2.6 Nepravi integrali

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.6 Nepravi integrali"

Κόσμος Μανωλάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [, i oznčv s f(). (.5) Tkoder kžemo d neprvi integrl (.5) konvergir. Ako es u (.4) ne postoji u R, ond kžemo d neprvi integrl (.5) divergir. Anlogno definirmo pojm neprvog integrl z funkciju f :, ] R: f() : f(). Ako je f : R R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom segmentu, td definirmo c f() : f() + f() (c R), (.6) ukoliko ob neprv integrl s desne od (.6) konvergirju. Npomen. c R. c Lko se pokže d je definicij (.6) dobr, tj. d ne ovisi o izboru točke Zk.49 Izrčunjte neprve integrle: () + e ln (c) ( > ) (d) Rješenje. () + + rctg rctg. e ln t ln e t ln e ln ln ln. ln t

2 . INTEGRAL 67 (c) ch t t Arch sh Arch sh t Arch Arch ch t sh t Arch ch t th t Arch Arch t th(arch )). (d) ( + ) + 4 ( + ) η 4. η ( + ) η rctg + η ( + ) + 4 rctg + + η Arch Arch (th(arch ) b ( + ) + 4 rctg + rctg η Npomen. Postojnje es općenito ne povlči konvergenciju neprvog integrl Npr. z sve > immo > immo divergir, p ond ne postoji ni f(). (.7), p je stog i, p je S druge strne, ko neprvi integrl vrijedi. f().. S druge strne z. Dkle, neprvi integrl f() konvergir, td es (.7) postoji i f() f(). Limes (.7) zove se glvn vrijednost integrl funkcije f i oznčv s V.P. f(). O njemu ćete više čuti n kompleksnoj nlizi.

3 68. INTEGRAL Definicij. Z neprvi integrl konvergir neprvi integrl f() kžemo d psolutno konvergir, ko f(). Teorem. Apsolutn konvergencij povlči običnu konvergenciju, tj. ko neprvi integrl f() psolutno konvergir, td on i konvergir. Npomen. Obrt prethodnog teorem općenito ne vrijedi. Nime, može se pokzti d neprvi integrl sin konvergir, li d ne konvergir psolutno. Teorem. (Usporedni kriterij) Nek su f, g : [, [, dvije nenegtivne funkcije koje su Riemnn integrbilne n svkom segmentu [, b], < b. Pretpostvimo d vrijedi f() g(), [,. () Ako neprvi integrl f(). g() konvergir, ond konvergir i neprvi integrl Ako neprvi integrl f() divergir, ond divergir i neprvi integrl Korolr. (Grnični kriterij) Nek su f, g : [, R + dvije pozitivne funkcije koje su Riemnn integrbilne n svkom segmentu [, b], b <. Pretpostvimo d u R postoji es f() L : [, ]. g() () Ako neprvi integrl integrl Ako neprvi integrl integrl f() konvergir. f() divergir. g() konvergir i ko je c [,, td i neprvi g() divergir i ko je c, ], td i neprvi g().

4 . INTEGRAL 69 Zk.5 U ovisnosti o prmetru p > ispitjte konvergenciju neprvog integrl Rješenje. Po definiciji, neprvi integrl Promtrmo slučjeve., gdje je >. p L : p. p konvergir ko postoji končn es (i) Ako je p, ond je b ln b ln. Stog je p neprvi integrl L (ii) Ako je p, ond je L Dkle, neprvi integrl divergir. p p p (ln ln ), p ( p p ). Stog je p p ( p p ) z p < p p z p >. konvergir z p >, divergir z < p. p Zk.5 Ispitjte konvergenciju neprvih integrl () Rješenje. sin () Tvrdimo d neprvi integrl Zist, kko je + sin (c) 4+ 5 rctg (d) sin konvergir psolutno , sin.

5 7. INTEGRAL te kko neprvi integrl d neprvi integrl Iz nejednkosti konvergir (p ), iz grničnog kriterij slijedi sin tkoder konvergir., >, dokzne konvergencije neprvog integrl i usporednog kriterij slijedi d neprvi integrl konvergir psolutno sin Iz nejednkosti divergencije neprvog integrl neprvi integrl (c) Kko je te kko neprvi integrl d integrl (d) Iz nejednkosti + sin, + sin [,, (p ) i usporednog kriterij slijedi d tkoder divergir. L : rctg rctg tkoder divergir., divergir, prem grničnom kriteriju zključujemo + sin + >, [, divergencije neprvog integrl (p ) i usporednog kriterij, slijedi d neprvi integrl + sin tkoder divergir. Definicij. Nek je f : [, b R (ne nužno ogrničen) funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [, b. Ako postoji končn es b f(), (.8)

6 . INTEGRAL 7 ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [, b i oznčv s b f(). (.9) Tkoder kžemo d neprvi integrl (.9) konvergir. Ako es u (.8) ne postoji u R, ond kžemo d neprvi integrl (.9) divergir. Anlogno definirmo pojm neprvog integrl z funkciju f :, b] R: b f() : + b f(). Ako je f :, b R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu od, b, td definirmo b f() : c f() + b ukoliko ob neprv integrl s desne od (.) konvergirju. c f() ( < c < b), (.) Npomen. () Lko se pokže d definicij (.) ne ovisi o izboru točke < c < b. Ako je f : [, b] R Riemnn integrbiln funkcij, td je b f() b f(), što pokzuje d je u tom slučju neprvi integrl jednk običnom Riemnnovom integrlu funkcije f n [, b]. (c) Z neprvi integrl n ogrničenom području vrijede nlogni teoremi ko i z neprvi integrl n neogrničenom području. Zk.5 Izrčunjte neprve integrle () ctg sin (c) tg. Rješenje. () rcsin sin t ). sin t rcsin t cos t rcsin ( cos t) rcsin ( cos rcsin ) ( ctg sin + rcsin + t + (sin ) t sin rcsin cos cos t rcsin + ( rcsin ).

7 7. INTEGRAL (d) Uzmimo < < i stvimo Po definiciji je Nek je t I I : tg. tg I. Koristeći supstituciju t, immo + J : tg ( tg + ctg ). sin + cos Td je J sin cos sin + cos u sin cos (sin cos ) du (cos + sin ) cos sin Stog je Kko je sin cos te kko je + du u rcsin(cos sin ). ctg. sin + cos ( sin cos ) J rcsin(cos sin ) + +. J I tg i + tg ctg, ctg, to je tg + I + J. sin cos cos sin Zk.5 U ovisnosti o prmetru p > ispitjte konvergenciju neprvog integrl, gdje je >. p Rješenje. Po definiciji, neprvi integrl es Promtrmo slučjeve. p L : +. p konvergir ko postoji končn

8 . INTEGRAL 7 (i) Ako je p, ond je z < < ln ln ln. Stog je L + (ln ln ), + p neprvi integrl divergir. (ii) Ako je p, ond je z < < Stog je p p p p ( p p ). L + p p + ( p p ) Dkle, neprvi integrl Zk.54 Ispitjte konvergenciju neprvih integrl z p > p p z < p <. konvergir z < p <, divergir z p. p () ln cos ( ) 4 (c) cos + (d) 4 + Rješenje. () Uzmimo < <. Td je. Iz nejednkosti ln(t + ) + t t + + ln slijedi ln(t + ) < t, t > ln(t + ) > t. kko je < < bio proizvoljn, te kko neprvi integrl usporednog kriterij slijedi d neprvi integrl Uzmimo < <. Kko je cos,, ln divergir, iz tkoder divergir.

9 74. INTEGRAL immo cos ( ) 4 t 4 ( ) 4 t. Kko je < < bio proizvoljn, te kko neprvi integrl iz usporednog kriterij slijedi d neprvi integrl konvergir, p stog i konvergir. (c) Uzmimo < <. Iz nejednkosti slijedi sin <, >, 4 t konvergir, cos psolutno 4 ( ) cos cos + cos cos sin <,, ], jer je + cos, z sve, ]. Stog je cos >. Kko je < < bio proizvoljn, te kko neprvi integrl (p ), iz usporednog kriterij slijedi d neprvi integrl divergir. divergir cos tkoder (d) Tvrdimo d neprvi integrl konvergir. Dokžimo d ob neprv integrl konvergirju. Ocjenjujemo: i ( )( ) < 5,, ], jer je + < 5 5,, ]. Slično bismo dobili i ocjenu <, ( )( ) [,.

10 . INTEGRAL 75 Uzmimo proizvoljne <, δ <. Zbog prethodnih nejednkosti immo < 5 t + + te δ + + δ 4 + < t t δ δ Kko su <, δ < bili proizvoljni, te kko neprvi integrl (p ), iz usporednog kriterij slijedi d ob neprv integrl tkoder konvergirju i t, t konvergir. δ t

11 76. INTEGRAL Zdci z vježbu.55 Izrčunjte neprve integrle: () e ( + ) (c) ( + ) rctg ( + )..56 Ispitjte konvergenciju neprvih integrl () e + ln cos ln (c) sin e ( + )..57 Odredite prmetr α R z kojeg neprvi integrl + 4 α + konvergir, te z tj α izrčunjte gornji integrl..58 Nek je f : [, [, neprekidn nenegtivn funkcij. Pretpostvimo d neprvi integrl konvergir. () Mor li nužno vrijediti f()? f() Ako je f uniformno neprekidn n [,, dokžite d je f()..59 Izrčunjte neprve integrle: + b (), ( < b) (c) ln(sin ). ( )(b ).6 Ispitjte konvergenciju neprvih integrl () sin 4 (c) + cos (d) tg ln( + ) 5.

Σχετικά έγγραφα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine