηκαν παρουσιάζεται στον ακόλουθο Πίνακα 7.59.Υπενθυμίζεται ότι εφόσον στην περίπτωση αυτή δεν λαμβάνονται υπόψη εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των εργασιών, η λύση αποτελείται μόνο από τους χρόνους εκκίνησης των εργασιών. Πίνακας 7. 59: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 4 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Αρχή Δ Α Ε Α Ζ Β,Γ,Δ Η Γ Πέρας E,Z,H Το χρονοπρόγραμμα της παραπάνω λύσης παρουσιάζεται εποπτικά με το διάγραμμα κατανομής πόρων - Gantt του Σχήμα Επίσης, ο Πίνακας 7.60 συγκεντρώνει τις τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και το άθροισμά τους που αποτελεί και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προς ελαχιστοποίηση με βάση το προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης.

140 137 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 35: Κατανομή Πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 4 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση Παρατηρώντας τα παραπάνω διαγράμματα διαπιστώνουμε ότι η λύση που εντοπίστηκε ως βέλτιστη ικανοποιεί σε σημαντικό βαθμό τους στόχους που τέθηκαν στην αρχή. Αρχικά, η ημερήσια χρήση πόρων δεν ξεπερνά το όριο των 7 μονάδων που ορίστηκε σε καμία χρονική περίοδο. Επιπλέον, το ιστόγραμμα χρήσης πόρων είναι οριζόντιο σε δύο τμήματα, παρουσιάζοντας μεταβολή μόνο σε ένα σημείο. Η βελτίωση σε σχέση με το χρονοδιάγραμμα της ενωρίτερης έναρξης (Σχήμα 7. 33) είναι μεγάλη. Η διάρκεια του έργου συγκρατείται κατά το δυνατόν χαμηλά, με τιμή που υπερβαίνει όμως κατά 5 ημέρες την επιθυμητή προθεσμία. Η επιμήκυνση αυτή προκύπτει σαν συνέπεια του περιορισμού των πόρων, στον οποίο δόθηκε μεγαλύτερη βαρύτητα κατά τον καθορισμό των παραμέτρων του μοντέλου. Τέλος, οι σχέσεις διαδοχής ικανοποιούνται σε κάθε περίπτωση, όπως μπορεί να διαπιστώσει κανείς από το διάγραμμα του Σχήματος Σημειώνεται ότι η λύση αυτή, η οποία προέκυψε σαν αποτέλεσμα και των δύο αλγορίθμων, εμφανίζει βελτιωμένα χαρακτηριστικά από την προηγούμενη γνωστή λύση της εργασίας [78] σύμφωνα με το μοντέλο βελτιστοποίησης που εφαρμόζεται. Για λόγους σύγκρισης, παρουσιάζουμε παρακάτω τις δύο αυτές λύσεις για την περίπτωση αυτή. Πίνακας 7. 60: Αξιολόγηση Λύσης: 4 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 17 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1700 Σύνολο Πόρων 107 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 3000 Μέση Χρήση Πόρων 6,29 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 7 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) Μέση/Μέγιστη χρήση 0,90 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 1,312

141 138 Λύση 1 η : Εργασία [78] ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 19 ΕΚ 1900 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 107 ΚΜΠ ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 5,63 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 7 ΚΥΧΡ ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,80 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 1,383 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Λύση 2 η : GA και HS ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 17 ΕΚ 1700 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 107 ΚΜΠ 3000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 6,29 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 7 ΚΥΧΡ ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,90 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 1,312 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 36: Σύγκριση Πιθανών Λύσεων: 4 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση Παρατηρούμε ότι η 2 η Λύση που εντοπίστηκε από τους αλγορίθμους είναι σαφώς βελτιωμένη από την προηγούμενα γνωστή 1 η Λύση της εργασίας [78] καθώς παρουσιάζει συντομότερη διάρκεια και μικρότερη μεταβλητότητα της συνολικής χρήσης πόρων στη διάρκεια του έργου. Επίσης, η 2 η λύση κάνει πιο αποδοτική χρήση των πόρων σε σύγκριση με την 1 η λύση καθώς παρουσιάζει μεγαλύτερο λόγο μέσης προς μέγιστη χρήση πόρων. Διαπιστώνουμε επομένως ότι το μοντέλο βελτιστοποίησης που προτείνεται αξιολογεί τις πιθανές λύσεις σε σωστή βάση αναλόγως και των στόχων που τίθενται εξ αρχής.

142 Περίπτωση 3 η Στην τρίτη περίπτωση επιλέγεται η διατήρηση των στόχων της δεύτερης περίπτωσης με τη διαφορά ότι κάθε εργασία θεωρείται ότι μπορεί να εκτελεστεί με ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Οι πιθανοί εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης κάθε εργασίας παράγονται με τον τρόπο που έχει περιγραφεί στην ενότητα 7.2. Στην παρούσα περίπτωση, το εύρος των απαιτούμενων πόρων για κάθε εργασία καθορίζεται από την τιμή 1 έως το 200% της απαίτησης σε πόρους της εργασίας που αντιστοιχούν στην κανονική διάρκεια εκτέλεσης της εργασίας. Η μέγιστη και ελάχιστη χρήση για κάθε εργασία καταγράφεται στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 7. 61: Μέγιστη και Ελάχιστη χρήση πόρων 4 ου Παραδείγματος Εργασία Ελάχιστος αρ. πόρων Μέγιστος αρ. πόρων Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης, ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της ημερήσιας χρήσης πόρων σε τιμές μικρότερες από 7 πόρους / ημέρα Μη υπέρβαση της ελάχιστης διάρκειας του έργου βάσει κρίσιμης διαδρομής (CPM), δηλαδή των 12 ημερών Εξομάλυνση της χρήσης των πόρων στη διάρκεια του έργου Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Περιορισμοί σύνθετων σχέσεων διαδοχής

143 140 Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με ανά μονάδα υπέρβασης, κόστος υπέρβασης ίσο με 4000 ανά ημέρα υπέρβασης και κόστος μεταβολής πόρων 1000 ανά μονάδα μεταβολής. Η αναλογία των τιμών αυτών αντιστοιχεί και στην προτεραιότητα του κάθε στόχου έναντι των υπόλοιπων κατά την αναζήτηση λύσεων από τους αλγορίθμους. Πίνακας 7. 62: Τιμές Παραμέτρων Μοντέλου: 4 ο Παράδειγμα 3 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 1000 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 7 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 12 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 4000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακα Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα Πίνακας 7. 63: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 4 ο Παράδειγμα 3 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Αρχή Δ Α Ε Α Ζ Β,Γ,Δ Η Γ Πέρας E,Z,H Παρατηρείται ότι η λύση που εντοπίστηκε με θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων εμφανίζει βελτιωμένα χαρακτηριστικά σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση, όπου οι δραστηριότητες εκτελούνται με τις κανονικές τιμές διάρκειας και χρήσης πόρων. Συγκεκριμένα, η διάρκεια του έργου παρουσιάζεται

144 141 μειωμένη κατά μία μέρα ενώ το ιστόγραμμα χρήσης πόρων είναι σχεδόν οριζόντιο. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, η συνολική ημερήσια χρήση των πόρων δεν ξεπερνά το προκαθορισμένο όριο διαθεσιμότητας των 7 εργατών. Επίσης, οι περιορισμοί των σύνθετων σχέσεων διαδοχής που λαμβάνονται υπόψη ικανοποιούνται. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 37: Κατανομή Πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης : 4 ο Παράδειγμα 3 η Περίπτωση Πίνακας 7. 64: Αξιολόγηση Λύσης: 4 ο Παράδειγμα - 3 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 16 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1600 Σύνολο Πόρων 108 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 1000 Μέση Χρήση Πόρων 6,75 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 7 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) Μέση/Μέγιστη χρήση 0,96 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0,447 Παρατηρώντας τις τιμές του Πίνακα 7.64 διαπιστώνουμε επίσης ότι η κατανομή των πόρων είναι ομοιόμορφη και χωρίς αιχμές καθώς ο λόγος μέσης προς μέγιστη χρήση είναι ιδιαίτερα υψηλός ενώ η τυπική απόκλιση των τιμών ημερήσιας χρήσης πόρων είναι πολύ μικρή. Για λόγους σύγκρισης, παραθέτουμε μία πιθανή λύση της περίπτωσης αυτής του προβλήματος με μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

145 142 ΑΚ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 17 ΕΚ 1700 ΑΠ. ΠΟΡΟΙ 112 ΚΜΠ 1000 ΜΕΣΗ ΧΡΗΣΗ 6,59 ΚΥΠ 0 ΜΕΓΙΣΤΗ ΧΡΗΣΗ 7 ΚΥΧΡ ΒΑΘΜΟΣ ΧΡΗΣΗΣ 0,94 f ΤΕΤΡ. ΑΠΟΚΛΙΣΗ 0,507 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 38: Πιθανή Λύση από αλγόριθμο HS: 4 ο Παράδειγμα 3 η Περίπτωση Συγκρίνοντας τη λύση του Σχήματος 7.36 με την λύση του Σχήματος 7.35 που παρουσιάστηκε παραπάνω, διαπιστώνουμε ότι είναι μια εξίσου καλή λύση από άποψη μεταβλητότητας πόρων και ακολουθεί τους περιορισμούς της διαθεσιμότητας, αλλά παρουσιάζει διάρκεια έργου αυξημένη κατά μία μέρα, γεγονός που αυξάνει τις τιμές των συναρτήσεων και ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 ο Στο παράδειγμα αυτό εξετάζουμε ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία από τους Christodoulou et al. [14]. Πρόκειται για ένα έργο αποτελούμενο από 4 δραστηριότητες με τη δομή που παρουσιάζεται από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του Σχήματος Η εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται με τη χρήση ενός πόρου, ο οποίος αντιπροσωπεύει το συνεργείο των εργατών.

146 143 Σχήμα 7. 39: Κομβικό Δικτυωτό Γράφημα 5 ου Παραδείγματος Με βάση τις κανονικές τιμές των μεγεθών διάρκειας και χρήσης πόρου των δραστηριοτήτων που καταγράφονται στο διάγραμμα, τα μεγέθη του χρονοπρογραμματισμού σύμφωνα με τη μέθοδο CPM παρουσιάζονται στον παρακάτω Πίνακα Πίνακας 7. 65: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού 5 ου Παραδείγματος Α/Α ΟΝΟΜΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΠΟΡΟΣ ΕΡΓΑΤΟΗΜΕΡΕΣ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ/ΝΗ dj rj (Εργάτες) dj * rj (Ημέρες) 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Αρχή Δ Αρχή Πέρας Α,Β,Γ,Δ Πίνακας 7. 66: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού 5 ου Παραδείγματος ΟΝΟΜΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ ΒΡΑΔΥΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ ES EF LS LF TF FF CP Αρχή Α Β Γ Δ Πέρας Σύμφωνα με τα παραπάνω, η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η Γ και η ελάχιστη διάρκειά του είναι 10 ημέρες. Το ιστόγραμμα χρήσης πόρων και το αντίστοιχο διάγραμμα

147 144 Gantt του έργου στην περίπτωση Ενωρίτερης Έναρξης των εργασιών σύμφωνα με τη μέθοδο κρίσιμης διαδρομής και για τους κανονικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων παρουσιάζονται παρακάτω. Σχήμα 7. 40: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt της ενωρίτερης έναρξης (ES): 5 ο Παράδειγμα Το πρόβλημα αυτό θα μελετηθεί στο πλαίσιο της παρούσας προσέγγισης και με χρήση του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης. Το ίδιο πρόβλημα έχει μελετηθεί και στην εργασία [78] και η προσέγγισή του καθιστά τη σύγκριση των λύσεων εφικτή. Κάθε εργασία θεωρείται ότι μπορεί να εκτελεστεί με ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Στην παρούσα περίπτωση, το εύρος των απαιτούμενων πόρων για κάθε εργασία καθορίζεται από την τιμή 1 έως το 150% της κανονικής απαίτησης της εργασίας σε πόρους. Η μέγιστη και ελάχιστη χρήση για κάθε εργασία καταγράφεται στον ακόλουθο πίνακα. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Πίνακας 7. 67: Μέγιστη και Ελάχιστη χρήση πόρων 5 ου Παραδείγματος Εργασία Ελάχιστος αρ. πόρων Μέγιστος αρ. πόρων Περίπτωση 1 η Στην πρώτη περίπτωση η επίλυση εστιάζει στην ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου υπό περιορισμό διαθεσιμότητας πόρων και δευτερευόντως στην επιδίωξη

148 145 ομοιόμορφης κατανομής πόρων. Επίσης, τίθεται ως εξωτερικός περιορισμός η παράλληλη εκτέλεση των εργασιών με εκκίνηση όλων τη χρονική στιγμή 0. Επομένως, το πρόβλημα έγκειται μόνο στον εντοπισμό του βέλτιστου συνδυασμού εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου Μη υπέρβαση της ημερήσιας διαθεσιμότητας πόρων (12 εργάτες) Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα, κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 300 ανά μονάδα μεταβολής, κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με 1000 ανά μονάδα υπέρβασης και μηδενικό κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος καθώς δεν υπάρχει συγκεκριμένη προθεσμία. Σημειώνεται ότι η ελαχιστοποίηση της διάρκειας επιτυγχάνεται μέσω του έμμεσου κόστους. Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα Πίνακας 7. 68: Τιμές Παραμέτρων Μοντέλου: 5 ο Παράδειγμα 1 η & 2 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 300 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 1000 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου 12 (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου - (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 0 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακα Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα 7.39.

149 146 Πίνακας 7. 69: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 5 ο Παράδειγμα 1 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Αρχή Δ Start Πέρας Α,Β,Γ,Δ Σχήμα 7. 41: Κατανομή Πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 5 ο Παράδειγμα 1 η Περίπτωση ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Όπως παρατηρούμε από τα παραπάνω, η λύση που προέκυψε ικανοποιεί πλήρως τους αρχικούς στόχους. Αρχικά, καταλήγει σε διάρκεια έργου ίση με 10 ημέρες, όπως και στην περίπτωση της κανονικής εκτέλεσης των δραστηριοτήτων με χρήση όμως σημαντικά μικρότερου αριθμού πόρων ανά ημέρα. Συγκεκριμένα, το όριο των 12 εργατών ανά ημέρα δεν παραβιάζεται σε καμία περίπτωση. Γίνεται χρήση ακριβώς 12 πόρων για όλη τη διάρκεια του έργου πλην των δύο τελευταίων ημερών, οπότε η συνολική χρήση πόρων μειώνεται. Το γεγονός αυτό υποδεικνύει ότι το έργο αξιοποιεί πολύ αποδοτικά το διαθέσιμο δυναμικό σε εργάτες και συγχρόνως, παρότι η διαθεσιμότητα είναι περιορισμένη, η λύση οδηγεί σε χαμηλή συνολική διάρκεια.

150 147 Πίνακας 7. 70: Αξιολόγηση Λύσης: 5 ο Παράδειγμα 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 10 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1000 Σύνολο Πόρων 109 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 2100 Μέση Χρήση Πόρων 10,90 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 12 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,91 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 2, Περίπτωση 2 η Στην περίπτωση αυτή θα επιδιωχθεί και πάλι η ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου υπό περιορισμό διαθεσιμότητας πόρων και δευτερευόντως η επιδίωξη ομοιόμορφης κατανομής πόρων χωρίς όμως να επιβάλλεται η παράλληλη εκτέλεση των εργασιών με εκκίνηση όλων τη χρονική στιγμή t=0, όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Επομένως, το πρόβλημα έγκειται στον εντοπισμό του βέλτιστου συνδυασμού εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και χρόνου έναρξης αυτών ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου Μη υπέρβαση της ημερήσιας διαθεσιμότητας πόρων (12 εργάτες) Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Χωρίς προθεσμία ολοκλήρωσης Περιορισμοί σχέσεων διαδοχής Οι τιμές των παραμέτρων του μοντέλου για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης διατηρούνται όπως ακριβώς στην προηγούμενη Περίπτωση 1.Οι αυτές καταγράφονται και στον Πίνακας Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακας Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα

151 148 Πίνακας 7. 71: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 5 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή Α Αρχή Β Αρχή Γ Αρχή Δ Start Πέρας Α,Β,Γ,Δ Όπως παρατηρούμε, επιτρέποντας στην περίπτωση αυτή τη μετακίνηση των δραστηριοτήτων σε οποιονδήποτε χρόνο, η λύση που προκύπτει παρουσιάζει βελτιωμένα χαρακτηριστικά σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση. Ειδικότερα, η κατανομή των πόρων είναι απόλυτα ομοιόμορφη στο σύνολο του έργου με μέγιστη αξιοποίηση των πόρων, όπως δηλώνει ο μοναδιαίος λόγος μέσης/μέγιστη χρήση. Ωστόσο παρουσιάζεται αύξηση της διάρκειας του έργου από 10 σε 16 ημέρες. Επειδή όμως η διάρκεια στην προκειμένη περίπτωση δεν περιορίζεται από κάποιο άνω όριο αλλά ελέγχεται μόνο από το έμμεσο κόστος, το οποίο επιβαρύνει την αντικειμενική συνάρτηση μόνο κατά 100 ανά ημέρα, το κέρδος από την εξομάλυνση του ιστογράμματος πόρων κρίνεται μεγαλύτερο. Σημειώνεται ότι η παραπάνω ευρεθείσα λύση εμφανίζει βελτιωμένα χαρακτηριστικά σε σχέση με τη λύση που προτείνεται ως βέλτιστη στην εργασία [78], το οποίο αποδίδεται στη χρήση διαφορετικών αλγορίθμων. Για λόγους σύγκρισης στο παρακάτω Σχήμα 7. 43, παρατίθενται τα διαγράμματα που περιγράφουν την παραπάνω λύση, την δεύτερη καλύτερη που βρέθηκε από τους αλγορίθμους της παρούσας και τη λύση που προτείνεται στην εργασία [78].

152 149 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 42: Κατανομή Πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 5 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Πίνακας 7. 72: Αξιολόγηση Λύσης: 5 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 16 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1600 Σύνολο Πόρων 112 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 0 Μέση Χρήση Πόρων 7,00 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 7 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 1,00 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 0,000 Παρατηρώντας τις τρείς πιθανές λύσεις για την περίπτωση αυτήν και τις τιμές των παραμέτρων που ορίστηκαν, η λύση που χαρακτηρίζεται από τη μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ικανοποιεί σε μεγαλύτερο βαθμό τους στόχους του προβλήματος. Και οι τρεις λύσεις δεν ξεπερνούν το όριο διαθεσιμότητας των 12 εργατών ανά ημέρα και μάλιστα προκειμένου να ελαχιστοποιηθούν οι μεταβολές, η συνολική ημερήσια απασχόληση εργατών μειώνεται ακόμα περισσότερο από τη προκαθορισμένη διαθεσιμότητα, ώστε να υπάρξει σταθερή απασχόληση σε όλη τη διάρκεια του έργου. Με τον τρόπο αυτό, οι εργάτες που δεν απασχολούνται (5) θα μπορέσουν να απασχοληθούν αποκλειστικά σε άλλο έργο. Ο στόχος της ομοιόμορφης χρήσης των πόρων επιτυγχάνεται πλήρως καθώς το διάγραμμα είναι ορθογώνιο. Η αύξηση που σημειώνεται στη διάρκεια του έργου οφείλεται στη σχετικά μικρότερη τιμή του έμμεσου κόστους σε σχέση με το κόστος μεταβολής πόρων, επιτρέποντας στο μοντέλο να θεωρήσει βέλτιστη τη λύση (γ) του Σχήμα σε σύγκριση με τις (α) και (β).

153 150 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Α Β Β Γ Γ Δ Δ Σύνολο Σύνολο Υπέρβαση Υπέρβαση Μεταβολή Μεταβολή (α) ΑΚ Διάρκεια 13 ΕΚ 1300 Απ. Πόροι 113 ΚΜΠ 300 Μέση χρήση 8,69 ΚΥΠ 0 Μέγιστη χρήση 9 ΚΥΧΡ 0 Μέση/Μέγιστη 0,97 f Τυπ. Απόκλιση 0,480 ΑΚ Διάρκεια 14 ΕΚ 1400 Απ. Πόροι 112 ΚΜΠ 1200 Μέση χρήση 8,00 ΚΥΠ 0 Μέγιστη χρήση 9 ΚΥΧΡ 0 Μέση/Μέγιστη 0,89 f Τυπ. Απόκλιση 1,177 (β) ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Β Γ Δ Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή ΑΚ Διάρκεια 16 ΕΚ 1600 Απ. Πόροι 112 ΚΜΠ 0 Μέση χρήση 7,00 ΚΥΠ 0 Μέγιστη χρήση 7 ΚΥΧΡ 0 Μέση/Μέγιστη 1,00 f Τυπ. Απόκλιση 0,000 (γ) Σχήμα 7. 43: Σύγκριση πιθανών λύσεων: Παράδειγμα 5 ο - Περίπτωση 2 η

154 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 ο Στο παράδειγμα αυτό εξετάζεται ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία (Christodoulou et al [13]) εστιάζοντας στην εξομάλυνση της κατανομής πόρων (resource leveling) με τη μέθοδο της μεγιστοποίησης εντροπίας έργου. Επιλύουμε το ίδιο πρόβλημα με χρήση του προτεινόμενου μοντέλου και αξιολογούμε την ποιότητα των λύσεων κάθε μεθόδου. Το έργο αποτελείται από 11 δραστηριότητες και έχει τη δομή που παρουσιάζεται από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του Σχήματος Σχήμα 7. 44: Κομβικό Δικτυωτό Γράφημα και δεδομένα χρονοπρογραμματισμού 6 ου Παραδείγματος Οι δραστηριότητες συνδέονται μεταξύ τους με απλές σχέσης διαδοχής της μορφής Τέλους-Αρχής (FS) χωρίς χρονικό διάκενο. Η εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται με τη χρήση ενός πόρου, ο οποίος αντιπροσωπεύει το συνεργείο των εργατών. Τα αριθμητικά μεγέθη του έργου συνοψίζονται στον ακόλουθο Πίνακα Η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η B-F-K-L και η διάρκεια ίση με 16 ημέρες. Στη συνέχεια θα επιλυθούν δύο περιπτώσεις του προβλήματος με στόχο την εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων.

155 152 Πίνακας 7. 73: Δεδομένα Χρονοπρογραμματισμού έργου 6 ου Παραδείγματος Α/Α ΟΝΟΜΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ/ΝΕΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΠΟΡΟΣ ΣΥΝΟΛΟ ΠΟΡΩΝ ΕΝΩΡΙΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ ΒΡΑΔΥΤΕΡΗ ΕΝΑΡΞΗ dj (ΗΜΕΡΕΣ) rj (ΕΡΓΑΤΕΣ) dj * rj ES EF LS LF TF FF CP 0 Αρχή A Αρχή B Αρχή * 3 C Αρχή D A E A,B F B,C * 7 G C H D,E J E,G K F,G * 11 L H,J,K * 1000 Πέρας Θ,Ι,Κ Στο παρακάτω Σχήμα 7.43 παρουσιάζεται το ιστόγραμμα χρήσης πόρων και το διάγραμμα Gantt κατανομής πόρων για την περίπτωση της ενωρίτερης έναρξης του έργου, η οποία προκύπτει με βάση τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής (CPM). Σχήμα 7. 45: Κατανομή Πόρων και διάγραμμα Gantt της ενωρίτερης έναρξης (CPM): 6 ο Παράδειγμα ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ A B C D E F G H J K L Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Περίπτωση 1 η Στην περίπτωση αυτή θα επιδιωχθεί η εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων, με θεώρηση απεριόριστων πόρων και διατήρηση της διάρκειας του έργου όπως προκύπτει από τη μέθοδο της κρίσιμης διαδρομής για τις κανονικές διάρκειες των εργασιών, δηλαδή ακριβώς ίση με την τιμή 16. Η απαίτηση αυτή δεν προβλέπεται από το μοντέλο αλλά εισάγεται ως περιορισμός με συνάρτηση ποινής (soft constraint) στους αλγορίθμους αναζήτησης λύσεων.

156 153 Κάθε εργασία θεωρείται ότι μπορεί να εκτελεστεί με ένα σύνολο εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης. Στην παρούσα περίπτωση, το εύρος των απαιτούμενων πόρων για κάθε εργασία καθορίζεται από το 50% έως το 200% της κανονικής απαίτησης της εργασίας σε πόρους. Η μέγιστη και ελάχιστη χρήση για κάθε εργασία καταγράφεται στον ακόλουθο Πίνακα Πίνακας 7. 74: Μέγιστη και ελάχιστη χρήση πόρων 6 ου Παραδείγματος Εργασία Ελάχιστος αρ. πόρων Μέγιστος αρ. πόρων Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης (πλήθος πόρων), ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Διατήρηση της διάρκειας του έργου στην τιμή των 16 ημερών Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων (ελαχιστοποίηση μεταβολών) Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Θεώρηση απεριόριστων πόρων Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ως εξής: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα, κόστος μεταβολής πόρων ίσο με 500 ανά μονάδα μεταβολής και κόστος υπέρβασης

157 154 χρονοδιαγράμματος ίσο με 5000 ανά μονάδα υπέρβασης (ημέρα). Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα Πίνακας 7. 75: Τιμές παραμέτρων μοντέλου: 6 ο Παράδειγμα 1 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 500 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 16 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 5000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακα Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα Πίνακας 7. 76: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 6 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή A Αρχή B Αρχή C Αρχή D A E A,B F B,C G C H D,E J E,G K F,G L H,J,K Πέρας L Η λύση που προέκυψε για την περίπτωση αυτή χαρακτηρίζεται από ένα αρκετά πιο ομοιόμορφο ιστόγραμμα χρήσης πόρων σε σχέση με αυτό της ενωρίτερης έναρξης, ενώ η διάρκεια του έργου είναι ίδια (16 ημέρες). Αυτό που παρατηρείται από το ιστόγραμμα χρήσης πόρων είναι ότι υπάρχει απότομη μεταβολή στο πλήθος των χρησιμοποιούμενων

158 155 πόρων που εμφανίζεται περίπου στη μέση της διάρκειας του έργου, αλλά πριν και μετά τη μεταβολή η χρήση πόρων είναι σχεδόν σταθερή. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ A B C D E F G H J K L Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 46: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 6 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα Πίνακας 7. 77: Αξιολόγηση Λύσης: 6 ο Παράδειγμα - 1 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 16 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1600 Σύνολο Πόρων 112 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 3500 Μέση Χρήση Πόρων 7 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 10 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,70 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 3,246 Στο παρακάτω Σχήμα μπορούμε να συγκρίνουμε, σε όρους κατανομής πόρων, τη λύση που εντοπίστηκε στο πλαίσιο της παρούσας με άλλες που έχουν προταθεί για το ίδιο πρόβλημα. Στο άνω αριστερά διάγραμμα εικονίζεται η λύση που προτείνεται παραπάνω. Στο άνω δεξιά τμήμα βλέπουμε τη λύση που παρουσιάζεται στην εργασία [78] και έχει προσδιοριστεί με το ίδιο μοντέλο όπως εδώ, αλλά με διαφορετικό γενετικό αλγόριθμο ο οποίος προσδιόρισε μια κατώτερη λύση σύμφωνα με την τιμή της η οποία οφείλεται στο μεγαλύτερο, το οποίο μεταφράζεται σε μεγαλύτερο πλήθος μεταβολών στο διάγραμμα. Στο κάτω αριστερά διάγραμμα παρουσιάζεται η λύση του Harris με τη μέθοδο ελαχιστοποίησης των ροπών και στο κάτω δεξιά διάγραμμα

159 156 παρουσιάζεται η καλύτερη λύση των Christodoulou et al. με εφαρμογή της μεθόδου μεγιστοποίησης της εντροπίας [13]. Για λόγους σύγκρισης, όλες οι λύσεις αξιολογούνται με χρήση του προτεινόμενου μοντέλου. Παρούσα Λύση Λύση Καϊάφα [78] ΑΚ Διάρκεια 16 ΕΚ 1600 Απ. Πόροι 112 ΚΜΠ 3500 Μέση χρήση 7,00 ΚΥΠ 0 Μέγιστη χρήση 10 ΚΥΧΡ 0 Μέση/Μέγιστη 0,70 f Τυπ. Απόκλιση 3,246 ΑΚ Διάρκεια 16 ΕΚ 1600 Απ. Πόροι 110 ΚΜΠ 5500 Μέση χρήση 6,88 ΚΥΠ 0 Μέγιστη χρήση 10 ΚΥΧΡ 0 Μέση/Μέγιστη 0,69 f Τυπ. Απόκλιση 2,941 Λύση Harris [13] Λύση Christodoulou [13] ΑΚ Διάρκεια 16 ΕΚ 1600 Απ. Πόροι 109 ΚΜΠ 9500 Μέση χρήση 6,81 ΚΥΠ 0 Μέγιστη χρήση 10 ΚΥΧΡ 0 Μέση/Μέγιστη 0,68 f Τυπ. Απόκλιση 2,287 ΑΚ Διάρκεια 17 ΕΚ 1700 Απ. Πόροι 114 ΚΜΠ 7500 Μέση χρήση 6,71 ΚΥΠ 0 Μέγιστη χρήση 10 ΚΥΧΡ 5000 Μέση/Μέγιστη 0,67 f Τυπ. Απόκλιση 2,024 Σχήμα 7. 47: Σύγκριση λύσεων με εφαρμογή διαφορετικών μεθόδων:1 η Περίπτωση 6 ο Παράδειγμα

160 157 Σε σχέση με τις δυο τελευταίες λύσεις, παρατηρούμε ότι η βέλτιστη λύση με βάση το μοντέλο μας χαρακτηρίζεται από τον μικρότερο απόλυτο αριθμό μεταβολών μεταξύ διαδοχικών ημερών στη συνολική ημερήσια χρήση πόρων κατά τη διάρκεια του έργου, παρότι χαρακτηρίζεται από τη μεγαλύτερη τιμή τυπικής απόκλισης. Το γεγονός αυτό εκφράζει και την ειδική κατεύθυνση του μοντέλου μας, το οποίο προσανατολίζεται στον περιορισμό των απόλυτων μεταβολών σε σύγκριση με τις άλλες προτεινόμενες μεθόδους που συντελούν στην ελαχιστοποίηση της απόκλισης των τιμών από τη μέση τιμή τους. Η διαφορά αυτή μεταφράζεται ως εξής: το προτεινόμενο μοντέλο κατά την αξιολόγηση μιας πιθανής λύσης, υποβαθμίζει την ποιότητά της για κάθε μεταβολή της τιμής της συνολικής ημερήσιας χρήσης πόρων σε σχέση με την τιμή της αμέσως προηγούμενης ημέρας (θετική ή αρνητική) και ανάλογα με το μέγεθος της μεταβολής αυτής. Αντίθετα οι μέθοδοι που βασίζονται στην ελαχιστοποίηση της ροπής του διαγράμματος (αντίστοιχα της εντροπίας) υποβαθμίζουν μια λύση με βάση την απόκλιση των τιμών χρήσης πόρων από τη μέση τιμή τους, ανεξάρτητα από το πλήθος ή το πρόσημο των μεταβολών. Με άλλα λόγια, παρόλο που η ιδανική περίπτωση είναι για όλες τις μεθόδους ένα ορθογώνιο διάγραμμα, το προτεινόμενο μοντέλο αποσκοπεί στην ελαχιστοποίηση του πλήθους των σχετικών μεταβολών (αυξήσεων ή μειώσεων) της χρήσης πόρων μεταξύ διαδοχικών ημερών, ώστε να ελαχιστοποιούνται οι αλλαγές στις συνθήκες εκτέλεσης του έργου, ενώ οι μέθοδοι που βασίζονται στην ελαχιστοποίηση της ροπής αποσκοπούν στην ελάττωση των μεγάλων αποκλίσεων της ημερήσιας χρήσης από τη μέση χρήση στο σύνολο του έργου (αποφυγή αιχμών διαγράμματος), χωρίς να συνυπολογίζεται το πλήθος των μεταβολών. Για το λόγο αυτό και οι τιμές της εντροπίας έργου με βάση τη μέθοδο μεγιστοποίησης εντροπίας είναι αντιστρόφως ανάλογες των τιμών της συνάρτησης για τις παραπάνω λύσεις. Σημειώνεται ότι η σύγκριση με την κάτω δεξιά λύση είναι προσεγγιστική καθώς οι Christodoulou et al. επιτρέπουν και μη ακέραιες τιμές χρόνου εκκίνησης των εργασιών και το πραγματικό προτεινόμενο διάγραμμα διαφέρει ελάχιστα από αυτό του Σχήμα το οποίο θεωρεί μόνο ακέραιες τιμές. Για το λόγο αυτό παρουσιάζει και συνολική διάρκεια 17 ημέρες και όχι 16 όπως στην πραγματική λύση που προτείνουν. Σημειώνεται επίσης ότι η απαίτηση διατήρησης της διάρκειας του έργου που προκύπτει από την κρίσιμη διαδρομή με βάση τις κανονικές τιμές διάρκειας και χρήσης πόρων των εργασιών εξυπηρετεί την αξιολόγηση των λύσεων με τη μέθοδο

161 158 μεγιστοποίησης της εντροπίας, καθώς η τιμή της εντροπίας έργου όπως ορίζεται στην εργασία των Christodoulou et al. εξαρτάται από τη διάρκεια του έργου και μάλιστα μεγιστοποιείται με μεγιστοποίηση αυτής. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται ότι το κριτήριο της εντροπίας δεν προσφέρεται για αξιολόγηση πιθανών λύσεων ως προς την ομοιομορφία της κατανομής πόρων όταν αυτές χαρακτηρίζονται από διαφορετική διάρκεια Περίπτωση 2 η Στην περίπτωση αυτή θα επιδιωχθεί και πάλι η εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων, με θεώρηση απεριόριστων πόρων αλλά θα επιτραπεί η μετακίνηση των δραστηριοτήτων που δεν θα περιορίζει τη διάρκεια του έργου σε σταθερή τιμή όπως προηγουμένως αλλά θα επιτρέπει οποιαδήποτε τιμή συνολικής διάρκειας, με παράλληλη αξιολόγηση, ασφαλώς, των πιθανών λύσεων με χρήση του προτεινόμενου μοντέλου. Επομένως, η επίλυση στοχεύει στον προσδιορισμό του χρονοπρογράμματος, δηλαδή στον καθορισμό των χρόνων έναρξης των δραστηριοτήτων και την επιλογή του κατάλληλου εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης (πλήθος πόρων), ώστε να επιτυγχάνονται οι ακόλουθοι στόχοι: Εξομάλυνση του ιστογράμματος χρήσης πόρων (ελαχιστοποίηση μεταβολών) Διατήρηση της διάρκειας του έργου κατά το δυνατόν σε χαμηλά επίπεδα Με τις παραδοχές / περιορισμούς: Δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Απεριόριστη Διαθεσιμότητα Πόρων Τήρηση των περιορισμών σχέσεων διαδοχής Προκειμένου οι αλγόριθμοι να προσανατολιστούν σε λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω στόχους, ορίζουμε τις παραμέτρους εισόδου στο μοντέλο ακριβώς όπως και στην προηγούμενη περίπτωση: θέτουμε άμεσο και έμμεσο κόστος ίσο με 100 /εργατοημέρα και 100 /ημέρα αντίστοιχα, κόστος υπέρβασης πόρων ίσο με 500 ανά μονάδα υπέρβασης και κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ίσο με 5000 ανά μονάδα υπέρβασης (ημέρα). Οι τιμές αυτές καταγράφονται και στον παρακάτω Πίνακα 7.78.

162 159 Πίνακας 7. 78: Τιμές Παραμέτρων Μοντέλου: 6 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Σύμβολο Επεξήγηση Κόστους Τιμή Μονάδες Μέτρησης Κόστος χρήσης πόρου 100 ( /(Μονάδα πόρου ημέρα) ) Έμμεσο Κόστος 100 ( /Ημέρα) Κόστος μεταβολής πόρου 500 ( / Μονάδα Μεταβολής) Κόστος υπέρβασης πόρου 0 ( / Μονάδα Υπέρβασης) Διαθεσιμότητα πόρου (Εργάτες / Ημέρα) Προθεσμία Ολοκλήρωσης έργου 16 (Ημέρες) Κόστος Υπέρβασης 5000 ( / Ημέρα Υπέρβασης) Η βέλτιστη λύση που προσδιορίστηκε για την περίπτωση αυτή με εφαρμογή των δύο αλγορίθμων καταγράφεται στον παρακάτω Πίνακα Το διάγραμμα Gantt Κατανομής πόρων και το ιστόγραμμα χρήσης πόρων του έργου δίνονται στο Σχήμα Παρατηρούμε ότι η λύση που προκύπτει καταλήγει σε μικρότερη διάρκεια του έργου από την αντίστοιχη των 16 ημερών βάσει CPM αλλά με χρήση των κανονικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Επομένως, η χρήση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης ακόμα και στην περίπτωση που η συνολική απαίτηση σε πόρους παραμένει σταθερή, μπορεί να οδηγήσει σε μικρότερη διάρκεια έργου. Πίνακας 7. 79: Χρονοδιάγραμμα Λύσης: 6 ο Παράδειγμα 2 η Περίπτωση Α/Α Όνομα Αμέσως Διάρκεια Πόροι dj * rj Λύση No Προηγ. dj rj Αρχή Πέρας 0 Αρχή A Αρχή B Αρχή C Αρχή D A E A,B F B,C G C H D,E J E,G K F,G L H,J,K Πέρας L

163 160 Όσον αφορά την ομοιομορφία στη χρήση πόρων, παρατηρούμε ότι το ιστόγραμμα χρήσης πόρων διακρίνεται και πάλι σε δύο μέρη αρκετά διαφορετικών τιμών χρήσης πόρων, αλλά με σχετική ομοιομορφία μεταξύ τους, κάτι που είναι επιθυμητό και αξιολογείται θετικά. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ A B C D E F G H J K L Σύνολο Υπέρβαση Μεταβολή Σχήμα 7. 48: Κατανομή πόρων και διάγραμμα Gantt Λύσης: 2 η Περίπτωση 6 ο Παράδειγμα Οι τιμές των επιμέρους συναρτήσεων κόστους και της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και ορισμένοι δείκτες σχετικοί με την κατανομή των πόρων στη διάρκεια του έργου δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Παρατηρούμε ότι σε σύγκριση με τη λύση της προηγούμενης περίπτωσης, η παρούσα λύση χαρακτηρίζεται από μικρότερη συνολική διάρκεια έργου και μικρότερο κόστος μεταβολής πόρων, γεγονός που συνεπάγεται ότι και οι δύο αρχικοί στόχοι ικανοποιούνται σε σημαντικό βαθμό. Πίνακας 7. 80: Αξιολόγηση Λύσης: 6 ο Παράδειγμα - 2 η Περίπτωση Άμεσο Κόστος (ΑΚ) Διάρκεια 14 Έμμεσο Κόστος (ΕΚ) 1400 Σύνολο Πόρων 117 Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ) 3000 Μέση Χρήση Πόρων 8,36 Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ) 0 Μέγιστη Χρήση Πόρων 10 Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ) 0 Μέση/Μέγιστη χρήση 0,84 Αντικειμενική Συνάρτηση Τυπική Απόκλιση 2,405

164 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ Στην ενότητα αυτή αξιολογείται η αποτελεσματικότητα των μεθόδων βελτιστοποίησης που εφαρμόστηκαν για την επίλυση των παραδειγμάτων του προηγούμενου κεφαλαίου. Για την σύγκριση και αξιολόγηση των αλγορίθμων, κάθε περίπτωση των Παραδειγμάτων 1 έως 4 επιλύεται με το λογισμικό Evolver (με εφαρμογή Γενετικού Αλγορίθμου) και με εκτέλεση του αλγορίθμου Αρμονικής Αναζήτησης που κατασκευάστηκε. Και οι δύο μέθοδοι ανήκουν στην κατηγορία των εξελικτικών αλγορίθμων που διαχειρίζονται έναν αρχικά τυχαίο πληθυσμό. Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με το στοχαστικό χαρακτήρα των εξελικτικών διεργασιών που εφαρμόζουν και οι δύο αλγόριθμοι, εισάγει στο τελικό αποτέλεσμα των εκτελέσεων ένα ποσοστό τυχαιότητας. Με άλλα λόγια, είναι πιθανό διαφορετικές εκτελέσεις του αλγορίθμου με τα ίδια δεδομένα να καταλήξουν σε διαφορετικά αποτελέσματα. Για το λόγο αυτό, η επίλυση κάθε περίπτωσης με κάθε μέθοδο επαναλαμβάνεται 10 φορές με τυχαίο αρχικό πληθυσμό λύσεων σε κάθε περίπτωση, προκειμένου να αποκτηθεί μια πληρέστερη εικόνα για την αποτελεσματικότητα κάθε μεθόδου. Επίσης, για να είναι η σύγκριση εφικτή, κάθε αλγόριθμος ορίστηκε ώστε να τερματίζει μετά από επαναλήψεις (περίπου 7 με 10 λεπτά) ενώ διατηρήθηκαν ίδιες τιμές των παραμέτρων κάθε αλγορίθμου (μέγεθος πληθυσμού κλπ). Πίνακας 8. 1: Αποτελέσματα εκτελέσεων αλγορίθμων για τα Παραδείγματα 1 έως 4 Παρ. Πλήθος Πλήθος Βελτιστη Ευρεθείσα Προηγούμενη Τρέχουσα Εύρεση Μέση Τιμή f (10 εκτ) Τύπος Βελτίωση Νο. Δραστ/των Εναλ. Evolver HS Λύση Βέλτιστη Βέλτιστης Evolver HS ΜΜ GA + HS ΜΜ * GA + HS ΜΜ * HS ΜΜ * GA ΜΜ * HS ΜΜ * GA + HS ΜΜ * GA ΜΜ * GA SM GA + HS SM MM 6E SM GA + HS SM * GA MM 7E SM GA + HS SM * GA + HS MM 1E GA

165 162 Στον παραπάνω Πίνακα 8.1 συγκεντρώνονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την εκτέλεση των αλγορίθμων για όλες τις περιπτώσεις των Παραδειγμάτων 1 έως 4, ενώ στο Σχήμα 8.1 παρατίθενται σχηματικά ορισμένα από τα μεγέθη του Πίνακα 8.1. Σχήμα 8. 1: Καλύτερες λύσεις αλγορίθμων για τα Παραδείγματα 1 έως 4 Στο παραπάνω Σχήμα 8.1 βλέπουμε την ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που υπολογίστηκε με την κάθε μέθοδο μετά από την ολοκλήρωση των δέκα εκτελέσεων σε σύγκριση με την έως τώρα γνωστή βέλτιστη λύση. Σημειώνεται ότι όλες οι περιπτώσεις του Παραδείγματος 1 και η 3 η περίπτωση των υπόλοιπων παραδειγμάτων συμπεριλαμβάνουν θεώρηση εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των εργασιών, επομένως είναι προβλήματα με περισσότερες μεταβλητές απόφασης και συνεπώς με εκθετικά μεγαλύτερο χώρο πιθανών λύσεων σε σύγκριση με προβλήματα ίδιου πλήθους