I Pismeni ispit iz matematike 1 I

Transcript

1 I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da li je struktura (A, ) grupa? Da li je struktura (A, ) Abelova grupa? 2 (25 poena) str: Date su jednaqine ravni α i β: a) Odrediti Ƭihove vektore normala n α i n β b) Odrediti proizvoʃne taqke A α i B β v) Ispitati uzajamni poloжaj ravni α i β α: x + y + z 7 i β : 2x + y z 8 g) Ukoliko se ravni α i β seku odrediti jednaqinu Ƭihove preseqne prave p u kanonskom obliku, kao i ugao (α, β) između ravni α i β, a ako se ne seku odrediti rastojaƭe između ravni α i β, kao i jednaqinu zajedniqke normale n na ravni α i β koja prolazi kroz taqku A (25 poena) str: a) Odrediti Maklorenove polinome tre eg stepena funkcija g(x) e x x2 i h(x) x b) Izraqunati: 4e x x2 8 x + 4 8x 7x 2 x 4 (25 poena) str: 2 ln( x) x U veжbanci oznaqiti brojeve stranica: je bela strana na koricama (na poleđini one gde ste uneli podatke), prva strana na kvadrati e,, 2 je posledƭa strana na kvadrati e, a i 4 su posledƭe bele strane (na posledƭem listu korica)

2 II Pismeni ispit iz matematike II 27 januar 2 II grupa (25 poena) str: U zavisnosti od realnih parametara a i b rexiti sistem x + 2y + z + 2t 2x + y (a + 2)z + t b + 4 x + y + 2z (b )t 6 2 (25 poena) str: Date su prava p: x y 2 z 2 i ravan α: 2x y + z 5 a) Odrediti međusobni poloжaj prave p i ravni α b) Na i pravu q simetriqnu pravoj p u odnosu na ravan α v) Koliki je ugao između prave p i ravni α, (p, α)? u prostoru (25 poena) str: Ispitati konvergenciju niza (a n ) zadatog sa a n n2 + n 2 + n2 + n + n2 + n + + n2 + 27n + Ukoliko je niz (a n ) konvergentan izraqunati a n n 4 (25 poena) str: (x 2 + x)e /x U veжbanci oznaqiti brojeve stranica: je bela strana na koricama (na poleđini one gde ste uneli podatke), prva strana na kvadrati e,, 2 je posledƭa strana na kvadrati e, a i 4 su posledƭe bele strane (na posledƭem listu korica)

3 III Pismeni ispit iz matematike III 27 januar 2 III grupa (25 poena) str: U zavisnosti od realnih parametara c i d rexiti sistem 2x + cz c + y 2z dx + 4y + z d + 2 (25 poena) str: Date su taqke A(2,, ), B(, 2α, ), C(4, 2, α + 2) i D(5,, α) u prostoru Za vrednosti parametra α i 2 α, uraditi slede e: a) Odrediti jednaqinu ravni π određenu taqkama A, B i C b) Na i rastojaƭe taqke D od ravni π v) Ukoliko su vektori AB, AC i AD linearno zavisni odrediti tu zavisnost (25 poena) str: Data je funkcija g: (, ) R sa sin ( 2 ln( x) ) + 6x + 9x 2 g(x) 2x, x K, x a) Odrediti Maklorenove polinome tre eg stepena funkcija sin(2t), ln( x) i sin ( 2 ln( x) ) b) Izraqunati g(x) v) U zavisnosti od parametra K ispitati da li je funkcija g(x) neprekidna 4 (25 poena) str: x x + 2 U veжbanci oznaqiti brojeve stranica: je bela strana na koricama (na poleđini one gde ste uneli podatke), prva strana na kvadrati e,, 2 je posledƭa strana na kvadrati e, a i 4 su posledƭe bele strane (na posledƭem listu korica)

4 IV Pismeni ispit iz matematike IV 27 januar 2 IV grupa (25 poena) str: Rexiti matriqnu jednaqinu: X A T + BX 2 4 gde su matrice date sa A 2 i B (25 poena) str: Date su prave p i q u prostoru: p: x 2 y + z + m i q: { x + y z + 2x y z a) Odrediti vrednost realnog parametra m tako da se prave p i q seku b) Za vrednost parametra m određenog u delu a) odrediti koordinate preseqne taqke T pravih p i q v) Za vrednost parametra m određenog u delu a) odrediti jednaqinu ravni π koja sadrжi prave p i q g) Za vrednost parametra m određenog u delu a) odrediti veliqinu ugla ϕ između prave p i q (25 poena) str: Data je funkcija e x2 2x a) Odrediti Maklorenov polinom drugog stepena funkcije f(x) b) Izraqunati: f(x) x 2 2x 2 + x 4 (25 poena) str: 2 x 4 x U veжbanci oznaqiti brojeve stranica: je bela strana na koricama (na poleđini one gde ste uneli podatke), prva strana na kvadrati e,, 2 je posledƭa strana na kvadrati e, a i 4 su posledƭe bele strane (na posledƭem listu korica)

5 Kako je npr RexeƬa I grupe (, 5, 2) ( 5,, ) ( ( 5) + 5, + ( 5) 5, 2) (, 24, 6) i iz, 5, 2 > (, 5, 2) A, kao i iz 5, 5, > ( 5,, ) A, dok zbog prve koordinate vaжi (, 5, 2) ( 5,, ) (, 24, 6) A, pa imamo da ne vaжi zatvorenost operacije u skupu A Samim tim (A, ) nije ni grupa, ni Abelova grupa 2 α: x + y + z 7 i β : 2x + y z 8 a) n α (,, ) i n β (2,, ) b) Dve koordinate fiksiramo, npr x y, a tre u izraqunamo: A(,, 7) i B(,, 8) v) Ravni α i β nisu paralelne (niti se poklapaju) jer vektori n α i n β nisu proporcionalni (jer ne vaжi : 2 : : ( ), pa nije n α k n β ), pa se ravni α i β seku (po pravoj p) g) Preseqnu pravu p dobijamo kada reximo sistem x + y + z 7, 2x + y z 8 : x + 2t, y 2 t, z t, t R (xto je jednaqina prave p u parametarskom obliku) Odatle dobijamo (kada nađemo t iz svake od tih jednaqina) kanonski oblik: p: x 2 Za ugao imamo da vaжi cosϕ n α n β n α n β je ϕ (α, β) arccos 54 y 2 z ( ) ( ), pa a) g(x) e x x2 i h(x) x Makorenov razvoj e t + t! + t2 2 + t! + o(t ) daje g(x) + x x2! + ( x x2 ) 2 2! + ( x x2 )! + o(x ) x x x2 + x + 2 x4 6 x 2 x4 2 x5 2 x6 + o(x ) x x x2 + x 6 x + o(x ) x 2 x x +o(x ) (ovde smo iskoristili da svi ve i stepeni x 4, x 5, x 6 ulaze u ostatak o(x )) Stoga je traжeni Maklorenov polinom T (x) x 2 x x Makorenov razvoj + t (+t) /2 + ( ) ( /2 t+ /2 ) 2 t 2 + ( ) /2 t +o(t 2 ) + 2 t 8 t2 + 6 t +o(t ) daje h(x) + 2 ( x) 8 ( x)2 + 6 ( x) +o(x ) 2 x 9 8 x x +o(x ), pa je traжeni Maklorenov polinom T (x) 2 x 9 8 x x 4e x x 2 8 x + 4 8x 7x 2 b) Kada u traжeni es L x ubacimo gorƭe razvoje dobijamo ( 4 x 2 L x x + o(x ) ) 8 ( 2 x 9 8 x x + o(x ) ) + 4 8x 7x 2, tj kad sredimo L x x + o(x ) x + o() 6 6 x Napomena Do rezultata pod b) moglo se do i i pomo u puta primeƭenog Lopitalovog pravila: L LP LP 2 e x x2 ( 4 8x) + 8 4x x x 2 LP e x x2 (2 + 24x 48x 2 2x 8 ) + ( x) 5/2 6 e x x2 ( 4 + 6x + 6x 2 8 ) + 4 ( x) /2 6x 6

6 4 Funkcija Domen je D f (, ) 2 ln( x) x 2 Nula je za x e 2 Znak: + [ e 2 ] () x Presek sa y-osom je Y (, ln 2 ) Funkcija nije ni parna ni neparna (jer domen D f nije simetriqan u odnosu na x ), ni periodiqna (jer se nule ne ponavʃaju periodiqno) 4 x y(x) prava x je vertikalna asimptota y(x)lp x x x Kako + nije u domenu D f 5 f 6 f prava y je leva horizontalna asimptota nema levu kosu asimp funkcija f(x) nema ni desnu horizontalnu, ni desnu kosu asimptotu + ln( x) (x ) 2 Monotonost: ր [ e ] ց () x Lokalni maksimum je M( e, e ) 7 2 ln( x) (x ) Konveksnost: [ e 7/2 ] () x Prevojna taqka je P( e 7/2, 2 e 7/2 ) P M f(x) e x 2 e 7/2 y e 7/2 e e 2 N x ln 2 Y