ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 1 Με βάση τα θεωρήματα Carnot αποδείξτε την ανισότητα του Clausius: Q Q 1 1 ο θεώρημα Carnot Ο συντελεστής απόδοσης μίας θερμικής μηχανής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το συντελεστή απόδοσης αντιστρεπτής μηχανής Carnot, που έχει τις ίδιες θερμοκρασίες στην θερμή και ψυχρή δεξαμενή. 2 o θεώρημα Carnot Ο συντελεστής απόδοσης του κύκλου Carnot δεν εξαρτάται από το είδος του σώματος που εκτελεί την κυκλική διαδικασία αλλά μόνο από τη θερμοκρασία της θερμής και ψυχρής δεξαμενής. 2

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η μαθηματική έκφραση του 1 ου και του 2 ου θεωρήματος Carnot αποτυπώνεται στην ανισότητα του Claussius O συντελεστής απόδοσης μίας μη αντιστρεπτής μηχανής Carnot (γενική περίπτωση) δίνεται από τη σχέση: 1 Q O συντελεστής απόδοσης μίας αντιστρεπτής μηχανής Carnot δίνεται από τη σχέση: Q 1 Σύμφωνα με τα θεωρήματα του Carnot ισχύει: άρα: Q 1 1 Q Q Q 1 Ανισότητα Clausius για τo κύκλο Carnot 3

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 2 Σε δοχείο όγκου Α περιέχονται ν γραμμομόρια μονοατομικού ιδανικού αερίου υπό πίεση P Α (Κατάσταση Α). Το αέριο εκτονώνεται στην αρχή ισόθερμα έως τον όγκο Β (Κατάσταση Β) και στη συνέχεια αδιαβατικά έως τον όγκο (Κατάσταση ). α) σχεδιάστε όλη τη διαδικασία σε διάγραμμα P- β) υπολογίστε τη θερμοκρασία για κάθε κατάσταση γ) υπολογίστε το ολικό έργο δ) βρείτε πόσες φορές μεταβλήθηκε η πιθανότερη ταχύτητα των μορίων του αερίου κατά τη μετάβαση από την κατάσταση Α στην κατάσταση ε) βρείτε πόσες φορές μεταβλήθηκε κατά τη μετάβαση Α- ο αριθμός των κρούσεων των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου στη μονάδα του χρόνου και στη μονάδα της επιφάνειας α) P P Α Α Β Α Β 4

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ P P Α Α β) Από την καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου θα έχουμε: P R P R Β Α Β Η Μεταβολή από το Α στο Β είναι ισόθερμη άρα θα ισχύει: Το αέριο είναι ιδανικό μονοατομικό (i = 3) και συνεπώς ο συντελεστής Poisson θα είναι: Η Μεταβολή από το Β στο είναι αδιαβατική επομένως: i 2 5 i 3 5

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ P P Α Α γ) Μεταβολή από το Α Β ισόθερμη d W Pd R Rln Μεταβολή από το Β αδιαβατική Α Β Β P P1 1 d P 1 1 W Pd P 1 5 P R R 3 1 R R Το ολικό έργο θα είναι: 3 W W W Rln R 2 6

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ) η πιθανότερη ταχύτητα των μορίων μάζας m δίνεται από τη σχέση: 2k m Στην κατάσταση Α θα είναι: Στην κατάσταση θα είναι: () 2k m ( ) 2k m Άρα, η πιθανότερη ταχύτητα των μορίων του αερίου κατά τη μετάβαση από την κατάσταση Α στην κατάσταση μεταβλήθηκε: 2k 2k () ( ) m m 1 ( ) 2k m 7

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ε) ο αριθμός των κρούσεων των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου στη μονάδα του χρόνου και στη μονάδα της επιφάνειας είναι η συχνότητα κρούσεων που ισχύει: 1 1 8k n 4 4 m Άρα, η συχνότητα κρούσεων των μορίων του αερίου με τα τοιχώματα του δοχείου από την κατάσταση Α στην κατάσταση μεταβλήθηκε: 1 8k 1 8k 4 m 4 m 1 1 8k 4 m 8

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 3 Πυρηνικός σταθμός ισχύος 2.52 GW λειτουργεί τον αντιδραστήρα του στους = 725 K κι απορρίπτει στο ποτάμι νερό θερμοκρασίας = 290 Κ. (i) Υπολογίστε το μέγιστο συντελεστή απόδοσης και το ελάχιστο ποσό θερμότητας που απορρίπτει στο ποτάμι δεχόμενοι ότι λειτουργεί σαν μηχανή Carnot (ii) Αν ο πραγματικός συντελεστής απόδοσης είναι μόλις το 65% του μέγιστου, πόσο ποσό θερμότητας Q απορρίπτεται στο ποτάμι και πόση είναι η αύξηση της θερμοκρασίας Τ του ύδατος αν υπάρχει σταθερή ροή στο ποτάμι Π = 165 m 3 /s και (iii) πόσο πρέπει να μεταβληθεί η ροή ώστε ο βιότοπος που φιλοξενείται στο ποτάμι να μην διαταραχθεί από μεταβολή θερμοκρασίας άνω των 2 Κ Δίνεται ότι το C υδατος = 4.18 J/(kg K). i) O μέγιστος συντελεστή απόδοσης αν λειτουργεί σαν θερμική μηχανή Carnot είναι: % το ελάχιστο ποσό θερμότητας που απορρίπτει στο ποτάμι είναι το Q W W 2.52GW s Q 4.2GJ Q 0.6 9

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ όμως W Q Q Q W Q GJ Άρα το ελάχιστο ποσό θερμότητας που απορρίπτει στο ποτάμι είναι Q 1.68GJ (ii) αφού ο πραγματικός συντελεστής απόδοσης είναι μόλις το 65% του μέγιστου: real W W 2.52GW s real Q 6.46GJ Q 0.39 real Q W Q GJ Το ποσό θερμότητας που απορρίπτει στο ποτάμι είναι Q 3.94GJ Σε έναν κύκλο 10

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η παροχή Π είναι ο όγκος του νερού στη μονάδα χρόνου που χύνεται στο ποτάμι αν πολλαπλασιάσουμε με την πυκνότητα ρ του νερού παίρνουμε τη μάζα m στη μονάδα του χρόνου. m t t s m s Η μάζα του νερού που χύνεται σε 1 se είναι: 3 m m m 3 kg 3 kg Αν το νερό έχει ειδική θερμοχωρητικότητα C υδατος τότε θα ισχύει: Q mc kg Q 3.94GJ mc 3 J kg 4.18 kg K 5.17K 11

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (iii) Η μάζα του νερού που χύνεται στο ποτάμι το δευτερόλεπτο πρέπει να είναι: Q mc m Q C 3.94GJ 5 m kg J 2K 4.18 kg K m m t Άρα t 5 kg s 3 kg 10 m 3 3 m 4713 kg Άρα η ροή πρέπει να μεταβληθεί κατά m m m kg s s

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 4 Στο διάγραμμα - S ο κύκλος ΔΑ είναι αντιστρεπτός. Ο κύκλος ΑΒΕΔΑ είναι ΜΗ αντιστρεπτός και η μεταβολή ΒΕ θεωρείστε ότι γίνεται χωρίς ανταλλαγή θερμότητας. (i) Σχολιάστε τα ποσά θερμότητας που προσλαμβάνονται (Q ) και αποδίδονται (Q ) για τις δύο αυτές περιπτώσεις (Αντιστρεπτή και ΜΗ Αντιστρεπτή), (ii) τις αντίστοιχες μεταβολές της εντροπίας ΔS και (iii) τους αντίστοιχους συντελεστές απόδοσης η. (i) Τ Τ Δ E Η εντροπία για αντιστρεπτές μεταβολές ορίζεται από τη σχέση Q ds Q ds Δηλαδή στο διάγραμμα Τ S το «εμβαδό» μίας γραμμής θα αντιπροσωπεύει θερμότητα. S Α S Β S E 13

14 Η μεταβολή ΑΒΔ αντιστοιχεί σε μηχανή Carnot Τ Τ Δ E S Α S Β S E Το ποσό θερμότητας που προσλαμβάνει η αντιστρεπτή μηχανή είναι το γραμμοσκιασμένο εμβαδό Q Q S S,N Το ποσό θερμότητας που προσλαμβάνει η αντιστρεπτή μηχανή είναι το ίδιο με την Μη αντιστρεπτή διότι η μεταβολή ΒΕ δίνεται ότι είναι αδιαβατική (στην πραγματικότητα δεν έχει αυτό το σχήμα αν ήταν ιδανικό αέριο) άρα: Q Q Q,MH N,N Δηλαδή, απορροφούν την ίδια θερμότητα από τη θερμή δεξαμενή θερμότητας (με θερμοκρασία Τ ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τ Τ Τ Δ E Τ Δ E S Α S Β S E S Α S Β S E Το ποσό θερμότητας που αποδίδει η αντιστρεπτή μηχανή στη ψυχρή δεξαμενή είναι Q Q S S,N Το ποσό θερμότητας που αποδίδει η Μη αντιστρεπτή μηχανή στη ψυχρή δεξαμενή είναι: Q Q S,MH N E S Άρα Q,MH N Q,N Δηλαδή, ο μη αντιστρεπτός κύκλος αποβάλει περισσότερα ποσά θερμότητα στην ψυχρή δεξαμενή θερμότητας (θερμοκρασίας Τ ) (ii) H μεταβολή της εντροπίας για τον αντιστρεπτό κύκλο είναι μηδενική και ισχύει: S 0 S S, και συμφωνεί με το 2 ο θερμοδυναμικό Νόμο 15

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τ H μεταβολή της εντροπίας για τον μη αντιστρεπτό δεν είναι μηδενική και ισχύει: Τ Δ E S S S 0, και συμφωνεί με το 2 ο θερμοδυναμικό Νόμο S Α S Β S E (iii) Η απόδοση των δύο κύκλων θα είναι: Q,N Q,MH N Q Q,N,MH N MH και συμφωνεί με το 1 ο θεώρημα του Carnot: Ο συντελεστής απόδοσης μίας θερμικής μηχανής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το συντελεστή απόδοσης αντιστρεπτής μηχανής Carnot, που έχει τις ίδιες θερμοκρασίες στην θερμή και ψυχρή δεξαμενή. 16

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 5 Σχεδιάστε τον κύκλο Carnot σε διάγραμμα Τ, S και υπολογίστε τον συντελεστή απόδοσής του με τη βοήθεια της εντροπίας. Ο κύκλος του Carnot αποτελείται από δύο ισόθερμες και δύο αδιαβατικές μεταβολές και στο διάγραμμα S έχει τη μορφή ορθογωνίου παραλληλογράμμου. P P Α Τ Διάγραμμα P - Q Τ Διάγραμμα - S P Τ Β Τ Δ P Δ P Δ S Α S Β S Q Α Δ Β 17

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τ Η εντροπία για αντιστρεπτές μεταβολές ορίζεται από τη σχέση Q ds Q ds Δηλαδή στο διάγραμμα Τ S το «εμβαδό» μίας γραμμής θα αντιπροσωπεύει θερμότητα. Q Q 0 S S S S S S Q S S Q 0 Τ Δ S Α S Β S Ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot θα είναι: Q S S S S Q 18

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 6 Ένα γραμμομόριο ιδανικού μονοατοµικού αερίου εκτελεί σε θερµική μηχανή κύκλο Carnot μεταξύ θερμοστατών µε θερμοκρασίες θ 1 = 127 ο C και θ 2 = 27 ο C. Ο ελάχιστος όγκος του αερίου κατά τον κύκλο είναι 1 = 5 l και ο µέγιστος 2 =20 l. α) Πόση θερμότητα παίρνει από το θερμαντικό σώμα σε έναν κύκλο; β) Πόση θερμότητα αποδίδει σε έναν κύκλο; γ) Πόσο έργο παράγει αυτή η μηχανή σε έναν κύκλο; δ) Αν η μηχανή λειτουργήσει ως ψυκτική, πόση θα είναι η αποδοτικότητά της; Δίνεται R = 8,31 J/(mole K). Η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής είναι: Η θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής είναι: Ο ελάχιστος όγκος του αερίου κατά τον κύκλο είναι: K K 5L 510 m Ο μέγιστος όγκος του αερίου κατά τον κύκλο είναι: L 2010 m Εφόσον το αέριο είναι ιδανικό μονοατομικό (i = 3) 2 C p 3 2 R C 5 2 R

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ P 510 m m 3 3 Στην κατάσταση Α έχουμε: m 400K H μεταβολή είναι αδιαβατική και ισχύει: m 1310 m 400 P Α P Δ P Τ Δ Q Q Β Α Δ Β 400K 300K H μεταβολή Δ Α είναι αδιαβατική και όμοια βρίσκουμε m

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ P 510 m m 3 3 α) Η θερμότητα που προσλαμβάνει σε έναν κύκλο είναι: Q Q d W Pd R R ln Αντικαθιστώντας έχουμε: 13 Q ln J 3.176kJ 5 P Α P Δ P Τ Δ Q Q Β Α Δ Β 400K 300K β) Η θερμότητα που αποδίδει σε έναν κύκλο όμοια είναι: Q W R ln Q Αντικαθιστώντας έχουμε: 7.7 Q ln J 2.380kJ 20 γ) Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε έναν κύκλο είναι μηδέν και συνεπώς το έργο που παράγει η μηχανή θα είναι: W Q Q 0.796kJ 796J 21

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ) Η απόδοση μίας κυκλικής διεργασίας της θερμικής μηχανής είναι: ωφέλιμη ενέργεια W Q Αντικαθιστώντας έχουμε: 0.796kJ 3.176kJ δαπανώμενη ενέργεια 0.25 Αν η μηχανή λειτουργήσει ανάποδα δηλαδή ως ψυκτική ο συντελεστής απόδοσης της θα είναι: Q W 22

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 7 Ένα γραμμομόριο ιδανικού αερίου (γνωστή η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα C ) εκτελεί κύκλο που αποτελείται από δυο ισόθερμες διαδικασίες Α-Β και -Δ και δυο πολυτροπικές Β- και Δ-Α (βλέπε σχήμα) µε γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα C o. Υπολογίστε το έργο που εκτελεί το αέριο και τη θερμότητα που παίρνει σ όλες τις διαδικασίες. Υπολογίστε το συντελεστή απόδοσης του κύκλου. νωστά θεωρούνται επίσης τα Τ Α, Τ Δ, Α, Β. P Α Δ Β Μεταβολή από το Α Β ισόθερμη U 0 d 1 Q W Pd R R ln Μεταβολή από το Β πολυτροπική Q C C C U C C C W Q U C C 23

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ P Α Μεταβολή από το Δ ισόθερμη U 0 Q 1 d W Pd R R ln R ln Μεταβολή από το Δ Α πολυτροπική U C C C Q C W Q U C C διότι Δ Β Επειδή η μεταβολή Β είναι πολυτροπική ισχύει: s1 s1 s1 s1 (1) Επειδή η μεταβολή Δ Α είναι πολυτροπική ισχύει: Διαιρώντας (2) προς (1) έχουμε: s1 s1 24 (2)

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Το έργο που παράγει η μηχανή σε έναν κύκλο είναι: W R ln W C C W R ln W C C W W W W W Rln C C R ln C C R ln R ln R ln Η θερμότητα που απορροφάει η μηχανή σε έναν κύκλο είναι: Q Q Q R ln C 25

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ο συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής είναι: W Q R ln R ln C 26