Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A

Transcript

1 Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε εδώ. Θα εξετάσουµε τα συστήµατα ανάλογα µε τις διαστάσεις του προβλήµατος ΜΙΑ ΙΑΣΤΑΣΗ Ορίζουµε τον άξονα Ορίζουµε την αρχή Προσανατολίζουµε (+/ ) Μονάδα µέτρησης π.χ. m 1,5 0 Κάθε σηµείο προσδιορίζεται µονοσήµαντα < < + +3

2 Καρτεσιανό Σύστηµα υο κάθετοι µεταξύ τους προσανατολισµένοι και βαθµονοµηµένοι άξονες ΥΟ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ A < < < < Α Έστω σηµείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η θέση κάθε σηµείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιµών,.

3 ΥΟ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Πολικό Σύστηµα Για να προσδιορίσουµε τη θέση του σηµείου Α πρέπει να χρησιµοποιήσουµε και πάλι ένα ζεύγος τιµών. Την απόσταση από την αρχή των αξόνωνρ Τη γωνίαφπου µετριέται από το θετικό ηµιάξονα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού Το σχεδιάζουµε µαζί µε το καρτεσιανό για να καταλάβουµε τη σχέση µεταξύ τους 0 ρ Η θέση κάθε σηµείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιµώνρ, φ. φ Α 0 ρ < 0 < ϕ π

4 Σχέση µεταξύ Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγµένων Γεωµετρικά εύκολα βρίσκουµε ότι = cos ρ ϕ = ρ sinϕ ρ Α Συµβολισµοί που θα χρησιµοποιούµε συν ϕ cos ϕ ηµ ϕ sin ϕ εφ ϕ tn ϕ σφ ϕ cot ϕ 0 φ

5 ΤΡΕΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Καρτεσιανό Σύστηµα (δεξιόστροφο) Τρεις κάθετοι µεταξύ τους προσανατολισµένοι και βαθµονοµηµένοι άξονες z z A < < < < < z < Α Έστω σηµείο Α στο χώρο Η θέση του προσδιορίζεται A αν φέρουµε την προβολή του Α Α στο επίπεδο και βρούµε Τις Α, Α και την προβολή του z Α στον z άξονα. Η θέση κάθε σηµείου προσδιορίζεται από τρία µεγέθη,, z. 0 A

6 Είναι γνωστό ότι πολλά φυσικά µεγέθη θεωρούνται διανυσµατικά (π.χ. ύναµη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακήταχύτητακ.τ.λ) Συµβολισµός του διανύσµατος: Συµβολισµός του µέτρου του διανύσµατος: Στο Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων (όπωςθαµάθουµεκαισεόλατασυστήµατα συντεταγµένων) µπορούµε να ορίσουµε ένα σύστηµα µοναδιαίων διανυσµάτων: i = uˆ, j = uˆ, k = uˆ z х i z k j Τότεέναδιάνυσµαµπορούµενατογράψουµεµετηβοήθειάτους = i + j+ k {,, } z z Όπου οισυνιστώσεςτουδιανύσµατος,, z.

7 b θ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ b,b b= b θ ( ) cos Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι βαθµωτό µέγεθος b = b ( b + c)= b + c ( ) ( ) ( ) ( m b = m b = mb = b) m ii = jj = kk = 1, ij = jk = ki = 0 = i + j + zk, b = bi + b j + bzk b = b + ο 0 b + zbz,b b = 0 θ = 90, b. Άν και

8 b [,b] ˆn b φ b [,b ] = nb ˆ sin φ αείναι το µέτρο του και bτο b µέτρο του. φείναι η µικρότερη γωνία b µεταξύ των και. ˆn Το είναι µοναδιαίο διάνυσµα το οποίο προκύπτει ως εξής: Στρέφουµετο πρώτο διάνυσµα του γινοµένου (στην προκειµένη περίπτωση το ) προς το δεύτερο (εδώ b το ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το έχει τη φορά δεξιόστροφης βίδας. Το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι διάνυσµα, κάθετο και στα δύο διανύσµατα ˆn

9 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ b =? ˆn φ b b [ b,] = b

10 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ( b + c ) = b + c m( b) = ( m b) = ( mb) = ( b) m i i = j j = k k = 0 i j = k, j k = i, k i = j Άν ο 0,b b = 0 ϕ = 0, // b. και = i + j + k, b = b i + b j + b k z z i j k b= z b b b z

11 b S b S b S b S b S φ h h = S S S = S = εµβαδόν παραλληλογράµµου b = S sin = b b φ = b h b = S b

12 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ tnϕ= tnϕ= d d ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ = f() 1 φφ φ 1 + х 1 + х Ο στιγµιαίος «ρυθµός» µεταβολής ενός µεγέθους σε σχέση µε κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). Ταχύτητα Συµβολισµοί: υ = d Θερµοχωρητικότητα d Επιτάχυνση d C V = 3 d 3 du dt = dυ

13 Έστω µια ανεξάρτητη µεταβλητή. Έστω х µια µεταβολή της. Αν х 0 χρησιµοποιούµε το συµβολισµόd και ονοµάζουµε το d διαφορικό της ανεξάρτητης µεταβλητής. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση =f() και η ανεξάρτητη µεταβλητή µεταβληθεί κατά d, πόσο θα µεταβληθεί η ; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουµε ότι αν το µεταβληθεί κατά, τότε θα έχουµε: Και για х 0 = tnϕ d= tnϕ d= d d d =f( ) 1 φ 1+

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ Έστω συνάρτηση =f() Τότε =f(+ ) Με τι ισούται η διαφορά = =f(+ ) f(); Αποδεικνύεται ότι =Α +ο( ) όπου Α=Α() (δεν εξαρτάται από το ) καιο( ) συνάρτηση του δύνα- µης µεγαλύτερης της 1 ης Για 0 A=(d/d) και ο( ) 0 d d = d d 3 = = ( + ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ = + = ( ) ; ( ) = ( ) + ( ) = = [3 ( ) ( ) ] Για 0 d = 3 d= d d= d d

15 Η παράγωγος που ξέρουµε αναφέρεται σε συνάρτηση µιας µεταβλητής. Τι γίνεται αν έχουµε συνάρτηση πολλών µεταβλητών; υ= s t Π.χ. Και θέλουµε να δούµε πως µεταβάλλεται του όταν µεταβληθεί είτε το s είτε το t. Για συνάρτηση f(,, z, ) χρησιµοποιούµε την έννοια της µερικής παραγώγου. f f Παραγωγίζουµε ως προς, θεωρώντας τις άλλες µεταβλητές σταθερές. Παραγωγίζουµε ως προς, θεωρώντας τις άλλες µεταβλητές σταθερές. υ = s υ = t 1 t s t

16 Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουµε µερικών ειδών: f f f f υ s = 0 υ = t s t 3 υ 1 υ 1 = = s t t t s t ιαφορικό συνάρτησης πολλών µεταβλητών f(,, z). f f f df = d+ d+ dz z

17 Έστω διάνυσµα ( t) = ( t) i + ( t) j+ ( t) k z Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά t το διάνυσµα θα γίνει ( t+ t) = ( t+ t) i + ( t+ t) j+ ( t+ t) k Εξετάζουµε την παράσταση z ( t+ t) ( t) ( t+ t) ( t) lim = lim = lim[ i + t 0 t t 0 t t 0 t ( t+ t) ( t) z ( t+ t) z ( t) + j+ k ] = t t d d d z d = i + j+ k = Η παράγωγος διανύσµατος είναι διάνυσµα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσµατος

18 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Εάν d σταθερό (κατά µέτρο και διεύθυνση) 0 d( m) d = m = d( + b) d db = + d( b) d db d( b) d db = b + = b+

19 Έστω σωµατίδιο που κινείται στο επίπεδο διαγράφοντας µια συγκεκριµένη τροχιά και τη χρονική στιγµή t βρίσκεται στη θέσηα. Η στιγµιαία ταχύτητά του θα δίνεται από τη γνωστή σχέση: υ = ds Όπου ds ( t) ( t) Α ds( t) d ( t + t) η στοιχειώδης µετατόπιση σε χρόνο. Το διάνυσµα δείχνει τη θέση του σωµατιδίου τη χρονική στιγµή t και ονοµάζεται διάνυσµα θέσης. Μετά από χρόνο t το διάνυσµα θέσης θα είναι το ( t+ t) Βλέπουµε εύκολα, ότι = ( t+ t) ( t) Κατανοούµε ότι για t 0, d = ds

20 d = ds Εποµένως η στιγµιαία ταχύτητα του σωµατιδίου θα είναι: d υ = Έστω, οι συντεταγµένες του σηµείουα. Τότε θα έχουµε: ( t) ( t) = ( t) i + ( t) j d d d Εποµένως: υ = = i + j = υхi + υ j d d Θα ισχύει: υх =, υ = Εντελώς ανάλογα: d d d dz υ = = i + j+ k = υi + υ j+ υzk Α

21 Σύµφωνα µε όσα είπαµε παραπάνω για την επιτάχυνση (στις διαστάσεις) θα ισχύει: = = i + j Ενώ για τις 3 διαστάσεις: d υ dυ dυ d υ dυ dυ dυ d d d z = i + j+ k z = = i + j+ k d = i + d = i + j+ k= z ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όλα αυτά ισχύουν στο Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων! j = i + j

22 Βρείτε, στη γενική περίπτωση, την ταχύτητα (για κίνηση σε διαστάσεις) στο πολικό σύστηµα συντεταγµένων Για ΚΑΘΕ σύστηµα συντεταγµένων, για την ταχύτητα θα ισχύει ο γενικός ορισµός υ = d Για το πολικό σύστηµα συντεταγµένων εποµένως πρέπει να ορίσουµε το. Για να το κάνουµε πρέπει να έχουµε τα µοναδιαία διανύσµατα του πολικού συστήµατος.

23 Τα µοναδιαία διανύσµατα ορίζονται ως εξής: 1. Για σηµείο Α φέρουµε την ΟΑ που ορίζει τορ. Το µοναδιαίο διάνυσµα û ρ ορίζεται κατά µήκος τουρκαι φορά από το Ο προς το Α.. Το µοναδιαίο διάνυσµα που αντιστοιχεί στη γωνίαφ, το, είναι κάθετο στο και δείχνει τη φορά µέτρησης τουφ. û ρ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΕΙΝΑΙ ΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ ΜΟΝΑ ΙΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΟΝΑ ΙΑΙΩΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Ο û ϕ ρ ϕ Α û ρ х û ϕ

24 Επιστρέφουµε στο πρόβληµά µας Εξετάζουµε και πάλι το σηµείο Α, το οποίο περιγράφει τη θέση του û ϕ σωµατιδίου µια τυχαία χρονική στιγµή. Ας εκφράσουµε το διάνυσµα θέσης ρ του σωµατιδίου στις πολικές συντεταγµένες =ρuˆ ρ Τότε, σύµφωνα µε τα γνωστά για την ταχύτητα θα έχουµε d = d( ρuˆ ρ ) Κατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουµε υπόψη µας ότι και τορ και το είναι µεταβλητά Πρέπει να υπολογίσουµε το û ρ d d( ρuˆ ) ˆ ρ dρ du = = uˆ ρ + ρ ρ Ο duˆρ ϕ Α û ρ х

25 1 ος ΤΡΟΠΟΣ Σχεδιάζουµε τα µοναδιαία i διανύσµατα και του καρτεσιανού συστήµατος στο ίδιο σχήµα j j Ο i û ϕ ρ ϕ Α û ρ х j Σχεδιάζουµε και τα 4 µοναδιαία διανύσµατα στους, άξονες µε κοινή κορυφή το Ο û ϕ ϕ Ο ϕ û ρ i х

26 Φέρνουµε τις προβολές του στους άξονες και. Ο Φέρνουµε τις προβολές του στους άξονες και. û ρ Τότε, από το σχήµα βλέπουµε ότι ισχύει: uˆ ρ = cosϕi + sinϕ j (1) û ϕ û ϕ Θα ισχύει: uˆ ϕ = si nϕi + c osϕ j () Για να υπολογίσουµε την την (1) ως προς το χρόνο duˆ / du ˆ ρ sin dϕ i cos dϕ = ϕ + ϕ j Από τη () παίρνουµε: ρ ϕ j ϕ û ρ i πρέπει να παραγωγίσουµε ( sin i cos j) d ϕ = ϕ + ϕ duˆ ρ dϕ = uˆ ϕ х

27 ος ΤΡΟΠΟΣ Έστω ότι σε χρόνο το σωµατίδιό µας µετατοπίσθηκε από τη θέση Α στη θέση Α. Τότε η θέση του θα προσδιορίζεται από τις συντεταγµένες ρ =ρ+dρ (το dρ µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό) καιφ =φ+dφ (το ίδιο και το dφ). Ο û ϕ ρ Α û ϕ ρ ϕ Α û ρ û ρ dϕ х Τα µοναδιαία διανύσµατα θα είναι τώρα και. û ρ û ϕ Σχεδιάζουµε και τα 4 µοναδιαία διανύσµατα µε κοινή κορυφή. dϕ û ϕ û ϕ û ρ dϕ û ρ

28 Στην περίπτωση αυτή η µεταβολή του û ρ θα είναι duˆ ρ. Ενώ η µεταβολή του û ϕ, duˆ ϕ. ΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΟΤΙ ΑΥΤΕΣ ΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΤΟ dφ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ ΜΙΚΡΕΣ Ξέρουµε ότι µικρό µπορούµε να θεωρήσουµε το 1. Εποµένως: ˆ du ϕ dϕ û ϕ uˆ = uˆ = 1 duˆ ρ duˆ ρ = R dϕ = 1 dϕ = dϕ. ρ ρ û ϕ û ρ. Επειδή το dφ είναι απειροστά dϕ ˆ du ρ û ρ τόξο κύκλου ακτίνας Επειδή το dφ είναι απειροστά µικρό µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το duˆ ρ είναι ταυτόχρονα κοµµάτι της εφαπτοµένης, δηλαδή είναι κάθετο στο û ρ. Εποµένως θα είναι παράλληλο προς το. duˆ = duˆ uˆ = dϕ ˆ ρ ρ ϕ u ϕ duˆ ρ = uˆ ϕ dϕ û ϕ

29 ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης ηλαδή αν ισχύει Θα έχουµε df d = f ( ) f ( ) d= F( ) + C Όπου C σταθερά. Στη Φυσική η σταθερά C υπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάµεσες) του προβλήµατος. Για να υπολογίσουµε ένα ολοκλήρωµα χρησιµοποιούµε κάποια µέθοδο ολοκλήρωσης ΑΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Το αόριστο ολοκλήρωµα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

30 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω συνάρτηση =f() µε πεδίοορισµού b. =f() Χωρίζουµε το πεδίο ορισµού σε πολλά µικρά f( τµήµατα i τοκέντροτων i ) οποίωνείναιτο i. Εάναπότο i καιµεβάσητο i φέρουµεορθογώνια παραλληλεπίπεδα µε ύψος το f( i )θαέχουµε: i i ΌπουΝτοπλήθοςτων i σταοποίαχωρίσαµετο διάστηµα b και S εµβαδόν που διαφέρει λίγο από το εµβαδόν της περιοχής που περιέχεται µεταξύ της f() και τουάξονα. N S = i= 1 f ( ) i i b

31 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εάν τώρα Ν είτε (πράγµα πουείναιτοίδιο) i 0 είναι προφανές ότι το εµβαδόν θα είναι =f() ακριβώςίσοµετοεµβαδόντης περιοχής που περιέχεται µεταξύ f( i ) της f() και του άξονα. Τότε γράφουµε: i b N b i S = lim f ( i ) i f ( ) d i 0 i = 1