Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.

Transcript

1 Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που διασχίζει κάθε ακµή του G. «Οι γέφυρες του Konisr» Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Lonhr Eulr, Κύκλωµα Eulr; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 1 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 2 / 41 Παραδείγµατα Κριτήρια Υπαρξης Συνδεδεµένο πολυγράφηµα µε δύο τουλάχιστον κόµβους έχει κύκλωµα Eulr αν και µόνο αν κάθε κόµβος έχει άρτιο βαθµό. G 1 G 2 G 3 Συνδεδεµένο πολυγράφηµα έχει µονοπάτι Eulr αλλά όχι κύκλώµα Eulr αν και µόνο αν έχει ακριβώς δύο κόµβους περιττού βαθµού. Το G 1 έχει κύκλο Eulr,,,,. Το G 2 δεν έχει κύκλο, ούτε µονοπάτι Eulr. Το G 3 έχει µονοπάτι Eulr,,,,,, αλλά όχι κύκλο. Ενα κατευθυνόµενο γράφηµα έχει κύκλωµα Eulr αν και µόνο αν κάθε κόµβος έχει εισερχόµενο βαθµό ίσο µε τον εξερχόµενο βαθµό του. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 3 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 4 / 41

2 Παραδείγµατα (Κατευθυνόµενα Γραφήµατα) Αλγόριθµος Εύρεσης Κύκλου Eulr Ξεκινάµε από αυθαίρετα επιλεγµένο κόµβο και επιλέγουµε συνεχόµενες ακµές... 4 G 1 G 2 G Το G 1 δεν έχει κύκλο, ούτε µονοπάτι Eulr. Το G 2 έχει κύκλο Eulr:,,,,,,,, Το G 3 δεν έχει κύκλο, αλλά έχει µονοπάτι Eulr:,,,,,.... µέχρι να κλείσει ένας κύκλος (να επιστρέψουµε εκεί από όπου ξεκινήσαµε) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 5 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 6 / 41 Εύρεση Κύκλου Eulr Συνένωση επιµέρους κύκλων Αφαιρούµε τις ακµές του κύκλου που ϐρήκαµε. Επιλέγουµε έναν κόµβο που ήταν άκρο µίας από τις ακµές που αφαιρέθηκαν και επαναλαµβάνουµε µέχρι να έχουµε διατρέξει όλες τις ακµές του γραφήµατος. Στο τέλος: συνενώνουµε τους επιµέρους κύκλους σε έναν, στα κοινά τους σηµεία. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 7 / 41 Ξεκινάµε από τον 1ο κόµβο που είχαµε επιλέξει (αυθαίρετα) στην αρχή. Από κάθε κόµβο ακολουθούµε την ακµή που είναι επισηµειωµένη µε τον ελάχιστο αριθµό (προσέχοντας να µην ακολουθήσουµε δεύτερη ϕορά κάποια ακµή):,,,,,,, Αν σε κάποιον κόµβο πρόσκεινται 2 ακµές επισηµειωµένες µε τον ίδιο ελάχιστο αριθµό, ακολουθούµε οποιαδήποτε. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 8 / 41

3 Μονοπάτια και Κύκλοι Hmilton Κύκλος/Μονοπάτι Hmilton (Παραδείγµατα) Μονοπάτι Hmilton: απλό µονοπάτι που περνά από κάθε κόµβο του γραφήµατος ακριβώς µία ϕορά. Κύκλος Hmilton: απλός κύκλος που περνά από κάθε κόµβο του γραφήµατος ακριβώς µία ϕορά. εν έχουν κύκλο Hmilton. Το αριστερό έχει κόµβο ϐαθµού 1: πρέπει να τον επισκεφθούµε, αλλά τότε ϑα περάσουµε δύο ϕορές από τον. Κύκλος Hmilton Το δεξιό έχει κόµβο αποκοπής (): αναγκαστικά ϑα τον επισκεφθούµε δύο ϕορές σε οποιονδήποτε κύκλο διέρχεται από όλους τους κόµβους. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 9 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 10 / 41 Κύκλος/Μονοπάτι Hmilton (Παραδείγµατα) Κύκλος/Μονοπάτι Hmilton (Παραδείγµατα) Το πρώτο έχει κύκλο Hmilton:,,,,,. Το δεύτερο δεν έχει κύκλο Hmilton, διότι ένας κόµβος έχει ϐαθµό 1. Εχει µονοπάτι Hmilton:,,,. Το τρίτο δεν έχει κύκλο, ούτε µονοπάτι Hmilton. Το αριστερό δεν έχει κύκλο Hmilton, έχει µονοπάτι:,,,,,. ε µπορεί να υπάρχει κύκλος, λόγω του κόµβου ϐαθµού 1. Το δεξιό δεν έχει κύκλο Hmilton, έχει µονοπάτι:,,,,. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 11 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 12 / 41

4 ικαιολόγηση Κριτήρια Υπαρξης Θεώρηµα (Gril A. Dir) Απλό γράφηµα n 3 κόµβων, καθένας ϐαθµού τουλάχιστον n/2, έχει κύκλο Hmilton. Θεώρηµα (Øystin Or) Απλό γράφηµα n 3 κόµβων, όπου (u) + (v) n για κάθε Ϲεύγος µη γειτονικών u,v, έχει κύκλο Hmilton. Ενας κύκλος ϑα έπρεπε να συνδέει το µε το µε δύο µονοπάτια: τα οποία έχουν κοινούς κόµβους µόνο τους και. Υπάρχουν τέσσερεις δυνατότητες για το ένα από τα δύο αυτά µονοπάτια. Καµία από αυτές δεν επιτρέπει την εύρεση δεύτερου µονοπατιού: που να κλείνει κύκλο που περνά µία ϕορά από όλους τους κόµβους. Παρατηρήσεις: Παρέχουν ικανές αλλά όχι αναγκαίες συνθήκες (π.χ. ο C 5 είναι κύκλος Hmilton και δεν ικανοποιεί κανένα κριτήριο). ε γνωρίζουµε «καλό» αλγόριθµο για την απόφαση του αν ένα γράφηµα έχει κύκλο/µονοπάτι Hmilton. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 13 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 14 / 41 Επίπεδα Γραφήµατα Ο τύπος του Eulr Ενα γράφηµα είναι επίπεδο (plnr) αν µπορεί να απεικονιστεί στο επίπεδο χωρίς τεµνόµενες ακµές. = = Η επίπεδη αναπαράσταση ενός γραφήµατος χωρίζει το επίπεδο σε περιοχές: R 2 R 4 R 3 R 1 R 5 R 6 Θεώρηµα Εστω G(V, E) είναι επίπεδο απλό συνδεδεµένο γράφηµα: µε m = E ακµές, µε n = V κόµβους, του οποίου η επίπεδη αναπαράσταση χωρίζει το επίπεδο σε r περιοχές. Τότε r = m n + 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 15 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 16 / 41

5 Ο Βαθµός των Περιοχών του Επιπέδου Χρήσιµα Πορίσµατα R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 κυρίως για την αναγνώριση µη επίπεδων γραφηµάτων: Αν G απλό, συνδεδεµένο, επίπεδο γράφηµα µε n 3 κόµβους: 1. Τότε έχει m 3n 6 ακµές. Βαθµός περιοχής είναι το πλήθος των ακµών που συναντάµε όταν διατρέχουµε το σύνορό της, ξεκινώντας από κάποιον κόµβο και καταλήγοντας στον ίδιο. Οι περιοχές R 1, R 2,..., R 5 έχουν ϐαθµό 3. Η περιοχή R 6 έχει ϐαθµό 7. Τι ϐαθµό έχει η µοναδική περιοχή που ορίζει το ακόλουθο γράφηµα; 2. Τότε έχει κόµβο ϐαθµού το πολύ Αν δεν έχει κύκλο µήκους 3, τότε έχει m 2n 4 ακµές. Αρα: Αν δεν ισχύουν τα συµπεράσµατα 1,2,3, αντιφάσκεται κάποια υπόθεση Εύκολα ϐεβαιωνόµαστε ότι ισχύουν όλες οι υποθέσεις,......, εκτός της «επιπεδότητας», που δε ϑα ισχύει, αν ισχύουν όλες οι άλλες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 17 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 18 / 41 Απόδειξη Πορίσµατος 1 Εφαρµογή Πορίσµατος 1 Επειδή n 3 και G συνδεδεµένος, ϑα είναι ϐαθµός(r) 3 για κάθε περιοχή R. Το γράφηµα K 5 δεν είναι επίπεδο. Κάθε ακµή συναντάται: είτε από µία ϕορά στο σύνορο 2 περιοχών, είτε 2 ϕορές στο σύνορο µίας περιοχής Αρα: 2m = R ϐαθµός(r) 3r = 2 3 m r. Από τον τύπο του Eulr έχουµε m n + 2 = r, εποµένως: m n m = m 3n 6. 3 Αν ήταν, ϑα έπρεπε m 3n 6. Αλλά: m = 10 και n = 5, οπότε m > 3n 6. Αρα, κάθε γράφηµα που «περιέχει» το K 5 ως υπογράφηµα δεν είναι επίπεδο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 19 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 20 / 41

6 Απόδειξη Πορίσµατος 2 Εφαρµογή Πορίσµατος 3 Το γράφηµα K 3,3 δεν είναι επίπεδο. Ισχύει αν n = 1 ή n = 2. Αν n 3, από το προηγούµενο πόρισµα: v 1 v 2 v 3 m 3n 6 = 2m 6n 12 Αν κάθε κόµβος είχε ϐαθµό τουλάχιστον 6, ϑα είχαµε: 2m = v V (v) 6n v 4 v 5 v 6 που είναι αδύνατον. Εποµένως, υπάρχει τουλάχιστον ένας κόµβος µε ϐαθµό 5. εν έχει κύκλο µήκους 3: διµερές γράφηµα δεν έχει κύκλο περιττού µήκους. m = 3 3 = 9 ακµές, n = 6 κόµβοι. Είναι 9 > = 8, άρα όχι επίπεδο. Αρα, κάθε γράφηµα που «περιέχει» το K 3,3 ως υπογράφηµα δεν είναι επίπεδο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 21 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 22 / 41 Σύνοψη κριτηρίων Εστω G συνδεδεµένο απλό γράφηµα µε m ακµές και n κόµβους. Αν G επίπεδο, τότε: m 3n 6. έχει κόµβο ϐαθµού 5. αν δεν έχει απλούς κύκλους µήκους 3, τότε m 2n 4. δεν έχει το K 5 ως υπογράφηµα. δεν έχει το K 3,3 ως υπογράφηµα. Θεώρηµα: G είναι επίπεδο αν και µόνο αν δεν περιέχει K 5 και K 3,3 Kzimirz Kurtowski, 1930 Οµοιοµορφικά Γραφήµατα Θ. Kurtowski Αν ένα γράφηµα είναι επίπεδο, τότε παραµένει επίπεδο, αν: υποδιαιρέσουµε µια ακµή σε δύο ακµές, προσθέτοντας ενδιάµεσο κόµβο: u v = u x v συµπτύξουµε δύο ακµές σε µία, αφαιρώντας κόµβο ϐαθµού 2: u x v = u v ύο γραφήµατα που προέρχονται από κοινό γράφηµα µέσω οσωνδήποτε (και καµίας) τέτοιων πράξεων λέγονται οµοιοµορφικά. Θεώρηµα του Kurtowski Απλό συνδεδεµένο γράφηµα είναι επίπεδο δεν περιέχει οµοιοµορφικό προς K 5 ή K 3,3. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 23 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 24 / 41

7 Επίπεδα Γραφήµατα (1/2) Επίπεδα Γραφήµατα (2/2) Είναι επίπεδα τα γραφήµατα; (Ναι/ Οχι - Απεικόνιση/ ιακαιολόγηση). Είναι επίπεδα τα γραφήµατα; (Ναι/ Οχι - Απεικόνιση/ ιακαιολόγηση). h Το αριστερό γράφηµα δεν είναι επίπεδο: αν ήταν, επειδή δεν έχει κύκλο µήκους 3, ϑα έπρεπε να ικανοποιεί m 2n 4, όπου m = #ακµών, και n = #κόµβων. Το δεξιό γράφηµα είναι επίπεδο (να σχεδιάσετε την επίπεδη αναπαράστασή του). Το αριστερό γράφηµα είναι επίπεδο - προκύπτει από το Θ. του Kurtowski. Να σχεδιάσετε την επίπεδη αναπαράστασή του. Το δεξιό γράφηµα δεν είναι επίπεδο, πάλι από το Θ. του Kurtowski: περιέχει σαν υπογράφηµα K 3,3 µε ακόµα περισσότερες ακµές (ϐρείτε ένα). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 25 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 26 / 41 Χρωµατισµός Γραφηµάτων Βασικά Χρήσιµα Παραδείγµατα Χρωµατισµός απλού γραφήµατος είναι η επισηµείωση κάθε κόµβου του µε ένα χρώµα έτσι ώστε κάθε δύο γειτονικοί κόµβοι να έχουν διαφορετικό χρώµα. Χρωµατικός Αριθµός απλού γραφήµατος G (συµβ.: χ(g)) είναι το ελάχιστο πλήθος διαφορετικών χρωµάτων που απαιτούνται για τον χρωµατισµό του G. Προσδιορισµός του χρωµατικού αριθµού χ(g): Πρέπει να δείξουµε ότι το γράφηµα χρωµατίζεται µε k χρώµατα. Πρέπει να δείξουµε ότι το γράφηµα δεν χρωµατίζεται µε k 1 χρώµατα. Το Θεώρηµα των 4 Χρωµάτων (K. Appl, W. Hkkn, 1976) Κάθε επίπεδο γράφηµα G έχει χρωµατικό αριθµό χ(g) 4. Το 1ο και πιο διάσηµο µαθηµατικό ϑεώρηµα που αποδείχτηκε µε υπολογιστή Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 27 / 41 Ποιός είναι ο χρωµατικός αριθµός του K n ; ύο κόµβοι δε µπορούν να έχουν ίδιο χρώµα (διότι είναι γείτονες). Εποµένως, χ(k n ) = n. Ποιός είναι ο χρωµατικός αριθµός του K n,m ; Ενα γράφηµα είναι διµερές αν και µόνο αν χρωµατίζεται µε 2 χρώµατα. Για το πλήρες διµερές K n,m ϑα είναι χ(k n,m ) = 2. Ποιός είναι ο χρωµατικός αριθµός του C n, για n 3; Χρωµατίζουµε εναλλάξ τους κόµβους του κύκλου µε διαφορετικό χρώµα. Αν n άρτιος ϑα χρειαστούµε µόνο 2 χρώµατα. Αν n περιττός ϑα χρειαστούµε 3 χρώµατα. Ποιός είναι ο χρωµατικός αριθµός του W n, για n 4; Οσο του C n, +1 χρώµα για τον κεντρικό κόµβο που γειτονεύει µε όλους τους υπόλοιπους. Αν n άρτιος ϑα χρειαστούµε µόνο 3 χρώµατα. Αν n περιττός ϑα χρειαστούµε 4 χρώµατα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 28 / 41

8 Παράδειγµα 1 Παράδειγµα 2 Τί χρωµατικό αριθµό έχει το γράφηµα (και γιατί); Τί χρωµατικό αριθµό έχει το γράφηµα (και γιατί); Καθένα από τα «τρίγωνα»,, και,, χρειάζεται σίγουρα από 3 χρώµατα. Μπορούµε να χρησιµοποίησουµε 3 χρώµατα µόνο και για τα δύο τρίγωνα:, χρώµα 1,, χρώµα 2,, χρώµα 3 Το µπορεί τότε να λάβει το χρώµα 1. Εποµένως χ(g) = 3. Οπως και πριν, τα «τρίγωνα»,, και,, χρειάζονται τρία χρώµατα. Χρωµατίζονται και τα δύο «τρίγωνα» µόνο µε τρία χρώµατα, ως εξής: Εστω x() = 1, x() = 2, x() = 3 τρία χρώµατα για το,,. Τότε, είτε x() = 2, x() = 3, x() = 1, είτε x() = 3, x() = 1, x() = 2. Σε κάθε περίπτωση, ο γειτονεύει και µε τα τρία χρώµατα 1, 2, 3, οπότε χρειάζεται ένα επιπλέον χρώµα για τον. Αρα χ(g) = 4. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 29 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 30 / 41 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη κατευθυνόµενο γράφηµα χωρίς κύκλους. έντρα Ενα γράφηµα είναι δέντρο αν και µόνο αν κάθε δύο κόµβοι του συνδέονται µε µοναδικό µονοπάτι. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 31 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 32 / 41

9 έντρα µε Ρίζα Ορολογία Ενας κόµβος µπορεί να οριστεί ως ρίζα: το δέντρο «κρεµιέται» από αυτόν. ρίζα ο κόµβος παιδί κόµβου όποιος συνδέεται άµεσα «προς τα κάτω» Παιδιά του : {,, }, παιδιά του : {, }. γονέας/πατέρας κόµβου αυτός που συνδέεται άµεσα «προς τα πάνω» Πατέρας / γονέας του είναι ο, των,, είναι ο Τρεις απεικονίσεις του ίδιου δέντρου. Η 2η και η 3η απεικόνιση υπονοούν ως ϱίζα τον κόµβο και αντίστοιχα. απόγονοι κόµβου τα παιδιά του, τα παιδιά των παιδιών του,... Απόγονοι του είναι όλοι, του απλώς τα παιδιά του πρόγονοι κόµβου ο γονέας του, ο γονέας του γονέα,..., η ϱίζα Πρόγονοι του είναι ο και ο Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 33 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 34 / 41 Ορολογία m-αδικά έντρα έντρο µε ρίζα είναι «m-αδικό» αν κάθε εσωτερικός κόµβος έχει m παιδιά. Είναι πλήρες m-αδικό αν κάθε εσωτερικός κόµβος έχει ακριβώς m παιδιά. υποδέντρο «επάγεται» από κόµβο και τους απογόνους του Π.χ.: το υποδέντρο µε ϱίζα επάγεται από τους,, φύλλα κόµβοι χωρίς παιδιά Οι κόµβοι,, Πλήρες υαδικό Πλήρες Τριαδικό εσωτερικοί κόµβοι που δεν είναι ϕύλλα Οι κόµβοι,,, επίπεδο σύνολο κόµβων µε ίση απόσταση από ϱίζα Π.χ., 1ο επίπεδο: {,, } ύψος µέγιστο µήκος µονοπατιού από ϱίζα (Εδώ: 2) Πλήρες Πενταδικό Τριαδικό, µη πλήρες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 35 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 36 / 41

10 Βασικές Προτάσεις Ιδιότητες (1/4) Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n 1 ακµές. Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n 1 ακµές. ικαιολόγηση: Με επαγωγή στο πλήθος των κόµβων, n. έντρο µε k εσωτερικούς κόµβους και l ϕύλλα έχει n = k + l κόµβους. ικαιολόγηση: ένα δέντρο έχει µόνο εσωτερικούς κόµβους και ϕύλλα. Πλήρες m-αδικό δέντρο µε k εσωτ. κόµβους έχει n = m k + 1 κόµβους. Επαγωγική Απόδειξη Βάση της Επαγωγής: Για n = 1 προφανώς ισχύει. Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι, για n = k 1, το δέντρο έχει k 1 ακµές. Επαγωγικό Βήµα: Για δέντρο µε n = k + 1 κόµβους: Εστω v ένα ϕύλλο. ικαιολόγηση: κάθε κόµβος εκτός της ϱίζας είναι παιδί εσωτερικού κόµβου. Το v συνδέεται µε µια ακµή (u, v) µε τον πατέρα του, u. Κάθε m-αδικό δέντρο ύψους h έχει το πολύ m h ϕύλλα. ικαιολόγηση: µε ισχυρή επαγωγή στο ύψος h του δέντρου. Το δέντρο που αποµένει κατόπιν αφαίρεσης του v και της (u, v) έχει k κόµβους και (από επαγωγική υπόθεση) k 1 ακµές. Εποµένως το δέντρο των k + 1 κόµβων έχει k = n 1 ακµές. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 37 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 38 / 41 Ιδιότητες (2/4) Ιδιότητες (3/4) Κάθε πλήρες m-αδικό δέντρο µε k εσωτερικούς κόµβους έχει n = m k + 1 κόµβους. ικαιολόγηση: Κάθε κόµβος - εκτός της ϱίζας - είναι παιδί κάποιου εσωτερικού κόµβου. Επειδή είναι πλήρες m-αδικό, έχει m k κόµβους, εκτός της ϱίζας. Εποµένως, συνολικά έχει n = m k + 1 κόµβους. Ενα δέντρο µε k εσωτερικούς κόµβους και l ϕύλλα έχει n = k + l κόµβους. Ενα πλήρες m-αδικό δέντρο µε n κόµβους, έχει: k εσωτερικούς κόµβµους, έχει: l ϕύλλα, έχει: k = n 1 m (m 1)n + 1 l = m ϕύλλα { n = m k + 1 κόµβους l = (m 1)k + 1 n = m l 1 m 1 k = l 1 m 1 εσωτερικούς κόµβους ϕύλλα κόµβους εσωτερικούς κόµβους Ολες οι σχέσεις προκύπτουν µε κατάλληλη επίλυση των n = m k + 1 και n = k + l. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 39 / 41 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 40 / 41

11 Ιδιότητες (4/4) Ενα m-αδικό δέντρο ύψους h έχει το πολύ m h ϕύλλα. Απόδειξη: µε ισχυρή επαγωγή στο ύψος, h. Βάση της Επαγωγής: Για m-αδικό δέντρο ύψους h = 1 ισχύει. Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι ισχύει για όλα τα m-αδικά δέντρα ύψους h, όπου: 1 h k, για k 1 Επαγωγικό Βήµα: Για m-αδικό δέντρο ύψους h = k + 1: Αποσυνδέουµε - το πολύ m - υποδέντρα που «κρέµονται» από τη ϱίζα. Ολα µαζί έχουν τόσα ϕύλλα όσα το αρχικό δέντρο. Επιπλέον, έκαστο υποδέντρο έχει ύψος το πολύ h 1 = k. Εποµένως έκαστο έχει το πολύ m h 1 ϕύλλα (από επαγωγική υπόθεση). Επειδή είναι m υποδέντρα, το αρχικό έχει το πολύ m m h 1 = m h ϕύλλα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3,4) 41 / 41