ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ.

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ Φαξ: cms@cms.org.cy, ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. Ημερομηνία: Τρίτη, 27/5/2014 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α. 1. Στο πιο κάτω ραβδόγραμμα παρουσιάζεται ο αριθμός των μαθητών ανά τμήμα σε ένα σχολείο. α) Να υπολογίσετε το συνολικό αριθμό των τμημάτων του σχολείου. β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των τμημάτων που έχουν λιγότερους από 20 μαθητές. α) = 20 τμήματα β) = 5 τμήματα 1

2 2. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης Ο Δ Υ Σ Σ Ε Α Σ. ε(3) 8! M 8 = = 6720 αναγραμματισμοί 3! 3. Κύβος έχει όγκο 64 cm 3. Να υπολογίσετε: α) Την ακμή του κύβου. β) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κύβου. Έστω α η ακμή του κύβου. α) V = 64 a 3 = 64 a = 4 cm. β) Ε ολ. = 6α 2 Ε ολ. = = 96 cm Η τιμή πώλησης μιας τηλεόρασης μετά από έκπτωση 20 % πάνω στην αρχική τιμή της είναι 960. Να βρείτε την αρχική τιμή πώλησης της τηλεόρασης. Έστω x η αρχική τιμή πώλησης της τηλεόρασης. Τότε x = 960 x = 960 x = Ένα δοχείο σε σχήμα κώνου που έχει ύψος 36 cm και ακτίνα βάσης 10 cm είναι γεμάτο με λάδι. Αδειάζουμε το περιεχόμενο του κώνου σε ένα κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης 15 cm και ύψος 5 cm. Να εξετάσετε αν θα υπερχειλίσει το κυλινδρικό δοχείο και να δικαιολογήσετε πλήρως με μαθηματικές πράξεις την απάντηση σας. Ο όγκος του κώνου είναι V κώνου = 1 πr υ 1 = 1 π = 1200π cm 3. Ο όγκος του κυλίνδρου είναι V κυλ. = πr 2 2 υ 2 = π = 1125π cm 3. Άρα V κώνου > V κυλ., που σημαίνει ότι το λάδι θα υπερχειλίσει από το κυλινδρικό δοχείο. 2

3 6. Το εμβαδόν της βάσης ορθού τετραγωνικού πρίσματος είναι 100 cm 2 και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του είναι 240 cm 2. Να υπολογίσετε: α) Το ύψος του πρίσματος. β) Τον όγκο του πρίσματος. Έστω α η ακμή της βάσης και υ το ύψος του πρίσματος. Τότε, Ε β = α 2 α 2 = 100 α = 10 cm. α) Ε π = Π β υ 240 = 40υ υ = 6 cm. υ β) V = Ε β υ V = V = 600 cm 3. α 7. Σε μια φάρμα υπάρχουν 5 αγελάδες και 7 κατσίκια. Ο μέσος όρος του βάρους των αγελάδων είναι 85 kg και ο μέσος όρος του βάρους όλων των ζώων είναι 43 kg. Να υπολογίσετε το μέσο όρο του βάρους των κατσικιών. Αν x είναι το μέσο βάρος των κατσικιών, τότε ισχύει x = x = 516 x = 13 kg. 3

4 8. To παράπλευρο ύψος κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι ίσο με 5 2 cm και σχηματίζει με τη βάση της γωνία 45. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας. β) Τον όγκο της πυραμίδας. Το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΜ είναι ισοσκελές με ΟΜ = ΚΟ = υ και KM = h = 5 2 cm. Άρα υ 2 + υ 2 = h 2 2υ 2 = (5 2 ) 2 υ 2 = 25 υ = 5 cm και α = 2υ = 10 cm. α) Ε ολ. = Ε π + Ε β Ε ολ. = Π βh + 2 a2 Ε ολ. = = 100( 2 + 1) cm 2. 2 β) V = 1 3 Ε βυ V = = cm3. 9. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με P(A) = P(B), P(A B) = 3 5 και P(A B) = α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(A) β) Αν P(Β) = 7 20, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: i) P(B - A) ii) P(A' B) α) Έχουμε, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 3 1 = P(A) + P(A) P(A) =

5 P(A) = 7 20 β) i) P(B A) = P(B A ) = P(B) P(B A) = = 1 4. ii) Διαφορετικά, P(A B) = P(A ) + P(B) P(A B) = 1 P(A) + P(B) P(B A) = = 3 4 P(A B) = P[(A B )] = 1 P(A B ) = 1 P(A) + P(A B) = = Δύο πόλεις Α και Β απέχουν μεταξύ τους 72 Km. Ένας ποδηλάτης βρίσκεται στην πόλη Α και ένας πεζός βρίσκεται στην πόλη Β. Αναχωρούν ταυτόχρονα με σταθερές ταχύτητες. Αν κινηθούν προς την ίδια κατεύθυνση, ώστε ο ποδηλάτης να ακολουθεί τον πεζό, θα συναντηθούν μετά από 6 ώρες. Αν όμως ο ποδηλάτης κατευθυνθεί προς την πόλη Β και ο πεζός κατευθυνθεί προς την πόλη Α, τότε θα συναντηθούν μετά από 3 ώρες. Να βρείτε την ταχύτητα του καθενός. 1 η περίπτωση Ο χρόνος κίνησης του ποδηλάτη και του πεζού είναι t = 6h. Άρα, έχουμε: (ΑΣ 1 ) (ΒΣ 1 ) = 72 6υ 1 6υ 2 = 72 υ 1 υ 2 = 12 (1) 2 η περίπτωση Ο χρόνος κίνησης του ποδηλάτη και του πεζού είναι t = 3h 5

6 Άρα, έχουμε: (ΑΣ 2 ) + (ΒΣ 2 ) = 72 3υ 1 + 3υ 2 = 72 υ 1 + υ 2 = 24 (2) Προσθέτοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε 2υ 1 = 36 υ 1 = 18 km/h και υ 2 = = 6 km/h ΜΕΡΟΣ B : Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Ο κ. Κώστας κατάθεσε ένα κεφάλαιο στην τράπεζα με επιτόκιο 5 %. Μετά από 4 μήνες, το σύνολο της κατάθεσης του συμπεριλαμβανομένων και των τόκων έγινε Στα πλαίσια των οικονομικών μέτρων, οι πρώτες του συνόλου της κατάθεσης του παρέμειναν χωρίς αποκοπή, ενώ στο ποσό πέραν των έγινε αποκοπή ύψους 37,5 %. Να υπολογίσετε: α) Το αρχικό κεφάλαιο που είχε καταθέσει στην τράπεζα ο κ. Κώστας. β) Το ποσό των χρημάτων που απέμεινε στο λογαριασμό του μετά την επιβολή των οικονομικών μέτρων. Κ + Τ = K + K E X 1200 K = ευρώ. = K + K = K + K 60 = = το ποσό στο οποίο θα γίνουν αποκοπή. Η αποκοπή ισούται με ,5 100 = ευρώ. Άρα το ποσό που απέμεινε στην τράπεζα ισούται με = ευρώ 6

7 2. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τις τιμές και τους αντίστοιχους αριθμούς εισιτηρίων διπλής διαδρομής λεωφορείου που αγοράζουν καθημερινά οι 22 υπάλληλοι μιας εταιρείας για να μεταβούν στην εργασία τους. Τιμή εισιτηρίου σε ευρώ (x i ) Αριθμός εισιτηρίων (f i ) Να υπολογίσετε: α) Την επικρατούσα τιμή (x ε ) των παρατηρήσεων. β) Τη διάμεσο τιμή (x δ ) των παρατηρήσεων. γ) Τη μέση τιμή (x ) των παρατηρήσεων. δ) Την τυπική απόκλιση (σ) των παρατηρήσεων. Τιμή εισιτηρίου σε ευρώ (x i ) Αριθμός εισιτηρίων (f i ) f i x i (x i x ) 2 f i (x i x ) Σf i = 22 Σf i x i = 132 Σf i (x i x ) 2 = 78 7

8 α) x ε = 4 β) x δ = = 5,5 γ) x = Σf ix i Σf i = = 6 δ) σ = Σf i (x i x ) 2 Σf i = = 1,88 3. Ένας πελάτης μπαίνει σε ένα κατάστημα κατοικίδιων ζώων για να αγοράσει 5 πουλιά. Το κατάστημα διαθέτει προς πώληση 6 παπαγάλους και 9 καναρίνια. α) Να βρείτε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή των πουλιών που θα αγοράσει ο πελάτης. β) Αν ο πελάτης αγοράσει τα 5 πουλιά στην τύχη, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Κ: «ο πελάτης να αγοράσει ακριβώς ένα παπαγάλο» Λ: «ο πελάτης να αγοράσει το πολύ ένα καναρίνι» Μ: «ο πελάτης να αγοράσει μόνο ένα είδος πουλιών» α) Ο πελάτης θα διαλέξει 5 πουλιά από τα 15 άρα ( 15 5 ) = 15! 5!10! = β) Ο πελάτης πρέπει να διαλέξει 1 παπαγάλο από τους 6 και 4 από τα 9 καναρίνια άρα, P(Κ) = (6 1 )(9 4 ) 3003 = Ο πελάτης για να αγοράσει το πολύ ένα καναρίνι έχουμε δυο περιπτώσεις: 1 καναρίνι και 4 παπαγάλους ή 5 παπαγάλους, δηλαδή P(Λ) = (9 1 )(6 4 )+(6 5 ) 3003 Ο πελάτης για να αγοράσει μόνο ένα είδος πουλιών έχουμε δυο περιπτώσεις: 5 παπαγάλους ή 5 καναρίνια, δηλαδή, P(M) = (9 5 )+(6 5 ) 3003 = 4 91 =

9 4. Δίνονται τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5. α) Να βρείτε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών που μπορούν να σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων. β) Να βρείτε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών μεγαλύτερων του 400 που μπορούν να σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία: i) Αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων. ii) Αν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων. α) Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Δεν επιλέγουμε το 0 Όλους τους αριθμούς εκτός από εκείνο που έχει επιλεγεί στις εκατοντάδες Όλους τους αριθμούς εκτός από εκείνο που έχει επιλεγεί στις εκατοντάδες και τις δεκάδες Άρα έχουμε = 100 τριψήφιους αριθμούς. β) i) Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Μόνο 4 ή 5 Όλους τους αριθμούς εκτός από εκείνο που έχει επιλεγεί στις εκατοντάδες Όλους τους αριθμούς εκτός από εκείνο που έχει επιλεγεί στις εκατοντάδες και τις δεκάδες Άρα έχουμε = 40 τριψήφιους αριθμούς. 9

10 ii) Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Μόνο 4 ή 5 Μπορεί να επιλεγεί ένας από τους 6 αριθμούς Μπορεί να επιλεγεί ένας από τους 6 αριθμούς Σε αυτούς τους αριθμούς συμπεριλαμβάνεται και το 400, άρα, έχουμε = 71 τριψήφιους αριθμούς μεγαλύτερους του Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΖΗΔ είναι ισοσκελές με ΖΗ = ΖΔ = 13 cm και ΗΔ = 10 cm. To ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς 7 cm. Το σκιασμένο πολύγωνο ΖΗΓΒΑΔ στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία (ε) που είναι κάθετη στην ΗΔ. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του παραγόμενου στερεού. β) Τον όγκο του παραγόμενου στερεού. 10

11 R 1 = (HΓ) = 10 7 = 3cm R 2 = (HΔ) = = 10 cm R 3 = KZ = HΔ 2 = 5 cm Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε, (ΚΗ) = 13 2 (KH) = 12 cm. λ = (ZH) = (ZΔ) = 13 cm υ 1 = (KH) = 12 cm υ 2 = (BΓ) = (AΔ) = 7 cm Τρίγωνο ZKH: α) Ε oλ = E AB + E BΓ + E ΓH + E HZ + E ZΔ + E ΔA = π(r 2 2 R 2 1 ) + 2πR 1 υ 2 + πr πr 3 λ + π(r 2 + R 3 )λ + 2πR 2 υ 2 = π( ) + 2π π π π(5 + 10) π 10 7 = 542π cm 2 11

12 β) V = V ΑΘHΔ + V KZΔH V HZK V BΓHΘ = π R 2 2 υ π υ 3 1(R R 2 R 3 + R 2 3 ) 1 π R υ 1 π R 2 1 υ 2 = π π 3 12( ) 1 π π = 1237π cm 3 12