ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3

Transcript

1 ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),( f ), f f, f n 5 n ) f () log i) f () ln( ln). Να βρεθεί το Σύνολο Τιμών των συναρτήσεων: i) f () ln( ) f () με () 4 i f :(, ) με f () f :[,) f. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () 75 t i) Σε ποιο ύψος θα βρίσκεται η μπάλα μετά από sec. Ποιο είναι το ύψος του πύργου; i Πότε η μπάλα θα φτάσει στο έδαφος;

2 4. Κάτω από ορισμένες εργαστηριακές συνθήκες ο αριθμός των βακτηριδίων της χολέρας διπλασιάζεται κάθε 0 min. Αν μια καλλιέργεια περιέχει αρχικά τέτοιο βακτηρίδιο να βρείτε : i) Τη συνάρτηση που δίνει τον αριθμό των βακτηριδίων μετά από t ώρες Τον αριθμό των βακτηριδίων μετά από ώρες i Μετά από πόσες ώρες θα υπάρχουν 8 βακτηρίδια 5. Κατασκευάζουμε κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου με τετράγωνη βάση. Αν το ύψος είναι τριπλάσιο από την πλευρά της βάσης : i) Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε(χ) και τον όγκο V(χ) του κουτιού ως συνάρτηση του χ, όπου χ η πλευρά της βάσης. Να βρείτε τις τιμές Ε(),V(),Ε(4),V(4) i Να βρείτε την πλευρά της βάσης και το ύψος του κουτιού. Αν το εμβαδόν του είναι 50 cm. 6. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες i) f f () i f () () f () v) f () vi) f () ln( ) v f () [0, ] vi f () e e 7. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ i) i f () f () 5 4 f () e e f () e

3 8. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ i) f () ln f ()()( )( 4 ) 5 i f () 4 f () ln( ) 9. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: i) f () 4() g i f () 5() 0 6g f ()() g ( ) f () 8 7() 4 g 0. Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τον τύπο για κάθε μια από τις συναρτήσεις : i) f () f () i f () f (). Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι ίσες. Αν όχι να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο οι συναρτήσεις είναι ίσες. i. ii. iii. f () και g() f () ln f () και g() ln 4 και g() iv. f () ln και g() ln( ) ln() f g. Να ορισθούν οι συναρτήσεις f g, f g, fg,, αν: g f i) f () () g f () () g

4 6 i f ()() g 9. Να βρεθεί η συνάρτηση f g και να γίνει η γραφική παράσταση της f g, 0, 0 f () g(), 0, 0 αν 4. Να βρεθεί η f g, να γίνει η γραφική της παράσταση και να βρεθεί το Σύνολο Τιμών της αν,, f () g(),, 5. Να βρεθεί η f g Τιμών της αν, να γίνει η γραφική της παράσταση και να βρεθεί το Σύνολο, f () 5,, g(), 0 4, 5 6. Να βρεθούν οι f g, g f αν: i) f () () g f () ln() g i f () () g f () () g v) f () () g vi) v f () () g, 0, 4 f ()() g 4, 6 5, Να γράψετε την f f i) f () f () ln αν 8. Να ορισθεί η h g f αν f (), g(), h ()

5 9. Να εκφράσετε την f ως σύνθεση δυο ή περισσότερων συναρτήσεων i) i f ()( ) f () f () ln( e ) f () {θεωρήστε γνωστό το Π.Ο.} e 5 και () 0. Για ποια τιμή του α ισχύει f g g f αν f () g a. Αν f () a και g(), να βρείτε τη συνθήκη μεταξύ των α και β ώστε να είναι f g g f.. Αν μια συνάρτηση f έχει Π.Ο. το [-4,] να βρεθεί το Π.Ο. της g()(5) f. Αν μια συνάρτηση f έχει Π.Ο. το [-,7] να βρείτε το Π.Ο. της g()( ) f 4. Έστω h :, f :, g : με h()()() f g και f, g γνησίως αύξουσες συναρτήσεις. Να αποδείξετε ότι h h f f g g. 5. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις i) f () 5 f () i f () ln( ) f () 5, v) 6. Να δείξετε ότι : f () e.. [0,) i) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ τότε η - f είναι γνησίως αύξουσα Αν δυο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως φθίνουσες τότε και η f g είναι γνησίως φθίνουσα σε κάποιο διάστημα 7. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της f () 0 8. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f () 4 9. Να αποδείξετε ότι η f () είναι -

6 0. Nα αποδείξετε τι η f () ΔΕΝ είναι -. Να αποδείξετε ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι -.Ισχύει το αντίθετο ;. Δίνεται η f () i) Να αποδείξετε ότι η f είναι - Να βρείτε την f i Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης της γραφική παράσταση της f f να κάνετε την. Δίνονται f () e,()( g )( ) και h() ln(). Να βρείτε ποιες από αυτές είναι - και σε κάθε περίπτωση ποια είναι η αντίστροφή της. 4. Έστω η f () i) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται i 5. Να δείξετε ότι η 6. Έστω f : Να βρείτε την f Να λύσετε την εξίσωση f () 9 f ( 6)( 5) f ΔΕΝ αντιστρέφεται με την ιδιότητα f f ()() f 5, i) Να δείξετε ότι η f είναι - 7. Να δείξετε ότι η Να λύσετε την εξίσωση 9 f ( )() f f () είναι - και να λύσετε την εξίσωση e ( 9) ( ). e e 8. Να δείξετε ότι η f () e e είναι - και να βρείτε το Σ.Τ. της. 9. Έστω συνάρτηση f : τέτοια ώστε : f f () Α. i) Να δείξετε ότι η f είναι - Β. f ()() f Να δείξετε ότι

7 i) Να λυθεί στο η εξίσωση f () Να δείξετε ότι ( )()(0) f f f i Αν f (8) 64 να βρείτε το f () 40. Δίνεται f : για την οποία ισχύει : Να βρείτε την συνάρτηση f. f ( ) () f. 4. Έστω f : για την οποία ισχύει f ( )() f 0. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα χ χ σε τουλάχιστον δυο σημεία. 4. Αν f g (), τύπο της f και g(). Να βρείτε τον f g () 4. Αν και f () e να βρείτε τον τύπο της g 44. Αν f f () 4 να βρείτε την τιμή f () f f () να βρείτε την τιμή f Έστω μια συνάρτηση f : τέτοια ώστε : f f (). 45. Αν Να δείξετε ότι : i) f ( ) () f f () 47. Μια συνάρτηση f : 0, έχει την ιδιότητα : f ln() f 0 e i) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f Να γίνει η γραφική παράσταση της f 48. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : με την ιδιότητα : f ()()()() f y f f y 49. Δίνεται η συνάρτηση f : f ()() y f y y με την ιδιότητα : () για κάθε, i) Να βρεθεί το f (0) Να αποδειχτεί ότι y f (),

8 i Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Να αποδείξετε ότι f ()() f y v) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση () 50. Έστω f : μια μη σταθερή συνάρτηση με τις ιδιότητες : f ()()() y f f y και f ()()() y f f y y για κάθε, y. Να αποδειχτεί ότι : i) f (0) 0,() f,( ) f Η συνάρτηση είναι άρτια i Ο τύπος της συνάρτησης είναι f () 5. Δίνεται η συνάρτηση f () e, i) Να αποδειχτεί ότι η f είναι γνησίως μονότονη i Να εξεταστεί αν ορίζεται η Να λυθεί η εξίσωση Να λυθεί η ανίσωση 5. Να αποδείξετε ότι μια συνάρτηση f : f f () f () με την ιδιότητα f ()()(0) f f για κάθε ΔΕΝ είναι «-» 5. Δίνεται η συνάρτηση * f : η οποία είναι «-» και για κάθε 0 ικανοποιεί τη σχέση : f f ()() f i) Να αποδειχτεί ότι f f () Να βρεθεί ο τύπος της f 54. Δίνεται η συνάρτηση f : * με την ιδιότητα : ()() f f y f y κάθε, y 0 Αν η εξίσωση f () 0 έχει μοναδική ρίζα, τότε : για i) Να αποδειχτεί ότι ορίζεται η Να λυθεί η εξίσωση f ()( f )( )( f ) f i Αν επιπλέον είναι f () 0 για κάθε, να αποδειχτεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, f

9