Μαθηματικά Πληροφορικής

Transcript

1 Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών

2 Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου τα στοιχεία ονομάζονται κόμβοι, και ένασύνολο Eπουείναιυποσύνολοτου V Vκαιτουοποίουτα στοιχείαονομάζονταιακμές: E {(u,v) u,v V}

3 Μη κατευθυνόμενα γραφήματα Μηκατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου E {{u,v} u,v V} δηλαδή μια ακμή σε ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα είναι ένα μη διατεταγμένο ζεύγος κόμβων. Μια πρόταση που ισχύει για κατευθυνόμενα γραφήματα συνήθως μεταφέρεται και στα μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Το αντίστροφο είναι πιο σπάνιο.

4 Βρόγχοι Ο ορισμός επιτρέπει θεωρητικά την ύπαρξη βρόγχων(loops), δηλ.ακμώντηςμορφής (u,u), u V. Γραφήματα χωρίς βρόγχους και παράλληλες ακμές ονομάζονται απλά γραφήματα. Τα γραφήματα που δεν είναι απλά ονομάζονται πολυγραφήματα. Οταν λέμε«γράφημα» θα εννοούμε απλό γράφημα. Αν ασχολούμαστε με πολυγράφημα, θα το αναφέρουμε ρητά.

5 Κατευθυνόμενα/ Μη κατευθυνόμενα Διαφορές: (u,v) {u,v} V ( V )δυνατέςακμές V ( V )/2δυνατέςακμές Συμβολισμός Αριθμόςκόμβων: V ήn Αριθμόςακμών: E ήm

6 Σχεδίαση γραφημάτων 2 3 (a) 2 3 (b) Σχήμα: Γραφικές παραστάσεις του ίδιου γραφήματος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ(Σχεδίαση Γραφημάτων) Δεν πρέπει να συγχέουμε ένα γράφημα με τη σχεδίασή του. Ενα γράφημα μπορεί να έχει πολλές σχεδιάσεις.

7 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Συμπλήρωμα Ḡ = (V,E )του G = (V,E): E = {{u,v} {u,v} E,u v}. Ορισμός(Πλήρες/ Κενό) (a) (b) Σχήμα:Ταγραφήματα K 5 και K 5

8 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Ορισμός(Μονοπάτι/ Κύκλος) (a) (b) Σχήμα:Ταγραφήματα P 5 και C 5

9 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Ορισμός(Πλήρες διμερές) a b c d e f Σχήμα:Τογράφημα K 3,3

10 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Δωδεκάεδρο(από τη Βικιπαίδεια) Το αντίστοιχο γράφημα

11 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Ορισμός(Γράφημα του Πέτερσεν) Σχήμα: Το γράφημα του Petersen

12 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Ορισμός Βαθμός ενός κόμβου σε μη κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται ο αριθμός των ακμών που τον περιέχουν. Θεώρημα Σε κάθε γράφημα, το άθροισμα των βαθμών όλων των κόμβων είναι άρτιο. Απόδειξη.

13 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Θεώρημα(Γενίκευση) Σεκάθεγράφημα G = (V,E)με mακμές,τοάθροισματων βαθμώντωνκόμβωνείναιίσομε 2m. degree(u) = u V u V v V :{u,v} E = {u,v} E 2 = 2m [,2] [,] [2,3] [2,5] [3,] [3,5]

14 Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Πόρισμα Σε κάθε γράφημα, ο αριθμός των κόμβων περιττού βαθμού είναι άρτιος. Σε κάθε ομάδα ανθρώπων με περιττό αριθμό μελών, υπάρχει πάντα κάποιος που έχει άρτιο αριθμό γνωστών.

15 Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή : 2,, 5 2: 2, 3 Λίστες γειτνίασης: 3: 2 : 3 5: Πλεονεκτήματα: Οικονομική σε μνήμη για αραιούς γραφήματα: Θ( V + E log V ).Κατάλληληγιακάποιουςαλγόριθμους. Μειονεκτήματα: Απαιτεί έργο για να ελέγξουμε αν μια ακμή (u,v)ανήκειστογράφημα.

16 Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή 2 3 Πίνακας γειτνίασης: Πλεονεκτήματα: Άμεση απάντηση αν μια ακμή (u, v) ανήκει στο γράφημα. Εύκολα γενικεύεται για γραφήματα με βάρη στις ακμές. Μειονεκτήματα: Απαιτητική σε μνήμη για αραιά γραφήματα.

17 Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή Μονοπάτια, κύκλοι Μονοπάτι: (,2,3,5) Μονοπάτι(μηαπλό): (2,3,5,,3,6) Κύκλος: (2,3,5,,6,2)

18 Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή Συνεκτικότητα Ορισμός Εναμηκατευθυνόμενογράφημα G = (V,E)ονομάζεται συνεκτικόανγιακάθε u,v Vυπάρχειμονοπάτιαπότο uστο v. Ενα κατευθυνόμενο γράφημα που έχει την ιδιότητα αυτή ονομάζεται ισχυρά συνεκτικό Συνεκτικός Μή συνεκτικός Μή ισχυρά συνεκτικός

19 Η έννοια του ελαχιστικού/μεγιστικού Εστωμιασχέσημερικήςδιάταξης πάνωσεένασύνολο P. Ενα στοιχείο p του P καλείται ελαχιστικό(αντίστοιχα μεγιστικό)ωςπροςτην ανδενυπάρχει p Pτέτοιοώστε p p(p p ). Με τους όρους ελαχιστικό/μεγιστικό μεταφράζουμε τους αγγλικούς όρους minimal/maximal, σε αντιδιαστολή με τους όρους minimum/maximum οι οποίοι υπονοούν ολική διάταξη. Παράδειγμα: P 2 U,γιακάποιοκατάλληλοσύμπαν Uκαι.Τότεένασύνολο S Pείναιελαχιστικό(αντίστοιχα μεγιστικό)αν x U, S \{x} P(αντ. x U, S {x} P.)

20 Δένδρα Ερώτηση: Ποια γραφήματα είναι ελαχιστικά συνεκτικά (minimally connected); Δηλαδή είναι συνεκτικά αλλά χάνουν τη συνεκτικότητα τους αν αφαιρέσουμε οποιαδήποτε ακμή τους; Απάντηση: Τα δένδρα. Ορισμός Δένδρα ονομάζονται τα συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν κύκλους

21 Ιδιότητες των δένδρων Θεώρημα Οι παρακάτω προτάσεις είναι όλες ισοδύναμες με τον ορισμό των δένδρων: Δένδρα είναι τα συνεκτικά γραφήματα που αν αφαιρέσουμε οποιαδήποτε ακμή τους παύουν να είναι συνεκτικά. Είναι δηλαδή ελαχιστικά γραφήματα ως προς τη συνεκτικότητα. 2 Δένδρα είναι τα γραφήματα που δεν έχουν κύκλους, αλλά αν προσθέσουμε οποιαδήποτε νέα ακμή αποκτούν κάποιο κύκλο. Είναι δηλαδή μεγιστικά άκυκλα γραφήματα. 3 Δένδραείναιτασυνεκτικάγραφήματαμε n ακμές, όπου nείναιοαριθμόςτωνκόμβωντους. Δένδραείναιταγραφήματαπουγιακάθεζεύγοςκόμβων u και vυπάρχειέναμοναδικόμονοπάτιαπότον uστον v.

22 Ιδιότητες των δένδρων Θεώρημα Σε κάθε δένδρο με τουλάχιστον δύο κόμβους υπάρχει ένας τουλάχιστον κόμβος με βαθμό. Σε κάθε γράφημα, το άθροισμα των βαθμών είμαι 2m. Σταδένδραέχουμε m = n.αφού n 2,όλοιοικόμβοι έχουν βαθμό μεγαλύτερο του μηδενός. Αν κάθε κόμβος είχε βαθμό2ήπερισσότερο,τοάθροισματωνβαθμώνθαήταν μεγαλύτεροήίσοτου 2n.

23 Επίπεδα γραφήματα Ορισμός Ενα γράφημα G λέγεται επίπεδο (planar) αν υπάρχει τρόπος νασχεδιαστείστοεπίπεδομετέτοιοτρόποώστεοιακμέςτου να τέμνονται μόνο σε κορυφές Σχήμα: Επίπεδο γράφημα

24 Οψεις σε γραφήματα Ορισμός Ενα γράφημα G λέγεται ενεπίπεδο (plane) αν έχει σχεδιαστεί στοεπίπεδο R 2 μετέτοιοτρόποώστεοιακμέςτουνατέμνονται μόνο σε κορυφές. Οψεις ενός ενεπίπεδου G καλούνται οι μ-συνεκτικές συνιστώσες του R 2 \G.Τογράφηματουσχήματοςέχει5όψεις. Ενα υποσύνολο S του επιπέδου καλείται μ-συνεκτικό αν οποιαδήποτε δύο σημεία του S συνδέονται με μονοπάτι.

25 Τύπος του Euler Αριθμός κόμβων: n Αριθμός ακμών: m Αριθμός όψεων: f Θεώρημα(Τύπος του Euler) Σε κάθε συνεκτικό ενεπίπεδο γράφημα ο αριθμός των κόμβων n, τωνακμών mκαιτωνόψεων f συνδέονταιμετησχέση n m +f = 2. Απόδειξη: Με επαγωγή στον αριθμό των ακμών. Βάση της επαγωγής: Δένδρα.

26 Σχέση ακμών και κόμβων Θεώρημα Σεκάθεσυνεκτικόεπίπεδογράφημαμε n 3κόμβουςκαι m ακμές m 3n 6. Απόδειξη. Η απόδειξη βασίζεται σε δυο παρατηρήσεις: Κάθεακμήσυνορεύειμε(τοπολύ)δυοόψεις. 2 Κάθε όψη συνορεύει με 3 τουλάχιστον ακμές.

27 3 5 2 [,2] [2,3] [3,] [,] [,5] [3,5] [,5] (,2,3,5) (,,5) (3,,5) (,2,3,) Αν μετρήσουμε τις ακμές του διμερούς γραφήματος από αριστερά, είναιτοπολύ 2m(κάθεακμήβρίσκεταισε2τοπολύόψεις).Απόδεξιά είναι τουλάχιστον 3f (κάθε όψη έχει 3 τουλάχιστον ακμές). Άρα,σεκάθεγράφημα 3f 2m.Από Euler f = 2 n+m...

28 Η προηγούμενη απόδειξη δείχνει πόσο χρήσιμα είναι τα γραφήματα: Χρησιμοποιεί ένα διμερές γράφημα για να επιχειρηματολογήσει για τη σχέση ακμών και όψεων ενός άλλου γραφήματος!

29 Το K 5 δενείναιεπίπεδο Το K 5 δενείναιεπίπεδο Πράγματι,το K 5 έχει n = 5κόμβουςκαι m = 0ακμές.Δεν ισχύειπως m 3n 6,άραδενείναιεπίπεδο. Αναγκαία αλλά όχι ικανή Ησυνθήκη m 3n 6είναιαναγκαίαγιαναείναιένα γράφημα επίπεδο. Δεν είναι όμως ικανή: Υπάρχουν γραφήματα με λίγες ακμές που δεν είναι επίπεδα.

30 Συνθήκη για διμερή γραφήματα Θεώρημα Σε κάθε συνεκτικό διμερές επίπεδο γράφημα ο αριθμός των κόμβων nκαιτωνακμών mικανοποιεί m 2n. Συμπέρασμα:το K 3,3 δενείναιεπίπεδογιατίέχει n = 6και m = 9 > 2n

31 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για επίπεδα γραφήματα Σχήμα: Ενα γράφημα και μια υποδιαίρεσή του Θεώρημα(Kuratowski, 930) Ενα γράφημα είναι επίπεδο αν και μόνο αν δεν περιέχει κάποια υποδιαίρεσητου K 5 ήτου K 3,3. (Χωρίς απόδειξη)

32 Κύκλοι του Euler και του Hamilton 3 2 Σχήμα: Οι γέφυρες του Königsberg

33 Κύκλοι του Euler και του Hamilton

34 Leonhard Euler ( )

35 Κύκλοι του Euler και του Hamilton 3 2 Σχήμα:Τογράφηματων7γεφυρών Θεώρημα Ενασυνεκτικόγράφημαέχεικύκλοτου Eulerμόνοανκαιμόνο ανόλοιοικόμβοιτουέχουνάρτιοβαθμό.

36 Κύκλοι του Euler και του Hamilton Σχήμα:Γράφημαμεκύκλοτου Euler Θεώρημα Ενασυνεκτικόγράφημαέχεικύκλοτου Eulerμόνοανκαιμόνο ανόλοιοικόμβοιτουέχουνάρτιοβαθμό.