ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

Transcript

1 ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη, Ηλίας Ρόκος 1 Εισαγωγή Η Θεωρία Παιγνίων αποτελεί ένα παρακλάδι των εφαρµοσµένων µαθηµατικών και των οικονοµικών επιστηµών που µελετά καταστάσεις στις οποίες πολλοί παίκτες παίρνουν αποφάσεις µε σκοπό να ϐελτιώσει ο κάθε παίκτης τη ϑέση του σε σχέση µε τους υπολοίπους παίκτες. Η πρώτη αναφορά στη Θεωρία Παιγνίων έγινε από τον John Von Neumann το 198 και στη συνέχεια το 1944 στο ϐιβλίο του Theory of Games and Economic Behavior σε συνεργασία µε τον Oskar Morgenstern. Επειτα το 1950 ο John Nash όρισε πρώτος την έννοια της ϐέλτιστης στρατηγικής για παίγνια πολλών παικτών, γνωστή ως Nash Equilibrium - NE (Nash Ισορροπία). Η Θεωρία Παιγνίων έχει εφαρµογές σε κοινωνικές, πολιτικές, οικονοµικές επιστήµες καθώς και στην τεχνητή νοηµοσύνη. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της Θεωρίας Παιγνίων είναι ότι µελετά παίγνια στα οποία οι παίκτες αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων Στο µάθηµα ϑα ασχοληθούµε µε τα παρακάτω : 1. Υπολογιστικά ϑέµατα Γενικά ϑα ασχοληθούµε µε παίγνια της µορφής : ίνονται οι πίνακες ενός παιγνίου δύο παικτών. Να ϐρεθεί µία Nash Ισορροπία. Παράδειγµα 1. (Bach-Stravinsky) ύο άνθρωποι ϑέλουν να ϐγουν έξω µαζί σε ένα κονσέρτο µουσικής του Bach ή του Stravinsky. Το κύριο µέληµα είναι να ϐγουν έξω µαζί, αλλά ο ένας προτιµάει τον Bach και ο άλλος τον Stravinsky. ίνεται ο παρακάτω πίνακας ο οποίος αναπαριστά τις αποδόσεις των παικτών µε ϐάση τις προτιµήσεις τους. Bach Stravinsky Bach,1 0,0 Stravinsky 0,0 1, Σχήµα 1: Παίγνιο Bach-Stravinsky Στον παραπάνω πίνακα ο πρώτος παίκτης επιλέγει γραµµές και ο δεύτερος παίκτης επιλέγει στήλες. 1

2 Αν και οι δύο παίκτες επιλέξουν να πάνε στον Bach τότε ο πρώτος παίκτης έχει κέρδος και ο δεύτερος κέρδος 1. Αντίστοιχα, αν και οι δύο παίκτες επιλέξουν να πανε στον Stravinsky τότε ο πρώτος παίκτης ϑα έχει κέρδος 1 και ο δεύτερος κέρδος. Στην περίπτωση που επιλέξουν να πάνε σε χωριστά κονσέρτα το κέρδος και των δύο παικτών είναι µηδενικό. Το παραπάνω παίγνιο έχει δύο Nash Ισορροπίες. Η µία είναι η (Bach, Bach) και η άλλη είναι η (Stravinsky, Stravinsky). Ας εξετάσουµε την ισορροπία (Bach, Bach). Εστω ότι ο πρώτος παίκτης προτιµάει τον Bach, δηλαδή έχει επιλέξει την πρώτη γραµµή. Ο δεύτερος παίκτης - δεδοµένου ότι ο πρώτος παίκτης έχει επιλέξει Bach- δεν έχει λόγο να αλλάξει στρατηγική τη στιγµή που η απόδοσή του από 1 ϑα γίνει 0 (επιλέγει στήλη). Παράδειγµα. Matching Pennies. ύο παίκτες επιλέγουν σε ένα νόµισµα κορόνα ή γράµµατα. Αν οι επιλογές των δύο παικτών είναι διαφορετικές, τότε ο πρώτος παίκτης πληρώνει 1$ στον δεύτερο παίκτη. Αν οι επιλογές των παικτών είναι ίδιες, τότε ο δεύτερος παίκτης πληρώνει 1$ στον πρώτο παίκτη. Ο κάθε παίκτης ενδιαφέρεται αποκλειστικά για το κέρδος του. Αυτό το παίγνιο ϕαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Κορόνα Γράµµατα Κορόνα 1,-1-1,1 Γράµµατα -1,1 1,-1 Σχήµα : Παίγνιο Matching Pennies Τα παίγνια αυτής της µορφής όπου τα συµφέροντα των παικτών είναι αντιδιαµετρικά ονοµάζονται αυστηρά ανταγωνιστικά. Το παίγνιο Matching Pennies δεν έχει γνήσια Nash Ισορροπία.. Τίµηµα της αναρχίας (Price Of Anarchy - PE) Ορισµός 1. Τίµηµα της αναρχίας (για παίγνια συµφόρισης) PE = Cost Of E max Nash Equilibria E OPT Στο παρακάτω παράδειγµα ϑα µελετήσουµε το τίµηµα της αναρχίας σε ένα παίγνιο κυκλοφοριακής συµφόρισης (congestion game).

3 Παράδειγµα 3. Παίγνιο κυκλοφοριακής συµφόρισης ή παίγνιο Network Flow. Θεωρούµε το κυκλοφοριακό δίκτυο που ϕαίνεται στον παρακάτω γράφο. Οι ακ- µές του γράφου αναπαριστούν τους δρόµους του κυκλοφοριακού και τα ϐάρη των ακµών αντιστοιχούν στο κόστος (χρόνο) µετακίνησης. Οι µεταβάσεις από κόµβο σε κόµβο µπορούν να γίνουν σε 0 ώρες, 1 ώρα ή σε χρόνο f(ρ) = ρ 1. 1 hour f(ρ) = ρ 0 f(ρ) = ρ 1 hour Σχήµα 3: Κυκλοφοριακό δίκτυο Nash Equilibrium. Ευρισκόµενος στην εκκίνηση κάθε παίκτης έχει να επιλέξει µία διαδροµή µε κόστος 1 ώρα ή µία διαδροµή µε κόστος f(ρ) = ρ 1 και προφανώς κάθε παίκτης επιλέγει τη διαδροµή µε κόστος ρ. Στην επόµενη ϑέση κάθε παίκτης έχει να επιλέξει ανάµεσα σε 0 και 1 ώρα και προφανώς επιλέγει 0, και τέλος επιλέγει τη διαδροµή µε κόστος ρ. (Στο σχήµα είναι η πράσινη διαδροµή). Εφόσον όλοι οι παίκτες ακολουθούν την ίδια διαδροµή ϑα έχουµε f(ρ) = 1 και το ΝΕ ϑα είναι : ΝΕ=1+0+1=. Optimun Solution. Εστω ότι ρ παίκτες αποφασίζουν να ακολουθήσουν κάποια από τις µπλε διαδροµές. Τότε το κόστος της διαδροµής ϑα είναι (1 ρ) ρ το οποίο ελαχιστοποιείται για ρ = 1. Άρα οι µισοί παίκτες ϑα επιλέξουν τη µία µπλε διαδροµοί και άλλοι µισοί την άλλη µε κόστος το οποίο είναι και το ϐέλτιστο. Σύµφωνα µε τον παραπάνω τύπο µπορούµε να υπολογίσουµε το τίµηµα της αναρχίας για το συγκεκριµένο παίγνιο : PE = Cost Of E max Nash Equilibria E OPT = = 4 3 > 1. 3

4 3. Μηχανισµοί (Αλγόριθµοι - Πρωτόκολλα) Παράδειγµα 4. Πρόβληµα διαµοιρασµού αγαθών/κόστους (Cost Sharing) ίνεται το παρακάτω δέντρο το οποίο αντιστοιχεί στο κόστος του δικτύου ενός τηλεοπτικού σταθµού ο οποίος εκπέµπει µέσω καλωδίων σε ένα σύνολο χρηστών. Οι χρήστες (ϕύλλα του δέντρου) είναι διατεθειµµένοι να δώσουν κάποια χρηµατικά ποσά για να συνδεθούν µε τον τηλεοπτικό σταθµό. Τα ϐάρη στις ακµές του δέντρου αντιπροσωπεύουν το κόστος των γραµµών σύνδεσης από τον τηλεοπτικό σταθµό προς τους χρήστες. Το πρόβληµα είναι να ϐρούµε το ποσό που ϑα δώσει κάθε χρήστης για να συνδεθεί µε τον τηλεοπτικό σταθµό και η Ϲητούµενη λύση ϑέλουµε να είναι badget balanced. Για το συγκεκριµένο πρόβληµα γνωρίζουµε ότι δεν υπάρχει µία καλή πολιτική Σχήµα 4: ιαµοιρασµός κόστους Παράδειγµα 5. Mechanism Design (Πλειστηριασµοί). Ενα αντικείµενο ϑα πουλη- ϑεί σε έναν παίκτη από ένα σύνολο {1,,..., n} µε κάποιο χρηµατικό αντίτιµο. Κάθε παίκτης i δίνει µία αποτίµηση του αντικειµένου v i και v 1 > v >... > v n > 0. Ο µηχανισµός που χρησιµοποιείται για τη πώληση του αντικειµένου είναι µία (sealedbid) δηµοπρασία : οι παίκτες ταυτόχρονα ποντάρουν για το αντικείµενο (η αποτίµησή τους είναι ένα χρηµατικό ποσό µη αρνητικό), και το αντικείµενο τελικά πωλείται στον παίκτη µε την µεγαλύτερη αποτίµηση. 4

5 Παράδειγµα 6. Markets Εστω ότι έχουµε 10 διαφορετικά αγαθά και µία αγορά από n πιθανούς αγοραστές των αγαθών. Κάθε ένας από τους πιθανούς αγοραστές δίνει µία αποτίµηση (προσφορά) για κάθε ένα από τα 10 αγαθά (µπορεί να δώσει και 0). Το πρόβληµα είναι να ϐρεθεί µία αγορά (να οριστούν οι τιµές των αγαθών) ώστε όλοι να είναι ικανοποιηµένοι. (,3,0,4,...) (4,1,...) Σχήµα 5: Market Game Θεώρηµα 1. Η αγορά δουλεύει! 5