Εισαγωγή στην Επεξεργασία Σήματος. Νόκας Γιώργος

Transcript

1 Εισαγωγή στην Επεξεργασία Σήματος Νόκας Γιώργος

2 Βιβλιογραφία στον εύδοξο 1. Γ. Β. Μουστακίδης, Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων και Συστημάτων, εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοί Ο.Ε., Θεσσαλονίκη, Oppenheim / Schafer, Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων, εκδόσεις Γρηγόριος Χρυσοστόμου Φούντας, Αθήνα, 2012 (κωδικός στον Εύδοξο: ) 3. Antoniou, Andreas, Ψηφιακή επεξεργασία σήματος, Σήματα, συστήματα και φίλτρα, εκδόσεις Τζιόλα, 2009 (κωδικός στον Εύδοξο: ) 4. Proakis, John G., Manolakis, Dimitris G., Ψηφιακή ανάλυση σήματος, Αρχές, αλγόριθμοι, εφαρμογές, εκδόσεις ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2010 (κωδικός στον Εύ-

3 Δομή του μαθήματος Δειγματοληψία σημάτων συνεχούς χρόνου, ανακατασκευή τους από τα δείγματά τους, και επεξεργασία συστημάτων συνεχούς χρόνου στο πεδίο του διακριτού χρόνου. Απόκριση συχνότητας γραμμικών και χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων, συστήματα ελάχιστης φάσης και συστήματα γενικευμένης γραμμικής φάσης. Διακριτό μετασχηματισμό Fourier, αλγόριθμους ταχέως υπολογισμού του, και κυκλική συνέλιξη. Τεχνικές εκτίμησης συχνοτικού περιεχομένου σήματος, περιλαμβανομένης της μεθόδου της παραθύρωσης σήματος και του χρονικά εξαρτημένου διακριτού μετασχηματισμού Fourier, φασματόγραμμα και περιοδόγραμμα σήματος, όπως και ανακατασκευή σήματος με βάση την μέθοδο της επικάλυψηςάθροισης.

4 Σχεδίαση φίλτρων κρουστικής απόκρισης πεπερασμένης διάρκειας με την μέθοδο της παραθύρωσης. Υλοποίηση συστημάτων διακριτού χρόνου με διάφορες δομές. Σχεδίαση φίλτρων κρουστικής απόκρισης άπειρης διάρκειας με την μέθοδο της αμετάβλητης κρουστικής απόκρισης ή με διγραμμικό μετασχηματισμό. Υπερ-δειγματοληψία και υπο-δειγματοληψία σημάτων διακριτού χρόνου, πολυρυθμική επεξεργασία, συστοιχίες φίλτρων. Βασικά υπολογιστικά εργαλεία σε Matlab που υλοποιούν στα παραπάνω.

5 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σήμα ονομάζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει ένα φυσικό μέγεθος π.χ. σήμα ομιλίας: οι τιμές της πίεσης του αέρα που καταγράφει το μικρόφωνο σεισμικά σήματα: οι τιμές της επιτάχυνσης που δημιουργούν οι δονήσεις του εδάφους στον σεισμογράφο. Σύστημα είναι ένας τελεστής που δρά σε σήματα και δημιουργεί νέα σήματα ή νέες αναπαραστάσεις σημάτων π.χ. Ένα σύστημα αναπαραγωγής CD μετατρέπει το σήμα της κωδικοποιημένης ομιλίας σε ήχο.

6 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ -ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ Αποθορυβοποίηση ομιλίας Κωδικοποίηση ομιλίας (mp3)

8 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Πλεονεκτήματα ψηφιακών συστημάτων Εύκολη τροποποίηση του συστήματος με software. Μεγάλη ακρίβεια που τα αναλογικά δεν έχουν λόγω ανοχής των εξαρτημάτων. Δυνατότηα εύκολης αποθήκευσης Μικρό κόστος Πλεονεκτήματα αναλογικών συστημάτων Επεξεργασία σημάτων υψηλής συχνότητας (Μhz) Τηλεπικοινωνίες

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σύστημα συνεχούς χρόνου Σύστημα διακριτού χρόνου

10 Σήματα και Συστήματα Τα συστήματα επεξεργάζονται ένα ή περισσότερα σήματα: Το παραπάνω σύστημα μετατρέπει το σήμα x(t) σε y(t). π.χ. Σε ένα σήμα ήχου μπορεί να ενισχύσει τα μπάσσα (χαμηλές συχνότητες) Σε μία εικόνα μπορεί να αλλάξει την φωτεινότητα Σε ένα καρδιογράφημα μπορεί να εξάγει πληροφορίες όπως ο ρυθμός κ.λ.π.

11 Αναλογικά / Ψηφιακά Συστήματα Τα συστήματα διακρίνονται σε αναλογικά και ψηφιακά Τα αναλογικά υλοποιούνται με ηλεκτρονικά εξαρτήματα όπως αντιστάσεις πυκνωτές τρανζίστορ τελεστικούς ενισχυτές κ.λ.π. Τα ψηφιακά συστήματα μετατρέπουν τα σήματα σε αριθμούς που αποθηκεύονται σε μνήμες και επεξεργάζονται στην συνέχεια απο επεξεργαστές.

12 Δειγματοληψία Κατα την διαδικασία της δειγματοληψίας ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) μετατρέπεται σε μια ακολουθία αριθμών x[n] όπου οι δείκτες n είναι ακέραιοι αριθμοί. Στην ιδανική δειγματοληψία έχουμε x[n] = x(n. T s )

13 Συχνότητα δειγματοληψίας Ο αριθμός των δειγμάτων ανα δευτερόλεπτο καθορίζει την συχότητα δειγματοληψίας (sampling frequency). π.χ. Αν έχουμε 8000 δείγματα το δευτερόλεπτο τότε η συχνότητα δειγματοληψίας θα είναι 8000 Hz. Αντίστοιχα η περίοδος δειγματοληψίας είναι T s = 1/f s

14 Διαδικασία δειγματοληψίας Δειγματοληψία Κβαντοποίηση Κωδικοποίηση

15

16 Παραδείγματα διακριτών σημάτων

17 Θεώρημα Δειγματοληψίας (Shannon Sampling Theorem) Ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) με συχνότητες μικρότερες της f max μπορεί να ανασυσταθεί ακριβώς απο τα δείγματά του x[n] = x(n.ts), εφόσον η συχνότητα δειγματοληψίας είναι ίση ή μεγαλύτερη απο 2f max

18 Παρατηρούμε οτι τα δείγματα ενός σήματος μπορεί να αντιστοιχούν σε διαφορετικά σήματα π.χ. Έστω οτι έχουμε δείγματα του σήματος : Εφόσον το n είναι ακέραιος ισχύει: cos(2.4 πn) = cos(2πn + 0.4πn) = cos(0.4πn) δηλαδή:

19 Συνημίτονο διακριτού χρόνου κυκλική συχνότητα διακριτού σήματος

20 Η κυκλική συχνότητα διακριτού σήματος Η κυκλική συχνότητα διακριτού σήματος κυμαίνεται μεταξύ 0 και 2π, όπως μεταβάλεται η συχνότητα f απο 0 έως την τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας f s Η μονάδα μέτρησης είναι το rad (αδιάστατο μέγεθος)

21 Φάσμα διακριτού σήματος

22 Παράδειγμα Δειγματοληψίας με f s = f max Παρατηρούμε οτι το διακριτό σήμα δεν μεταβάλλεται, = 0

23 Το φάσμα ενός διακριτού σήματος είναι περιοδικό με συχνότητα 2π λόγω της σχέσης: Λόγω της παραπάνω σχέσης το διακριτό σήμα x[n] έχει περισσότερες απο μια φασματικές γραμμές για κάθε ημιτονοειδή συνιστώσα του συνεχούς σήματος. Το παραπάνω φαινόμενο δηλαδή να έχουμε ψευδή αντίγραφα των βασικών συχνοτήτων το ονομάζουμε aliasing (αναδίπλωση/αλλοίωση/φασματική επικάλυψη)

24 Αναδίπλωση Απο τις παρακάτω σχέσεις βλέπουμε οτι σήματα διαφορετικών συχνοτήτων μπορούν να δώσουν την ίδια διακριτή κυκλική συχνότητα:

25

26 Συμπεράσματα για την αναδίπλωση Εάν προσθέσουμε f s ή 2f s ή -f s στην συχνότητα του x(t) το διακριτό σήμα x[n] που θα προκύψει θα έχει ακριβώς ίδιες τιμές Δεδομένου του σήματος x[n] δεν μπορούμε να διακρίνουμε την συχνότητα f 0 απο την συχνότητα (f 0 + f s ) ή απο την (f 0 +2f s )

27 Διακριτό φάσμα Το φάσμα καταγράφεται ως προς την διακριτή κυκλική συχνότητα Το φάσμα περιλαμβάνει όλες τις φασματικές γραμμές όπως Όσες προκύπτουν απο το άθροισμα των πολλαπλάσιων του 2π Όσες προκύπτουν απο τη διαφορά των πολλαπλάσιων του 2π

28 Παράδειγμα διακριτού φάσματος χωρίς αναδίπλωση

29 Παράδειγμα διακριτού φάσματος με αναδίπλωση (υποδειγματοληψία) Ψευδείς συχνότητες

30 Παράδειγμα διακριτού φάσματος με αναδίπλωση (υποδειγματοληψία) Ψευδείς συχνότητες

31 Ανακατασκευή συνεχούς σήματος απο τα δείγματά του Η βασική ιδέα της μετατροπής ενός ψηφιακού σήματος σε αναλογικό είναι να ενώσουμε τα δείγματα μεταξύ τους. Η διαδικασία της εκτίμησης των ενδιάμεσων τιμών ανάμεσα σε δύο δείγματα ονομάζεται παρεμβολή (interpolation).

32 Προσέγγιση με την διαδικασία sample and hold (συγκράτηση δείγματος) Για t = n.t s ισχύει y(t) = y[n. T s ] Η τιμή του y(t) παραμένει ίση με y[n. T s ] για τις παρακάτω τιμές του t:

33 Δειγματοληψία και ανασύσταση σηματος f 0 = 83 με f s =200

34 Δειγματοληψία και ανασύσταση σηματος f 0 = 83 με f s =800

35 Μαθηματικό μοντέλο για D/A μετατροπή

36 To συνεχές σήμα προκύπτει απο άθροισμα μετατοπισμένων παλμών p(t-nt s ) με τα εξής χαρακτηριστικά: Πολλαπλασιασμένο με τα βάρη y[n] Κεντραρισμένα στην τιμή t=n.t s Με εύρος Τ s

37

38 Βέλτιστος παλμός

39 Βιβλιογραφία